De là 'je conclus qu'uni' fraction ne change poini

de Daleur , quand on multiplie ou quon divise ses deux % termes par un même nombre,

71. £t pu^^qmune fraction ne saurait changer de vdeur par la nmltiplication oii la division^ de ses deux termes par un même nombre, et que ces termes ne sont autre chose qu'un dividende et un diviseur (64); et puisque d'ailleurs toute expression fractionnaire peut être assimilée à une fraction , j'en conclus encore qu'on peut multiplier diviser un dim'dende

' et un tUpiseur par un même nombre, sans altérer la valeur du quotient

72. Si Ton s'est bien pénétré de ce qui vient d'être exposé un peu plus haut, et notamment au n^ 69;

digitizeû L> ^oogle

si I on conçoit hlcn l'idée qu'on attache à une fraction , et qu OB se représente d'une manière bien nette les fonctions du liumérateuv et du dénominateur^ d'après lesqudles il résulte que les mêmes opération^ laites sur Tun et sur l'autre ^ produisent sur la quantité représentée par la fraction des résultats tout-à- £iit contraires ; il sera facile de se rendre raison des conséquences suivantes qui en dérivent immédiatement! et qui tieiiiient de si près à Taxiome qu'elles n'ont besoin d'aucune démonstration particuliàc.

73. Une fraction est d*autant plue grande , que son numérateur est plus grandy ou que son dénfimituUeur est plus petit.

Ainsi if est plus grand que ff ; ff est plus grand que.Tf y et) à plus forte liaison, ^ est-il plus grand queff.

74. Une fifuction est d'auiani phts petite que son numérateur est plus petit, ou que son dénominateur est plus grand.

Ainsi -H est plus petit que ; ^f est plus petit que ^9 et, à pins forte raison, 77 estâ plus petit

qneH-

7 5. Pour rendre une fraction un certain nombre de Jois plus grande , c^est-à-dire pour la multiplier par un certain nombre , il suffit de multiplier son numé'

rateur, ou de diviser san dénominafeur par ce nombre

ntetne.

Pour rendre , par exemple , k fraction — , 2 fois , 3 fois , 4 fois plus grande , je puis multiplier son numérateur 5, par 2, par 3, par 4> qui me donne pour produits, 77, if, ou bien encore, je puis

(') Oa appelle axiome une proposition si évidente par elle-méiuey qiM rénoncé leal «oflit pour eu faire aperceroir la vérité.

diviser successivement son dénominateur 24 j par 2, par 3 et par 4 ; d'où il résulte les trois fractions suivantes, TT» Tï 7> respectivement égales aux trois précédentes. Quand les dénominateurs sont divisibles par les nombres proposés , le dernier nloyen est préfâable, en ce qu'il ménage des résultats plus simples.

76. Pour rendre une fraction un certain nombre de Jais plus petite^ c^ est-a^dire pour la diviser par un cer^

tain nombre , il suffit de diviser son numérateur ou de mukipliêr son dénomindteiu* par ce nombre même*

Pour rendre, par exemple, la firaction -ff-y a fob, 4 fois, 6 fois plus petite, il est indifférent de diviser son numérateur 12, par 2, par 4? et par 6 (ce qui donne -r^y -nr)» de multiplier son dénominateur i3 par ces mêmes nombres 3,4^6; mnltîplîcation d*où résultent les tn»^ fractions suivantes, TT> T7î fï) respectivement égales aux trois précédentes. Quand les numérateurs sont divisibles par les nombres proposés , le premier moyen est préférable , en ce qu'il ménage des résultats plus simples.

77. n suit de ce qui vient d'être exposé (7$) que, supprimer le dinominateur d^une fraction y c*esi la muU tipUer par le nombre même qu'il ej^rime. Ainsi, si dans y je fais disparaître le dénominateur 5, le résultat sera '6 entiers, et la fraction proposée se trouvera multipliée par 5. '

En effet, supprimer le dénominateur d une fraction revient' à le réduire à l'unité , en le divisant par luimême, et dès -lors le numérateur n'exprimera plus que des entiers (68). Mais diviser le dénominateur par lui-même , ou multiplier le numérateur par ledit dénominateur (75), c est multiplier la fraction, dans les deux cas , par le nombre qu'exprime ce dénominateur. Donc, etc.

