On voit d'après cela i:^vk^nmUipUer wt nombre

pat un autre , c est prendre ou répéter le muUipUcande autant de fois qu*U y a d*umtés dans le multiplicateur ; ou pour mieux f^éaéradi&er , cest chercher un Htmàre se emnpose avec le muUiplieande comme lé

Mvee PUnkL Le rëmihat de oette opé* Mtîoa, nous le répétons. Se noranle produit.

Mais si, dans raddition des quantités égales, on s'en tenait à la méthode ordinaire prescrite au n^ iSy ropératiou deviendrait d autant plus longue que ces BiéuMS quantités smiétit plus nonibrelises. G*esl donc pour obvier i oet inootivi^ent , qu'on a recoun à on procédé beaucoup plus eipédîtif , que bobs allons développer dans le moment y et qui n'est que Tabrégé de l'addition.

i8. Mais pour être en état d'effectuer le procédé oldinaire de k multiplicalioft^ il est indiapensabk jde coniUiîtra le produit des nooibfvs simples entre eux, c'est-à-dire le produit qui résulte de la multi- |)lication de deux nombres d'un seul chitïre chacun. La table suivante, qu'on attribue généralement à Pytbagoie» est destinée à pfocurer cette oonnaissaiice.

lO

la

iS

ao

aft

lO

A sa seule inspection , on peut presque comprend!^ les éléments de sa formation , dont voici l'explication :

On commence par écrire ^ dans leur ordre naturel , les neuf caractères primitifs de la numératioii, sur la première colonne horizontale j et sur k première * colonne 'Terdcale de gauche, de manière que i soit commun à ces deux colonnes. La seconde colonne horizontale se forme en ajoutant successivement 2 à luimême huit fois de suite $ la troisième , en ajoutant 3 à . lui-méine de la même manière; la qttiatrième) en ajoutant 4» ^ tÀmi de suite des autres colonnes.

19. Actuellement voîcr la manière de se servir de cette table : il faut chercher d'abord le multiplicande dans la première colonne horizontale , et le multiplicateur dans la première colonne verticale , et parcourir ensuite des yeux la colonne Terticale du multiplicande et la oôlonne horizontale du multiplicateur , Jusiqu'à ce que la yue se confonde dans la petite case où se rencontrent ces deux colonnes. Le nombre qu'elle renferme sera le produit cherché.

Ainsi , si l'on me demande le produit de 5 par S, je cherche S dans la première colonne supérieure^ et 3 dans la première colonne verticale. Fembrasse ensuite de l'œil, tant la colonne verticale qui commence par cinq , que la colonne horizontale qui commence par 3 y et je trouve par ce moyen que ce nombre xS, commun à ces deux colonnes , est le produit demandé de '5 par 3 ; c*esuà-dire que 3 fois 5 font i5.

20. Si l'on cherchait de la même manière le produit de 3 par 5 , on trouverait le même nombre 1 5 , quoique I dans ce dernier cas | on ait regardé 3 comme le multiplicande, et 5 comme lé multiplicateur; et il en- serait de même de tous les autres nombres. Ce renversement de l'ordre des facteurs ne

frange rien , comme on le yok, à la réalité du pron duit. Aussi , tant qu'on ne considère tes nombres que

d'une manière abstraite, c'est-à-dire qu'on n'a aucun égard à la nature de leurs unités , il est très - fort permis de prendre le niultiplicande pour multiplicateur , et le multiplicateur pour multiplicande.

ai. Mais lorsqu'ils sont tous les deux des nombres concrets, il faut bien prendre garde de confondre l'un avec l'autre. 11 est alors très-essentiel , au contraire, de distinguer lequel des deux nombres proposés doit être pris pour multiplicande, afin de déterminer l'es* pèce des unités du produit. Cette distmction devient bien jdns importante encore dans la multiplication des nombres complexes , comme nous le verrons par la suite.

aa. Puisque les fonctions du multiplicateur sont de déterminer combien de fois il faut répéter le mul- . tipUcande , on doit dès-lors le regarder comme un

nombre abstrait. En effet, si Von me demande cowibien coûteront 3 pistoles Espagne ^ a raison de i5 francs la pistole^ il est facile de juger que le multiplicande est i5 francs qu'il s'agit de répéter 3 fois^ que cette condition est tottt-à«fait indépaulante de l'espèce des unités du multiplicateur, et qu'elle n*est relative qu'à la quantité qu'il exprime. Car l'opération et le résultat seraient toujours les mêmes , quand Inen même il eût été question de toute autre chose que de pistoles.

a3. D'un autre cdié, le multipHcande étant essen* tellement une partie du produit , puisque celui «ci n'est formé que par l'addition répétée du premier, il suit de là que le produit devra toujours se composer d* mités de même especé que le muUipîicande,

a4. Un nombre est dit multiple dun autre, lorsqu'il contient céluM» un certain nombre , de fois

juste. Ai&fli 13 €it Aiultiple de a, de 3, de 4» de 6.

âS. On appdie pariws tdtfttoteri^mi nomlire, edies

qui divisent exactement ce nombre; c'est-à-dire qui y sont contenues un certain nombre de fois sans reste.

