CM

La raison de ce procédé est qu'on ne fait que changer le nom des unités. £n efiet, 64000 ou 640 centaines deviennent,. par la suppressiôn des deux zéro, 640 unités; et 3aoo ou 3a centaines deviennrat, à leur tour et par la même raison, 3â unités. Mais on sent fort bien que 640 centaines ne contiennent' pas autrement 3a centaines , que 640 unités ne contiennent 3a unités.

49. Quand le dividende est termini par wi certain, nptnbre de zéro, et que le dmseur e^en trcme aeeam^ pagné d^uri pareil nombre précédé de Vwùté, le procédé ordinaire de la division disparait ^ et tout se borne à supprimer les zéro du dividende» *

Ainsi, si j'avais 645ooo à diviser par 1000, je sup-. primerais les 3 zéro' du dividende, et j'aurais pour qubtient 64$.

En effet , supprimer à l'extrémité d'un nombre un , deux, trois, etc., zéro, c'est rendre 10 fois, 100 fois, 1000 fois, etc., plus petite, chacune des collections d'unités dont ce nombre' se compose (la). C'est par conséquent le diviser par 10, par 100 , par 1000. Donc, etc.

50. Pour prendre la moitié, le quart ^ le huitième , en un mot une partie quelconque d'un nombre, il faut le dûfiser par si, par A^par 8; est -à^ dire par le nombre qui marque combien de fois la partie cherchée est contenue dans le tout: car le diviseur exprimant combien de fois le quotient est contenu dans le dividende (39) , si ce diviseur es^ 2 , 4 » •> trouvera un quotient contenu a, 49^» etc., fois, dans le dividende; c est^-dire qui en sera la moitié^ le quart ,

* le huitième, etc.

Voici trois exemples de division pour s'exercer:

!ia4

OO

•Ititll

De la prewe de F addition et de la

soustraction.

5i. Quoique les principes sur lesquels repose une opération soient d'une Térité incontestable , il peut arrÎTer que des erreois de calcul , dads les détails > . conduisent à dé fiiux résultats. CTest précisément pour

s*assurer de leur exactitude, qu'on a recours à une opération inverse de la première, et que pour cette raison on appelle preuve. C'est ainsi que la soustrac** tien sert de preuve à l'addition v et Tadditioii à la soustraction.

Pour faire la preuve de V addition , U faut recom" mencer la même opération dans un ordre tout opposé ; c'est'' à" dire ajouter les unités de chaque colonne, en oommeneant parla plus extrême à gauche ^ et retran- • cher la sommé de cette première colonHe^ de celle qui Im rqMmd dam la soinme totale ; ensuite il faut écrire aU'dessous ce reste , qu'on regardera comme autant de dizaines , pour les joindre au ch ffre suivant de ladite somme totale* Puis on passera h la seconde colonne, et on retranchera la somme trompée de la totalité du nom^ 'hre forme par le reste précédent joint au chiffre suùfant de la somme totale, en continuant encore de regarder' ce reste comme exprimant des dizaines. On poursuivra de la même nuuùere à l'égard des autres colonnes , et siVopérathnaété bien faite , la soustraction de la der^ mère colonne ne deçra laisser aucun reste,

(3fi)

Appliquons ce principe à 1 exemple suivant ;

^ii3i39 somme. ' 1 1 100 preuve.

Pour m*a88urer que ii3i39 est bien la son|me de» trois nombres proposés, je reprends Taddition de

gauche à droite , et je dis : la somme de la première colonne est 10 qui, retranchés de 11, laissent pour reste i, ou une dizaine qui, jointe avec le^,chiffine suivait, fiiit i3.

La somme de la seconde colonne est ta qui, re* tranchés de i3, laissent pour reste i , ou une dizaine qui, jointe au chiffre suivant , fait 1 1.

La somme de la troisième colonne est 10 qui, retranchés de 1 1 , laissent pour reste i , ou unie diaaîne qui, jointe au cbififire suivant, &it i3.

La sonùne de la quatiîèrae colonne est i3 qui, retranchés de i3 , ne laissent aucun reste; c'est pourquoi j'écris o. Enfin la somme de la cmquième et dernière colonne est 9 qui, retranchés de 9 , ne laîs^ sent non phis aucun reste : partant mon résultat est juste.

Car on sent fort bien que ce procédé consistant à

retrancher successivement de la somme totale toutes les dizaines et unités de mille, toutes les centaines, totites les dizaines , et toutes les unités simples que renfennaient les nombres proposés, en dernière ana* l3r8e il ne peut rien rester.