De la rédudion des fractions à un même

dénominateur.

78, Pour réduire deux fractions a un même déno^ mùuiteur, il faut mukipUer le» deux termes de eJuteune par le dénominateur de ViaUre.

Si , par exein[^e , Ton yeut réduire à un mémé dénominateur ces deux fractions y, 7, je multiplie d'abord les deux ternies de la première fraction 2 et 5, i chacun parle dénominateur 6 de la seconde fraction, 1 et j'ai pour produit la nouvelle iraction parUûtement égale à la iraction | (70).

' ' Je multiplie pareillement les deux termes de la seconde fraction 3 et 6 , chacun par le dénominateur 5 , de la première , et il en résulte la nouTelle fraction jf ♦ parfaitement égale à \ (70). Par ce moyen , j ai à substitua aux deux fractions proposées 7 , ces deuxci ^, 77, qui ont le même dénominateur , cl quj lenr^ sont respectivement égales.

79. S'il s'agissait de réduire plus de deux fractions au même dénominateur , // faudrait multiplier les

^ deux termes de chaque fraction , par le produit résul^ tant de la mttltqdiâatian des dénùminateurs de toutes les autres fraetians.

Ainsi, si Ton me propose de réduire à un même dénominateur les trois fractions |, y, |, je commence d'abord par multiplier les deux termes ^ et 5 de la première fracdon, par le produit 56 des dénomina/-' ttturs ^ et 8 des deux autres fractions ^ et 3 en résulte la fraction tIt égale à | (70).

Je multiplie de même les deux termes 4 7 de la seconde fraction , par le produit résultant de la multiplication des deux dénominateurs 5 et 8 entre ^ eux) d*où naît I9 fraction ^ égale à 7 (70).

Enfin je multiplie encore les deux termes 3 et 8 de Ja dernière fraction par le produit 55 y résultant de la multipUcation des deux dénominateurs 5 et 7 entre

eux; et il en résulte la fraction ^ égale à ^ (70^

Et , en récapitulant dans leur ordre naturel ces produits successifs qui ont servi à former ces nou- Tdles fractions, on a jes trob suivantes 77;9-n7,7ÎT> respecthrement égales aux trois fractions proposées - ^ et -

11 est aisé de se convaincre que , que! que soit le nombre de fractions sur lequel on opère, les nouveaux dénominateurs ne pourront pas manquer de devevir égaux entre eux ^ puisque chacun de ces dénominateurs n*est autre chose que le produit résultant de la multiplication de tous les, dénominateurs entre eux des fractions primitives.

De la réduction des /motions à leur plus simple expression.

80. Une fraction est souvent susceptible d être réduite à de moindres termes; c'est-à-dire d'être ramenée à une expression plus simple , en dirâani; ses ' deux termes par un même nomhre. Soit la fraction -~ , par exemple : je vois au premier coup d'œil , qu'en divisant son numérateur et son dénominateur, chacun par leur plus grand diviseur commun 4 7 peut être réduite à la fraction j qui lui est égale, qui offre Tavantage d'être exprimée par déplus petits nombres, et dont, par conséquent , Téraluation devient d'autant plus commode.

81. Mais cette facilité à découvrir le plus grand ' nombre qui divise exactement les deux termes d'une fraîctiôn, est bornée aux cas où ces termes sont euxmêmes de petits nombres et des multiples commodes :

sans quoi l'on est obligé de recouiir tout de suite an moyen direct de trouver ce plus grand diviseur com* nnuii si Ton ne veut 8*exposer au double inconVé* nient d'aHer en tâtonnant, et d'en être souvent pour

les fi'ais de longs et inutiles essais. Nous ferons connaître tout - à - l'heure le procédé dont nous voulons parier. Cependant, quand on croira pouvoir Tâuder, on se dirigera d*après les conûdëratioQs suivantes.:

Tout nombre pair est divisible par a ; pur conséquent si les dèux termes d'une fraction sont des nombres pairs , il faut diviser d'abord par 2, et continuer ainsi la division tant qu'elle pourra se faire exactement. D*après ce principe, je vois que la Iractiùn ^ • se réduit successivement à

Tout nombre terminé par zéro est divisible par 10 et par 5 ; et tout nombre terminé par 5 est divisible par 5. Par conséquent I7 se réduisent à j, et.

