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mètre, il faut la différentier d’abord en ne faisant varier que r, s, t. Soit cette différentielle
ROFAASASEE Par — Oo.
Comme les quantités p et g sont les mêmes pour les deux surfaces, leurs différentielles, prises de la même manière, doivent aussi être nulles; ce qui donne
dr dx + ds dy — 0,
ds dx + dt dy
Enfin, ces trois équations devant avoir lieu dans toute l'étendue de
la ligne de contact, et par conséquent quelles que soient les valeurs
dr CL EMRRE: TE 07 ee:
de F£ et Ts? Si l’on élimine ces deux quantités entre les trois équa-
tions, on aura pour équation générale de la caractéristique d’une surface dont l'équation est du second ordre,
R dy* — Sdxdy + Tdx* — 0.
Cette équation étant du second degré algébrique par rapport à dy dx
dy RE RS x pour la caractéristique qui passe par ce point; la caractéristique
» il s’ensuit qu en chaque point de la surface on a deux valeurs de
a donc deux tangentes différentes en ce point, qui est par conséquent un point double de cette courbe.
Dans tous les cas où l'équation qu'on vient de trouver a deux
2 ent AVS facteurs rationnels linéaires par rapport à LL ya deux caractéris-
tiques indépendantes, et dont on peut avoir les équations mdividuelles: mais, dans le cas général, ces deux caractéristiques sont les deux branches d’une même courbe, et ces branches se coupent toujours dans le point que l’on considère sur la surface.
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Dans le cas particulier de la surface dont nous nous occupons, on a
R— (Cg + B)}, S — — 2 (Cq + B) (Cp + A), T= (Gp + A);
l'équation de la caractéristique est donc (Cg+ Bdy* +2 (Cy+B) (Gp A)drdy + (Gp+ A)" dr — o, qui peut être mise sous la forme (A dx + Bdy + Cdz}— 0.
Cette équation a deux facteurs rationnels linéaires; mais ces deux facteurs étant égaux, il s'ensuit que les deux caractéristiques coïncident partout, et ont pour équation commune
Adx + Bdy + Cdz — 0, dont l'intégrale est Ax + By + Cz — 4, è
dans laquelle « est la constante qui, variant d’une caractéristique à une autre, détermine la position de cette courbe. Cette équation est celle d’un plan parallèle au plan fixe, et qui coupe la surface dans la génératrice; donc la caractéristique n’est autre chose que la génératrice elle-même.
UT
Pour trouver les deux équations aux différences partielles du premier ordre, concevons par un point quelconque de la surface, 1° un plan tangent, 2° un plan parallèle au plan fixe; les équations
de ces deux plans seront
PRE ) EEE z ) 0; A(x— x) + B(y— y") + C(z— 7") — 0.
Cela posé, il est évident que si le point se meut sur la surface, ce qui changera la position du plan tangent, tant que ce point ne sortira pas du second plan, les deux plans se couperont dans une mème ligne droite. Il s’agit donc d’exprimer que si le second plan est constant, la droite d’intersection sera aussi constante. Mais cette droite, se trouvant sur un plan constant, sera elle-même constante si une seule de ses projections l’est : donc il suffira d'exprimer qu'une des projections de la droite et le second plan sont en même temps constants de position.
Le second plan sera constant de position si la quantité Ax + By +Cz est constante. Représentons cette quantité par %, ce qui donnera ,
aæ = AÀx + By + Cz.
On aura l’équation de la projection de la droite sur le plan des +, z, en éliminant y entre les équations des deux plans; cette équation sera
Gps y,
dans laquelle on a
2 Cg + B Ù Bp — Ag
AMELT B(z—px—qy)+aq.
He Bp — Ag
Done il faut que x étant constante, les deux quantités £ et y le soient aussi toutes deux; or, il y a entre #, £, y une relation telle que si deux d’entre elles sont constantes, la troisième l’est aussi nécessairement, puisqu’en faisant da — 0 et d£ — 0, on a dy — 0; ce
qu'il est facile de vérifier par la différentiation : done il suffira d’énoncer que de ces trois quantités, deux quelconques sont constantes ensemble et variables ensemble, et par conséquent fonctions l’une de l’autre; done une des équations aux différences du premier
ordre sera
— = p[Ax + By + Cz|.
En opérant d’une manière analogue sur les deux autres projections, on aurait trouvé les deux nouvelles équations
Cp + A e 5 4, = Ÿ[A& + By + Cz], Ca + B ca —7lAx+By +0],
dont une quelconque est une suite nécessaire des deux autres : ainsi
deux de ces trois équations, les deux premières par exemple, seront, aux différences partielles du premier ordre, celles de la surface demandée.
Si l’on regarde les fonctions ®, À, 7 comme arbitraires, c’est-àdire comme susceptibles de toutes les formes possibles, chacune des trois dernières équations est de la même généralité que celle aux différences secondes, et deux quelconques d’entre elles en sont les intégrales premières.
Si l’une quelconque des trois équations aux différences partielles premières que l’on vient de trouver était proposée, soit que la fonction fut donnée, soit qu’elle fut arbitraire, et s’il fallait trouver l'équation de la caractéristique de la surface courbe à laquelle elle appartient, il faudrait, comme nous l’avons vu, différentier cette équation en regardant p et q comme seule variable; ce qui donnerait un résultat de la forme Pdp + Qdg — 0, et l'équation Pdy — Qdx—o serait l'équation demandée. Or, si l’on diffé-
rentie de cette manière chacune de ces trois équations, on trouve également pour chacune d’elles
P—C+B, —Q—Cp+A;
donc l'équation de la caractéristique est indifféremment, pour les
trois équations,
(Cg + B)dy + (Cp + A)dx — 0, ou, ce qui revient au même, A dx + Bdy + Cdz— 0,
la même que celle que nous avons trouvée pour l'équation aux dif-
férences seeondes.
