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Le plan tangent et le plan mené par l'axe des z, dont les équa-
tions sont
3 un \ A Û J\ 2 \ Cr pPiz—x)+q(y—y)—(z— 3) —0, / (4 XY — XY —0O,
se coupant dans une droite qui ne change pas de position quand le point de contact se meut dans le second de ces plans, c’est-à-dire
Or . , A quand la quantité x est constante, 1l faut que, dans la même hypo-
thèse, deux quelconques des trois projections de cette droite soient constantes. Or, si l’on élimine successivement x’, y’, z' entre les équations des deux plans, on trouve que les équations de ces trois
TN projections sont
af À M A SES ae n CANCER, 2 + Le A" Jp + gr) =237 —I=PLe GT) ÿ 4 A A x'(px + gy) = 2x — x (z — pX — 4Y), x'ÿ — xy = 0, et ces trois projections seront constantes en même temps que J 6
; ss DA HGY PL + GY :
les trois quantités PEACE CESR px — qYy Sont aussi con-
stantes; il faut donc que ces trois dernières quantités soient fonctions
de — Mais, de ces quatre quantités, si trois sont constantes, la qua-
trième est aussi constante, puisque si de leurs quatre différentielles trois quelconques sont supposées égales à zéro, la quatrième l’est aussi : donc il suffira d’énoncer que des trois dernières quantités
deux quelconques sont fonctions de 7; donc enfin les équations
ee px + gY = x (2) ; Z— pr —QY—=# (2),
dont les deux premières se réduisent évidemment à une seule, sont les deux équations aux différences premières de la surface demandée.
Si les fonctions ©, À, 7 sont arbitraires, chacune de ces équations est de la même généralité que l'équation aux différences secondes, et en est une intégrale première.
Si, pour trouver la caractéristique d’après une des équations aux différences premières, on différentie cette équation en regardant p et g comme seules variables, on trouve également pour chacune des
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trois équations x dp + Ydq = 9;
l'équation de la caractéristique est donc
x dy — y dx = 0
comme on l’a trouvé d’après l'équation aux différences secondes.
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La génératrice de la surface étant constante de position quand le plan mené par l'axe des z, et dans lequel elle se trouve toujours, est fixe, c’est-à-dire quand la quantité est constante , il est clair que, dans la même hypothèse, une quelconque des projections de cette droite sur les plans des x, z, et des y, z, est constante. Or, les équations de ces deux projections sont nécessairement de cette forme
2—=yv+f$, 2027 +f;
donc il faut que, dans l’une ou dans l’autre de ces deux équations,
les quantités 6, y, d soient constantes quand + est constante, et que
par conséquent elles soient fonctions de cette dernière. Donc une quelconque des deux équations suivantes
su (2) (2) = r8(2)+7(2)
est en quantités finies celle de la surface demandée.
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Si les trois fonctions &, +, 7 sont arbitraires, ces deux équations sont absolument équivalentes, et chacune d’elles est de la même
généralité que l'équation aux différences secondes, et que chacune
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de celles aux différences premières, et est leur intégrale finie commune. Ces deux équations pouvaient se déduire des trois équations aux différences premières, par le moyen de l'élimination des quan-
tités p et q. | Des deux formes que nous venons de trouver pour l'équation demandée, aucune n’est symétrique; 1l n’y a que leur système qui
le soit. Cela vient de ce que les équations des trois projections della:
sénératrice n'étant pas de la même forme, puisque la projection sur le plan des x, y passe par l’origine, tandis que les deux autres n'y passent pas, nous avons employé la première, avec une quelconque des deux autres, pour déterminer le lieu de la génératrice. Si l’on employait les deux dernières projections, le résultat serait symétrique. En effet, les trois quantités £, y, à sont telles, que si l’une est constante, les deux autres le sont aussi ; et cela doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de cette première : donc l’équation demandée est le résultat de l'élimination de l’indéterminée 8 entre les
deux équations suivantes :
s=adp+p 2=ye8+ 6.
Ce résultat est symétrique, mais a l'inconvénient d’être représenté par le système de deux équations, tandis qu’il peut l'être par une seule de deux manières différentes.
Au reste, quoiqu'on regarde ordinairement comme moins simples les résultats représentés par le système de plusieurs équations, entre lesquelles il faut éliminer des indéterminées, nous aurons occasion de voir, par la suite, que dans un grand nombre de cas ils ont l'avantage de rendre plus sensible la génération des surfaces qu'ils expriment, et de conduire à des constructions plus élégantes.
La surface n'ayant qu'une seule caractéristique, ou, ce qui revient au même, les fonctions arbitraires qui entrent dans ses différentes équations étant toutes composées de la même quantité, s’il