3^ Tout nombre dont k somme des chiffres igoutés ensemble lait '3 où un multiple de 3, c'est-à-dire

fait 6,9,12, i5 , etc. , enfin un nombre exact de fois 3, est divisible par 3. Ainsi les deux termes de la fraction sont divisibles par 3 , parce que la somme des chiffres i , a, 6 du numérateur est 9; que celle des chiffres du dénominateur est la, et que 9 et la sont des multiples de 3. Je réduis donc la fraction proposée à

4** Tout nombre dont la somme des chiffres ajoutes ensemble fait 9 ou un multiple de 9 , c'est-à-dire un nombre eiact de fois 9 , est divisible par 9. Ainsi les deux termes de la fraction m sont divisibles par 9, parce que la somme des chîffires 7 , 5 , 6 du numérateur est 18; que celle des chiffres du dénominateur est 37, et que 18 et 27 sont des multiples de 9. Je réduis donc 7I7 à •;Vr- • *

Quand on a ^uisé la division par a, il niut essayer successivement des nombres premiers tels que 3,5,

7 , II, etc. ; c'est-à-dire de ceux qui n'ont d'autre . diviseur qu'eux-mêmes ou l'unité. Car on sent fort •bien qu'après avoir essayé en vain de diviser par 2 et par 3 y par exemple, il serait* tout aussi inutile d*essayer par 4. et par 6 ; puisque si ces secondes divisions pouvaient avoir lieu , à plus forte raison les premières auraient-elles réussi.

Il est bon d'observer en passant que , quoique tout nombre divisible par 9 soit divisible par 3, tout nom* bre divisible par 3 n'est pas divisible par 9.

83. Mhis , ^encore une fois , le meilleur moyen de réfluire une l'raction à sa plus petite expression , est ti en diviser les deux termes par le plus grand diviseur commun qu ib puissent avoir : et voici le procédé à # suivre pour trouver ce diviseur, lorsque la fraction proposée est susceptible de réduction.

Divisez le plus grand par le plus petit terme ; si la division se fait exactement, ce plus petit terme sera le diviseur cberché; si, au contraire, cette prenûère division Jaisse un reste , divisez ce plus petit terme par ce reste , et si la division se &it exàctement/cc premier reste sera le diviseur demandé; si cette seconde division laisse encore un reste , divisez le premier par ce second reste , et poursuivez successivement cette division des restes précédents par les derniers restes , jusqu'à ce que vous panr^iez à avoir un quotient ^ct ; et, dans ce 'cas, le dernier reste sera le diviseur den^andé. Si, en dernière analyse, on trouvait Tunité pour reste, ce serait une preuve que la fraction est irréductible. Éclaircissous. le précepte par un exemple, et siqpposons qull s'agisse de rédiiire à sa pHis sîmp^ expreaj^ion > ^c|ion '

Je coipmence par div^r le plus grand terme ai 17

par le plus petit 8o3 , je trouve 2 pour quotient , et Si I de resté ; je divise le plus petit terme 8o3 par ce premier reste 5ii, le quotient est plus apa de reste ; je divise 5.i k par ce second reste 292 , et je trouve pour quotient i, plus 219 de reste ; je divise encore ce second reste 292 par le troisième reste 219, ce qui me donne i pour quotient avec de reste; enfin, je divise le reste précédent a 19 par le qua* trième reste 78 ; la division se fiiit exactement , puisque je trouve 3 pour quotient sans aucun reste ; et j'en conclus que le dernier reste y'd est le plus grand diviseur commun que puisse avoir la fraction proposée ; et que, par. conséquent , en divisant ses deox termes par ce . même noiiibte 73 , elle peut être ré^ duite à qui est l'expression la plus simple qu'on puisse lui substituer, sans en changer la valeur.