5a. ha preuve cle la soustraction se fait en OjOU" tant la différence trouvée avec le plus petit nombre donné : si l'opération a été bien faite , la somme gui

M réiuke dok être égale au plus grand de ces deux nombres.

Ainsi , pour m*assurer de TeTcactitude du calcul, dans ie premier exemple de la soustraction ,

802 différence.

$726 preuve.

r^oute le plus petit nombre avec la différence ; et ^yant trouvé potir sopime 5726, nombre égal au plus grand, j'en conclus que le premier résultat était exact.

£n effet, la différence exprime ce <{ui manque au plus petit nombre pour égiÂer le plus grand ; donç , si Ton ajoute cette même différence au plus petit

nombre , on doit nécessairement reproduire le^ plus grand.

De la preuve de la multipUcation et de la dmsiafi.

53. La multiplication et la division se servent réciproquement de preuve comme Taddition et la sous* . traction.

Cette vécité «dérive immédiatement de ia nature mème^e ces deux opérations. £n effet, puisque multiplier e^est prendre le multiplicande autant de , fois qu*il y a d'unités dans lè multiplicateur^ il suit de là que le produit contient It; multiplicande autant de fois que Tunité est contenue dans le multiplicateur , et que , par conséquent , si Ton divise <ce pro* duit par ke multiplioaQde^^on doit trouver pour quotient le midtiplicateur.-Or, comme il est permis de

prendre le multiplicande pour le multiplicateur , et réciproquement (20), on doit Urer de là la conclusion suivante:

54. Si Pon divUe le produit d^une multiplicadou paw Vun de ses facteurs, on doit trouver pour quotient t autre facteur (*), ' »

55, De même, puisque , dans une division , le quo^ tient indique combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende, il s'ensuit que, si ^on muU^^Ue U diviseur par le quotient y on doit reproduire le divi^ dende. Il est sous -entendu néanmoins que pour reproduire ce dividende d'une manière exacte , il est nécessaire, si la division a 1^^ w rester de l'i^outer au produit (**)^

Sur quelquejS usages la nudtipUca^ion.

$6. La mtdtipUcation ^ dont l'usage est très^tend|i|i est souvent appliquée à la réduction des unités d'unes

certaine espèce, en unités d'une plus petite espèce; comme à celle de pistoies en réaux , et de ceux-ci en maravédis \ ou biem des livres en sous, et des sous ei^ deniers, etc. A cet effet , U faut multiplier successive'-^

(*) Indépendamment de cette piW f i* générale , cbacnn pent »*en de particnlières. On pent, par exemple, doubler, tripler nu

des facteurs de maltipIicali,on, et yoir si le produit de celni-c^ par Tantre est double ou triple du produit trouvé; on bien encore,, on pent multiplier le double ou le triple de l'un des facteurs par la, moitié ou le tiers de l'antre , et alor^ on doit avoir un nonvean pror dnit égal an premier. '

(**) Mém6 obaemttoii pour U preave de U division que pour c«U« àb la ■aaltîplîoatioB. On pent multiplier le dividoide par a on par 3 par exemple» et alors on doit avoir va qnotiettt double ovk triple dn premier qnoUent d^e troav^.

ment la somme des unités de la plus grande espèce^ par h nombre qui exprime combien dé fois chacune de ces unités contient celle en laquelle on veut réduire.

Ainsi, si Ton me demande combien la pistoles 17 réaux et i3 maravédis valent de maravédis, comme la pistole vaut 3a réaux, je multiplie les 12 pistoles par 3a; et au produit 384 ajoutant les 17 râiux, j*ai 4oi réiuz en tout.

Gomme r réal Tant 34 marayédis, je multipHe encore ces 4^1 réaux par 34; et au produit i3()34 ajoutant les i3 maravédis , j'ai i3647 "maravédis pour la valeur totale des la p'** 17 r'" i3 m**".

57. Pareill^ent, pour réduire 5'^ 3*^ tout en dmiers, comme i livre vaut ao sous, je multipHe 5 par 20 , ce qui donne lo^ sous , et io3 sous en y comprenant les 3 sous; je multiplie ces io3 sous par la pour avoir des deniers, et au produit i236 ajoutant les 9 deniers I je trouve que les 5^ 3^^ 9^ valent ia45 deniers en tout, c'est-à-dire ia45 fois la a4o^ parde d*nne livre.

