Z — KL

ce qui s'exécute facilement en carrant les trois équations et ajou-

tant, et l’on trouverait CA Va TZ 0; on aurait ensuite l'équation de l'enveloppe en éliminant + entre

l'équation suivante :

(A) (a) + (y — ou) + {5 —nfa + (oa)°]| = a

et sa différentielle prise en regardant 4 comme seule variable. Nous terminerons là ce que nous nous proposons de dire sur la génération des surfaces courbes qui peuvent être exprimées par

des différences partielles du premier ordre, pour passer à celles qui exigent des différences partielles du second ordre; mais, en traitant de celles-ci, nous aurons encore occasion de voir un assez grand

nombre de celles de la première espèce.

DE LA SURFACE ENGENDRÉE PAR LE MOUVEMENT D'UNE DROITE QUI NE CESSE PAS D’ÊTRE PARALLÈLE À UN PLAN CONSTANT DE POSITION.

Si l’on conçoit dans l’espace deux courbes quelconques à double courbure, et qu'une droite constamment parallèle à un plan fixe se meuve de manière qu’elle s'appuie toujours contre ces deux courbes, ce qui déterminera la nature de son mouvement, la surface courbe engendrée par la droite, par cela seul qu’elle résultera de cette génération, aura une propriété indépendante de la nature des deux courbes qui dirigent le mouvement de la droite, et l’expression analytique de cette propriété sera l’équation générale de toutes les surfaces soumises à la même génération.

L'expression de cette propriété peut être obtenue sous trois formes très-différentes : 1° Elle peut ne renfermer aucun vestige de la nature des deux courbes directrices; alors elle contient des différences partielles du second ordre, et elle est délivrée de toute fonction arbitraire. 2° Elle peut ne renfermer des vestiges que d’une seule des deux directrices; alors elle peut être exprimée en différences partielles du premier ordre, mais elle contient une fonction arbitraire, et cela peut avoir lieu de deux manières essentiellement différentes. 3° Enfin, elle peut ne renfermer que des quantités

finies : dans ce cas, elle conserve les vestiges des deux directrices, et elle renferme deux fonctions arbitraires. Nous allons donner toutes ces formes dans l’ordre suivant lequel nous venons de les énoncer.

Pour abréger, de même que nous représentons par p et q les différences partielles du premier ordre de l’ordonnée z, de manière que nous avons

dz = p dx + qdy,

nous représenterons aussi, dans la suite, par r, s, t les différences partielles du second ordre, de manière que nous aurons

dp = rdx + sdy, dq — s dx — tdy,

où l’on voit que, comme on sait, le coefficient de dy, dans la différentielle de p, est le même que celui de 4x dans la différentielle de g. On aura donc aussi

ddz = rdx? + 2s dx dy + tdy*.

Tant que les trois quantités +, y, z sont considérées comme les coordonnées d’une surface courbe, ce qui arrive toujours lorsqu'elles ne sont liées entre elles que par une seule équation, deux quelconques d’entre elles, par exemple x et y, peuvent toujours être regardées comme indépendantes ; leurs accroissements dx, dy sont donc, en général, indépendants et arbitraires. Lorsqu'on est obligé de considérer plusieurs de ces accroissements successifs, on est le maître de donner à chacun de ceux de la même suite la valeur que l’on veut, pourvu qu’on introduise dans le calcul la loi qui détermine la valeur de chacun des accroissements de la suite. La loi la plus simple est de supposer dx et dy constants; et l'introduction de cette loi dans les calculs s’opère en faisant ddx — 0, ddy — 0 :

cest pour cela que ces différences secondes n’entreront dans les recherches suivantes que lorsque nous parlerons des courbes à double courbure.

La surface que nous considérons jouit évidemment de cette propriété, 1° que si par un point quelconque de cette surface on concoit la droite génératrice et un plan tangent, ce plan passera par la droite; 2° que si le point se meut sur la surface, mais sans sortir de la même génératrice, le nouveau plan tangent, qui passera encore par la même droite, coupera le premier dans la génératrice ellemême. C’est cette propriété dont il s’agit d’avoir l’expression.

