S XI

* DE LA SURFACE ENGENDRÉE PAR LE MOUVEMENT D'UNE DROITE QUI PASSE TOUJOURS PAR L’'AXE DES z.

Deux courbes quelconques à double courbure étant données, si l’on conçoit qu’une droite qui passe constamment par l'axe des z se meuve de manière qu'elle s'appuie toujours contre ces deux courbes, elle engendrera une surface qui, par cela seul qu’elle sera soumise à cette génération, aura des propriétés générales, et dont il s'agit de trouver, 1° l'équation aux différences secondes; 2° les deux équations aux différences premières; 3° l'équation en quantités finies, quelles que soient d’ailleurs les deux courbes qui dirisent le mouvement de sa génératrice.

Par un point quelconque de la surface, ayant mené, 1° un plan tangent, 2° un plan par l'axe des z, plans qui se couperont suivant

See

une des positions de la génératrice, et dont les équations seront

plans) +9(r 7e pla — a") —2(y—y)=0, Fe

si l’on conçoit que ce point change de position sur la surface; sans cependant sortir du second plan, le nouveau plan tangent coupera encore le premier suivant la même droite. Il faut donc que dans ces deux équations les coordonnées x”, y”, 3’ de la droite d’intersection ne changent pas lorsque celles x, y, z du point de la surface changent, c’est-à-dire que les différentielles de ces équations, prises en regardant +’, y", z° comme constantes, aient encore lieu; ee qui

donne

1) (r dx + s dy) (x — x°) + (s dx + tdy) (y — Y") 0 1

Le PACS

d’où dy Es y

dx æ

TMD c È 20e NRA Re, UE RS, Mais l'équation y — y’ — A (x — x') se réduit à xy'— x'y; elle

donnera donc Ga Ari

CNE Le

à . , . dy

Substituant, dans l'équation (1), pour “Cette valeur, et pour ErEUR, MU 0!

% 3; SON expression —; on aura

TX* + 28XY + ty” — 0

pour l'équation de la surface demandée.

Nous avons vu que si la différentielle de l'équation aux diffé-

rences secondes, prises en regardant 7, $, { comme seule va-

riable, est

Radr:S ds ET dt — 0,

l'équation de la caractéristique est

Rdy° =Sdxdy + Tdx° — 0; donc, dans le eas présent, l’équation de cette courbe sera x° dy* — 2xy dx dy + y* dx? — 0.

Cette équation a les deux facteurs rationnels égaux x dy — y dx —0. dont l'intégrale y — ax est l'équation d’un plan mené par l'axe des z ; « étant la constante arbitraire qui particularise la position de ce plan. Donc les deux branches de la caractéristique se confondent; donc cette ligne, étant l'intersection de la surface avec le plan vertical mené par l’axe des z, n’est autre chose que la droite généra-

trice elle-même.