En reprenant dans un ordre inverse les divisions successives qid nous ont conduit à ce résultat , il est bien facile de comprendre comment 73 doit diviser les deux termes 8o3 et 3117 de la firaction proposée* En effet, on vient de voir que 73 divise 219, îl^oit donc diviser 292 qui est composé de 219 et de ^3 ; il doit diviser pareillement 5ii qui est composé de 292 et de axp; il doit diviser encore 8o3 qui est composé de 5i X et de a9a; enfin , toujours par k même raison , il doit diviser ai 17, puisque ai 17 est composé de deux fois 8o3 , et de 5 1 1 . >

En reprenant actuellement la même opération dans son ordre naturel , il tout aussi facile de prouver que 73 e^t le plus grand diviseur commun des deox termes de la fraction proposée. Car il ne peut y avoir, de diviseur commun entre ai 17 et 8o3 qui ne le soit tntre 8o3 et 5ii ; il ne peut y en avoir non plus entre 8o3 et 5ii qui ne le soit en même temps entre 5 II et a^a; il ne peut y en avoir encore entre 5ii

et 292 qui ne le soit aussi entre 292 et 219 ; enfin, il ne peut 7 en avoir entre 292 et 219 qui ne le soit pareillement entre 219 et 73. Mais entre ces deux der^ niers nombres, il est de la dernière évidence qu'il ne

peut y avoir de plus graud diviseur comuiuii que ^3. Donc, etc.

De l'addition ^et de la sajubstraction des . ^ JractioM.

815. Pour ajouter plusieurs fractions , ou rctranclier une fraction d^ime,autre^ il faut y quaiuLelUs n*ont pas un même dénominateur <f commencer par les y réduire ^ ' et donner ensuite à la somme ou h la déférence de leurs numérateurs , le dénominateur commun.

Ainsi je trouve, d'après ce principe, que la somme des deux fractions > et | est |, et que leur diilérence est |.

84* Si c'était sur des nombres mixtes qu'on eût à opérer, c'est-à-dire sur des entiers accompagnés de ûnctions , il fmidrait commencer par convertir les entiers on tractions de même espèce que celles auxquelles ils sont joints^ et on procéderait ensuite selon qu ou vient de le presaire (83).

S'il s ag^t 9 par exemple , de sotistraire 5 7 de 8 je réduis d'abord en treizièmes les 8 entiers , en multipliant 8 par i3, et j'ai en tout d'une part; je réduis de même les 5 entiers en neuvièmes , en multipliant 5 par 9, ce qui me donne ^ d'une autre; je réduis ensuite ce^ deux expressions fractionnaires au même dénominateur (78) ; et , par ce moyen, j'ai à retrandier fff de 777 ; et , en effectuant la soustraction , je trouve 7-77 pour reste.

85. Quand les tractions qui font partie de ces nom- . bres mixtes ont un même dénominateur, il est inutile

(ïy joindre les entiers, lors même que la fraction à soustraire excède lautre. Ainsi, si j'ai 4 t ^ soustraire de 8 7 , comme je ne puis retrancher j de jf j empreinte sur les 8 entiers une unité qpi vaut 7; ce qui me faut en tout ~, desquels retranchant f^, il reste | : retranchant ensuite 4 de 7 seulemçnt qui demeurent après l emprunt, j'ai pour reste total 3 f.

De la muUipUcation des f radions entre elles, et, des entiers par une fraction. '

86. Pour multiplier- ûne fraction par une autre, il faut multiplier les deux numérateurs entre eux , et don-ner pour dénominateur à ce produit celui des deux dé» nohdnateurs, La nouvelle fraction gui en ràsulterasera le produit cherché.

