LE RAPPORTEUR ANGULAIRE. 12V

huitième de la circonférence, et il prend le nom d*0CTAHT. Le sextant et Toctant siiffi^nt aux angles simples» observés en mer.

Le Rapporteur angulaire,

320. Le rapportear circulaire, dont nous avons commencé à indiquer l'usage au chapitre des instruments graphiques*, §92 à 100 page M à 52, sert à tracer les angles qui ont été observés avec les goniomètres numériques pré<Memineiit décrits.

Cet instrument, auquel , pour plus de commodité, nous avons donné un sens de numération inverse à celui des angles qu'il est destiné à marquer, § 95 piige 50, se trouvé alors dans la classe des goniomètres à limbe mobile. Il aura pour direction fixé une droite r'y' (fig, 58) devant décliner tous les coups d'alidade d*une mém<> station ; et la règle ab deviendra Taxe visuel de son alidade , tandis que le rayon zéro en sera la ligne de foi , § 169 page 102.

Ainsi, pour relever aveb le rapporteur une droite rt relativeiïient à la déclinaison ¥'y' {fy. 58) : on placera la réglé AB sur cette droite, et l'on fera glisser l'instrument jusqu'à ce que la déclinaison v'y' en devienne tin rayon, dont la graduation 6 appartiendra, alors, au coup d'alidade sur rv. Réciproquement , on tracera par un point p le coup d'alidade graduée g : en posant le rayon g sur la ligné de déclinaison yY, en même temps que ta règle ab couvrira p, § 96 page 50 et § 172 page 103;

221. De même qu'on Ta pratiqué pour les précédents goniomètres, § 184, 19*, 210, 216, on pourra assigner une graduation g' au coup d'alidade de la direction quelconque rv ifig. 58) : soit en corn luant la ligne de déclinaison x'œ' propre à ce coup d'alidade, avec un limbe donné ; soit en modifiant la numération de ce limbe, eu égard à une déclinaison voulue T'y'.

^ Il suffira, en effet, dans la première circonstance, de tracer la déclinaison x'x' par le rayon cg', quand la régie au

128 HBSURB DBS ANGLES.

coïncidera avec by: ce qui reviendra é poser sur bt le rayon g' du rapporteur retourné^ et à tirer ensuite xâ? par la régie ab.

Et , quand on voudra subordonner la numération du rapporteur à la graduation. g' imposée au coup d*alidade rv qui s'appuie sur la déclinaison Y'y^ : on écrira le numéro g' sur le rayon couvrant y y pendant que la régie ab coïncidera avec rv; et Ton partira de cette graduation g' pour numéroter les autres rayons du rapporteur, qui seront même a van? tageusement terminés à un nouveau limbe l' {fig. 53, 54, 58}«

2S@. Pour marquer sur le papier, dans leur ordre naturel, les angles qui, en une station, ont été relevés avec un goniomètre quelconque : on tracera avec le rapporteur, convenablement numéroté , les coups d'alidade donnés sur les côtés de ces angles. Or, le gixiiométre, employé dans les observations, pouvant avoir son limbe fixe ou mobile, § 169 p. 102; tandis que le rapporteur est toujours à limbe mobile : il faudra que le sens de numération de ce rapporteur soit inverse â la numération du goniomètre à limbe fixe, et le même que la numération du goniomètre à limbe mobile, pour que les coups d'alidade se tracent dans le sens de l'observation.

Si donc, on suppose que r, n, e, s, t désignent les graduations des coups d'alidade observés sur divers alignements; et que, après avoir. donné au rapporteur une déclinaison quelconque q'f {fig. SS), Ton couvre successivement cette droite par les rayons b, d, e, s, t« en conservant la règle du rapporteur sur le même point 6: les traces de cette règle fourniront les directions hr', bd, be', h$' ht'\ respectivement propres aux coups d'alidade indiqués. De sorte que les angles

graphiques r'hdy dbe\ e'hi\ auront les amplitudes et la

disposition des angles observés.

223. S'il s'agit de tracer les angles d'une station, en les appuyant sur une droite donnée xe homologue à ht' {fig. 56); on transportera en x la figure qui vient d'être faite en 6, de manière que ht' coïncide avec xe^ pour décalquer ensuite hdy hr\ !4\ hs\ en xd^ xr, xt, xs. Cependant, on évi-

LE BAPPOBTBOJI ANCiOliAIllE. 129

fera ropéraiion provisoire autour de 6» en remarquant que le transport de be' sur xe placera en qf la déclinaison auxiliaire q'f du rapporteur, comme on Teùt d'abord conclue du coup d'aiidade œe ou be' gradué s § 1^1 ; de sorte que le« coups d'alidade œd, xr, xi» ««,«•. pourront , alors, élre immédiatement rapportés au centre Xf avec la déclinaison gf du coup d'alidade primitif ce.

224. Lorsque la direction de repère restera parallèle à elle-même^ dans toutes les stations d*un goniomètre^ on de* vra , aussi , adopter une même déclinaison pour le rapporteur destiné à coordonner entre eux les coups d'alidade de ces stations.

Supposons, en effet, qu'on ait donné, avec le goniomètre à déclinaison consLinte, des coups d'alidade sur le même alignement, en deux stations différentes: ces coups d'alidade auront des graduations pareilles; et, pour que les deux traces, fournies en n et v par le rapporteur {fig, 58), aient une commune direction, il faudra que les axes de décli*naison xx et x'x' soient parallèles.

Il suffira donc de déterminer, en une seule station, la déclinaison du rapporteur, qui doit être employé avec un goniomètre dont l'alignement de repère restera constamment parallèle à lui-même, pour que cette déclinaison serve à coordonner immédiatement entre eux les coups d^alidade appartenant â des stations différentes.

C'est ainsi que les coups d'alidade, observés avec une bous*sole en plusieurs stations, s'appuieront tous sur la même déclinaison du rapporteur, tant que laiguille aimantée sera soumise â des influences semblables.