' a6. Oh appeUe carré d'un nombre y le produit qui résulte dé k ttiultiplicatiDn de <Jé nombre par lui^ même. Ainsi i6 est le cairë de 4 > p^rce que 4 fois ^ 4 foîï*^ Pour carrer un nombre, il ne s agit par conséquent que de le multiplier par lui-même. Donc un iibknbre que Ton oârre est tout -à -la fois mulâ-» pliicaiide et muUIplîeateiir; o*est*à«dite qu*il est deux fois fildteur.

a^. La racine carrée d*un nombre est celui qui, multiplié par lui - même , reproduirait le nombre proposé. Ainsi 5 est ia racine carrée de a5.

Principe de la multiplication.

î8. Si le multiplicateur n'a qu'un seul chiffre, ' écriTez-le de préférence sous les unités du multiplicande ^ et souligner le tout (cet arrangement, indif* feront én Ittl-mémei sert à mieux fixer lès.ldées ). Mtà^ fipfiez d alwlrd lés unités du multiplicande par le multiplicateur; si le produit est un nombre simple, écrivez-le au-dessous du trait; si au contraire il est eomposë de deux cbifi&ea , écriVeii cekd des imités , et rotenea ka dizaines pour le»' ^}outer au produit sumnt. Mtilti|ilieB à leur touir les diaaines du multiplicande par le multiplicateur; si ce produit, joint aux unités que vous venez de retenir, ne passe pas 9 , écrivez-le à gauclxe; s'il est composé de deux chiffres, nécrîra ^piejes unités de ce produit, et rete*

nez-eo les dizaines (qui sont des centaines) pour le» igooter au pnxliiit suivant. Continuez la multiplication des divers ordres d'unités du multipUiande de la même ftianière; additionnez ces diyer» prqduitt, et

SXBHPLB.

Oft demande combien 3583 ducats vaUntde fraac$^ a rmpn de 5 fitoRcs le ducat?

. D*s^rèsl«P4t^TedB la questioPfU3'agit de répéter 5> francs 3S63 Ibis; ou, ce qui est plus commode et

qui revient au même (20), de répéter le nombre ^583 1 5 fois. Car, c'est absolument la même chose de pajrer 3583 ducats sur le pied de 5 francs le ducat, ou de payer 5 ducats ^ur le pied de 3583 francs, je dispose donc les fiicteurs de cette manière :

3583 multiplicande 5 multiplicateur

17,915 produit;

et Je dis : 5 îsàa 3' font fS, j'écris 5 et retienf^i

dizaine ; je continue : 5 fois 8 dizaines fout 4o dizânes et 41 dizaines avec celle que je viens de retenir, c'est pourquoi j'écns i et retiens 4 centaines; 5 fois 5 centaines, dis-je eneore, fottt aS centaines , et ^9 «ree 'les 4 veteniies précëdeimnei|t;. 3 éeris dpRc 9 et rfitiens a qui sont des mille. Enfin , 6 fois 3 mille font i5 mille, et, avec les 1 dëja retenus , font 17 que j'écris en entier, parce que j'ai épuisé la multiplicatiqii des ^vfsn ovdiies d*tiBités du multipUcande; et, pniv tant, le nombre. 17,915 est le pvdd|iit demandé, ce^fr à«dire le nombre Me francs que valent les ducats proposés.

En effet , d'après le procédé qu'on vi^nt d'employer, ce nomhjrfi ^ tffQuve composé 4e« picodifiits

dés unités-, de& dizaines, des centaines, des mille du multiplicande par le multiplicateur 5 ; il contient donc 5 fois la collection des unités dont se compose le nombre 3583. ,

Dans la pratique , on ne pomme pcnnt loitlre d unités dechaque produit. On les regarde toujours comme composés d'unités simples , mais on leur assigne successivement les placés relatives à Texpression dç cet ordre, d'après la règle que nous venons d'exposer.

29. La multiplication de deux nombres entre eux , composés de plusieurs chiffres chacun, se réduit à la répétition du procédé employé dans ce exemple, à une modification près, relative à la pose des produits partiels; et le principe générique, applicable indistinctement à tous les cas, peut se résumer de la manière suivante : -

Quand le multiplicande et le multiplicateur sont composés cbacun de plusietirs chifi&es, après }es I avoir disposés dans Tordre prescrit pour l'addition et

• * la soustraction , et les avoir soulignés , il faut multi-

plier successivement chaque ordre d'unités du multiplicande par le dernier chiffre du multiplicâitenr,

• et écrire ces divers produits à leurs places respectives ( 28). On répétera la même multiplication dans le même ordre et de la même manière , à legard des dizaines, des centaines, etc., du multiplicateur, et on écrira ces divers produits les uns sous les autres ; mais en observant de placer le premier chiffre de droite de diaique produit partiel, sous les unités de Tordre auquel appartient' le chiffre du multiplicateur qui a fait naître ledit produit cherché.