Enfin, pour trouver en quantités finies l’équation de la surface, il faut observer que si le point que l’on considère se meut sur la surface de manière qu’il reste toujéurs dans le même plan parallèle au plan fixe, il se mouvra en ligne droite, c’est-à-dire qu'il restera toujours dans un autre même plan mené par l’origine. Soit
z = ax + by
l’équation de ce dernier plan; il faut donc que si la quantité Ax + By + Cz— x est constante, ce qui exprime que le point reste dans le même plan parallèle au plan fixe, les deux autres quantités a et b soient toutes deux constantes : donc ces deux quantités doivent être chacune une fonction de #; donc l'équation de- . mandée est
z = x@(Ax + By + Gz) + y d(Ax + By + Cz),
dans laquelle les formes des deux fonctions 9 et À sont arbitraires,
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et ne sont pas les mêmes que celles des fonctions que nous avons représentées par les mêmes caractères dans les équations aux différences premières, quoiqu'elles en dépendent.
Cette équation est de la même généralité que l'équation aux différences secondes, et que chacune des trois aux différences premières, et elle est leur intégrale finie commune.
Deux courbes à double courbure quelconques étant données dans l’espace, trouver, parmi toutes les surfaces engendrées par le mouvement d'une droite qui reste constamment parallele à un plan fixe, celle qui passe en méme temps par les deux courbes.
La question consiste évidemment à déterminer dans l'équation sénérale de ces surfaces
z— xo(Ax + By + Cz) + y (Ax + By + Cz)
les formes des deux fonctions arbitraires ç et À, pour que cette équation devienne celle de la surface individuelle demandée.
Soient (A) F(x, y,2) = 0, (B) f (x, Te z) — O,
les deux équations données de la premiere courbe, et (C) FIX RIT) "08
(D) En 1 z) — 0;
celles de la seconde; si l’on fait
(E) Az + By + Cz = u,
| PA — 81 — l'équation générale de la surface deviendra (F) z = LOU + Yu.
Gela posé, la surface devant passer par la première courbe, les quatre équations (A), (B), (E), (F) doivent avoir lieu entre les coordonnées de chacun des points de cette courbe; donc, élimi-
nant entre ces quatre équations les trois quantités x, y, z, on aura
en &, Qu, du, une première équation (G) | T'(u, qu, du) — 0,
à laquelle les formes des deux fonctions @ et À doivent satisfaire pour que la surface passe par la première courbe. De même, la surface devant passer par la seconde courbe, si
entre les quatre équations (C), (D), (E), (F) on élimine les trois
coordonnées æ, ÿ, z, On aura une seconde équation
(H) Dion) Vu) 0,
à laquelle les formes des fonctions ® et 4 doivent satisfaire pour que la surface passe par la seconde courbe. Donc, d’abord, si des deux équations (G), (H) on tire les valeurs de çu et du en w, on aura la forme de chacune de ces fonctions; mais sans faire cette opération, qui suppose la perfection de l'analyse, si, entre les quatre équations (E), (F), (G), (H), on élimine les trois quantités u, Qu, Au, on aura en *#, y, z une équation délivrée de toute fonction arbitraire, et qui sera celle de la surface individuelle demandée.
Cette manière de déterminer les formes de deux fonctions arbitraires s'applique à tous les cas où les deux fonctions © et 4 sont composées de la même quantité.
LS poor (
Deux surfaces courbes étant données, trouver parmu toutes les surfaces engendrées par le mouvement d'une droite qui reste constamment parallèle à un plan fixe, celle qui embrasse ces deux surfaces, c'est-à-dire qui les touche toutes deux suwant
une ligne courbe.
La question sera évidemment réduite à la précédente, si l’on trouve sur chacune des surfaces données sa courbe de contact avec
la surface demandée.
Soient (A) fre) 0 (B) ES a
les équations des deux surfaces données. Pour tous les points de la
ligne de contact de la première surface, les valeurs des quantités X, Ÿs 3 Ps QT 8, t Sont les mêmes, soit que ces points soient considérés sur la surface donnée, soit qu’ils soient regardés comme appartenant à la surface demandée. Si done, en différentiant l’équation (A), on tire les valeurs de p, q,r,s,t, en x, y, z, et si l'on représente ces valeurs respectivement par P, Q, R, S,T', les points de la ligne de contact sont ceux pour lesquels on aura en #, y, z, P,Q,R,S, T l'équation aux différences secondes de la surface demandée : donc la seconde équation de cette ligne de contact sera
(CO) (CQ+B)R— 2(CQ+B)(CP+A)S + (CP+ AJT — o.
De même, si par la différentiation de l'équation (B) de la seconde surface donnée on tire les valeurs de p, q, r, s, t, et si l’on représente ces valeurs respectivement par P”, Q”, R’, S’, T”, l'équation
(D) (CQ'+B)'R'— 2(CQ'+ B) (CP-+A)S'+(CP'+ A} T/— 0
sera celle de la ligne de contact de la seconde surface.
SA à