225. Le limbe l' (fig. 58), qui a été ajouté au rapporteur pour imposer une déclinaison voulue r'y' au coup d'alidade rv de graduation donnée 6^ § 221^ est dit campl^nMtaire dn limbe l : parce que les rayons, qui ont le même numéro sur les deux limbes, formant l'angle f des axes de déclinaison Y'y^, x'x'f le rayon zéro de l'un coïncidera avec le rayon f de l'autre, et chaque rayon de la plaque du rDpp^>rteur dèsi-

130 MESURE 0fiS ANGtGS.

gnera , sur ces)rmbes, des numéros ayant'f pour différence 6u complément.

Par conséquent : étant donnés deux axes xxy Yy, dont l'an* gle f aura servi à numéroter les limbes réciproquement complémentaires l, l' d'un rapporteur [fg. 58) ;'on pourra tracer la direction rv d*un coup d'alidade : en employant indifféremment le limbe l avec la déclinaison x'x' parallèle â xxy OU le limbe l' avec la déclinaison Y'y' parallèle à. Ty. SeuieniMit, il faudra distinguer ces axes de déclinaison, par des marques différentes^ § 98 page 51.

Il résulte de ces dispositions; que, si la régie du rapport teur, dans son mouvement suivant l'axe ^.'x'^ ne rencontre pas le point p destinera fixer le coup d'alidade gradué g , on appuiera ce mouvement sur Taxe Y'y', qui y procurant petilitre ce résultat ^ évitera de tracer une nouvelle ligne de dé^ clinaison convenablement rapprochée du point p.

Les figures 53 et hk représentent des rapporteurs, dont les limbes complémentaires s'emploient avec des axes rectangii*^ laires»

La PUmehette*

226» On trace , sur le papier, les angles en même temps qu'on les observe : au moyen de la Planchette que nous avons composée, § 189 page 113, d'une alidade et d'une tablette (/î^.82), sur laquelle il est inutile de marquer un limbe , et que l'on peut même priver du tuyau visuel r^v' devant en assurer la déclinaison, en formant cette tablette avec une planche épaisse, assez solidement montée sur nn trépied duff pour que les déplacements de l'alidade ban> ne lui occasionnent aucun mouvement.

Là feuille , destinée à recevoir les opérations , se tend sur ta planche â Taîde de pinces ou , mieux, encore, de rouleaux S8, rt disposés sous cette planche.

^SB- La plaiiehette fournit ordinairement les angles ré-duUs à l'horizon ; et les résultats graphiques, immédiate-

LA PLANCHETTB tSf

ment altendas de C6 goniomètre, permettent d'utUet approximations dans la mise en place de sa tablette. . En effet, A cause des limites d'exactitude indiquées par

Téchelle — , J 7 page 2, il suffira de faire correspondre,

à une différence prés yy' moindre que (fia. 82), la

loooo '

verticale de station avec le point y autour duquel doit rayonner l'alidade plongeante barv; tandis que riiorizootalilé de la planche sera convenablement établie : en plaçant à vue deux de ses côtés non paralJéles 8$, ts sur l'horizon sensible, ou même en calant cette planche avec une bille. De sorte qu'un arrivera assez promptement à la mise on place , par les dérangements brusques des branches d, u, g vissées au moyeu de la tablette {fig. 84], sans qu'il soit né* cessaire d'imprimer des mouvements de rappel A cet assemblage, qui acquiert , ainsi , une grande simplicité.

228. Pour marquer, avec la planchelle, les pmjections d'angles observés autour d'une station t, marquée en y sur la feuille ( fig. 82) : la tablette étant mise approximative'^ ment en place à cette station , on empêchera le mouvement déclinatoire de la planche, en serrant l'écrou q de son essieu contre la joue du moyeu {fig. Sï), et l'on donnera , par le centre y, des coups d'alidade y6, yA, yc,... sur chacun des alignements considérés, pour avoir les projections ^a, 6yc, 5y^... des angles formés par ces alignements.

229. S'il s'agit d'appuyer ces angles horizontaux sur un côté donné yh {fig. 82) ; cela reviendra à décliner d'abord la planchette suivant ce côté : en posant la ligne de foi de l'alidade sur yh^ et en dirigeant l'axe visuel rv dans l'alignement terrestre correspondant, par le mouvement déclinatoire de la planche qu*on arrêtera aussitôt , pour donner ensuite les coups d'alidade yk, ye, yf,v

230. JL.es directions de l'axe visuel de l'alidade étant sensiblement parallèles, dans l'étendue où les traces correspondantes de sa ligne de foi peuvent l'èlre, § 87 page 47;

131 MESDEB DES ▲NGI.BS.

il s'ensuit que , pour mener, par le point a' d'une feuille [fig. S2), une droite aV graphiquement parallèle k yv: il faudra décliner cette feuille par yv, sur une dislance yx plus

ffrande que X ■ ihélres, et donner^ par a', un

" o»,oi o»,oi

coup d'alidade eut rexlrémité x de cette distance.

231. Quand le parallélisme graphique sera exigé dans la seule longueur a'c' [fig. 8S), qui représente la dislance a'x à

l'échelle — ; a'x vaudra MXa'c', et la précédente limite deviendra a'y ^ . Gonséquemment, les coups d'alidade

lOOOO

dirigés sur un même objet, par divers points d'une feuille distants entre eux d'une quantité moindre que , pro-

lOOOO

duiront des droites parallèles, dans l'étendue graphique de la longueur yisée. Ce cfui est l'application des limites d'ex^ centricité accordées à l'axe visuel de l'alidade, § 175.

D'où l'on conclut que, si un ohstacle b empêche la direc* lion visuelle du coup d'alidade qui, lancé sur x, doit être tracé par le point y (fig. 82) : on essaiera le coup d'alidade a'c' sur X, par un autre point a' tel que a'y ne dépasse pas

, pour tirer ensuite yv parallèle à a'e\

lOOOO

232. Pour transporter en bzu l'angle b'z^u' (fig. 21): on repérera ce dernier sur le terrain, en bzu, au moyen de la déclinaison h'z' suivant un alignement quelconque bz, et du coup d'alidade js V rencontrant un objet v momentanéitaent remarqué § 185 page 109; après quoi , on relèvera cet angle bzu, en appnjant la déclinaison zb de la planchette sur le point b, pour donner ensuite le coup d'alidade zu sur l'objet u, § 229.

