Lorsque, pour définir une surface, on se bornera à en
ik INTUOD.UÇTION A LA TOPOGRAMlE.
tracer les sections principales i il faudra adopter une équtdistànce telle que les éléments de plans tangents â une zône^ limitée par deux sections consécutives^ se confondent sensiblement avec cette zone , dans le sens de plus grande pente ; ensorte que l'équidistance devra être alors d'autant moindre que l'échelle de description sera plus grande. Ce qui s'ex-
primera généralement par-— =a, h étant l'équidistance,
— réchelle^ a une con^/anf^, et l'exposant a; restant positif et
entier : pour que h devienne nulle ou infUiie en même temps que M, et que^ â une valeur de m, corresponde une seule var leur de H.
37. Pour trouver sur une surface, décrite par ses sections principales, la cote d'^un point projeté: je suppose la pro^ jectioo donnée a [fi^> 9) située entre les deux sections principales gu, sq cotées g' et i»^; je conduis par le point a une droite g$s à-peu-prés perpendiculaire à celle des sections dont il est le plus éloigné: cette ligne^ qui sera peu différente de la projection de plus grande pente, pourra être consi-
dérée comme projection d'une droite gs contenue sur la zOne GSQU, en sorte que a correspondra au point a de cette
drjoite, et que sa cote a' sera déterminée par — = — , ou ^ ^ Qt ge
(a'—*') = — {$' — *')• S *^> ^^ > ®" représentant par h Té-
quidistance(^' — t'), on aura a'ssj' + H - — ; c'est-â-dire
g* que : pour avoir la cote du point correspondant à a, il faudra
tijt
ajouter la fraction — de l'équidistance h à la moindre des cotes principales voisines.
38. Un autre point h 9 compris aussi dans la z6ne principale ugsq {fig. 9), aura , de même, pour cote ; 6'=«'+ h — 5
uq
en sorte que, si — = X , a' égalera 6' : c'est-à-dire, que
gs uq
les points a et 6 auront la même cote. Ainsi, tous les points
6Ê0MKTMB DESCRIPTIYB. 15
divisant proportionnellemeDt les intervalles compris par les projections de deux sections principales consécutives; pourront être regardés comme appartenant à la projection d'une section parallèle intermédiaire , cotée en raison du rapport observé.
Conséquemment , on obtiendra la projection d'une section parallèle cotée a': en cfaercbant, d'abord, les cotes principales consécutives g\ $' qui comprennent «' (fig, 9), pour par-
taffer ensuite . selon le rapport --r ^;, chacun des espaces
gs, df, uq. ... de la z6ne correspondante ugsq , et joindre les points de division a, e, b. •
39« Pour mener, par un point e pris sur une surface (fig. 9), un plan tangent à cette surface: on tracera la section parallèle qui passe par ce point , en déterminant d'autres points , a, 6,«... tels que leurs distances aux projections principales ^tt, sq aient un même rapport, et on conduira la normale df à cette section intermédiaire, laquelle normale sera la projection de la ligne de plus grande pente du plan tangent en Cj ayant pour cotes , en d et f-, celles des sections principales gu, sq.
kù. L'intersection do deux surfaces, décrites par leurs sections principales, s'obtiendra en les coupant par des plans parallèles au plan de projection , et en cherchant les points communs aux sections. principales et intermédiaires de mêmes cotes.
Soient (fig, 10] deux surfaces a et b, dont tes cotes principales se déduisent de la cote (50, 5) appartenant à la section ponctuée, qui termine la surface b.
Les deux surEeices se pénètrent, un peu au-dessous de la section principale cotée M.
Si les rencontres des sections principales de mêmes cotes ne fournissent pas des points assez rapprochés de Tintersection des surfaces, on recourra aux sections intermédiaires ; ainsi , la section parallèle aa^ déterminée dans la surface ▲ , à demi<*dîstattce des sections n.^' kk et A&, conformément
16 I>TRODU€T10N A LA TOPOGIIAPUIG.
au § 88 « coupera la section Wy de même cote dans la sur* fece B / en des points dé la Iig.ne cherchée ; d'autres sections parallèles-milieu de a couperont aussi les sections intermédiaires de B suivant de nouveaux points; et, en multipliant ces sections auxiliaires de proche en proche^ entre les cotes k^ et 46 dès deux surfaces : on obtiendra des. points successifs de rinterseclion , jusqu'à ce qu'on arrive à des lignes intermédiaires de même cote cc^ dd'^ tangentes l'une à l'autre au (joint limité s de cette intersection, qui se projettera alors selon la courbe tsb, dont les points auront pour cotes celles des sections parallèles qui ont servi à les déterminer.
41. L'intersection d'une surface par un plan est un cas particulier de la question précédente. Les sections paralléleis du plan seront des droites perpendiculaires à sa ligne de plus grande pente, et passant par les points de celte ligne convenablement cotés. Ces droites couperont les sections parallèles correspondantes de la surface, en des points de l'intersection proposée.