2^ BXBVPLS, '

On demande combien 4^34 ducats valent de oiam-

\fédis P ( Le ducat vaut 'dy5 maravédis. )

Digu

.oogle

Il B*agit de. répéter 375 maniTédis. 4^34' fois^ ou, ce qui revient au même , de répéter 375 fois le nombre

4^34 (20). Car rien ne m'empêche de considérer d'abord ces deux nombres d'une manière abstraite, pourvu que je regarde ensuite le produit comme eaqprimant des maravédis. Pout la eommodité du .calcul, je choisis doue poûr multiplicateur le plus petit des deux nombres proposés , comme cela se pratique dans tous les cas semblables.

1S87750 produit.

Je 'multiplie d'abord, le multiplicande en entier par le dernier chifire 5,. du multiplicateur (28), et j'écris à sa place le produit 21 170.

Je multiplie pareillement tout le multiplicande par le second cfaiiifre du multiplicateur 7 , .qui exprime des dizaines., et fëcris ce second produit ^^638 sous le premier ; mais en observant d^en placer le dernier chiffre 8 des unités sous les dizaines , attendu qu'il provient de la multiplication par des dizaines.

Je qiultiplie de la même manière 4^34 P^ le troi* sième chi£&e 3 du multipticateuTi et j'éôis ce troisième produit sotis le précédent; mais de. manière que son premier chiffre 2 occupe la place des centaines, parce que le chiffre par lequel je viens de multiplier exprime des centaines. J'additionne ces é&vm produits y et leur somme 1 587760 est le produit dierché; «'esl-à-dire qu^ 4234<^ucats vdent 1,587,750 maravédis.

En eUetf cette opëiifttidii èmims^ trois mâtipliofttions isol^^- dans lesqueHes on a pris le multiplicande d abord 5 fois, puis 70 fois, et enfin 3oo fois^ on Ta donc pris 3^5 fois en tout.

^« Lorsqu'il se trouve quelque zéro intennédiaire dans les dûffires du multîplîôuidey oomne il n'eu peut résulter aucun produil, on éerft lèèo k la pbee relative; à moins qutl n*y ait quelque ^lose de retenu du produit précédent, car alors on é<^it les unités retenues.

3i. Quand il se trouve des zéro intermécUaires dans les chiffres du multiplicateur, comme la multiplication par zéro ne peut ucm plus donner lieu à

aucun produit, on passe tout de suite à la multiplication par le premier chiffre significatif; mais en observant de placer le produit qui en résulte, de manière que les unités simples correspondent au rang quoctcupe ce ohiffire significatif. UiRemple suivant oiire l'application de g«s deux oa^

Combien zi^^o^ pistples valent-ellis^ (ifi niorg»idis? ( La pistole vaut 1088 maravëdi^^

H diç ÂSlMtiptier ni9^Tédis ^ H^^ ou bien, pourvu quon ne perde pm» de vue que m

4es n?a|r^iYÇdi^ 4çâç ^yqir.^H jf^<?duit (^o),

aCWaSiS'j^ri^

Je dis 6 fois 8 font 48; je pose 8, et retiens 4; et comme la multiplication de zéro par un chiffre quelconque ne peut rien produire, j'écris les 4 dizaines que je Tiens de retenir, tout comme j'aurais écrit o , s'il ^ ne s'était tnMivé rien de retenu du produit précédent. *

Quand, après avoir trouTé les deux produits partiels , j'en suis au zéro du multiplicateur , comme la niultiplication d'un nombre quelconque par zéro ne peut faire naître aucun produit, je passe tout de suite . auchiffiresignificatif Toisin qui est i ; et la multiplication du multiplicande par i ne pouvant rien ajouter audit multiplicande, je l'écris, comme produit, au-dessous du produit précédent; mais en gagnant deux colonnes de droite à gauche, afin que son dernier chiilie 6 des unités corresponde au rang qu'occupe chiffre •du multiplicateur i , dont provient ce troisième ])i odttit. S'il y avait eu a , 3 , etc. , zéro , j'aurais , parla même raison , gagné 3,4» etc. , places; c'est-à-dire aut^int de places plus une qu il y aurait eu de zéro. Partant, j'ai pour produit total 26,662,5^8 j c'est-à-dire que 245o6 pistoles valent ,a6,66a,5a8 maravédis.

3a. Quand le multiplicateur se trouve être l'unité suivie de plusieurs zéro, le procédé ordinaire de la multiplication disparaît; et il suffit d'ajouter au multiplicande autant de zéro sur la droite, qu'il s'en trouve dans le multiphcateur.

. 33. Ainsi, pour multiplier un nombre quelconque par lOf par 100^ par 1000, eie,; il suffit de mettre

a la suite de ce nombre un zéro , deujo zéro , trois ^ etc, , zéro.

En effet , c'est le rendre dix fois , cent fois , mille fois, etc.,' plus grand, puisque c'est décupler, cen- . tupler, etc., chacune des collections d'unités dont il . se compose (i i) ; et par conséquent c'est le multiplier par 40, par 100, par 1000, etc. (17),

34- Si l'un des deux iacteurs, on bien tou$ les deux ^ étaient terminés par des zéro, on n*y aunît aucufli tégard ni dans la pose, ni dans k compositioii des pro* doits; mais on aurait soin de placer à la suite du

produit total, autant de zéro qu'il s'en troiiverait,

tant au multiplicande c^u'au multiplicateur.