233. On emploie, aussi, la planchette à diviser en deux parties égales un angle ApB tracé en apb (fig, 91).

On effectuera d'abord ce partage, d vue, par la ligne px repéiée ensuite sur pg; l'angle apx égalera xpb: si , la planchette étant déclinée, par pb, sur pg, le coup d'alidade sur a couvre px; et comme, le plus souvent, ce coup d'alidade

LA PLAKCHBTTB. ISS

marquera px* difiérent de pXy le milieu o de la pelile |Murtie ûsx'y pris à vue, donnera une ligne op pour remplacer opji dans une nouvelle épreuve de coïncidence entre les deui par^ ties de l'angle hpa^ et cette coïncidence, bientôt obtenue, servira â repérer la direction qui divise Tangle Apn en deux parties égales.

/ 234. La détermination d*un alignement perpendicAlaire é une direction donnée est un cas particulier de cette que^ tien, où Ton comparera deux angles adjacents graphiques à un même angle repéré sur le terrain , pour diminuer succès* sivement la différence de ces angles jusqu'à la rendre nulle» Ainsi , s'il s'agit d'élever par le point p la perpendiculaire à l'alignement pA (fig. 91) : on déclinera la planchette, par jm sur pA, et Ton supposera perpendiculaire à pa lo coup d'alidade pb, momentanément repéré on b; puis, on éprouvera l'égalité des angles adjacents apb, bpc, par la déclinaison pa sur pB, en pa', pour reconnaître si le coup d'alidade cp, sur A, couvre la nouvelle position b'p de bp; et, dans le cas contraire, on marquera à vue le milieu t de l'intervalle cb', pour extrémité de la perpendiculaire qui , vérifiée en recommen- ^nt Texpérience précédente, servira à repérer uq point b' de l'alignement pn' perpendiculaire à pA«

^ 235. La planchette sert, encore, à tracer le segment capable d'un angle dont ce goniomètre occupe le sommet.

Soient d et g (fig. 25] les positions graphiques de deux objets D et G observés d'un lieu z, accessible dans les limites de l'écbelle ; on aura le point de rencontre du segment avec une droite quelconque ^t: en déclinant la planchette suivant tg correspondant à zg, et en donnant, par d, un coup d'alidade sur l'objet d; ce qui formera l'angle dtg égal à dzg, et, par suite, I sera le premier point cherché. On obtiendra, de même, par des déclinaisons successives en t'g, f'g,... les points du segment capable qui se trouvent sur ces droites , pourvu que les sommets t, t', ^",.... ne s'écartent de la ver-

ticale de station z que dans les limites

lOOOO

<3i 1IE86KB DBS AN6JLES.

•386. 'L'aiguille aimm^éey en IburDissant le moyen d'assufer, «uivflDt sa 'lonfHeur,!la déclinaÎAon de la planchetlQ, § IOI9 193, 198 pages 113, 114, permetlra, aussi, , de jdonner une constante dédinaison A ce gonionnétre , dans toutes les stations où les influences magnétiques seront pareilles. En sorte que, la planchette ajant d*abord été diëclinëe sur «ne ligne ab {fig, 82) , si l'on remarque la position . alors ecettpée par l'aiguille dudéclinatoire, .vissé à la tablette en 1PG9 ou posé seulement en Vcf'c' contre la ligne a'd' de la feuille : la même déclinaison se reproduira à toute autre station y en faisant tourner la tablette de manière à placer sons l'aiguille l'index du déclinatoire, qu'on aura établi dans aa. position primitive aog ou a'd^c'*

L'adjonction du déclinatoire à la planchette transforme ce goniomètre en une bodssole graphique , que l'on vient de régler sur un coup d'alidade donné, comme on l'a fait à regard de la boussole numérique, § 199 page 117.

237. On improvise quelquefois une planchette : en lui donnant pour alidade, une règle saillante rabv en bois ou en papier, § 1S8 \fig. 68), et, pour tablette, un moroeau de planche on de carton, posé sur un pied fait de trois baguettes 6S, DT, UG [fig. 83). qui se croisent dans un nœud e.

Un petit déclinatoire abc, Vissé au carton Atô ^fig. 82), complète d'ailleurs une boussole graphique, toujours suffisante aux observations qui ont plus besoin d'être promptes qu'exactes.

L'Angle et VÉquerre d'arpenteur,

238. On rattache des points entre eux par coordonnées : avec un angle constant, qui, par son fréquent usage dans l'arpentage, porte le nom d'angle d'abpenteub.

Cet instrument se compose de quatre épingles a^ b, e, d {fig. 90) s'élevant sur une plaque xr clouée à un bâton u, ou, mieux encore, de quatre pinnules pratiquées dans un prisme creux iw, terminé par une douille f pour se poser sur

L'a1I6I*B d'arpbhtsua.

«m pied* Trois des épingles, ou pianuies» «ont «fixes, et Taiitre peÉt se idéplaoer pour facilker le régleinenl ou la vérifioatioD de rinstnimeot.

L'angle d'arpenteur se reporte eii'Un point p du terrain (fig. 91) : au moyen d'objets b et a rémarf ués sur des directions visuelles db et ea, données par les piniuiles a, b,c,d; et, réciproqueadent, on forme cet ÎDslrument avec l'angle de deux alignements terrestres pa, pA : en le stationnant au sommet p de cet angle, de manière que, le rayon visuel ca passant par a, la pinnule mobile b puisse s'arrêter sur la direction pa. Enfin , pour placer l'angle d'arpenteur sur le papier: on mesurera, sur le terrain, les trois côtés mpy pA,.<aA du •Iriangle apAdont l'angle p est donné par l'instroment, et Ton construira, sur la feuille, un triangle êir« ayant ses côtés , proportionnels aux longueurs mesurées : l'angle tt^ égalant BpA, sera l'angle cherché.

239. L'angle droit pouvant -se vérifier et se tracer sans mesurer de distances; on l'adopte, le plus ordinairement, pour (jelui des axes coordonnés* Et , dans ce but, on a rendu droit l'angle d'arpenteur qui devient, alors, iQUBEBB vi*-

SUBliLE.

