Y ——4*, VE

on aura (a+ 7" + 2) 0 = at [1 +9"? + (e—a9)];

et il ne restera plus qu’à trouver les valeurs de +’, y”, 3’, pour les substituer dans +’.

Mais pour le point de contact de la normale avec la surface de Ja sphère, on a les trois équations suivantes :

x? + y" Me TU

ax" + pY' + 7°

XL + YY' + 22

qui expriment, la première, que ce point est sur la surface de la

sphère; la seconde, qu'il est dans le plan de la spirale; et la troi-

sième, qu'il est dans le plan tangent à la sphère mené par le point

de la surface engendrée. Tirant les valeurs de x”, y”, z’, faisant, pour abréger,

CRUE o°

et observant que le point de la surface étant sur le plan de la spirale, on doit avoir

al + QY + ZT — O; on trouve

hu°x'—=hax+a(y — oz IN ere

hu°y = hay —a(x — az Nes LE he

hu°z = ha°z + a (Ex — ay) Va — 4°

mettant ces valeurs de x”, y”, z’ dans w’, et faisant encore, pour abréger, ! / XD —Y+z(p— ap) —0, on à

u°@ = &'œ + ah(x g'}Vu* Tr

Donc, en substituant cette valeur de +’, on aura

au + h(x + yo") Vu? — a”

et, par conséquent, la valeur de M sera

.M—= «.arc cos au+h(r+yg) Vue ur +g®+ (gag)

Donc enfin, mettant pour L, M et N leurs valeurs dans l'équation MEN, on aura

Vu? — a?

g'daVi+a+o? ae PE aw+h(x+y Nav 0 Ep (p— a)" n°149 + (p— av")

et parce que le point de la surface engendrée se trouve dans le plan de la spirale, on a d’ailleurs pour lui,

at + ÿO+E = 0;

il s'ensuit que l'équation de la surface engendrée est le résultat de l'élimination de 4 entre les deux équations précédentes.

Lorsque l'équation d’une surface est représentée par le système de deux autres équations, entre lesquelles 1l faut éliminer une indeéterminée #, aucune de ces deux équations n’est nécessaire individuellement ; et il existe une infinité d’autres systèmes d’équations, qui, par l'élimination d’autres indéterminées, produisent la même équation de la surface. Les deux équations que nous venons de trouver, et auxquelles nous avons été conduits directement par la propriété énoncée dans la définition de la surface, ne sont ni aussi simples ni aussi fécondes que celles que nous allons obtenir par une autre considération.

D'une autre manière de trouver l'équation en quantités finies.

Nous avons vu que la surface est engendrée par le mouvement de la spirale dont le centre est au sommet d’un cône, et dont le plan roule sur la surface de ce cône. Cherchons d’abord l'équation de la spirale considérée dans son plan et rapportée, par des coordonnées x et y, à deux axes rectangulaires menés par le centre du cercle.

Si, par un point quelconque de la courbe, on conçoit une normale, elle touchera la circonference du cercle dont la spirale est la développante en un point; et si l’on représente par +”, y” les coordonnées de ce point de contact, l'équation de la normale, en tant qu'elle est tangente au cercle en ce point, sera

D EE Ut

et parce que le point de la courbe est un de ceux de la normale, cette équation aura aussi lieu pour lui.

Mais les quantités x” et y” sont les sinus et cosinus de l’arc de

cercle dont le développement est égal au rayon de courbure de la spirale; et ce rayon de courbure étant le côté d’un triangle rectangle dont le rayon vecteur est l’hypoténuse, et dont le rayon du

cercle est l’autre côté, son expression sera V L°+y* — a.

On aura donc x! = sin pau A ep Va + y°— a |; y'= cos[— A + Va*+y— a]:

équations dans lesquelles À est une constante arbitraire, au moyen de laquelle l’origine du développement du cerele, ou le sommet de la spirale, peut être porté partout où l’on veut.

Si l’on fait, pour abréger, Var + 7° — a? = u, l'équation de la spirale, considérée dans son plan, sera

æ sin (4 — À) + y cos (4 — À) — a*°.

Cela posé, concevons que la spirale, dans son mouvement, entraine avec elle la droite sur laquelle nous venons de compter les x ; cette droite engendrera une autre surface conique dont le sommet sera au centre de la sphère, et dont la nature dépendra de la première surface conique que nous avons considérée jusqu'ici, puisqu'elle en sera une développante : en sorte que si l’équation de la première surface conique était donnée, celle de la seconde ne pourrait s’obtenir que par intégration. Mais dans le cas général que nous traitons, la première surface conique était arbitraire; done, si la seconde est désormais la seule que nous considérions; nous pouvons aussi la regarder comme arbitraire et primitive.

Soit donc ? — Ÿ (£ ) l'équation de la nouvelle surface conique,

& dans laquelle la fonction arbitraire ® n’est pas la même que celle que nous avons précédemment exprimée par , et qui en est une

mu. OX —

dérivée; si l’on fait æ — 47, cette équation sera le résultat de l’élimination de # entre les deux suivantes :

T—az, Y — Paz.

Actuellement, si, d’un point quelconque de la surface engendrée, on abaisse une perpendiculaire sur la surface conique, cette perpendiculaire sera la quantité que, dans l'équation de la spirale, nous avons appelée y, et nous l’exprimerons désormais par Ÿ; la droite menée du sommet du cône au pied de cette perpendiculaire sera ce que nous avons appelé x, et nous la représenterons désormais par X. De plus, le rayon de courbure qui, dans

l'équation de la spirale, était V x* + y* — a”, est évidemment ici

Vx° + y? + 3° — a*; donc, si l’on fait, pour abréger, &+y* +z — a = U?, l'équation de la surface engendrée sera X sinm(U — A) + Y cos(U— A)— a’,

dans laquelle il ne s’agit plus que de trouver les valeurs de X et Y. Pour cela, soient x”, y”, z° les coordonnées du pied de la perpendiculaire ; comme ce point est sur la surface du cône, on aura

TE 9 Cure

et l’on aura évidemment

Pa (ee (y y) Ex), (x — 43} +(y—Dz) + (z— 2}.

Mais la perpendiculaire Y étant un minimum, sa grandeur ne doit pas varier lorsque son pied varie, soit en vertu de la variation

Fee.

Re PPS PERL

seule de z, soit en vertu de celle de #. Done, les différentielles de Y prises successivement, en regardant z° et « comme seules variables, doivent être nulles. On aura donc les deux équations

(x — az')a+ (y — Dz)D + (z — 3") —0o, (x— az) + (y —%Dz)d —o, qui, en faisant, pour abréger,

ax +®y +z — M, 1 + a +D— h?,

deviennent z' 1 = M, et ! 4 / z (a+ DD )—7yD + x.

Ces deux équations, par l’élimination de z”, donnent d’abord une première équation

(A) k° (x + y®") —M (x + dd)

à laquelle nous reviendrons.

Substituant pour z’ sa valeur dans celles de x” et y”, on aura