En énonçant les nombres exprimés par les dé

nominateurs , il faut avoir soin d'ajouter la terminaison iemef à moins que ces dénominateurs ne soient A, 3 ou 4 7 qui se prononcent moitiés ou demis , tiers y quarts. Ainsi ^ les trois fractions suivantes: 7 doirent s'énoncer, un demi, deux tiers , trois quarts. A ces trois exceptions près, la terminaison ùme est ' invariable. Par conséquent, pour énoncer ces autres fractions tî^ ixt j^you prononcera quatre dix ^ sep ^ tûmes f naïf vingt^guatnèmes , onze trente^ neupusmesi,

64* Puisque les restes de division ne sont autre chose que des fractions , on 'peut considérer oes der- « nières d'une manière tout-à-fait générale, et établir que, dans toute fraction , le numérateur est un vrai dividende, le dénominateur un véritable ^diviseur ^ et la fraction elie'^méme le véritable quotient.

Ainsi, dans -rr? 7 est le dividende, zx le diviseur, et le quotient résultant de cette division ; c'est-àdire que le nombre 7 ne contient le nombre 1 1 que les sept onzièmes d'une fois seulement, ou la onzième partie de sept fob.

65. Cette façon de parler què 7 contient 11 sept , onxièmes de fois, paraît d*abord incompatible avec ridée quon attache au mot contenir, qui, en toute rigueur, ne devrait s*appliquer qu'à un dividende plus grand, ou du moins aussi grand que son diviseur. Mais elle n'en est pas moin^ exacté pour cela. Car, tout comme on conçoit qu'un nombre en contient un autre un certain nombre de fois, ou une fois seulement, on peut bien concevoir aussi qu'un nombre n'en contient pas un autre une unité de fois tout entière, mais une portion de fois, ou une fraction de lois.

La même fraction -77, je puis la considérer encore 801U un antre point de vue qui fixe les idées d'une manière plus positive. Je plus regarder 7 comme un tout qui doit être partagé ou diyîsé en onze parties égales : e't alors le résultat de cette division , ou la yaleur d'une de ses parties , serait une véritable frao* tipn de la quantité primitive. Mais ces deux cas n'en rentrent pas moins pour cela dans celui où 1 on cher* cfae combien un nombre en contient un antre, et dépendent du principe invariable que le quotient mul* tiplU par le diviseur doit reproduire le dividende, , 66. Quand la division pure et simple entre deux nombres est réeUement impossible (ce qui arriTO toutes les fois que le dividende est plus petit qne le diviseur), comme par exemple, entre 5 par 8, et 9 . par i3, ces nombres forment des fractions proprement dites , qui seraient ^ d'une part et de l'autre.

Si, au contraire ) le numérateur égale ou surpasse le dénominateur, comme dans 1, -p, alors ce ne sont plus que des fractions improprement dites, ou, si l'on aime mieux, des expressions fractionnaires^ puisque ces quantités expriment un entier ou plus d'un entier.

Dans le premier cas, c est Tunité rqproduite soua une autre forme. Car ces expressions firactionnaires 79 7> 7 signifient, comme dans tous les cas semblables, qu'on a divisé l'unité en un certain nombre de parties égales, et que Ton prend toutes ces parties : dans le second cas où il s'agit de-^, cela suppose qu'01% . Fa dirâée en «n certain nombre de parties égales, et que l'on prend au«^elà de la somme de ces parties.

67. Pour extraire les entiers qui se trouvent con-« tenus dans une expression fractionnaire , il faut divi-< scr- ie nvmérat^ur par U dénotninateurjt et s il demeura

un reste, en /aire U numérateur d*une fraction a lor quelle on donnera le même dénominateur.

Ainsi, si je yeqx saToir ' comlneii ^ oontîennent d'entiers, je divise i5 par (S,> et au qiiotiont a je joins le reste 3 avec le dénominateur 6^ de sorte que ~ va-, lent a entiers plus

€e principe dérive immédiatement de Teasence même de la fraction. En effet, nous avona d^ja tu que . le dénoiminateur indiquait en combien de parties égales on concevrait l'entier partagé, et que le numérateur désignait combien on prenait de ces mêmes partîes> Donc autant de fois le numérateur contiei^ le dénominateur, autant il coilUent d*entiers.

68. n suit de là que tout entier peut être mis sous la forme de fraction^ en lui donnant V unité pour dé^' nominateur. Car le quotient ^xxn nombre quelconque par I ne sera jamais que ce nombre même.

69. L'égalité de deux fractions ne dépend pas toujours de régalité de leurs signes numériques, mais du résultat de la division de leurs dénominateurs par leurs numérateurs. Quand le quotient, résultant de

* la division des dénominateurs par leurs numérateurs réciproques I est égal de part et d autre, ces deux fimctions sont égales. Par exemple, f sont égaux à |, parce que le numérateur 2 de la première de ces deux fractions est contenu dans son dénominateur même manière que le numérateur 3 de la seconde est contenu dans son dénominateur 6\ €'est-»-dire 2 fois.

La raisoii de cette égalité est iaoile à saisir. En effet, qu*dn divise une pièce de cinq francs , par exemple , ^ en cinq parties égales, et qu'on prenne une de ces parties ^ ou bien , qu'où la divise en dix parties égales', et qu'on prenne 2 de ces mêmes parties ; il est evi* dent 'que, dans les deux cas, on aura pris la valeur

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de la cinquième partie de cette pièce, exprimée par 7 ou Dans le secontl cas y on la divise en deux fois plus de parties, il est vnd; mais, en revanche, on prend deux fois plus de ces mêmes putia. On opère , donc, entre lè nombre et fespèce des parties, uner compensation réelle , au moyen de laquelle la valeur de la fraction demeure la même malgré ce changement.

Dé même , qu on divise une pièce de i franc en cent parties égales,^ et qu'on prenne 5a de ces parties; ou bien, quon h divise' en dix parties égales, et

qu'on prenne 5 de ces mêmes parties; il est évident que , dans les deux cas , on aura pris la moitié de Ja valeur de i franc, exprimée par 5o centimes ou d*uiie part) et par 5 déames ou ^ de Tautre.

])ans le second cas, on prend dix fois moins de par* ties, il est vrai; mais, en revanche, ces parties sont dix fois plus grandes. On opère donc, entre l'espèce et le nombre des parties, une compensation réelle, au nojen de laquelle la valeur de la fraction demeure • la même malgré ce cbangemcfnt; *