Pour vérifier ou régler l'équerre visuelle dont k pinnule b sera mobile, quand on n'aura pu tracer, sur la plaque {fy. 90), lesdeuxappuis <ic, M des pinnules perpendiculairement entre eux : on atationnera cet instrument sur un alignement pA recounu par l'axe visuel des pinnules c, a ififf' 91), et l'on remarquera, au loin, un objet B dans la direction db; les angles adjacents apb, bpc seront droits s'ils sontfégaux, c'est-àKliresi , mettant ca sur pa, bd vient passer par A, §'88 pag^ 47. Eu tournant donc l'équerre, pour que ea vienne dans l'alignement c'a' de pa, on observera si la position '6'c?' de bd passe par a, auquel cas l'équerre sera juste. Autrement, on déplacera la pinnule b venue enfrS de manière à diviser, en parties poraû^oii^ égales, l'inlervaUe de A au point g remarqué sur b'd'; et, pour vérifier si ce déplacement b't suffit: on éprouvera la nouvelle direction td'

136 MESURE DBS AN6LBS.

comme celle db dont on était d'abord parti, en continuant les essais précédents jusqu'à superposition des angles aiiyacents apby bpc.

Les directions, fournies par les pinnules de l'équerre d'arpenteur, se trouvant dans l'alidade; ie règlement de cette équerre n'a fait que répéter le mode de détermination des axes rectangulaires avec la planchette, § 23t.

LES GONIOMKTEBS RBPBTITEUBS.

Généralités.

. 3W. Qiielqne soignée que paraisse la division du limbe d'un goniomètre ; son imperfection, todt en échappant à tios sens, pourra souvent occasionner, dans l'évaluation des angles, des erreurs qui influeront sur les résultats dépendant « de ces angles.

Comme les inexactitudes de division d'un limbe circulaire se compensent dans la circonférence entière ; on a imaginé d'atténuer les erreurs qui peuvent affecter la graduation d'un arc de ce limbe : en concluant ladite graduation de celle d'un multiple de cet arc comprenant une ou plusieurs circonférences. Ainsi , au lieu de lire la graduation de l'arc ^1 ififf' ^^) • ^^ portera cet arc , bout-à-bout sur le limbe , jusqu'à ce qu'on ait dépassé une circonférence , en faisant :

pour avoir : 4 Arc o^| = circonférence -j- arc og^, et amplitude 0^^= ^^ [-^ — 7-^-

La mesure de l'arc o^^ sera alors obtenue, à moins du quart de l'erreur propre à l'arc og^y plus petit que l'arc ogi.

Si , au lieu de s'arrêter au point ^4, on continue à porter,

bottt-à«boQt sur le.limbe, l'arc ogi jusqu'en g^y où l'on vient

de dépasser une seconde fois le point 0, on aura :

7 arc ogiZ= ^ circonf. -f- arc og^

.- 8oo« , grad. og.

et amplit. 0^,= h^ -^

PRINCIPES DB LA KÉPRTITIOH BBS ANGLES. 137

de sorte que cette appréciation de l'arc og^ n'encourra plus que la septième partie de Terreur propre à la grsiduation de l'arc og^.

En général y l'arc z, n fois porté sur un limbe, de manière à comprendre n circonférences de ce limbe plus un arc X inférieur à z» produira : n arc z = n circonf. + arc z$

j, , ,., j *• / I grad. nrcz d où : amplitude arc z = — 4ooi -f- 2 .

On obtiendra donc la graduation d'un angle vea^ avec une limite d'exactitude désignée : en portant convenablement > sur le limbe , Tare qui mesure cet angle.

241. L'approximation précédente sera également atteinte: en donnant au goniomètre plusieurs index, qui, marquant chaque coup d'alidade en divers endroits du limbe, fourniront une lecture moyenne d'autant moins incertaine que ces index seront plus nombreux.

Ainsi 9 en supposant quatre index b, a, b', a' {fig. 80),' qui désignent, après le coup d'alidade sur le premier côté d'un angle c : les graduations g^y g^^ g^, ^4 ; et , après le coup d'alidade sur le second H;ôté de cet angle : g^, g,, g,, g^; l'amplitude de c aura quatre graduations lues sur différentes parties du limbe, savoir 2 (g,— ^,), (g,— ^,), (g,— ^5), (Q^—g)^^

dont la moyenne (^^-^ i)+ (««-^«)+ {^^-9.)+ (o.-9.)^ ^„ (ei + e. + e, + C4)(^.+y.+y,+jr4)^ j^^„era

une valeur de c, dans laquelle les erreurs de lecture auront, au moins, quatre chances de compensation.

De plus, la décentration des index n'influera pas sur cette valeur moyenne de c : en effet c, observé avec les index décentrés b et a, aura pour mesure, § 178 page 106 ,

l'observation des index b' et a' donnera aussi :

138 MESURE DBS ANaLBS

«t la moyenne entre ces résultats reproduira la valeur précédente de G.

242. Le principe de la répétition des angles» mis en usage avec un goniomètre , atténuera: non seulement, l'incertitude de lecture sur le limbe; mais encore 9 les importantes et inévitables errewrs.de poinlé, auxquelles les multiples mesures offrent des chances de compensation.

Le GONIOMETRE REPETITEUR Suppléera donc efficacement : l.<* à rimparfaile division du limbe, pai^tiouHérement due à ia petitesse de son rayon; 2.'o à Tincertitude du pointé, provenant surtout de la longueur des côtés observés. Et, poitr qttfun goniomètre serve à la répétition; des angles , il faudra qiieFalidade et le tuyau visuel-déclinatieur puissent se mouvoir et s'arrêter contre la plaque du limbe , rendue fixe ou mobile à volonté.

£0 Cercle répétiteur.

343. Considérons , d'abord, le cercle astronomique > dont la construction {fig. 78) laisse aux luaetles et au limbe une entière indépendance de mouvements brusques ou leMts; supposons que , le goniomètre aya&t son limbe fixe et décliné d'une inanière quelconque dans le plan d'un angle c , au moyen d'un alignement auxiliaire imposé à la lunettedéclinatoire, tes graduations g, g^y correspondent ailx coups d'alidade sur les côtés de l'angle : cette première observation fournira g^ — ^=c.

