ETES

comme une indéterminée qui doive disparaître par l'élimination, mais comme une constante arbitraire qui doive subsister, en sorte que les deux équations (A) et (B) ne soient plus réducübles à une seule , elles appartiendront à la caractéristique de la surface. La forme de la fonction ® particularisera la surface individuelle, et la constante 4 particularisera sur cette surface la caractéristique individuelle. Ces deux équations sont donc équivalentes aux deux équations (a) et (b). Nous verrons par la suite qu’elles en sont l’intégrale, complétée par une constante arbitraire , à cause des différences ordinaires, et par une fonction arbitraire @, à cause des différences partielles.

Si dans les trois équations (A), (B), (C) on élimine «, regardée comme une indéterminée dont la valeur est indifférente (élimination qui ne peut se faire que dans chaque cas particulier, après avoir déterminé la forme de la fonction ®, et celles des fonctions ®”",g” qui en dérivent par la différentiation), on aura en x, y, z deux équations qui seront celles de l’arête de rebroussement. Ainsi la forme de la fonction & étant arbitraire, le système de ces trois équations est équivalent à l’équation unique aux différences ordinaires (c). Nous verrons qu’il en est l’intégrale complète.

Enfin, si des quatre équations (A), (B), (C), (D), on tire les valeurs des quatre quantités +, y, z et #, on aura les trois coordonnées du point d’inflexion ou de rebroussement de l’arête de rebroussement, et la-position du centre de la sphère enveloppée sur la surface de laquelle se trouve ce même point.

Nous venons de voir que l’enveloppe est exprimée par une équation unique aux différences partielles, et que son arête de rebroussement l’est par une équation unique aux différences ordinaires ; mais qu’en quantités finies l'enveloppe est exprimée par le système de deux équations, et que l’arète de rebroussement l’est par un système de trois équations, entre lesquelles il faut éliminer une indé-

terminée +. Lorsqu'un objet est exprimé par une équation unique, cette équation est nécessaire, et ne peut être suppléée par aucune autre équation unique du même genre ; mais, lorsqu'il est exprimé par le système de plusieurs équations, aucune des équations de ce système n’est nécessaire, et il existe toujours une infinité d’autres systèmes d'équations absolument équivalents. Par exemple, une courbe à double courbure est déterminée dans l’espace par deux équations en +, y, z, et ces équations, qui sont celles des deux surfaces courbes dont la courbe est l’intersection, ne sont nécessaires, ni l’une ni l’autre, pour exprimer cette courbe; car il existe tou- Jours un nombre infini d’autres surfaces courbes qui, prises deux à deux, se coupent dans la même courbe à double courbure, et dont les équations, quoique très-différentes des deux premières, expriment cette courbe avec la même exactitude. Le système des quatre équations (A), (B), (C), (D) n’est donc pas nécessaire pour exprimer toutes les affections de l'enveloppe que nous considérons, et il existe un nombre infini de systèmes d'équations qui remplissent exactement le méme objet. Nous nous contenterons d’en rapporter un seul exemple.

Tout étant comme précédemment, si l’on conçoit qu’un cylindre indéfini, à base circulaire, et dont le rayon soit «a, se meuve de manière que son axe soit toujours dans le plan horizontal, et tangent à la courbe, dont l'équation est y —@x, il parcourra un espace qui sera circonscrit et enveloppé par la surface du même canal que nous considérons ; cette surface peut donc être aussi regardée comme l'enveloppe d’une suite infinie de cylindres horizontaux ; et en opérant sur l'équation générale des surfaces de ces cylindres de la même manière que nous l'avons fait sur celle des sphères, nous obtiendrons quatre nouvelles équations dont le système remplira le même objet que celui des quatre équations (A), (B), (C), (D).

Il est facile d’avoir l'équation générale de ces surfaces cylindri-

NGC

ques par la méthode que nous avons exposée en traitant de leur génération ; mais il peut être bon de faire voir comment on peut y arriver par des considérations analogues à celles dont nous nous occupons.

