Z COS

donc, égalant ces deux cosinus, on aura pour équation de l’arête de rebroussement

Autrement. Les deux équations (a) et (b) appartenant à toutes les caractéristiques, quelle que puisse être la courbe qui sert d’axe à la surface, et quel que soit le point par lequel passe la caractéristique

, L > ue, d ! 1z!° sur chaque surface individuelle, les deux quantités #4|'ot Ta) dx dy

que renferment ces deux équations doivent dépendre implicitement, et d’une première quantité # qui, sur chaque enveloppe, assigne le lieu de la caractéristique, et d’une seconde quantité 8—x, dont la forme particularise l'enveloppe elle-même. Si donc entre les trois

équations (a), (b) et la suivante

de = (EE da + (95) &”

Ne CN dz' dz' à ; :

on élimine les deux quantütes |; ) et D y on fera disparaître dy dy, tout ce qui dépend de la quantité 4, par conséquent tout ce qui, dans la même enveloppe, particularise chacune des caractéristiques,

et Péquation aux différences ordinaires

que l’on obtiendra, appartiendra à l’arête de rebroussement que toutes ces caractéristiques touchent ; mais aussi par cette élimination on fait disparaître tout ce qui dépend de l’autre quantité 8 — ça, et par conséquent tout ce qui particularise l’enveloppe elle-même : donc l'équation (c) est généralement celle des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces soumises à la même génération.

On voit done que la caractéristique est exprimée par deux équa-

Eee

tions (a), (b), dont l’une est aux différences partielles, et dont l’autre est aux différences mêlées, partielles et totales; et qu’au contraire l’arête de rebroussement est exprimée par une équation unique aux différences ordinaires, tandis qu’en quantités finies elle doit être exprimée, comme toute courbe à double courbure, par deux équations équivalentes à celles de deux de ses projections.

Les arêtes de rebroussement que nous venons de considérer sont susceptibles d’une autre génération qui conduit à une construction simple. En effet, si après avoir décrit sur un plan vertical quelconque la circonférence d’un cercle d’un rayon @, et dont le centre soit dans l'horizontale, on plie ce plan sur la surface d’un cylindre vertical à base quelconque, la courbe à double courbure que la circonférence de cercle formera-par son application sera, en général, l’arête de rebroussement de la surface dont il s’agit. Car il est facile de voir, 1° que pour toutes les courbes soumises à cette génération,

on aura

Va + dé + dé : Var + dé : a :: 2,

ce qui est la propriété exprimée par l’équation (c); 2° que ces courbes sont les seules qui jouissent de cette propriété. Donc l’équation (c) suffit seule pour les définir.

SECONDE MANIÈRE, EN QUANTITÉS FINIES

L’équation de la courbe horizontale qui doit servir d’axe à la surface, et sur laquelle se trouvent les centres de toutes les sphères enveloppées, étant représentée par y — gx, dans laquelle & exprime une fonction quelconque arbitraire , et 4 étant la valeur de x qui correspond à la position du centre quelconque de ces sphères, l’équation de la surface de cette sphère sera

(x — @) + (Y — pa) + 3° = a?

Si l’on différentie cette équation trois fois de suite, en regardant «

comme seule variable, et si l’on fait dpa — g'a, dou — @'ada et " £ o

d@"x — @"ada, on aura les quatre équations

(A) (x — à) + (y — pa) + 2° —'a*, (B) Z—a+(Y—pa)pa —o, (C) (Y — qa)qa — 1 — (ga) — 0, (D) (y — pa) ®"a— 3p'a.g”a — 0.

Ce sont ces quatre équations que, dans le paragraphe précédent, nous avons représentées par

nes (È 7 (ddF\ (LT) — pa Qt sul l'a (Te Lire Ja rai

Donc si, sans prononcer sur la valeur de la quantité «, on élimine cette quantité entre les deux équations (A) et (B), le résultat de l’élimination sera en #, ÿ, 3, l'équation finie de l'enveloppe. Tant que la fonction @ restera sous sa forme générale et indéterminée, l’élimination dont il s’agit ne pourra s’exécuter, et ces deux équations ne pourront être réduites à une seule. Ce ne sera qu’après avoir déterminé la forme de la fonction, de manière qu’elle appartienne à la surface individuelle que l’on considérera dans chaque cas particulier, que l’on pourra effectuer cette élimination. Ainsi, & étant regardée comme une quantité dont la valeur est indifférente, et qui doit disparaître par l'élimination, et la forme de la fonction & étant arbitraire, le système des deux équations (A) et (B) exprime donc toutes les surfaces courbes soumises à la même génération; ce système est donc équivalent à l'équation unique aux différences partielles (a), dont nous verrons par la suite qu’il est l'intégrale complète.

Si dans les mêmes équations (A) et (B) on regarde # non plus