BXBMPLB.

.35oo

4445o6oo .

Je multiplie 127 par 35, et j'écris, à la suite (hr produit 444'^ ) quatre zéro qui se trouvent en tout dans les deux facteurs; eu voici la raison:

Le mtdtipUcande 12700 représente 127 centaines, de même que le* multiplicateur 35oo représente 3*5 centaines; or, le produit de centaines par des centaines, doit être nécessairement des centaines de centaines, ou des dizaines de mille. Mais pour changer l'espèce d unités du produit 444^ en dizaines de mille, ' â fiiut nécessairement mettre quatre zéiro à sa suite. Et comme le même raisonnement est applicable à tôus les cas semblables, donc, etc. '' - ^

. 35. Nous allons terminer cet article sur la multiplication, par un exemple qui rendra plus sensible la nécessité de regarder toujours lé multiplicateur comme un nombre abstrait ; et qui sertira en même temps à résoudre une prétendue difficulté avec laquelle on embarrasse souvent les commençants.

produit de i franc multiplié par i franc, dit- «n, est I franc; et 100 centimes, multipliés par 100centimes, donnent pour produit (33) looba centimes, produit 100 fois plus grand tjue lè premier.

Ce second produit, il est vr«ii, est loo fois plus grand que le premier; mais c'est qu'on a substitué à la première question une question toute différente* £n eiiet, multiplier i frauc par i franc, c*est répéter I franc une fois seulement (17); mais* me pro^ioser de multiplier 100 centimes ou i firanc par 100 centimes, c'est me proposer de répéter 100 centimes 100 fois (17); c'est-à-di^e que, sans rien changera . la valeur du multiplicande, danis ce second cas, on substitué un muittplicatenr 100 fois plus grand que dans le. premier : donc le produit ne peut manquer de devenir* 100 fois phis grand, puisqull exprime combien de fois on a pris le multiplicande.

36. 11 est bon d'observer que doubler ^ tripler^ décupler^ etc., un nonibre, c'est le rendra a fois, Zi fois, 10 foia^ etc., plus grand $ et par conséquent, le mûlti|dîer par 3, par 3, par 10, etc.

Voici trois exemples pour exercer les commençants ;

3o8 2o3oi . 3o2o

75460 00000... i48o<)4iao

II 374^^030 ' . De la soustraction des nombres entiers.

87. La soustraction est luie opération par laquelle,, connaissant deux nombres, 01^ cherche de combien

(*) On petit se dî.spen?>er irécrire des raugs en tiers (Te r.éVo , coinnic uuus Tavons fait, poat- teuir Meu des protluilif partiek qut nipa-

le plus grand .surpasse le plus petit : l,e troisicme noinlNrey qui r^jultci de oel examen , s'appelle renée,' excès on ns$e.

Pour imoéder à* cette opération , il faut écrire le plus petit sous le plus grand nombre, dans le même ordre qui a été prescrit pour Taddition (i5). Puis, commençant sur la droite par ks .unités, il ùait retrancher . suGcessÎTement dans cha^e ocdonne le \ nombre inférieur dit npmbre supérieur, et ëcrife A fiir et k mesute chacun de ces restes à leurs places respectives; ou bien écrire zéro, si la soustraction ne laisse, point de reste. Quand le chiffre inférieur se trouvera plus grand que le chiifire supérieur, on empruntera par la pensée sur cdui. qui est immédiatement à gauche , une unité qui en vaut dix de Tordre dont il est question; et, par ce moyen, on rendra la soustraction possi})le. Mais il faudra se souvenir, en continuant Topération, que le nombre. sur lequel on vient 4ie iaire cet emprunt, se trouve par cda même diminué d*une unité, Si le chiffire voisin sur lequel on voudrait emprunter cette unité se trouve être un zéro, on l'empruntera sur le premier chiffre significatif à »gauche. Cette unité pourra en valoir loo , looo, etc. de Tordre pour lequel on fidt cet emprunt, selon le nombre de ïéro intermédiaires : mais alon on ajoutera lo au premier chiffre supérieur qui a donné lieu à cet emprunt , et on considérera tous les zéro intermédiaires comme autant de 9; parce que, ayant emprunté i dizaine 4^ 10 dizaines, de cent

qmnlt ponm qiCtn. pftHânt aux chiffres signifi^tifii , on ait soin àé placer le premier eUlfre de dn^t* de chaqne prodoit partiel mnm les nnités de Tordre auquel appartient lo ehiffire dn moltiplkatwir qid a fait naître oe prodoit; 00 bien de gagner x , a coloniiie ëttr Ift ffpflM, a'il se tnmvo t , a léro à k fin d^ iiuiltip%aad^ / /j.

( ai )

• dizaines, etc., il dem demeurer 9 dizaines, 99 dizaines, etc.