Si l’on représente par 4 la valeur de x qui correspond au point de contact de l’axe du cylindre avec la courbe horizontale, on aura pour ce point y—#4, et l'équation de l’axe du cylindre, c’est-à-dire de la tangente à la courbe, sera

Y —Pa—(x — a) q'a.

Si l’on suppose ensuite qu'une sphère d’un rayon a se meuve de manière que son centre parcoure cette droite, l'enveloppe de l’espaée qu'elle parcourra sera la surface cylindrique demandée. Soit b la valeur de + qui correspond à un point quelconque pris sur cette droite, on aura pour ce point y = ga + (b — x)9'a, et l’'équation de la surface de la sphère dont le centre serait en ce point, et dont le rayon serait a, sera

(x — b) + Pi Da —(b — à) Q'a | Merle AVS

Donc, différentiant cette équation, en regardant b comme seule variable, ce qui donne

Z—b+]|y— qu—(b—a)g'alg æ —0; et éliminant b, l'équation résultante [(x — a)g'a — (y — pa)f = (a — 7) [1 +(g'a)°]

sera celle de la surface d’un cylindre à base circulaire, dont l’axe touche la courbe horizontale, # étant la valeur de x qui correspond au point de contact.

Cette équation étant celle d'une nouvelle enveloppée, il s’ensuit

que si on la différentie trois fois de suite, en regardant 4 comme seule variable, on aura quatre équations nouvelles

(A) [(t— a) g'a— (y —pa)] —(a—3)[1+(9"2)"|, (B') (x — a) @'a—(x— a) (Y— pu) —(a—7)p'a, (C) (x— a) q'a—(x—a)pa+y—pa—(a—3)p"a, (D") (x — x)" Q"a—3(x — à) ga — (a —7)p"a, qui remplaceront les quatre équations (A), (B), (C), (D). Ainsi, si l’on élimine + des deux équations (A”), (B”), on aura l'équation de l'enveloppe ; si l’on élimine « des trois équations (A”), (B'), (C’), on aura les deux équations de l’arète de rebroussement ; enfin, les quatre équations (A’), (B’), (C”), (D”) donneront les valeurs de x, Y, z et a, qui correspondent au point d’inflexion ou de rebroussement de l’arête.

Ces deux systèmes d'équations peuvent être employés indiftéremment; nous nous servirons du premier, parce qu'il est plus .

simple.

Étant données les deux équations d'une courbe à double courbure quelconque, trouver celle d'une surface courbe qui passe par cette courbe, et qui soi celle d'un canal dont la section soit un cercle donné de rayon, et dont l'axe soit une courbe comprise

dans le plan horizontal.

La question consiste évidemment à déterminer dans les deux équations (A), (B), ou dans les deux équivalentes (A”), (B’), quelle doit être la forme de la fonction 9, pour que la surface à laquelle appartient l'équation résultante de l'élimination de 4 passe par la

courbe donnée.

Or, cette surface, qui est une enveloppe, passera par la courbe

RTE

donnée si toutes les surfaces enveloppées touchent cette même courbe, c’est-à-dire si chacune des tangentes de la courbe donnée se trouve sur le plan tangent à l'enveloppe à laquelle appartient le point de contact. Soient donc F(x, y, z) — o et f(x, y, z) = 0 les deux équations de la courbe donnée; si l’on représente par x, y, 3 les coordonnées du point de contact, et par +”, y”, z” celles du point général de la tangente, les deux équations de cette tangente seront

dans lesquelles les quantités dx, dy, dz sont des différentielles ordinaires; puis si l’on différentie les deux équations

(x, V2) = to Me A NE EE 0

ne ; dx dy 1 et si l’on en retire les valeurs de 7. et de qui seront en x, y, Z, Az Az

et que nous représenterons respectivement par p et q, les deux équations de la tangente seront

De même, x, y, z étant les coordonnées du point de contact du " nl ll 1. 4 : 4 4 A plan tangent, et x’, y", z' étant celles du point général de ce plan, l'équation du plan tangent sera, comme on sait,

k LE / dz\ Ai / dz LR — ( TR ) () FU (9 RU ) (RE):

dz ü

dans laquelle ( ee

l’on différentie l’équation (A) de l’enveloppée, et si l’on en tire les

) dz rer ar: | :

) et ( F) sont des différences partielles ; puis, si

(dz dz :

valeurs de ( a) et de (&) qui seront en #, y, z, & et a, et que nous représenterons respectivement par P et Q ; l'équation du plan

tangent sera z—z —=(x—x)P+(y—7y')Q.