Ainsi , si j*ai à multiplier 7 par ~ , je multiplie a par 4 , ce qui me donne 8 pour numérateur de la nouvelle fraction; je multiplie de même 3 par 5 qui font bien i5 , que je donne pour dénominateur au premier produit 89 et la fraction exprime lé produit de f multipliés par |$ et en Voici la preuve :

Si j'avais \ à multiplier par 4 au lieu de c'est-àdire qu'il s'agit de rendre la fraction f 4 fois plus grande 9 tout se bornerait à multiplier par 4 le numé* rateur a du multiplicande (75), et le produit serait |; ndais ce n'était point par 4 entiers que j'avais à multiplier , c'était par 7, c'est-à-dire par une quantité cinq fois plus petite ; ce produit | est par conséquent 5 fois trop grand, il s'agit donc de le rendre 5 fois phis petit : c'est pourquoi je multiplie son dénominateur 3 par 5 ( 76) , et la fraction ^ est le produit exact que je cherchais , et qui est formé, comme on voit , par la multiplication des deux numérateurs et des deux dé-

mmuiiateun des deux fractions proposées ; ce ^ni ëtaii prédsëment l'objet de k démonstration.

87, Puisqu'on peut mettre tout entier sous la fortne de fraction , en lui donnant l'unité pour dénominateur (68), il est évident que le principe relatif à la multiplication 4^ deux fractions- entre elles sapplkpie tout natoreUement à la multiplication des entiers par des fractions.

Ainsi , si j'ai 5 à multiplier par "^f , par exemple , ou, ce qui est la même chose, y, à multiplier par , la multiplication d'un noni1>re par l'unité ne pouvant rien ajouter au multiplicande ) le produit sera ' V4 ; et par conséquent on peut dire que, m ginétal ^ pour mukqfUmr un entier par une fraction , il faut multiplier cet entier par le numérateur de cette fraction ^ et con» • server son dénominateur au produit.

Le même principe serait appUcabje à la multiplia ' cation des fraction^ par des entiers, mais le procédé dqa indiqué (^5) oifire un moyen encore plus complet.

88. Si Ton avait à multiplier des nombres mixtes entre eux, on préparerait la multiplication comme

. nous TaTons déjà indiqué (84)9 et lopénition se troù- ▼erait ramenée ainsi au cas précédent.

89. Nous Tenons de donner le procédé générique pour la multiplication des fractions; mais il est des cas où Ton peut employer des moyens plus expéditifs : ainsi , si 1 on me propos de multiplier ^48564 francs par au lieu de multiplier d'abcwd le nqinbre pro* posé par 19 , et d'en diviser ensuite le produit par a4^ pour Tévaluer (67) ; j'abrège l'opération , en la ramenant à une multiplication par parties aliquotes , dont nous parlerons incessamment, et je raisoune ainsi :

Multiplier ^48564 francs par ~, c'est prendre le nombre proposé ^ de fois seulement. Or, puisque

pour 7j ou I entier, ic produit ne serait autre chose que le multiplicande lui-même, je le décompose d*abord en pm$ en et puis, enfin en ^ comme ci-après : ' # . . -

1 243^2 p'. ^ la ~ dû multiplicande.

621 41 p'.^la^diiprod. précëd. ou le ^ du multip^. I o 3 5 6 ~- p ■ . -îy le j du dernier produit.

Par ce moyen j ai pour produit total et pour ré^ ponse, 196779 7 ftancs.

Pareillement , et toujours d'après le même raisonnement , s'il s'agit de multiplier entre elles les deux fractions suivantes, ~y X fy, j'opère ainsi :

Pour je prends la moitié de 777 qui est ... . 7—.

Pour les 77 restants , je prends la moitié de œ produit qui est •

£t , additionnant ces deux produits ( 83 ) , je trouve pour produit total

De la division des /raclions entre elles, et des entiers par n^e fraction.

(^o. Pour diviser une fraction par une autre , il faut multiplier le numérateur de la première par le dénom^ naieur d^i la seconde ^ et le dénominateur de la première par le numérateur de la second : la nouveUe fraction qui en réstdtera sera le quotient cherché.