Après avoir retranché, dans chaque colonne, le nond>re inférieur du nombre supérieur correspondant, selon qu'on vient de le prescrire, le nombre écrit au-dessous du trait sera la différence dierchée; car il résulte de ce mode d'opérer, que ce nombre exprime la différence des unités , dizaines , centaines , etc. , du nombre sur lequel s'opère la soustractiott, avec les unités, dizaines, centaines, etc., du nomA>re à soustraire. Ce nombre sera donc nécessairement la différence des deux nombres proposés.

I*''* BXBMPLB. ■

De 5726 on veut retrancher 3924.

i8oa différence.

J'écris d'abord les deux nombres proposés , comme on le voit ci -dessus. Puis comtaiençant par les unités, je retranche 4 de 6, et j'écris le reste 9 au-dessous du trait; passant ensuite aux dizaines, jo retranche 2 de 2 , et, cette soustraction ne laissant aucun reste , j'écris o sous cette colonne.

A Tégard dès centaines, conime je ne saurais retrancher g de 7 , j'emprunte suif le diiffre voisin à" gauche 5, une unité qui en vaut 10 de Tordre dont il est question, et qui, ajoutée à 7, fait 17, dont retranchant 9 , il reste 8 ^e j'éa^s sous la troisième colonne. &ifin , retranchant 3, non pas de 5, mais de 4 seulement qui demeurent après Temprunt, j|*écris le reste i sous la quatrième colonne : et le nombre 1802 est la différence quon cherchait entre les dc^xx nombres proposé^ >

a*" EXEMBdtE.

. De 606:14 on veut retrancher 53 19.

54705 ^ffërence. *

Après sjmr écrit ces deux nonJms dai» Tortlie *

prescrit plus haut, je dis : comme je ne saurais retrancher 9 de 4 » j'emprunte sur le chiffre le plus voisin 2 , une unité qui en vaut 10 simples , lesquelles , s^ou* • tées à 4j i4; cie sorte que , retranchant 9 de f 4 s reste 5 que j'écris bous la colonne des unités.

Passùit à la colonne des dizaines , je retranche i , non pas de 2 , mais de i seulement qui demeure après l'emprunt; et, comme cette soustraction ne laisse aucun reste, j'écris o sous les dizaines. Actuellement , comme je ne «aurais i^itrancKer 3 de o , j]emprunte encore sur le premier c^dffre posi^ à gauche Ç , wie unité qui en vaut 100, eu égard à la colone où je me trouve; et, après en avoir oté une dizaine pour rendre la soustraction possible dans cejtte mêfue. colonne, je substitue mentalement au o voisin ^ g autres dizaines relatives. 9 I4 place qu'il occupe; d^ sorte quotant d'abord 3 de 10, il reste 7 que j'écris sous la troisième colonne; et retranchant dans la quatrième * 5 |ie 9 , il reste 4 qi^*^ j'écris à sa place relative ; et comme dans la cinquième colonne il nj a rien à^retrancher, j*éq;ns sous cette même colonne , non pas 6 mais 5 seulement; attendu que l'emprunt d'une unité que je viens de faire sur ce 6 , le diminue d'autant. Ainsi, 54705 est la différence qu'on cherchait.

Voici trois exemples de spustractiou destinés à ' exercer les commençants.

De la dwision.

38. On appelle diviUoii la souâtraction répétée, de c|uantités égaies.

Ainsi, 8*il s*agit de partager 12 francs en un certain nombre de f^rties ég^es, valant chacune 3 francs, et qu'on demandé combien il j aura de ces parties, on voit que cette question revient à ceHe-ci :

Combien 1 1 francs contiennent'ils de fois 3 francs ? ou combien de fois 3 francs sont^ils contenus dans 12 franqs?

Il est dair qu'ils y. sont contenus autant de fofs qu'on peut les en ôter. ^

Puisque quatre soustractions suceessiyes ont ëj^sé le nombre 12, sans laisser aucun» i^ste^ je dois conclure que 12 contient 4 ^ois le nombre 3 j et, en elïet , 3 fois 4 fi*ancs font 12 francs.'

Or comme il est évident que , dans tons les cas , un nombre est contenu dans un autre autant de' lois qu'on peut l'en 6ter, il en résulte que , pour cGviser on

nombre en parties égales, la valeur d'une de ces par» ties ëtan^ donnée , ou , ce qui revient au même , pour chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre, il suffit, en générai, de savoir soustraire.

Dans cet exemple, la était le i^idende, 3 le

Mais si , dans la èoustraclion répétée de quantités ' égales , on s'en tenait à la méthode ordinaire prescrite au n** 37 , l'opération deviendrait d autant plus longue qu'elle comporterait un plus grand nombre de soustractions. Voilà pourquoi on a recours à un procédé beaucoup plus expéditif , que nous allons développer dans le moment, et qui , au fond, n est qu'un abrégé de la soustraction.

39. On voit, d'après ce qui précède, que diviser un nombre par un autre , c'est chercher.combien dejbis le dividende contient le diviseur , ou pour mieux géné* raliser, c*est chercher un troisième nombre ^ui se cornpose avec le dividende comme Vunité avec le diviseur^ Le résultat de cette opération, nous le répétons, se nomme quotient.