Fixons, maintenant , au limbe la dernière position g^ de Palidade, pour en amener ensuite, par la rotation du4imbe. Taxe visuel sur le premier côté de l'angle ; le goniomètre sera décliné suivant ce premier côté, et la lunette-décltnatoire assurera celte position, si on la dirige, par son mouvement propre, sur l'alignement auxiliaire primitivement choisi : tellement que l'alidade reportée alors sur le second côté, par son mouvement particulier, déterminera une autre graduation g^\ et l'on aura g^ — 9i = c*

LE CBMXE BBPKTITBUB. 139

En regardant , pareilieiaent , eeite graduation g^ conme l*appui d'une nouvelle déclinaison du goniomètre suivant le premier côté de l'angle c: l'alidade^ mise une troisième fois, par son mouvement propre , sur le second côté de cet angle, donnera la graduation*^,, avec laquelle on formera^, — ;0[t=^* et, en continuant cette manœuvre, il viendra successivement:

De sorte que , en ajoutant chacune de ces valeurs de c avec cellpsqui la précèdent, on aura :

^1— y=c» 9t—9='^^f g9^g=3Cf ^4— ^=4c,

Chaque graduation comportant, d'ailleurs, l'incertitude. de lecture il, §110 page 63; la combinaison Ja plus défavorable de cesdeux erreurs produira, pour chacun des moltiples de l'angle observé, l'incertitude ^ rendue apparente dans :

C'est ainsi que , en répétant à volonté la mesure de l'angle g: on portera autant de fois son arc bout-à-bout sur le limbe, pour obtenir un multiple désigné de cet arc par la différence des graduations du premier coup d'alidade au dernier (cékii-ci comprenant la somme des circonférences qu'il aura parcourues) ; et qu'on réduira, à une petitesse voulue. Terreur d'observation d'un angle : attribuée tant à l'inexacte division du limbe et à l'incertitude de sa lecture , qu'à l'imperfection du pointé de l'observateur.

9A4. Au lieu de donner une déclinaison quelconque au Itmbe , dans la première des observations précédentes : on pourra appuyer cette déclinaison sur le premier coup d^alidade, comme on j est astreint dms les mesures suivantes ; leais alors, il sera avantageux de mettre d'abord l'alidade à zéro, pour la diriger ensuite sur le premier côté de lUngie, par Je mouvement du limbe. La première graduation ^.n'étant plus apparente, 1^ graduations des coops d'alidade con-

diiits sur le second côté de i'angle seront précisément , à

rincertitude de lecture prés —, celles des multiples corres-

pondants de l'amplitude de cet angle, c*â-d> qu'on aura :

c=9i±^, ac=^j±-£-, 3c=^5JhA 4c=5'4±— >••• fl n n* n

24<5. L'observation de la double mesure d'un angle vient d'exiger siœ mouvements , répartis entre le limbe , l'alidade et la lunette de repé.re : mais, on réduira ces mouvements à quatre^ savoir : deux au limbe, un à l'alidade, et un à la lunétte-déclinatoire , en prenant alternativement les côtés de Tangle pour alignement de cette dernière.

En effet, le limbe étant mis dans le plan de l'angle dgg {jfig. 80) et l'index fixé à la graduation g, ou zéro, dudit limbe : on amènera , par la rotation de ce dernier, l'axe visuel rv de l'alidade sur le premier côté gd, tandis que la lunette-déclinatoire r'v' sera conduite, par son mouvement propre, sur le second côté cg. Pour suivre la marche précédente : il faudrait actuellement donner sur le second côté gg le coup d'alidade g^ destiné , • ensuite , â servir d'appui à la déclinaison du limbe suivant le premier côté gd; mais, ce coup d'alidade n'ayant, ici, d'autre effet que de diriger son axe visuel sur celui de la lunette-déclinatoire : le transport immédiat, par la rotation du limbe, de ce dernier axe visuel r'v' sur le premier côté gd (fig. 81), en assurant la seconde déclinaison, évitera le coup d'alidade intermédiaire^^; en sorte que, cette dernière déclinaison étant effectuée, il suffira de donner le coup d'alidade g^ suivant le second côté cg, pour que l'index vienne, par un seul déplacement, de la graduation g, ou zéro, à la graduation g^ double de l'angle dgg.

2&>6. Le mode d'observation précédent accomplit les deux mesures successives de l'angle dgg, avec le goniomètre dont le limbe est rendu alternativement fixe et mobile, en conservant la déclinaison sur le même côté de cet angle.

En effet , le goniomètre étant à limbe fixM {fig. 80): fassure sa déclinaison en appuyant la lunette inférieure r^D'sur

tE CBACL£ IBPBTITBUR. l&l

le gecond c6té ce, et je donne le coup d'alidade g sur le premier côté CD. Soit X la graduation du coup d*alidade imaginé sur €A, c'est-à-dire, selon la position actuelle de r'v'^ on aura a;-*^ = c.

Ridons mobile le limbe du goniomètre : en fixant la lu-' nette inférieure à la plaque du limbe, et en considérant la lunette supérieure comme déclinatoire, § 179 page 106. Pour effectuer la seconde mesure de l'angle dgg , dont le sens est devenu inverse à la numération du limbe, § 174 page 104> : Taxe visuel r'v' de la nouvelle alidade étant actuellement sur le premier côté cg, a?, qui était précédemment la graduation de l'index, correspondra maintenant au premier coup d'alidade; et Ton donnera le second coup d'alidade de la présente observation : en transportant l'axe visuel r'v' sur le second côté en , au moyeu de la rotation du limbe , pendant que la lunette-déclinatoire rv sera mise et conservée eu direction de cg (/!^.81). Ensorte que: g^ étant alors marquée par l'index, il viendra g^ — â; = c, dont l'addition avec le résultat â?— ^=:C de la première mesure, donnera g^^g=i7,c.

Cette démonstration rappelle la propriété commune à tous les goniomètres qui se déclinent avec un tuyau visuel indépendant de l'alidade, § 183 page 108.