Sur quelques usages de la dimion.

58. lia division sert, entre autres usages, à couver* tir des unités d'une cert^ne espèce , en imités d'une espèce supérieure : comme , par exemple , des pouces en pieds , et ceux-ci en toises ; des deniers lubs de Hambourg , en sous lubs, et ces derniers en marcs de banque, etc. A cet effet, UJImt diviser successivement lasomme des unités de la plus petite espèce ^ par le nom* ère qui exprime combien U faut de ces unités pour en composer une de l* espèce supérieure en laquelle on veut les convertir, ,

Ainsi , si Ton me demande combien 4936* deniers lubs de Hambouig valent de marcs de banque ,

connut* 12 deniers lubs font i sou lub, il est évident qu autant de fois le nombre proposé 49^^^ contiendra la, autant il contiendra de sous lubs. Je commence <&nc par prendre le douzième (5o) de 49^6 , qui est 4ii sous , plus 4 deniers de reste; et comme i6 sous lubs fout I marc de banque, pour évaluer ces sous en marcs , j'en prends le seizième , qui est 25 plus t\ sous de reste ; et je trouve par ce moyen 25 miMTcs^ II sous 4 deniers lubs, pour la valeur totale des 49^6 deniers.

Des fractions.

59. Les restes de division conduisent naturellement à ce qu on appelle Jraetiom ou nombres rompus , qui servent à exprimer une ou plusieurs parties égales

d'un entier. On entend par entier, un nombre quelconque considéré comme un tout.

Ainsi dans l'exemple i^'^ 4u n'' 4^ 9 où il s'agissait de savoir combien 9878 réaux de plate contenaient de piastres, après avoir trouve ia34,pour quotient, il a demeuré 6 de reste. Nous nous sommes arrêtés à ce point de l'opération où la division est dêvenue impossible , et le quotient dans son intégrité a été Ya34 j de piastre; cesï-à-dire ia34 piastres et 6 réaux. Ces | sont une âaction dans laquelle 8 est le ^ nombre qui exprime un tout; et ce tout est la piastre, que l on conçoit partagée en huit parties égales, appelées rcaiix,

60. Il a donc fallu rompre ou déconi[)oser la piastre, pour évaluer des restes phis petits qu elle. Ces restes, qui sont ici des réaux , sont appelés nombres rompus ou fractions.

Ainsi le réal ivest qu'une fiactiou de la piastpe; niais il devient en même temps un nombre entier quand

Digu,^^.u L> ^oogle

on le compare à i^uelque autre unité plu* petite, comme par exemple au maraTédie.

Car, pour évaluer des restes plus petits'que le réal, il a fallu le rompre à son tour en un certain nombre de parties égales, qu'on a appelées maravédis, et on est oônvenu qu'il foudrait 34 àe ces parties pour cora* poser I réal. Gdui-ci' est éoac un toilt par rapport aux mamrédis , comme la piastre est un tout par rapport aux réaux ; et le maiavédis n'est que la 2^2^" partie de cette même piastre.

61. Pour former une fraction, il faut , comme on ▼oit, le concours de deux nombres qui s'éciÎTent l'un au-dessous de Tautre, arec un trait 'de séparation. Le nombre placé au-dessus du trait , qui s'énonce le premier, se nomme numérateur ^ parce qu'il sert à compter le nombre des [larties que Ton prend; et celui écrit au-dessous s'appelle dénomin^iteur, patce qu'il donne son nom à la fraction , en indiquant en combien de parties égales l'unité* a été partagée. Ainsi dans I, quMl faut énoncer si\v huinemcs , 6 est le numérateur, et 8 le dénominateur; on les appelle encore , d'un nom commun , les deux termes de la fraction.

6s. Voilà deux idées bien distinctes qui sont comme inséparables de toute fraction. En effet, je ne saurais énoncer par excnjple, sans concevoir en même temps que le tout dont il s'agit a été divisé en 8 parties égïdes, et qu'on prend six de ces mêmes parties; de.soite que | Talent six buitièmes de Tu-' nité; car ^ Talent la buitîème partie de 6 unités, puisque, pour avoir la huitième partie de 6 , il faudrait diviser 6 par 8 (5o). Or, il est évident que la buitième partie -de 6 unités, ou les ~ d'une unité, ne sont qu'une seule et même cbose, piiisqu'il est Trai

de dire que, dans les deux cas, on aura pm< six ibis la huitième ptfttie d une unité. -