Pour cela, x, y, z étant les coordonnées du point considéré sur la surface, et x”, y”, z’ celles du point général d’un plan, soit

Ax'+By'+Cz'—o

l'équation donnée du plan fixe mené par l’origine, et auquel la génératrice doit constamment être parallèle. L'équation du plan

tangent à la surface sera, comme on sait, De] 0 [l alé LÀ A ———— pr EEE TE 0

Si par le même point de la surface on mène un plan parallèle au plan fixe, son équation sera

et ces deux équations seront celles de la génératrice lorsqu'elle passe par le point que l’on considère.

Si le point de contact change de position sur la surface, quelle que soit d’ailleurs la direction de son mouvement, le nouveau plan tangent coupera le premier en une droite, dont on aura l'équation

en différentiant l'équation du plan tangent, sans faire varier ni +”, ni y’, niz'; ce qui donnera (x — x’) (rdx + sdy) + (y — y") (sdx + tdy) — 0, d : À dans laquelle la valeur de SL dépend de la direction du mouvement ge du point de contact. Mais si l’on veut que ce point ne sorte pas du plan parallèle au plan fixe, il faut que les quantités dx, dy, dz aient entre elles la relation que donne l'équation de ce plan; il faut donc que la différentielle de cette équation, prise en regardant aussi x", y’, =" comme constants, soit satisfaite, c’est-à-dire que l’on ait A dx + Bdy + C(pdx + qdy) = 0, z d : ; ce qui donne la valeur de . . L’intersection des deux plans tangents consécutifs devant coïncider avec la génératrice, il s’ensuit que les valeurs de x”, y”, z" sont les mêmes pour ces quatre équations; or ces équations doivent avoir lieu pour tous les points de la surface, et par conséquent quelles que soient les valeurs de x, y, z

Fu UE ? 2 dx

d . a . . . V4 X— XL et 7. Donc, si l’on élimine les trois quantités L dx Z—Zz Z3—7%

l’équation résultante (Cg + B}°r — 2(Cq + B) (Cp + A)s + (Op + At —o

sera aux différences partielles secondes et linéaires celle de la surface demandée.

Si le plan fixe avait été parallèle aux z, on aurait eu CÜ— 0 dans l'équation donnée de ce plan; et l’équation aux différences secondes

aurait éte B?r — 2ABs + À°t — 0,

dont tous les coefficients sont constants, et qui, à cause de sa sim-

plicité, paraît être celle par laquelle nous aurions dû commencer

ces nouvelles recherches; mais nous avons cru devoir leur donner dès à présent toute la généralité qui n’augmente pas leur difficulté.

Les surfaces dont l’équation est aux différences secondes ont leur caractéristique comme celles du premier ordre, et l’équation de cette courbe peut toujours être déduite de l’équation différentielle par la méthode générale que nous allons exposer.

De la caractéristique des surfaces dont l'équation est aux différences secondes.

Quelle que soit la génératrice de la surface, et quelle que soit la position dans laquelle on la considère, cette courbe coupe les deux directrices chacune en un point; par chacun de ces points menons à la directrice correspondante une tangente, puis concevons pour une autre surface soumise à la même génération deux nouvelles directrices, mais qui soient telles qu’elles touchent respectivement les premières chacune dans le point par lequel passe la génératrice, en sorte que les deux tangentes soient communes aux nouvelles directrices et aux premières. Cela posé, il est évident que les deux surfaces engendrées se toucheront dans toute l’étendue de la génératrice : elles auront donc une ligne commune qui ne changera pas, lorsque tout ce qui particularise une surface individuelle éprouvera une variation, et qui sera par conséquent la caractéristique. Ainsi, pour avoir l'équation de cette ligne commune, il faudra différentier celle de la surface, en ne faisant varier que le paramètre, dont la valeur particularise la surface mdividuelle. Mais la ligne commune étant une ligne de contact dans toute son étendue, les cinq quantités æ, y, z, p, g ont les mêmes valeurs pour les deux surfaces, et ne varient pas lorsque ce paramètre change; les trois autres quantités r, s, € sont donc les seules qui en dépendent. Donc, pour différentier l’équation de la surface, en ne faisant varier que le para-