'iLVl. Quand on se proposera d'observer les multiples-pairs d'un angle avec le cercle astronomique : après avoir reconnu . le genre de division du limbe, le sens de sa numération qui détermine celui de l'angle, § 173, llk pages 103, 104^, et l'incertitude de lecture due au vernier, § 110 page 63; après avoir établi les axes visuels des lunettes parallèlement au limbe, § 160 page 94, et mis le goniomètre en place « § 187 page lia, l'index marquant zéro; on manœuvrera le cercle répétiteur de la manière suivante :

1.® Diriger, au moyen du limbe, la lunette supérieure sur le premier objet {fig. 80) ;

^.^ Conduire, par son mouvement propre, la lunette inférieure sur le second objet ;

ik2 MBSUBE DBS AK6LBS.

3.® Diriger, par ia« rotation du limbe, la luœtle infériettre siJF le premier objet' (fig^Si) ;

k.^ Établir, par son mouvement propre , la lunette supé*rieure sur le second objet;

Apràs quoi , l'index marquera la double-graduation de l'angle considéré , qu'on se dispensera, même, de lire si l'on veut continuer l'observation des multiples-^pairs plus élevés de cet angle.

La coopération simultanée de deux observateurs accélérera beaucoup la manœuvre du cercle répétiteur, tout en fa* vorisant sa précision.

Quand l'axe, ou essieu, cq sera faussé, par sa non-pei*peivdicularité au plan du limbe {fig. 78): il faudra, après chaque rotation du limbe , remettre ce plan dans celui de l'angle, avec les mouvements de rappel e, f, g,

248. Les déclinaisons alternatives du cercle répétiteur, sur les côtés de l'angle à mesurer, supposent que les excentricités des axes visuels des lunettes sont de nul effet , c'est-àdire que les alignements observés ont assez d'étendue, § 175 page 104, pour négliger ces excentricités qui, d'ailleurs , s'entre-détruisent presque complètement dans chaque double^mesure ; mais on évitera toujours l'excentricité la plus grave: par la manœuvre primitive du cercle, § 243,244, où la lunette inférieure ne remplit qu'un rôle auxiliaire.

249. Une boussole servira à la répétition d'un angle: quand son limbe obr' et son tuyau visuel rv pourront se mou* voir indépendamment l'un de l'autre [fig. 77}, en laissant l'aiguille eg remplir isolément le rôle de déclinateur spontané, dans les transports successifs de l'axe visuel sur les cô-> tés de r^ngk.

Mais, comme le repère de l'aiguille est imparfaitement reconnu , et que cette erreur de déclinaison affecte chaque coup d'alidade ; il s'ensuit que la multiple observation d'un angle avec la boussole n'améliorera pas la mesure de cet an« gle, et qu'on doit, alors, renoncer â la construction d'une bùussole-à-répétition*

LES OONIOMETIieS RÎEPiTlTKDIIS A RBFLBXI03I. I4S

Oii répéterait, ans» , la mesure d'un angle a^ec ia'plan<« chette : en déclinant suceessivement le second côté graphique sur Talignementr du premier, pour donner un nouveau coup d'alidade sur Talignement de ce second c6té; mais Vimtiiiiîé de cotte opération est trop évidente» pour qu'on doive jamais destiner la planchette é la multiple observa-* tion des angles.

Le rapporteur, qui est employé, à volonté, comme goniomètre à limbe fixe ou mobile, $ 92, 220, rend la mesure d'un angle indépendante de l'erreur de marge : en formant la différence des graduations obtenues par la double-manœuvre du § 183; mais cette faculté y qui évite seulement la déclinaison auxiliaire du rapporteur, $ 98 page 51 , est assez peu utile pour qu'on fasse plus que de la citer.

Les Goniométreê répétiteurs à réflexion.

250. En donnant, au tuyau visuel et an miroir d'un go-^ niométre à simple-réflexion, des/ libres mouvements contre la plaque du limbe : ce goniomètre pourra servir à la multiple observation des angles.

En effet , partons de la première mesure d'un angle née , accomplie {fig. 92) par les coups d'alidade-miroir ^>^i; le limbe du goniomètre étant fixé, à l'aide delà déclinaison auxiliaire rp; cette observation fournit ^i— ^^=sc, $206 page 120. Considérons maintenant g^ comme la graduation du premier coup d'alidade d'une nouvelle observation i en faisant, pour cela, coïncider l'objet auxiliaire p aveci'i*^ mage du premier «objet d , par le déplacement du tuyau visuel rv sur le limbe ; le coup d'alidade donné, alors, suivant le second côté ca, déterminera la graduation g^ telle que g^ — ^i = c. En reportant encore, par le mouvement propre du tuyau visuel , ce dernier coup d'alidade g^ sur ^n, on ob* tiendra un troisième résultat, et la continuation de cette manoauvre produira successivemeot: ^i— ^=s:c, ^t*~^i=c, 9% — 9t=^^f 9 a — ^5 = c,... De sorte que, en ajoutant cha-

ikk MESlïAE DES ANGLES.

cunede ces équations avec celles qui la précédent, il viendra: 9^ — ^ = c, ^a — ^ = 2c, ^3 — g=uCji g^ — g=i/\c

Ainsi, on aura transporté l'arc c, bo»l-à bout sur le limbe, pour obtenir un multiple voulu de cet arc, par ia différence des graduations du premier coup d'alidade au dernier (celui-ci comprenant toutes les circonférences qu'il aura parcourues, et chaque circonférence représentant 800 grades^ § 2M> page 119). Et, si l'on a choisi le zéro pour graduation primitive g de l'alidade, en observant le premier coup d'alidade au moyen du mouvement du limbe contre le tujau visuel : le dernier coup d'alidade, donné sur le second côté cg, fournira la graduation du multiple correspondant de l'angle dcg; lequel multiple sera , bien entendu, affecté de l'incertitude de lecture A, § 172 page 103.

251. L'observation de la double mesure d'un angle , avec le goniomètre à simple-réflexion , vient d'exiger quatre mouvements répartis entre l'alidade-miroir et le tuyau visuel ; mais on réduira ces mouvements à ^eux : un à l'alidade, et Vautre au tuyau visuel , en prenant alternativement les côtés de l'angle pour alignements de ce tuyau.