40. Puisque le quotient indique combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende, il résulté de là,

1° Que le diviseur multiplié par le quotient doit reproduire le dividende;

20 Que le dividende dipisé par quotient doit repro^ duire le diviseur >

4i* Quant à la nature des unités du quotient, c'est le sens de la question qui peut seul le déterminer. Si l'on me demande , par exemple, combien 1 1 piastres contiennent 4 piastres, le quotient 3 sera un nombre abstrait. Mais si Ton reproduit la même question sous cette nouvelle forme : 4 piastres /gisant

im pi$tale, on demande eomàien la piaàres wUent ele pistoles? Il me faudra dimer également par 4;

mais le quotient 3 , quoique numériquement le même , sera, dans ce cas-ci, ua nombre concret qui exprimera des pistoles.

* Encore une fois, c'est l'esprit de la question qu'il convient d'étudier; parce que, quoique l'usage de la division soit infiniment étendu, le procédé d'exécution est le même dans tous les cas.

Nous allons commencer par la division simple,c'est-à-dire par celle où le diviseur n'a qu'un seul

chifire.

De la division simple,

\^ BXSMPLB.

4a. On demande cùnMen 9878 rêaux de plate

^valent de piastres ? ( La piastre vaut 8 rëaux de plate. )

Puisqu'il faut 8 réaux pour faire i piastre, il est évident que les 9878 réaux vaudront autant de fois I piastre, ou autant de piastres , qu'ils contiennent de fois le nombre 8. Il s'agit ^onc de diviser 9878 par 8, de la manière suivante, et le quotient exprimera des piastres :

Après avoir séparé le dividende ,et le diviseur par un tirait, et en avoir tiré un .autre souf le diviseur,, pour marquer la plaoe du quotient, je commence par

prendre sur la gauche du dividende le premier chiffre 9 seulement, attendu qu'il est plus grand que le diviseui; et, après avoir trouvé que 9 contient 8 une fois, j'écris au quotient x qui «st une unité de milk,« et qui recevra sa takur dés ebiffires subséquents. Je, multiplie le diviseur par ce quotient, et je porte le produit 8 sous mon premier dividende partiel 9; je retranche 8 de 9, et j'écris au-dessous le reste i.

A côté de ce reste i , j'abaisse le cbiffire suivant 4u dividende total, ce qui me donne 18 pour second dividende ; Je cbercbe combien le diviseur y est contenu, et comme il y est contenu 2 fois, j'écris ce nombre a à la suite du premier quotient. Je multi* plie, comme précédemment, le diviseur 8 par ce quotient a; j'en porte le produit iH sous le dividende relaâf 18, et, soustraction Èiite, j*ai pour reste a.

A côté de ce reste 2 , j'abaisse le troisième chiffre 7' du dividende total, ce qui me donne 27 pour troisième dividende partiel; et comme 8 est contenu 3 tbis dans 27', fécris 3 au quotient. Je multiplie 8 par 3 , et je porte le produit 24- sous le dividende relatif 27; je fais ma soustmction , et je trouve 3 pour reste.

Enfin, à coté de ce reste 3, j'abaisse le dernier chiffre 8 du dividende total , ce qui me .donne 38 pour dernier dividende partiel^ je cherche combien , 38 contient le diviseur , et ayant trouvé qu'il le contient 4 fois , j'écris 4 quotient. Je multiplie 8 par 4 î ayant soustrait le produit 82 de 38 , je trouve un reste définitif de 6 , que j'écris à la suite du quotient, comme on le voit dans cet exemple.

Ainsi donc je trouve que dans 9878, 8 est con-

uau 1334 (xttBy avec an lestie de 6; et j'eo eondus*

par ^nséquent, que 9878 réaux de plate valent i334

piastres, plus j de piastre, qu'on prononce six-hui- (iemes. Nous approfondirons dans la suite la nature de ces sortes de nombres qm accompagnent souvent les nombres entim. *

De la division composé-

a* B^8«Pt*S.

43. 6^/2 demande combien 48782 maravédis de plate -valent de piastres? (La piastre vaut 27 a maravédis de plate.) ' ' *

Puis4{u'il Hiiol ^72 maravëdis pour faire i piètre, il est évident que les 4873^ maravédis vaudront autant de foi^ I piastre , ou autant de piastres , (ju'ils contiendront de fois le nombre 272. Il faut donc diviser 4^782 par 27 2,. et le quotient exprimera des piastres^ divisons:. ' '

»79 TtV-

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Je me borne ici à prendre les iiois premiers cliiffres du dividende, parce qu'ils contiennent le diviseur.

nu lieu de chef*cher combien 487 contient 27a, je cherqhe seulement combien le piemier chiffi^ 4 de mon dividende contient le premier -chiffre a. du

diviseur; et, quoiqu'il le contienne 2 fois, je n écris point 2 au quotient, parce que la multiplication du climeur par a me donnerait un produit trop grand , que je ne saurais soustraire de 407 • c'est pourquoi j'écris I seulement.

Je multiplie 272 par i , je porte le prodmt 272 sous 487 ; je fais ma soustraction, et, à côté du reste 2x5, j'abaisse le chiffîre suivant du dividende, pour être à même de continuer ma division.

