Lorsque les angles i et i seront assez petits , pour

pouvoir remplacer, dans cette formule, sin ij[)ar ,

arc t sin i par , et y négliger Ii;s termes contenant les puis-

32 Il^TRODUGTION A LA TOPOGRAPHIE.

saneesde,— ou — supérieures à la 2,« ce qui aura lieu quand

(arc 5^ \ ' 1 ^

alors» sin (— 5— ')# «în | ^ ) pourront aussi être rempla-

. arc(i+*) arc (i — %) , , .. ,„

ces par — ^— ï — - , ^ , le produit cos i cos % par 1 u-

nitéy et la valeur de — deviendra :

.•„.(— )=(i+i)'.,l.i.,-(i^)eo.|„.r

I et % étant les nombres de centigrades contenus dans les inclinaisons Gsc^ bsb' [fig 20.)

En remplaçant, dans ce dernier résultat» l'et t par leurs formes primitives (!''— 6), (l^*— c') ou (10000^— ô')» (tOOOO — c^), § 62, on aura :

Cette formule est employée pour réduire à Thorizon les angles observés en géodésie, § 320, Livre III.

65. Dans le cas particulier, où i*un des côtés de Tangle a sera dans le plan de projection , e-èt-d : i = . la primitive

réduction du § 63 deviendra — sin a cos » =cos a (cos t — 1),

qui , à cause de 1 — cos % = sin t tg -— , § 54 p. 26, produit :

^ ^^» «^ • « ♦' 4. fl— A cot a . . . i s .

-^-colalgtlg^ et -^^^.j^tg.tg-, aont

on trouve Futilité dans l'observation des inclinaisons zénithales, S 288, Livre ÏI Chap. IV.

TkMONQMBTftU. 32 A

NOTES QUI MODIFIENT LE CHAPITRE II.' DE L'INTRODUCTION A LA TOPOGRAPHIE.

Note !.<'•, suite iu $ 55 , pag$ 27.

55 frû. Lorsqu'on voudra construire les angles au mojren de leurs indices irigonoméiriquesi il faudra' calculer les tables des valeurs naturelles de ces indices, en cherchant les nombres correspondant aux logarithmes des tables trigonométriques; la table des quintuples-tangentes dn $ 309, page 180, satisfait à ce but.

On forme aussi une table des valeurs 2 sin— fournis-

sant , pour chaque angle a , le rapport de la corde g de son arc au rayon a.

Note 3.« qui supprime le ^19 de la page 40.

55 ter. Le lieu géométrique des sommets ^, f. If',... d'an-* gles égaux gtd, gt'd, gf'd..:., dont les côtés passent par les mêmes points g etd {fig. 26), est un arc circulaire qui termine le segment capable de l'angle donné gid^^z décrit sur gd.

L'arc d'un segment capable, ou l'arc eapokle, peut se tracer d'un mouvement eùMifuu ou par pointe.

On obtient l'arc capable, par un mouvement continu : en

en déterminant le centre, soit au moyen de la droite gr

(fig. 26) , considérée comme tangente faisant avec la corde

gd l'angle donné z ; soit en calculant la longueur du rayon gd

tt sinz

Les deux positions symétriques dgr, dgr' de l'angle z,

relativement à gd, fournissent deux arcs dxg » dyg qui ap*

On devra alors, pour déterminer graphiquement ce lieu z^ recourir A une autre station z avantageusement prise dans la direction az, et qui, éloignée de la circonférence dag, se placera nettement en z, pour procurer easuite le point jk' homologue à z'.

On évitera y d'ailleurs, qu'une station z soit dans le voisinage de la circonférence définie par les trois repères D,A,G : en la choisissant telle que l'un des points D,A,e,z se trouve dans la surface du triangle formé par les trois autres (fig, 24).

TRIGONOMRTIIIE. 33

Queitianê THfimoméiriquet auxquelUê iê rapparU9U Ui

opiratiom de Planimétriê.

66. Deux moyens seront employés pour résoudre ces questions: l'un, numérique, conduira à des rapports de longueurs, en remplaçant les éléments angulaires du problén\e par leurs indices trigonomélriqiies; l'autre , graphique, consistera à tracer les résultais donnés par l'observalion , à mesure et tels qu'on les obtiendra.

67. Un point z est déterminé sur un plan {fig. 2S) : par ses distances à deux autres points a et b connus sur ce plan.

En considérant z comme sommet d'un triangle ayant pour base ab: les distances déiertninantét de ce point se concluront des observations convenables à la solution des triangles.

On dit que le point z est rattaché à la base ab: quand on a effectué les mesures nécessaires au calcul ou à la construction du triangle zab.

Des points quelconques , situés sur un plan, peuvent se coordonner entre eux, quand on connaît leurs distances deux à deux; lesquelles si* concluent des rapports de ces mêmes distances, et de la valeur d'une seule d'entre elles.

68. Si on rattache, par des mesures d'angles, plusieurs points d'un plan à une même base prise à volonlé dans ce plani on pourra trouver les rapports de la base aux distances de ces points deux à-deux.

ï)n effet , soient les points a , b, v.... i /îy. 21 ) rattachés à la base uz par les triangles auz , buz , vuz.... , dans chacun desquels on a mesuré les angles en u el z.

•ir

Solution numérique. ( au sin azu

Le triangle auz fournit

triangle buz.

uz sin (azu -f- auz)

Az • sin AUZ ,

uz sin (azu + AUZ)

BU sin Bzu

uz sin (bzu 4- buz)

Bz sin BUZ -,

uz sin (bzu -{• BUZ /

vu sin vzu

triangle^ vuz. .

uz sin (vzu + vuz)

vz sin vuz

uz ~ sin (vzu + vuz)

,. ,„ ^. AU 5 AU « BU n

a OU Ion tire: — = — , — = — ,..%.... — = — , on

BU n \u p vu p

connaît alors^ dans chacun des triangles dont le sommet est en u : Tangle u résultant d'angles observés^ et le rapport des c6tés qui le comprennent; il sera donc possible de calculer

— , ... (>), dont la combinaison avec les relations précé-