Soient [fiy. 11 ) fi la surface et fl la projection de la ligne de plus grande pente du plan coupant, déterminée parles cotes (45,5), (49,5). Je divise fl en 8 parties égales, pour avoir les points cotés (46), (46,5), (47), (47,5), (48),. (48,5),. (49) de sections principales et intermédiaires -milieu du plan FL , qui rencontreront les sections analogues de ia surface B en des points de la ligne cherchée»
A un point extrême x de cette ligne , la section parallèle du plan coupant (49 7) est. tangente à celle de même cote de la surface.
On obtiendra» évidemment, des points plus rapprochés: eq multipliant davantage les sections intermédiaires', sur le plan et sur là surface.
Pour avoir la grandeur de cette intersection plane : on rabattra la ligne déplus grande pente sur le plan parallèle cote (45,5) , en la rendant hypothénuse d^un triangle rectangle qui a pour côtés: la projection fl et la longueur l{ de la cote graphique ( 49,5 — 45,5 ) = 4 ; puis on considérera wl comme
oBOMiniB DBSciirriYB. 17
charnière da plan donné , qo'on ooacfaera ior la parallèle (tô,5). Les sections parallèles dodit plan se placeront perpendiculairement â vl, et deviendront les ordonnées de Tin* tersection rabatlee*
Enfin , pour tracer la tangente au point q de l'intersection: on mènera, en ce point i le plan tangent à la surface b, est construisant la section parallèle passant par q, et élevant, sur cette section, la normale ef qui sera la* projection de pins grande pente du plan tangent, ayant poor cotes déterminantes «'=(46), /'= (i7), S 39; et, an moyen de fp = 3/*, le point p coté (M) donnera la section ^A de même cote sur le plan tangent , laquelle rencontrera la section parallèle {h9) du plan coupant en un point h de la tangente chercliée, dont qh sera la projection.
Les points ; et A éta^nl rabattus en q et b\ qb sera la tangente à rinlersection rabattue.
42. L'intersection d'une surface, par un plan rk perpendiculaire an plan de projection (fig. 10), on le profil qui dresse graphiquement les cotes de la surface dans ce plan , § 11 page 6, se décrit d'une manière encore plus simple.
Ce profil a pour projection la trace rk du plan coupant , ses points cotés sont ceux où ladite trace rencontre les projections des sections parallèles.
Tout point d'un profil, maxiihmm ou minimum par rapport au plan de projection, ayant sa tangente parallèle audit plan, est le contact d'une section parallèle tangente à la trace du profil ; en sorte que chacun des points , où cette trace sera tangente à la projection d'une section parallèle, correspondra à un point limite , maximum ou minimum.
Ainsi, la section vv'y déterminée par tâtonnement, tangente en 1» à la trace rk, donne la cote de ce point limite.
Le profil se figure dans le rabattement du plan coupant, de la manière suivante ('jl^. 10 et 12) : la trace rk est portée en r"k", aux extrémités de laquelle on élève des perpendiculaires recevant ks cotes graphiques (W), (46), (46), qui servent à tracer les sections parallèles du plan coupant.
Un point quelconque , celui qui se projette en q par exemple (fg. 10), se rabattra sur la perpendiculaire q"Q {fig. 12), telle que gr'V"=gr, et devra, d'ailleurs, être sur la parallèle (46, 5), il viendra donc en q, qu on aurait obtenu en faisant immédiatement Qa=^qr. Tout autre point n du profil se trouvera, en portant la distance kn sur la parallèle de même cote
que lui.
Pour marqiter le point limite u: on tracera des sections intermédiaires aux courbes {kl) et (48) [fig. 10), au moyen des subdivisions successives de leur intervalle, jusqu'à ce qu'on arrive à la ligne vv' tangente à rk, en u. Or portera r"u"=:zru [fig. 12), et l'on fera u" u égale à la cote graphique de la section parallèle vt)^
43. On aura les points de rencontre d'une droite avec une surface: en regardant cette droite Fe {fig> 10), déterminée par les cotes (45, 5), (50,3), comme celle de plus grande pente d'un pian qui coupera la surface b suivant une ligne dont on construira, seulement , les éléments voisins des points cherchés ; et chaque élément yy' sera facile à reconnaître , par la comparaison des cotes principales de la droite Fe à celles de la surface b.
44. Pour définir graphiquement la surface cylindrique, enveloppant une surface donnée et ayant ses génératrices parallèles à une droite connue: on construira les sections de cette surface par des plans parallèles à la droite; et les tangentes tracées à chacune d'elles, parallèlement à cette droite, seront des génératrices de la surface cylindrique. U est, quelquefois, avantageux de choisir les plans coupants perpendiculaires au plan de repère.
S'il s'agit de déterminer la surface conique , enveloppant une surface donnée et ayant son sommet en un point connu : on construira des sections de la surface , et particulièrement des profils, suivant des plans passant par ce point; et les tangentes, conduites dudit point à chacune des sections , seront autant de génératices de la surface-enveloppe.