Mais, au lieu de chercher com)tteii 21 53 çontient 272 , je cherche combien 21 seulement contient 2; et, quoiqu'il le contienne 9 fois, je n'écris pas 9 au quotient, parce que je prévois que la multiplication du diviseur par 9 me donnerait un produit trop grand, que je ne saurais soustraire de 21 53 ; je n'écris pas • même '8, toujours par la même raison; j'écris donc 7 seulement.

Je multiplie le diviseur par 7 ; je porte le produit 1904 sous mon second dividende 21 53; je fais ma soustraction , et, à côté du reste 249 « j'abaisse le dernier chiffire 2 du dividende totaL

Je cherche combien 24 contient 2, il le contient 12 fois; mais, comme on ne peut jamais avoir au quotient qu'un nombre simple , et par conséquent 9 au plus , j'écris 9. Je multiplie le diviseur par 9 , je porte le produit 2448 sous mon dividende 249a ; je l*en retranche, et j'ai pour reste* définitif 44» j'écris au quotient, de la manière que nous venons d'indiquer dans l'exemple précédent.

Ainsi, je trouve que 48732 maravédis valent 179 piastres plus .

44* essais inutiles auxquels on est exposé, avant de trouver le véritable quotient , viennent de ce qu'au lieu de chercher tout à la fois combien chaque dividende partiel contient le diviseur, on se

contente de chercher combien le premier chiffire ctu diviseur est contenu dans le premier ou les deux

premiers chiffres de chacun de ces dividendes. Voilà la plus grande difficulté qu'offre la pratique de la di- Tision. Ce nest guère que par Tubage qu'on peut acquérir ce tact qjii fait préjuger 8ur4e-Ghamp quel est le nombre qui, multiplié par le diTiseur, doit donner un produit qui puisse se retrancher do dividende correspondant, sans laisser un reste plus grand que ce même dividende j parce que cette précision, et cette rapidité dans le jugement, supposent assez de sagacité pour apprécia au juste ce qu'a souvent d'errcmé le quotient qui s'indique naturellement par * cette division pure et simple. Au reste, comme c'est plus particulièrement lorsque le second chiffre du diviseur passe 5, qu'on est expoâ.é à ces vaines rechercîhes, on les abrégera dans ce cas, en ajoutant par la pensée une unité au premier chiffre di^ diviseur; et en cherchant par conséquent combien ce chiffre, augmenté de l'unité, est contenu dans la partie correspondante du dividende.

Nous venons de dire qu'on ne pouvait jamais avoir au quotient qu'un nombre simple, et par conséquent . 9 au plus; il nous reste. à en expliquer la raison, et la voici.

4^- Chaque dividende partiel ne peut avoir qu'un chiffre de plus que le diviseur; et ce cas n'arrive que lorsqu'à parité de nombre, ce dividende partiel est moindre que le diviseur» Or si, dans une des divisions partielles, on pouvait mettre feulement io.au quotient, il en résulterait que le produit du quotient par, lie diviseur sei:ait le diviseur même suivi d'un aéra f 33 ) , et par conséquent un nombre plus grand que le dividende partiel. : • donc ^ etc.

Le principe générique suivant oGEre le vésùme de

tout ce qui Tient detre prescrit plus haut pour la division.

4^. Éerrm le dirisear à k droite du diyidende ; fléparea-les par un trait, et soulignez le diviseur pour marquer la place du quotient. Prenez ensuite sur la gauche du divideude, autant de chii&es qu'en a le drviseiir; ou bien un de pins, daàs le cas où, à pa«« xhë de nombre, le dirisecur se tronTendt phis grand qne ce dividende partiel. Cherchez ensuite combien de*fôis le premier chiffre du diviseur est contenu dans le premier, ou les deux premiers chiffres du dividende partiel; multipliez ce quotient par le diviseur; et si le produit était trop grand , pour être soustrait du dividende partiel , dittiinuez successivement le quotient d'autant dhmitës qu'il séra' nécessaire, pour obtenir un produit tel que, retranché du dividende partiel , il ne laisse pas un reste plus grand que le diviseur. Car alors ce serait une preuve que le quotient aurait été. trop diminué , et , par la- même raison , il faudrait l'augmenter en* conséquence. Ajurès avoir retranché ledit produit du premier dividende, abaissez à coté de ce reste le chiffre suivant du dividende total , et cherchez de la même manière combien' ce dividende partiel contient le diviseur. Ecrivez à la suite du quotient le nombre trouvé; muhi)plieB4e par le diviseur, retranchez ce produit du ^vidende partiel, et continuez d opérer de la même manière, jusqu'à ce que vous ayez abaissé tous les chiffres du dividende proposé. Si, dans le cours de ces divisions paifieUes, il se trouvait quelque dividende qui ne ^ oonrînt pa» lé diviieUr, il Ibudniit, avant' d-abtfBser un nouveau chiffre du dividende total', écrire un zéro au quotient. Et si, au lieu d'un chiffre, il devenait nécessaire ^d'en abaisser un second, un troisième, il « £uidrait de mène poser un second', un iR^isiènie zéro

au quotient, pour y tenir lieu de ces divers ordres d'unités qui ne s y trouveraient pas.