En effet, l'index du miroir étant fixé à la graduation g ou jiéro du limbe, numéroté de droite à gauche {fig. 95) : je prends le second côté ea pour direction d'appui, en amenant, par le mouvement propre du tuyau visuel, le second objet g sur l'image du premier objet n ; ce qui produit Je coup d'alidade g sur le premier côté. Pour suivre ia marche précédente : il faudrait, maintenant, donner sur le second côté cg le coup d'alidade g^ , qui servirait ensuite à décliner le goniomètre selon en; or, ce coup d'alidade ^j n'ayant, ici, d'autre effet que de mettre la face réfléchissante du miroir Ifdans l'alignement ro, le transport immédiat du tuyau vi^ snel de cg en en, par le mouvement général de l'instrument, (^. 96), effectuera la déclinaison suivant le coup d'alidade intermédiaire ^i; et, l'on terminera la seconde mesure de l'angle ncG .* en donnant , alors, le coup d'alidade sur cg ,

LES GOmOMETBES BÉPÉTITEÙRS A REFLEXION. 143

c-k-dy en faisant tourner le miroir ts jusqu'à ce qu'il réflè» cbisse G sur d. Mais, comme le déplacement de i'initriînienl vient de présenter le revers du miroir au point g, l'index dudit miroir parcourra: 1,^ l'arc de g en g^ mesurant l'angle dcg; 2.^ la demi-circonférence graduée b^^ pour retourner le miroir bout-pour-bout afin qu'il présente sa face au point g; 3.® la seconde amplitude de l'angle dcg. En sorte que la graduation ^2, <}ul correspondra à la réflexion de g sur d, surpassera g de {dcg + 4*'' + dcg), ou g^ — y=ï(c-l"2^')

et c = ^»— ^-— !«».

On continuera Tobservation des multiples-pairs de l'angle i>og: en regardant la dernière graduation g^ comme l'orîg^ine d'une autre mesura ; et l'oni superposera le second ob* jet G sur l'image du premier objet d , par le déplacement du iujau visueJ; puis, l'image de g sur l'objet d, par le mouvement propre de l'alidade-miroir : pour avoir la graduation jr^y telle que ^^— ^, = a (c-f-2*^), dont le rapprochement avec le résultat précédent g^ — gz=z^ {e '\'%^) conduit à

g^ — j=4(<^ + ^*') «^ c= ^*~^ — 2*. Et, aiiisidesuite,

pour les multiples plus élevés, comme nous l'avons fait avec le cercle astronomique répétiteur, § 245, 247.

252. Ce mode d'observation accomplit les deux mesures successives de l'angle dcg, avec le goniomètre à simple-ré • flexion dont le limbe est rendu alternativement mobile et fixe.

En effet , je considère 1.^ l'instrument avec son limbe mobile : en fixant le miroir au limbe , et employant le support du tuyau visuel comme repère, contré lequel glissera le limbe servant de base à l'alidade. L'angle gcd ayant un sens inverse à la numération du limbe , § 208 page 121 , cg eu «era le premier côté {fig. 95); et la graduation g , couverte par l'index du miroir, sera supposée appartenir au coup d'alidad^ selon le tuyau visuel , ^ 209. Je décline le goniomètre sur le premier côté cg : en y dirigeant le tuyau visuel rv, par le mouvement général de l'instrument, et je donne

iH^ MESURE DES AKGLES.

UD coup d'alidade-miroir suivant le second côté cd : ep faisant tourqer le limbe, sous, le tuyau visueli jusqu'à ce que le miroir U réfléchisse d sur g. Soit x la graduation que (bur« niraity alors, le support du tuyau visuel; g étant, d'ailleurs, la graduation du coup d'alidade imaginé sui.vant la position actuelle ocr du tuyau visuel : on aura x — y = GCD. 2.0 Le goniomélre devenant à limbe fixe, par le libre mouvemeni du miroir sur la plaque du limbe et la pres-^ sion , momentanément invariable, du tuyau visuel contre cette plaque; pour effectuer la seconde mesura de l'angle' DcG, qui aura, maintenant, le même sen» que la numération du limbe {fig* 96) s je décline le goniomètre sur le premier côté <;d , efi y dirigeant le tuyau visuel par le déplaeement général de l'instrunaest; Xf reptétentani i« graduation précédemment marquée par le support du tuyau visuel , eor-. respondra au cotip d'alidade imaginé selon ee tuya» et,1)9r conséquent, suivant le premier côté actuel #Dy il. reitora à donner le coup d'alidade g^ sur le second celé C6, au moyens du mouvement propre du miraûr qui , venu d'abord é la gra« du^lion ( 4'*' + ^) P^r sOfl rçtôumemeut bout-|^oiur->bemU I^ dépassera ensuite de l'amplilude PCG, pour réfléchir le second côté ce sur le premier cd. Eo sorte que nous aurons ; g^ — (4^^-1-0?) = pcci^ dont le rapprochement avec le résultat précédept x — y = GC0 fournira:

fl',— f==?ai>c(ç+4S ou g^—g^'^lc+2% et ?C^=ç?ii+a\

253. Le limbe d'un goniomètre A réflexion présentant à volonté, par son retournement, chacun des deux sens de numération, §211 page 122: son tuyau visuel pourra s'appuyer sur le même côté d'un angle, pendant la double mesure de cet angle ; tandis que l'autre côté recevra, seul, les coups d'alidade-miroir.

Car, la première observation de Tangle gcd venant d'être exécutée avec le limbe mobile [fig. 95) ; si, devant procéder à la seconde mesure de cet angle avec le Kmbe fixe, on retourne ce limbe sens-dessus^dossous (fig. 9T) pour changer

LES GONIOMÈTRBS AKPiTlTSVllS ▲ BÉFLEXION. H7

Turdre de m Bumèration : ce. restera le premier cùîé de l'angle G^Dy el conitmiera , par conséquent, à servir d'appui au tuyau visuel pour la nouvdle déclinaison du goniomètre; tandis que le c6té en recevra, encore, le coup d'alidade qui complétera Tobservation*

On a particulièrement recours à ce moyen d'obtenir les multiples-pairs d'un angle dcg : quand , Tun des objets n, g étant difficile à distinguer, on doit le choisir pour point de mire direct et lui renvoyer constamment l'image de l'autre objet.

254. Un goniomètre A double-réflexion devient répétiteur : par rindépendance des mouvements propres du grand miroir es, et du support Ra commun au tuyau visuel et au petit miroir ab {fig* 98).

