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telles que, si l’on élimine £ entre les deux premières, on aura, en +, y, 3, l'équation de la surface développable individuelle demandée; et que, si l’on élimine $ entre les trois, on aura, en x, y, 7, les deux équations de l’arête de rebroussement de cette surface. La manière dont nous venons de déterminer les deux fonctions arbitraires pour que la surface passe par deux courbes données est analogue à celle que nous avons employée pour le cas où il n’y avait qu'une seule fonction d’une quantité indéterminée, et elle est applicable, quel que soit le nombre des fonctions arbitraires d’une indéterminée, pourvu que cette indéterminée soit la même sous toutes les fonctions. Nous verrons plus tard que, quand les fonctions arbitraires sont composées de quantités différentes, la détermination de leurs formes dépend d’un autre genre de calcul.

Deux surfaces courbes étant données a volonté de figures et de positions dans l’espace, trouver l'équation de la surface développable qui les embrasse toutes deux, c'est-à-dire qui, leur

étant circonscrite, les touche suivant une ligne courbe.

Nous pourrions réduire cette question à la précédente, en déterminant sur les deux surfaces données les lignes de contact par lesquelles la surface doit passer; mais, comme c’est de ce problème que dépend la détermination des ombres, nous allons le résoudre directement.

Soient représentées par (A) (B) z= (x, y),

| Lu æ ER S

les équations des deux surfaces courbes. données, et supposons

que, par la différentiation, ces deux équations produisent les deux

suivantes :

de = F'(e, y) dæ + F'(2, 7) dr, de et (te Y) dx + fe (4 Ÿ) dy.

Si l’on prend sur la première un point de contact dont la pro-

jection arbitraire sur le plan des x, y corresponde à 4— 4x, y —£, la troisième coordonnée de ce point sera z — F (4, 6), et l'équa-

tion du plan tangent mené par ce point de contact sera (CG): 2— F(a, 6) = (œ — a) F'(e, 6) + (y — 8) PF" (a, 6).

De même, si l’on prend sur la seconde surface un point de contact

arbitraire correspondant à æ — x’, y — f;”, la troisième coordonnée de ce point sera 3 — f(#", 5”), et l’équation du plan tangent

à la seconde surface mené par ce point de contact sera

(Die = fr) (ra!) fl{al et) + (rt p')f" (a! 8").

Si donc on veut que ces deux plans coïncident et ne forment qu'un seul plan tangent commun aux deux surfaces, il faut que les trois coefficients de l’équation de l’un soient respectivement égaux aux trois coeflicients de l'équation de l’autre; ce qui produit les

trois équations suivantes :