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elle-même tangente; puis, par le progrès de la rotation du plan, elle s’en écarte de nouveau sans pénétrer dans l’espace vers lequel la surface conique tourne sa concavité, espace qui, comme celui de la sphère, est interdit à la surface engendrée. La surface conique étant le lieu des centres de la seconde courbure de la surface engendrée, il s'ensuit que, pour tous les points de cette seconde arête de rebroussement, le rayon de la seconde courbure est nul.

Des deux arêtes de rebroussement que nous venons de considérer, la première, c’est-à-dire celle qui se trouve sur la surface de la sphère, est indépendante de la génération ; elle n’existe que parce que la génératrice elle-même a un point de rebroussement. Pour toute autre génératrice qui n'aurait pas de point de rebroussement, la surface engendrée n'aurait pas cette arête. Mais la seconde arête de rebroussement, celle qui se trouve sur la surface conique, est inhérente à la génération ; car il est évident que, la génération restant la même, si la génératrice changeait de nature, l’arête changerait de position sur la surface conique, sans cesser d’être arête de rebroussement.

Cependant, lorsque la génératrice ne s’étend pas à l'infini dans son plan, cette seconde arèête peut devenir imaginaire pour une certaine partie de l’étendue de la surface, et même, dans un cas particulier, elle peut devenir entièrement imaginaire, ou bien elle peut se réduire à un point unique, qui est alors un point de striction de la surface (c’est ainsi qu'on peut appeler le point par lequel une nappe de surface passe tout entière pour se convertir en une autre). Ce cas particulier a lieu lorsque la surface conique autour de laquelle roule le plan générateur se réduit à une ligne droite ; alors la surface engendrée est de révolution autour de cette droite, comme axe. Dans ce cas, si la génératrice est tout entière d’un côté de l’axe, l’arête de rebroussement est entièrement imagi-

maire, et si la génératrice coupe l’axe sous un angle oblique, le 32;

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point de cette intersection est un point de striction. Tel est le som-

met d’une surface conique.

De la ligne des courbures égales et de méme signe de la surface.

Nous avons vu que la surface n’a aucune normale qui ne touche en même temps, et la surface sphérique, et la surface conique; que ces deux points de contact sont les centres des deux courbures du point de la surface auquel appartient la normale, et que la distance entre ces deux points est la différence des deux: rayons de courbure.

Actuellement, considérons une normale quelconque, et concevons que le plan générateur qui passe par cette normale étant fixe, elle se meuve dans ce plan, sans cesser d’être normale, jusqu’à ce que le point de son contact avec le cercle qu’elle touche sans cesse soit le même que celui du contact de ce même cercle avec la surface conique. Dans cette position, la normale touchera la sphère et la surface conique dans le même point : les centres des deux courbures du point de la surface auquel elle appartient alors, seront donc confondus, et les deux courbures de la surface en ce point seront égales entre elles et dans le même sens. Or cette normale, qui touche dans le même point les deux surfaces des centres de courbure, touche aussi dans ce point la courbe qui est l’intersection de ces deux surfaces : de plus, ce que nous venons de dire pour cette normale aurait également lieu pour toute autre qui serait tangente à l'intersection de ces deux surfaces des centres; donc, si l’on conçoit qu’une droite se meuve sans cesser d’être tangente à l’intersection de la surface conique et de la sphère, cette droite tracera sur la surface engendrée une courbe pour chacun des points de laquelle les deux rayons de courbure de la surface seront égaux entre eux. C’est cette courbe qu’on peut appeler la ligne des courbures égales et de méme signe. Mais la tangente, dans son

mouvement, est partout normale à la surface engendrée, et, par conséquent, normale à la courbe qu’elle trace sur cette surface ; donc la ligne des courbures égales et de même signe est la développante de l'intersection des deux surfaces des centres.

Du sommet de la surface.

Il est facile d’apercevoir que la ligne des courbures égales, après avoir coupé obliquement toutes les lignes de l’une et de l’autre courbure, vient enfin rencontrer sa développée en un point qui est pour elle un point de rebroussement. Ce point, qui est sur la surface engendrée, puisqu'il est sur la ligne des courbures égales, est aussi sur les deux surfaces des centres, puisqu'il est sur leur intersection : donc, pour ce point, les rayons de courbure de la surface sont non-seulement égaux entre eux, mais ils sont encore tous deux nuls. Ce même point de la surface engendrée, en tant qu'il est sur la surface de la sphère, doit être sur la première arête de rebroussement ; en tant qu'il est sur la surface conique, il doit être sur la seconde arête de rebroussement ; il est aussi sur la ligne des courbures égales : donc, c’est par ce point que passent les trois lignes les plus remarquables de la surface ; savoir : ses deux arêtes de rebroussement, et sa ligne des courbures égales.

De plus, ce point est un point de rebroussement de la première arête de rebroussement ; car, dans le mouvement du plan générateur, le point de rebroussement de la spirale qui engendre cette arête s'approche d’abord de la surface conique, la rencontre perpendiculairement, et se réfléchit ensuite suivant la direction contraire. Il est aussi le point de rebroussement de la seconde arête de rebroussement; car cette seconde arête n’est autre chose que la spirale génératrice pliée sur la surface conique ; et le point que nous considérons est le point de rebroussement de cette spirale. Nous avons vu que ce point est aussi le point de rebroussement de

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la ligne des courbures égales : donc il ést le point de rebroussement commun aux trois lignes principales de la surface.

Il suit de là que ce point est un véritable sommet de la surface ; non pas dans le sens qu’on a coutume de donner à ce mot pour une surface conique qui n’a qu'un point de striction au delà duquel se reproduit une autre nappe de la surface égale et semblable à la première, mais dans le sens que ce sommet est une pointe au delà de laquelle la surface devient imagmaire.

Jusqu'ici nous avons parlé de ce sommet comme s’il existait seul de son espèce sur la surface; cela n’est ainsi que dans le cas particulier où la circonférence du grand cercle de la sphère est multiple de celle de l'intersection des deux surfaces des centres : dans tout autre cas, il peut se trouver plusieurs sommets semblables; et même le nombre de ces sommets devient infini, lorsque les deux circonférences sont incommensurables.

Comme ce sommet est le point le plus remarquable de la surface, nous le prendrons pour origine dans les développements que nous

allons exécuter.

De la génération de la surface par un point susceptible de deux mouvements différents.

Concevons une droite tangente à l’intersection des deux surfaces des centres, et dont le point de contact avec cette courbe soit le sommet même de la surface engendrée; puis supposons que la droite roule sur cette courbe sans cesser de lui être tangente. Cela posé, si l’on considère sur cette droite, comme point décrivant, celui qui d’abord était confondu avec le sommet de la surface, nous avons vu que ce point parcourra la ligne des courbures égales ; et parce que cette ligne traverse obliquement toutes les lignes de l’une et de l’autre courbure, il s'ensuit qu'il n’y a au-

cune spirale génératrice sur laquelle le point décrivant ne puisse

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