Ainsi, si j'ai diviser par ^, je multiplif le numérateur 3 du dividende par ic dénominateur 5 du diviseur, ce qui me donne i5 pour numérateur de la

nouvelle fraction j je midtipliè de même le dénominateur 4 du dividende par le numérateur a du diviseur, et du produit 8, j'en fais le dénominateur du premier produit 1 5 ; et la nouvelle iraction ^ exprime le ^otient de | divisés par |.

En effet, si j'avais 7 à diviser par a entiers, c'esf-àdire à rendre la Iraction f a fois plus petite, il suffirait de multiplier par 2 son dénominateur 4 (76). Mais • ce n'était point par 2 entiers que je devais diviser, c'était par j, c'est-à-dire par une quantité cinq fois plus petite ; ce quotient ^ est par conséquent 5 fois trop petit , il fkat donc, pour corriger cette erreur, le rendre 5 fois plus grand; c'est pourquoi (75) je multiplie le numérateur '6 par 5 , d'où il résulte la fraction qui est le quotient exact de ^ divisés par |, et qui est précisément formé par l'application du principe que nous venons de^ poser, et qui était l'objet de la démonstration.

*£n dernière analyse , ce procédé revient à multiplier la fraction dividende par la iractic^n diviseur renversée.

^ 91. Puisqu'on peut mettre tout entier sous la forme de fraction, en lui donnant l'unité pour dénominateur .( 68 ) ^ il est évident que le principe relatif

à la division de deux fractions entre elles s'applique tout naturellement à la division des entiers; par des fractions.

Ainsi, si j'ai à diviser 3 par y, par exemple, ou, ce qui est la même chose , Y; par y, , la multiplication d'un nombre par l'unité ne pouvant rien ajouter

au midtiplicancte , le (juotient sera ' '/^ ; et par conséquent on peut dire que, en général y pour diviser un entier par une /raction, il /oui multiplier l'entier par cette fraction renversée»

Le même principe serait applica|ble à la division des

Digitizea l> ^^OOgIe

fracti(3ns par des entiers. Mais le procédé déjà indiqaé (76) offre un moyen encore plus complet.

9a. Si Ton arait à diviser des nomboes mixtes, on préparerait la division comme nous Tavons d<§a indiiqué (84), et Topération se tronveniit ramenée ainsi au cas précédent.

93. Quand les deux /rations ont le même eUnomi'naieur* tout se borne à dmser les nwnérateÊUv entre mue. ' *

AinM, si j'ai * 5 * diviser par y, , , je divise la par et le quotient 3 est celui des deux fractions proposées.

Si j*ai , au contraire , */ , 5 à diviser par '*/,$, je divise 4 par ta, etle quotient y , . oU' y, est cdui des deux fractions proposées. En voici la preuve : ' Supprimer dans les fractions dividende et diviseur

leur dénominateur commun , c'est les multiplier par le nombre qu'il exprime (77). Mais il est prouvé qu'on peut multiplier un dividende et un diviseur par un même nombre, sans changer la valeur du quotient (7 1); on peut donc dire en génoal que' des fractions de . > même dénominatèw donnent pour quotient celui de leur numérateur (*).

(*) Voici un raisonnement qui i selon nons, généralise mieux les

idées :

Nous avan» déjà vn (48) qoe le quotient ne dépend point de la grandeor des unités du dividende et du diviseur. Or, on ne fait qae changer le nom des unités , en supprimant le dénominatenr comman, puisque celui-ci ne sert qa*à en désigner la grandeur. Le quotient de ]a division d'un numérateur par l'avtre sera donc toujours b même, soit que l*on considéra om dras wonàxnê coaune ocpri- • nant des iraitét «ntScKSf on dM nniléa d'une grandeur qnetoonque, pourvu qnVlle acit la même de part et d*aiitnv

Des fractions de fractions •

94* Ce n'est pas seuleineiit des fractions d un ou de plusieurs entiers qu*on a souvent à évaluer , mais

aussi des fractions de fractions. Car, de même qu'on a besoin du quart d'une pistole, par exemple, on peut avoir un nouveau besoin du tiers de ce ^piart, puis encore du sixième ou du huitième de ce quart, et ainsi de suite. On pa/vient à épahêer ces Jraetùms d^fraetkms y en les réduisant iùutes à tme seule y par la multiplication de tous lesMtumérateurs et de tous les déffominateurs entre eux ; et cette nouvelle fraction , qui est dite fraction composée^ est Texpression de la quantité cherchée, ntpportée à Tunité primitive, comme nous allons le prouveir tout«à*rheure.