En eflet , partons de la première mesure d'un angle nco (fig, 92) effectuée avec les coups d'alidade-miroir g , g^t le limbe du goniomètre étant fixé par la déclinaison nn; cette observation fournit g^ — ff = c, § 215 page 124. Considérons, maintenant, g^ comme la graduation du premier coup d'aKdade d'une nouvelle observation r en faisant cofncider )*objet D avec son image, par le déplacement du support nab sur la plaque du Hmbe ; le coup d'alidade donné alors, suivant le second côté cG, déterminera la graduation ^, , telle que g^'^g^z=zc^ En reportant encore, par le mouvement . propre du support visuel ^ ce denaier co«p d'alidade g^ snr le premier c^té en, ponr donner, ensuite, le troisième coup d'alidade g^ sur «g : on obtiendra un troisième résultat. Et ia coultnuaiioo de cette mftnœnvre produira successirement:

De aorte que, en ajoutant chacune de ces équations avec cellca qm la précédent, il viendra :

9i^9 — ^t St%'-9 = ^9 g%^9 = ^f 9i^9 = ^y

Ainsi, on aura transporté l'arc c, bout-à-bout sur le limbe,

pour obtenir un multiple voulu de cet arc : par la différence des graduations du premier coop d'alidade au dernier (celuici comprenant toutes les circonférences qu'il aura pârcou-

ik8 AiESUBB DES ANGLES.

nîesy et chaque circonférence représentant 8 angles droits, § 204' page 119). Et, si l'on a choisi le zéro pour graduation primitive g de Talidade : en observant, alors, le premier (K)up d'alidade, par le mouvement propre du support visuel ma y le dernier coup d'alidade, donné sur le second côté cg , fournira la graduation du multiple correspondant de l'angle DcG , lequel multiple sera affecté de Tincértitude de lecture

255. L'observation de la double mesure d'un angle, avec le goniomètre à double-réflexion, vient d'exiger q%Mitre mouvements répartis entre 1 alidade-miroir et le tuyau visuel; mais, lorsque les c6lés de Tangle seront convenablement grands § 2H page 124, on réduira ces mouvements à deux : un à l'alidade, et Vautre au tuyau visuel, en prenant alternativement les côtés de l'angle pour alignements de ce tuyau.

En effet, l'index du grand miroir étant fixé à la graduation zéro du limbe, numéroté de gauche à droite \fg, 98) : je prends le second côté en pour direction d'appui , en faisant coïncider l'objet d avec l'image du premier objet g , par le mouvement propre du support visuel bo; ce qui produit le coup d'alidade zéro sur le premier côté cg.

Pour suivre la marche précédente: il faudrait, mainte» nant , donner sur le second côté en le coup d'alidade ^^ qui servirait , ensuite , à décliner le goniomètre selon ce. Or, ce coupd'alidade^i rendant parallèles les miroirs a6, esy §214, le transport immédiat du tuyau visuel de en en cg, par le mouvement général de l'instrument {fig. 99) effectuera la déclinaison du goniomètre suivant le coup d'alidade intermédiaire g^ ; et l'on terminera la seconde mesure de l'angle Gcn: en donnant un coup d'alidade sur en, c'est-à-dire, en faisant tourner le grand miroir jusqu'à ce qu'il réfléchisse d sur g ; de sorte que la graduation g^y marquée alors par l'index de ce miroir, surpassera la graduation primitive zéroy de la Rouble-amplitude de l'angle Gcn, ou ^1=20.

LES GONIOMETRES EBPÉTlTEfJAS A EEFLBXION. 149

On coatinuera l'observatioD des raultiples^pairs de l'angle GCD : en regardant la dernière graduation g^ comme. Torigine d'une autre mesure; et l'on superposera le second objet n.sur l'image du premier «, par le déplacement du support visuel; puis, l'image de d sur l'objet q, par le mouvement propre de l'alidade-miroir, qui marquera la graduation g^ quadruple de la valeur de c. Et ainsi de suite , pour les multiples plus élevés, couMue nous l'avons pratiqué avec les autres gonio» métrés répétiteurs, § 246, 251.

On montrera y de même qu'on l'a fait au goniomètre à simple-réflexion § 252, que la précédente observation revient aux deux mesures successives de l'angle qçd avec le goniomètre à double-réflexion, dont le limbe est rendu alternativement mobile et fixe.

256. On verra, aussi, que la faculté de donner les deux sens de numération au limbe, par son retournement, permettra d'appuyer le tuyau visuel d'un goniomètre à doubleréflexion sur le même côté d'un angle , pendant la double mesure de cet angle ; tandis que l'autre c6té recevra , seul , les coups d'alidade-miroir.

Car, le goniomètre ayant, d'abord, son limbe mobile, et l'index du miroir étant à zéro [fig. 98) : la première observation de l'angle née s'effectuera par le mouvement du limbe, contre le tuyau visuel dirigé sur le premier côté.co , c'està-dire, en réfléchissant o sur n, la numération élant de gauche à droite.

En retournant, alors, le limbe pour en changer le sens de numération [fig. 100) : on le laissera fixe pendant la seconde mesure de l'angle dcg, qui s'accomplira en faisant réfléchir, par le mouvement propre du grand miroir es, le second objet sur l'objet d resté le premier ; de sorte que la graduation g^ , sur laquelle s'arrêtera l'index du grand miroir, sera la double mesure de nco.

257. L'incertitude de poinlét que nous avons reconnue au § 217 page 125, s'atténue considérablement par la manœuyre-multiple des goniomètres à réflexion; aussi» ces instiii-

150 INSTBVMENTS PROPBBS AU IVlVBLLEMEFrr.

inenls, dont bous avons fait voir limperfectiondattsles observations simples, aequiérent-ils de l'importance quand ils de* viennent répétiteurs. En mer, où T^n emploie prioeipalement ies goniomètres à péfl^iion pour mesnner les distances jmgu^ laires d'astres très renmrqmMes, îi y a moins d'incertitude sur le pointé; et, en outre, la répétition habile des angleis, pendant un court intervalle de temps , fournit une bcmne moyenne angulaire pour le temps-milieu des observatlous.