Voici trois exemples qui otlrent 1 application de ces^ divers cas : * *

5ooo6

47* On peut abréger la méthode précédente, en se dispensant d'écrire , sous chaque dividende partiel , le produit qui naît de la multiplication du diviseur par le quotient; et, pour suppléer à cette omission, on

effectue suecessivcnient de mémoire la sousiraelion au iur et à mesure qu ou multiplie chaque chiffre du diviseur. L'exemple suivant va achever d eclaircir notre idée:

3^ BXBMPLB.

On'ueutfartager 596643 francs entre ^%^ptrsonnes: on demande quelle sera la part de chacune P

Puisqu'il s'agit de partager $96543 francs filtre 684 personnes , et par conséquent de partager le nombre 'prc^Klsë en 684 parties é|^es , il est évident que , pour connaître la part de chaque personne il faut diviser 596543 par 684 9 et que le quotient exprimera des francs. Divisons donc d'après le procédé d'abréviatiou que nous venons d'indiquer:

872 fràtocs. , •

Dans cette occasion , je commence par prendre les 4 premiers ehiffres du dividende, puroe què les trds prenaiiers font une somme ipoindre que le diyis^. Puis je cherdie, non pas combien 6 (attendu que le

second chiffre 8 du diviseur est plus grand que 5), • mais combien 7 est contenu dans 69; et» après avoir ^trouvé 8 potir quotient, au lieu de porter, comme daîns les exemples précédents, le produit de 684 par 8 sous 5965 , void comment j*y supplée :

Je multiplie d'abord 4 par 8, ce qui me donne Sa, et pour retrancher ce produit des unités du dividende partiel, j'tyoute au chiffre 5, par lequel il est terminé, 3 dizaines que j'emprunte siw le chiffre voi- • sin 6} ce qui fait 35 , desquels retranchant 3a , il reste 3 que j*écris au-dessous de 5 ; et je retiens les 3 dizaines empruntées pour les igouter au produit suivant.

Je continue la multiplication du quotient par les dixaiines du diviseur, et je dis : 8 fois 8 font 64, et 67 en y comprenant les* 3 dizaines que je viens de retenir. Et comme je ne saurais retrancher 67 de 6 , j'emprunte encore sur le chiffre voisin 9, 7 dizaines; ce qui fait bien en tout 76 , desquels retranchant 67, il reste 9 que j'écris au-dessous de 6 : par ce moyen » j*ai eu égard à Femprunt précédent des 3 dizaines qui auraient dù diminuer d autant 6, puisque j'ai retranché 3 dizaines de plus. Je tiendrai également compte tout-à-l'heure des 7 autres dizaines que je viens d'emprunter.

Je continue à multiplier par les centaines du diviseur, en disant : 6 fois 8 font 48, et en comprenant les 7 dizaines que je viens de retenir, font 55, qui, retranchés de 59 , laissent un reste de 4 que j.'écris au-dessous de 9.

 coté de ce reste 493 , j'abaisse le chiffire suivant 4

(33) - «lu fHTÎdende , et , par la raison alléguée un peu plus haut, je cherthc encore, non pas combien 6', niais combien j est contenu dans 49; y est contenu y fois que jVeris an quotient. Puis, je dis : /f fois 7 font a8; et comme je ne aawrais soustraire a8 de 4^ ' mais bien de 34 ( attendu que j'emprunte les 3 dizaines sur le chiffre voisin ) , j écris le reste 6 audessous de 4-

Je q>ntinue: 7 fois 8 font 56, et 59 en y comprenant les trois dizaines que je Tiens de retenir; et retrandiant Sg , non pas de 3 , mais de 63 (attendu que j^empmnte 6 ^zaines sur le ehilfre voîstn 9 ) , j'écris le reste 4 au-dessous de 3. Six fois 7, dis -je encore, font 4^9 et 4^ ^^vec les 6 dizaines que je viens de retenir; je retranche 48 de 49? et j'écris le reste i au-dessous de 9. •

Enfin, à côté du reste i46, j'abaisse le dernier chîflfire 3 du dividende total; et cherchant combien 6 est contenu dans i4, j écris 2 au quotient, et je dis : a fois 4 font 8 qui, retranches de i3, laissent pour Mte 5 que j écris au-desaous de 3 : a fois 8 font 16, et avec la diasaine que je viens d'emprunter, font 17 , qui , retranchés de me laissent pour reste 9 que j'écris au-dessous de 6. Enfin 2 fois 6 font 12, et i4 avec les'2 dizaines que je viens de retenir; et, 14 retranchés de i4 ne laissant .aucun reste, il résidte que le quotient 87a francs et ^ exprime la part de chaque personne. • '

48. Quand ie diifidmde et le dinseur sont terawiéâ par des zéro , on peut en supprimer un pareil nombre à la suite de chacun d*euXj sans en altérer le quotients

Ainsi, si j'avais par exemple 64000 à diviser par 3mo, je me contenterai» de diviser 64o par 3a, et le. quotient 20 qui en résulterait serait le même qué si je n'avais pas suppiimé les deux zéro.