Ainsi les | des 7 d une quantité quelconque équivalent aux ou 1^ de cette même quantité ; et les ~ de j de I valent ou 7 de l'unité primitive ; résultats que' j*ai composés par la multiplication successive des numérateurs et des dénominateurs des fractions proposées.

Mais , avant d'en venir à la démonstration , appliquons-nous d*abord à bien déterminer le sens atta- • ^ ché à cette question : prendre les } de j ? A cet effet , il faut considérer que cette dernière fraction repré- ^ sente Jes 4 de Tunité primitive^ que cette même quantité est prise à son tour pour unité, et qu'on en de*

mande les -.

Cela posé , pour saisir actuellement la raison du principe que nous venons d'établir , il faut se reporter à la définition que nous avons donnée de la nniU tiplication (17); et alors on verra dairement que

prendre les | de | revient à multiplier \ par ] , puisque c'est prendre ~ île lois la fraction ^ j ce qui donne

Digitizea l> ^^OOgIe

pour produit 77 (86). De même prendre les { de ^ de I9 "C'est prendre les de {, puisque nous venons de prouver que les 7 de j équivalent à jf. Or, par la raison que nous venons d'alléguer, prendre les 77 de I revient à multiplier ces deux fractions ensemble ^ et comme y quel que fut le nombre des fractions proposées 9 on prouverait successivement et de la même manière que, dans toutes les questions semblables , la valeur demandée n'est autre chose que la fraction , ou l'expression fractionnaire composée ^ «jui résulté du produit de la multiplication de tous les numérateurs et de. tous les dénominateurs entre eux : donc, etc.

95. Les fractions de fractions méritent une attention toute particulière de la part de nos lecteurs. Car c'est à leur théorie qu'il faut ramener celle des chan" ges étrangers^ des arhUrages de banque^ et en général celle de la comparaison des mesures , des poids , et . d'une infinité d'autres quantités. Par conséquent Tapplication de cette théorie est d'une utilité générale , non-seulement dans le commerce , mais dans beaucoup d'autres professions. 11 faut donc /avant de passer outre, s'attacher à les bien comprendre , pour s'en Ibire les idées les plus nettes; Voici un exemple destiné à exercer l'intelliîîence à cet éi^ard :

Supposé que le florin de Hollande imille ^ de marc de banque de Hambourg y qu*un marc de Hambourg "Vaille y de pistole d^ Espagne j et celle^i les \d*ÊLn louis d*or de France de a4 livres ^ on demande eom* bien 3o florins de Hollande vaudront de huis d*or de France ?

D'après l'énoncé de la question, on voit que le florin de Hollande est les 77 de | des | d'un louis d'or. Par conséquent, pour connaître la valeur du florin de Hollande en louis, dor, il faut multiplier

toutes ces iractions les unes pai les autres, ce qui donne —7 pour ladite valeur.*

Or, pôur savoir. actuellement combien 3o florins valent de louis d'or, je n'ai qu'à multiplier par ce

nombre le numérateur 75 delà fraction ci-dessus (7 5) , et en diviser le produit 22 5o par le dénominateur 896 , ce qui me donne , pour quotient et solution de la question, a louis dor de a4 livres.

De dévaluation des fractions.

' * 96. L'évaluation des fractions est un des pmnts les plus importants dans la banque. Mais avant tout, il faut s'accoutumer à les envisager sous leurs divers points de vue. Il est essentiel , surtout, de s'exercer à les évaluer de tête , et sans le secours de la plume. Cette sagacité devient absolument indispensable dans les négociations, comme nous le verrons pi^r la suite, \ et dans une infinité de cas elle sert à abréger les calculs , et à ménager des résidtats approximatifs , suffisants pour la pratique.

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