Ce plan devant passer par la tangente, il faut que son équation et celles de la tangente aient lieu en même temps, c’est-à-dire que, si l’on élimine les trois quantités & — x”,y7 — y", z— 2", ce qui est

toujours possible, l'équation résultante

Pp + Qq = 1,

qui est en æ, y, z, æ et Qu, soit satisfaite. Donc, si l’on en élimine æ, Ÿ, z, au moyen des trois équations F({x, y, z)—0, f(x, y, z)}=0 et (A), qui ont lieu en même temps pour le point de contact, on aura en # et a une équation que nous représenterons par

et qui donnera la relation que doivent avoir entre elles les deux coordonnées 4, gx du centre de la sphère enveloppée, pour que la surface de cette sphère touche la courbe donnée. Mais il faut que cette condition ait lieu pour toutes les valeurs de 4 : il faut donc que la même relation subsiste, quand même 4 varierait et deviendrait a + da; donc il faut que la différentielle de l'équation M—o ait encore lieu, c’est-à-dire que l’on ait encore

an

HE Donc, sientrel OR A APM eo et one, si entre les quatre équations (A), (B), M—o e D = 0

on élimine les trois quantités &, a et ®'x, l'équation résultante sera en æ, y, z celle de l'enveloppe individuelle demandée, qui passe par la courbe donnée.

et PEN) EE

Cette méthode de déterminer la forme de la fonction pour que la surface passe par une courbe donnée, n’est point particulière à la surface dont nous nous occupons ; elle est générale, et elle convient à toutes les enveloppes lorsqu'il n’y a qu'une seule fonction à déterminer. Il en est de même pour celle de la question suivante.

Étant donnée l'équation d'une surface courbe, trouver celle de la surface d'un canal à section circulaire, et dont l'axe curviligne soit dans le plan horizontal, de manière que le canal ceigne la surface donnée, c'est-à-dire l’embrasse en la touchant suwant

une courbe.

Il est évident que la question consiste à déterminer dans les équations (A), (B) quelle doit être la forme de la fonction @ pour que l'enveloppe ceigne la surface donnée, et que cette condition sera : remplie si chacune des sphères enveloppées touche la surface donnée, c’est-à-dire si, pour les points communs à l’enveloppée et à la surface donnée, ces deux surfaces ont le même plan tangent. Soit donc Fix, y, z) = 0 l'équation de la surface donnée : si l’on représente par æ, y, z les coordonnées du point de contact, et par +',y",z celles du point général du plan tangent, si de plus on

exprime respectivement par pet q les valeurs de (Æ) et de a X[ 2 par p et q € a .

tirées de l'équation F{x, y, z) — 0, l'équation du plan tangent à la surface donnée sera

CS É k ; | - { dz dz\ Si l’on exprime de même par P et Q les valeurs de (&) et (S )

tirées de l'équation (A), l'équation du plan tangent à la sphère

enveloppée sera z—z'—=(x—x)P+ (y —7)Q.

Pour que ces deux plans se confondent en un seul, 1l faut que lon

ait les deux équations P —= D; Q Fe q;

qui sont toutes deux en #, y, z, « et pa. Si de ces deux équations, et des deux autres F(x,y,z)—o et (A), on élimine les coordonnées %, ÿ, = du point de contact qui est commun aux deux plans, on aura en « et a une équation que nous représenterons par ke et qui sera celle de la courbe horizontale qui sert d’axe à l'enveloppe lorsqu'elle ceint la surface donnée.

Donc, st entre les équations (A), (B), M— o et # —0, on élimine les trois quantités &, pa, ®'æ, on aura en x, y, z celle de l’en-

veloppe individuelle demandée.