MM

parvenir, et dans le plan de laquelle la droite mobile ne se trouve alors. Dans cette position, la droite touchera au même point, et la courbe sur laquelle elle a roulé, et le cercle qui est dans le plan de la spirale. Si donc on conçoit qu’elle roule désormais sur la circonférence de ce cercle sans cesser de lui être tangente, il n’y a aucun point sur la spirale génératrice avec lequel le point décrivant ne puisse se confondre : donc il n’y a aucun point de la surface engendrée sur lequel le point décrivant ne puisse se transporter en vertu de ses deux mouvements; donc ce point est générateur de la surface.

De l'équation de la surface en quantités finies.

D’après la génération que nous venons d'exposer, si l’on considère une normale quelconque et le plan de la spirale qui la contient, il est évident qu'en nommant L l'arc de l'intersection des deux surfaces des centres, étendu depuis le sommet de la surface

y engendrée jusqu’à son contact avec le plan de la spirale; M lare du grand cercle de la sphère, étendu depuis son contact avec la courbe précédente jusqu’à son contact avec la normale ; et N la partie de la normale comprise entre la surface engendrée et son point de contact avec la sphère, on aura

Il ne s’agit donc, pour avoir l’équation de la surface, que de trouver les expressions de ces trois quantités.

Or la partie de la normale que nous représentons par N forme, avec le rayon vecteur et le rayon de la sphère, un triangle rectangle ; donc, si ce rayon est exprimé par &, on aura

N= Va y te ei.

Pour trouver la quantité L,, soit at +YPa+z—=0O

l'équation du plan de la spirale, dans laquelle « est la quantité qui détermine la position du plan, et où la fonction +, qui dépend de la nature de la surface conique, est, par conséquent, arbitraire ; si on la différentie en regardant 4 comme seule variable, l'équation

æz+y® —0,

que l’on obtiendra, appartiendra à la droite de contact du plan de la spirale avec la surface conique; et l’équation de cette surface sera le résultat de l'élimination de # entre les deux équations précédentes. L’équation de la sphère étant

x° + y? st z? — a.

il s'ensuit que ces trois équations, après l'élimination de #, exprimeront l'intersection des deux surfaces des centres de courbure.

C’est donc dans ces équations qu’il faut prendre les valeurs de dx, dy, dz, pour les substituer dans la quantité

L = Rp Vdx? + dy* + dz*.

Or, si de ces trois équations on tire les valeurs de x, y, z, en faisant, pour abréger,

1+ p? + (p — ag) = G*, on trouve

/ Gx — a®, Gy bre ds

Gz — a(p — ag).

res 207 ——— Différentiant et faisant encore, pour abréger,

1+ a + op — h?, on à

G°dx — ag"da[hk°— «(a +"), G'dy = ag'da [/? g — o (x+09')|, G° dz — a"da [ — (a+ op')|.

Carrant et ajoutant, on trouve, réduction faite, G'(dx* + dy + dz*)— ah 9"? da”.

Donc, en substituant dans la valeur de L,, on aura

c'da Vi + a+?

Ste 3 Le .

Ep (px gl)

Quant à la troisième quantité M, il est évident qu'elle est égale à l’are du grand cercle de la sphère compris entre les droites menées du centre aux deux points de contact de la normale avec les deux surfaces de la sphère et du cône.

Soient x”, y’, z’ les coordonnées du point de contact de la normale avec la sphère, et x”, y”, z” celles du point de contact de la même droite avec la surface conique ; ces deux points de contact et le centre étant les sommets des trois angles d’un triangle rectangle, il est clair que l’on aura

«a M= «are [cos — — = |: