L’observation de la double mesure d'un angle vient

d’exiger tix mouvements , répartis entre le limbe , l’alidade et la lunette de repère : mais, on réduira ces mouvements à quatre, savoir : deux au limbe, un à l’alidade, et un à la lunette-déclinatoire , en prenant alternativement les cétés de l’angle pour alignement de cette dernière.

En effet, le limbe étant mis dans le plan de l’angle nce {fig. 80) et l’index fixé à la graduation g, ou zéro, dudit limbe : on amènera , par la rotation de ce dernier. Taxe visuel rv de l’alidade sur le premier côté en, tandis que la lunette-déclinatoire r'v' sera conduite, par son mouvement propre, sur le second côté cg. Pour suivre la marche précédente : il faudrait actuellement donner sur le second côté cg le coup d’alidade g, destiné , ensuite, à servir d’appui à la déclinaison du limbe suivant le premier côté en; mais, ce coup d’alidade n'ayant , ici, d'autre effet que de diriger son axe visuel sur celui de la lunette-déclinatoire : le transport immédiat, par la rotation du limbe, de ce dernier axe visuel r'v' sur le premier côté en (fig. 81), en assurant la seconde déclinaison, évitera le coup d’alidade intermédiaire^,; en sorte que, cette dernière déclinaison étant effectuée, il suffira de donner le coup d’alidade g, suivant le second côté cg, pour que l’index vienne, par un seul déplacement, de la graduation g, ou zéro, à la graduation g^ double de l’angle ncc.

246. Le mode d’observation précédent accomplit les deux mesures successives de l’angle dcg, avec le goniomètre dont le limbe est rendu alternativement fixe et mobile, en conservant la déclinaison sur le même côté de cet angle.

En effet , le goniomètre étant à limbe fix<' (fig. 80) : j’assure sa déclinaison en appuyant la lunette inférieure r'v' sur

LE CERCLE RÉPÉTITEOR.

le second côté cg, et je donne le coup d'alidade g sur le premier côté CD. Soit X la graduation du coup d'alidade imaginé sur CG, c'est-à-dire, selon la position actuelle de r'v', on aura x — g = c.

Rendons mobile le limbe du goniomètre; en fixant la lunette inférieure à la plaque du limbe, et en considérant la lunette supérieure comme déclinatoire, § 179 page 106. Pour effectuer la seconde mesure de l'angle dcg , dont le sens est devenn inverse à la numération du limbe, § 174 page 104: l'axe visuel r'v' de la nouvelle alidade étant actuellement sur le premier côté cg, x, qui était précédemment la gra^duation de l'index, correspondra maintenant au premier coup d'alidadé; et l’on donnera le second coup d’alidade de la présente observation ; en transportant l'axe visuel r'v' sur le second côté cd, au moyen de la rotation du limbe, pendant que la lunette-déclinatoire rv sera mise et conservée eu direction de cg (/!y.81). Ensorte que: g^ étant alors marquée par l'index, il viendra g^ — x = c, dont l’addition avec le résultat x — g = c de la première mesure, donnera gt — g — ic.

Cette démonstration rappelle la propriété commune à tous les goniomètres qui se déclinent avec un tuyau visuel indépendant de l’alidade, § 183 page 108.

’àVî. Quand on se proposera d’observer les multiplet-pairs d’un angle avec le cercle astronomique : après avoir reconnu le genre de division du limbe, le sens de sa numération qui détermine celui de l’angle, § 173, 174 pages 103, 104, et l’incertitude de lecture due au vernier, § 110 page 63; après avoir établi les axes visuels des lunettes parallèlement au limbe, § 160 page 94, et mis le goniomètre en place, § 187 page 112, l’index marquant zéro; on manœuvrera le cercle répétiteur de la manière suivante :

1. “ Diriger, au moyen du limbe, la lunette supérieure sur le premier objet {fig. 80) ;

2. " Conduire, par son mouvement propre, la lunette inférieure sur le second objet ;

MESURE DES ANGLES

3. ° Diriger, par la rotalion du limbe, la lunette inférieure sur le premier objet {fig. 81) ;

4. ° Établir, 'par son mouvement propre, la lunette supérieure sur le second objet;

Après quoi , l'index marquera la double-graduation de l’angle considéré , qu’on se dispensera, même, de lire si l’oo veut continuer l’observation des multiples-pairs plus élevés de cet angle.

La coopération simultanée de deux observateurs accélérera beaucoup la manœuvre du cercle répétiteur, tout en favorisant sa précision.

Quand l’axe, ou essieu, cq sera- fautsé, par sa non-perpendicularité au plan du limbe [fig. 78): il faudra, après chaque rotation du limbe , remettre ce pian dans celui de l’angle , avec les mouvements de rappel e, f, g.-

248. Les déclinaisons alternatives du cercle répétiteur, sur les côtés de l’angle à mesurer, supposent que les excentricités des axes visuels des lunettes sont de nul effet , c’est-àdire que les alignements observés ont assez d’étendue, § 175 page 104 , pour négliger ces excentricités qui , d’ailleurs, s’entre-détruisent presque complètement dans chaque double-mesure; mais on évitera toujours l'excentricité la plus grave: par la manœuvre primitive du cercle, § 243,244, où la lunette inférieure ne remplit qu’un rôle auxiliaire.

249. Une boussole servira à la répétition d’un*aiigle: quand son limbe obr' et son t jjau visuel rv pourront se mouvoir indépendamment l’un de l’autre [fig.'!!), en laissant l’aiguille eg remplir isolément le rôle de déclinateur spontané, dans les transports successifs de l’axe visuel sur les côtés de l’angle.

Mais, comme le repère de l’aiguille est imparfaitement reconnu, et que cette erreur de déclinaison affecte chaque coup d’alidade; il s’ensuit que la multiple observation d'un angle avec la boussole n’améliorera pas la mesure de cet angle, et qu’on doit, 'alors, renoncer à la construction d’une boufsole-à-répitition.

LES GOMOMÈTRES RÉPÉTITEURS A RÉFLEXIOS. 143

On répélerait, aussi , la inesure d’un angle avec la planchelle : en déclinant successivement le second c6té graphique sur l’alignement du premier, pour donner un nouveau coup d’alidade sur l’alignement de ce second côté; mais l'inutilité de cetle opération est trop évidente, pour qu’on doive jamais destiner la planchette à la multiple observation des angles.

Le rapporteur, qui est employé, à volonté, comme goniomètre û limbe fixe ou mobile, § 92, 220, rend la mesure d’un angle indépendante de l'erreur de marge : en formant la différence des graduations obtenues par la double-manœuvre du § 183; mais cette faculté, qui évite seulement la déclinaison auxiliaire du rapporteur, § 98 page 51 , est assez peu utile pour qu’on fasse plus que de la citer.

Les Goniomètres répétiteurs à réflexion.

250. En donnant, au tuyau visuel et au miroir d’un goniomètre à simple-réflexion , des libres mouvements contre la plaque du limbe : ce goniomètre pourra servir à la multiple observation des angles.

En effet , partons de la première mesure d’un angle dcg , accomplie [fig. 92) par les coups d’alidade-miroir g, g^; le limbe du goniomètre étant fixé, à l’aide de la déclinaison auxiliaire rp: cette observation fournit g^ — g=e, §206 page 120. Considérons maintenant g^ comme la graduation du premier coup d’alidade d’une nouvelle observation : en faisant, pour cela, coïncider l’objet auxiliaire p avec l’image do premier objet n , par le déplacement du tuyau visuel rv sur le limbe ; le coup d’alidade donné, alors, suivant le second côté ca, déterminera la graduation telle que y, — gi = c. En reportant encore, par le mouvement propre du tuyau visuel , ce dernier coup d’alidade^, sur en, on obtiendra un troisième résultat, et la continuation de celte manœuvre produira successivement: g, — g = c, ÿ, — ÿj=c, g, — g^ = c, 9 * — ÿ 5 = c,... De sorteqiie, en ajoutant cha-

MESUBE DES ANGLES.

cune de ces équations avec celles qui la précédent, il viendra: y, ““ y = c, • —y = 2 c, g^— ôc, y* “~y != 4®

Ainsi, on aura transporté l’arc c, bout-à bout sur le litube, pour obtenir un multiple voulu de cet arc, par la différence des graduations du premier coup d’alidade au dernier (celui-ci comprenant toutes les circonférences qu’il aura parcourues, et chaque circonférence représentant 800 grades, § 204' page 119). £l, si l’on a choisi le zéro pour graduation primitive g de l’alidade, en observant le premier coup d’alidade au moyen du mouvement du limbe'contre le tuyau visuel : le dernier coup d’alidade, donné sur le second côté ce, fournira la graduation du multiple correspondant de l’angle dcg; lequel multiple sera , bien entendu, affecté de l’incertitude de lecture —, § 172 page 103.

251. L’observation de la double mesure d’un angle, avec le goniomètre. à simple-réflexion , vient d’exiger quatre mouvements répartis entre l’alidade-miroir et le tuyau visuel ; mais on réduira ces mouvements à deux : un à l’alidade, et l'autre au tuyau visuel , en prenant alternativement les côtés de l’angle pour alignements de ce tuyau.

En effet, l’index du miroir étant fixé à la graduation g ou zéro du limbe, numéroté de droite à gauche (fig. 95} : je prends le second côté eo pour direction d’appui, en amenant, par le mouvement propre du tuyau visuel, le second objet g sur l’image du premier objet d ; ce qui produit le coup d'alidade g sur le premier côté. Pour suivre la marche précédente : il faudrait, maintenant , donner sur le second côté co le coup d’alidade g, , qui servirait ensuite à décliner le goniomètre selon CD; or, ce coup d’alidade g, n’ayant, ici , d’autre effet que de mettre la face réfléchissante du miroir tsdans l'alignement rc, le transport immédiat du tuyau visuel de co en cd, par le mouvement général de l’instrument , (fig. 96), effectuera -la déclinaison suivant le coup d’alidade intermédiaire g,; et, l’on terminera la seconde mesure de l’angle Dce : en donnant , alors, le coup d’alidade sur cg ,

LES SORlOHÉtRES BÈPÉTITEDRâ A BÉFLEEmN.

G-^-d, en faÛBDt tourner le miroir t $ jusqu’à ce qu’il réfléchisse G sur D. Mais, comme le déplacement de l’instrument vient de présenter le revers du miroir au point 6 , l’index dudit miroir parcourra: 1 .‘ l’arc de g en g^ mesurant l’angle DcG; 2.® la demi-circonférence graduée 4“*'’, pour retourner le miroir bout-pour-bout afin qu’il présente sa face au point g; 3.® la seconde amplitude de l’angle dcg. En sorte que la graduation ÿt , qui correspondra à la réflexion de g sur n, surpassera g de ( DCG -j- -j- DCG ) , ou y, — (c-j- a'*')

et c = ^*— — 1 “*.

On continuerit l’observation des multiples-pairs de l’angle DCG : en regardant la dernière graduation g^ comme l’origine d’une autre mesure ; et l'on superposera le second objet G sur l’image du premier objet d , par le déplacement du tuyau visuel; puis, l’image de g sur l’objet d, par le mouvement propre de l’alidade-miroir : pour avoir la graduation telle que g^ — ÿ, = 2 dont le rapprochement

avec le résultat précédent y, — ÿ = 2 (c-f-a^) conduit à g ^ — ÿ = 4(® + ®‘') c = "1 7 -■ — a"*. Et, ainsi de suite,

pour les multiples plus élevés, comme nous l’avons fait avec le cercle astronomique répétiteur, § 245, 247.

252. Ce mode d’observation accomplit les deux mesures successives de l'angle dcg , avec le goniomètre à simple-réflexioo dont le limbe est rendu alternativement mobile et fixe.

En effet , je considère 1.® l’instrument avec son limbe mobile : en fixant le miroir au limbe , et employant le support du tuyau visuel comme repère, contre lequel glissera le limbe servant de hase à l’alidade. L’angle ccn ayant un sens inverse à la numération du limbe, § 208 page 121 , cg eu sera le premier côté [fig. 95); et la graduation g , couverte par l’index du miroir, sera supposée appartenir au coup d’alidade selon le tuyau visuel , § 209. Je décline le goniomètre sur le premier côté cg : en y dirigeant le tnyau visuel rv, par le mouvement générai de l’instrument, et je donne

MESL'HE UES AN<il.ES.

UÜ

un coup d’ulidadc-miroir suivant le second côté co : en faisant tourner le limbe, sous le tii^au visuel, jusqu’à ce que lu miroir t$ réfléchisse n sur G. Suit x la graduation que fournirait, alors, le support du tuyau visuel; g étant, d’ailleurs, la graduation du coup d'alidade imaginé suivant la position actuelle ccr du tuyau visuel : ou aura x — g==GcD.

2." Le gouiuiiièlre devenant à limbe fixe, par le libre muuvemcul du miroir sur la plaque du limbe et la pression , n.omentanémeiit invariable, du tuyau visuel contre celte |)laque; pour effectuer la seconde mesure de l’angle DcG, qui aura, maintenant, le même sens que la numération du limbe [fig. 96) : je décline le goniomètre sur le pre- • rnier côté en, en y dirigeant le tuyau visuel par le déplacement général de l’instrument; x, représentant la graduation [)récédeinnieul marquée par le support du tuyau visuel , correspondra au coup d'alidade imaginé selon ce tuyau et, par conséquent, suivant le premier côté actuel co; il restera à donner le coup d’alidade y, sur le second côté cG, au moyen du mouvement propre du miroir qui , venu d’abord à la graduation (4"*’ -1- par son retournement bout-pour-boul, la dépassera ensuite de l'amplitude ocG, pour réfléchir lesec<)iid côté CG sur le premier co. Eu sorte que nous aurons :

— (4'*-|-ir') = DCQ, dont le rupprocheuieiit avec le résultat précédent x — g = ocD fournira:

y,— ÿ=2DCG-l-4'', ou ÿ.— ÿ = et a-».

253. Le limbe d'un goniomètre à réflexion présentant à volonté, par son retournement, chacun des deux si;n$ de numération, §211 page 122: son tuyau visuel pourra s’appuyer sur le même côté d’un angle, pendant la double mesure de cet angle; taudis que l’autre coté recevra, seul, les coups d'alidade-miroir.

Car, la première observation de l’angle gcd venant d’èlre exécutée avec le limbe mobile (fig. 95) ; si , devant procéder à la seconde mesure de cet angle avec le limbe fixe, on retourne ce limbe scns dessus-dcssoiis (fig. 97) pour changer

LES GOMOMÊTBES IICPÊTITELIUS ' A nÉFLESION. 14T

l’ordre de sa numération : eo restera le premier célé de l'angle GCD, et continuera , par conséquent, â servir d’appui au tuyau visuel pour la nouvelle déclinaison du goniomètre; tandis que le côté cD recevra, encore, le coup d'alidade qui complétera l'observation. i'

On a particuliérement recours à ce moyen d'obtenir les multiples-pairs d’un angle ncG : quand , l'un des objets n, g étant difficile à distinguer, on doit le choisir pour point de mire direct et lui renvoyer coiistatnineiil l’image de l’autre objel.

254. Un goniomètre à double-réflexion devient répétiteur; par l’indépendance des mouvements propres du grand miroir CS, et du support na commun au tuyau visuel et au petit miroir ab {fig. 98). ' '

£n effet, partons de la première mesure d’un angle dcg {/îy. 92) effectuée avec les coups d’alidadc-miroir g, g,, le limbe du gouiomélrc étant fixé par la déclinaison nn; cette observation fournit g, — g = c, § 215 page 124. Considérons, maintenant, y, comme la graduation du premier coup d'alidade d'une nouvelle observation : en faisant coïncider l’objet D avec son image, par le déplacement du support Rab si:r la plaque du limbe ; le coup d’alidade donné alors, suivant le second côté cg, déterminera la graduation y,’ telle que y, — y,=c. En reportant encore, par le mouvement propre du support visuel, ce dernier coup d’alidade y, sur le premier côté CD, pour donner, ensuite, le troisième coup d’alidade y, sur cg ; on obtiendra un troisième résultat. Et la continuation de cette manœuvre produira successivement:

l)c sorte que, en ajoutant chacune de ces équations avec

celles qui la précèdent, il viendra :

Ainsi, on aura transporté l'arc c, bout-à-bout sur le limbe, l>our obtenir un multiple voulu de cet arc : par la différence des graduations du premier coup d’alidade au dernier (celuici cnmpr(‘uant tout<‘s les circonférences qu’il aura pairou-

.VESUBE DES ANGLES.

rues, et chaque circonférence représentant 8 angles droits, § 204 page 119). Et, si Ton a choisi le zéro pour graduation primitive g de l’alidade : en observant, alors, le premier coup d’alidade, f»r le mouvement propre du support visuel aa , le dernier coup d’alidade, donné sur le second c6té cg , fournira la graduation du multiple correspondant de l'angle DCG , lequel multiple sera affecté de l’incertitude de lecture

255. L’observation de la double mesure d’un angle, avec le goniomètre à double-réflexion, vient d’exiger quatre mouvements répartis entre 1 alidade-miroir et le tujau visuel ; mais, lorsque les côtés de l’angle seront convenablement grands §214 page 124, on réduira ces mouvements à deux : un à l’alidade, et l’autre au tujau visuel, en prenant alternativement les côtés de l'angle pour alignements de ce lu}'aii.

En effet, l’index du grand miroir étant fixé à la graduation zéro du limbe, numéroté de gauche a droite {fig. 98} ; je prends le second côté cd pour direction d’appui , en faisant coïncider l’objet d avec l’image du premier objet g , par le mouvement propre du support visuel bo; ce qui produit le coup d’alidade 2^0 sur le premier côté cg.

Pour suivre la marche précédente : il faudrait , maintenant , donner sur le second côté en le coup d’alidade g, qui servirait, ensuite, à décliner le goniomètre selon cg. Or, ce coup d’alidade g, rendant parallèles les miroirs ab, ce, § 214, le transport immédiat du tujau visuel de cd en cg, par le mouvement général de l’instrumenl {fig- 99) effectuera la déclinaison du goniomètre suivant le coup d’alidade intermédiaire g^ ; et l’on terminera la seconde mesure de l’angle gcd: en donnant lincoup d’alidade sur çd , c’est-à-dire, en faisant tourner le grand miroir jusqu’à ce qu'il réfléchisse o sur g ; de sorte; que la graduation g^, marquée alors par l’index de ce miroir, surpassera la graduation primitive zéro, de la double-amplitude de l'angle gcd, ou ^, = ac.

LES GOMIOMÈTKES RÉPÊTITGOES A RÉFLEXIOH. 149

On continuera l’observation des multiples-pairs de l’angle «CD : en regardant la dernière graduation comme l'origine d'une autre mesure; et l'on superposera le second objet n sur l’image du premier g, par le déplacement du support visuel; puis, l’image de n sur l’objet g, par le mouvement propre de l'alidade-miroir, qui marquera la graduation quadruple de la valeur de e. Et ainsi de suite, pour les multiples plus élevés, comme nous l’avons pratiqué avec les autres goniomètres répétiteurs, § 246, 251.

On montrera, de même qu’on l’a fait au goniomètre à simple-réflexioD § 252, que la précédente observation revient aux deux mesures successives de l’angle gcd avec le goniomètre â double-réflexion, dont le limbe est rendu alternativement mobile et fixe.

256. On verra, aussi , que la faculté de donner les deux sens de numération au limbe , par son retournement , permettra d’appujer le tuyau visuel d’un goniomètre à doubleréflexion sur le même c6té d’un angle , pendant la double mesure de cet angle ; tandis que l’autre c6t« recevra , seul , les coups d’alidade-miroir.

Car, le goniomètre ayant, d’abord, son limbe mobile, et l’index du miroir étant à ziro [fig. 98) : la première observation de l’angle dcg s'effectuera par le mouvement du limbe, contre le tuyau visuel dirigé sur le premier c6té en , e’està-dire, en réfléchissant g sur o, la numération élant de gauche à droite.

En retournant, alors, le limbe pour en changer le sens de numération ( fg. 100) : on le laissera fixe pendant la seconde mesure de l’angle dcg, qui s’accomplira en faisant réfléchir^ par le mouvement propre du grand miroir e$, le second ot^el G sur l’objet n resté le premier ; de sorte que la graduation y, , sur laquelle s’arrêtera l'index du grand miroir, sera la double mesure de dcg.

257. L'incertitude de pointé, que nous avons reconnue au $ 217 page 125, s’atténue considérablement par la manoeuvre-multiple des goniomètres A réflexion; aussi, ces instm-

150 * INSTRUMENTS PROPRES Al .MVELLBMENT. ‘

inents, dont nous avons fait voir l’imperfection dans les observations simples, acquiércnt-ils de l’importance quand ils deviennent répétiteurs. En mer, où l’on emploie .principaleioent les goniomètres â réflexion pour mesurer les distances angulaires d’astres très remarquables, il y a moins d’incertitude sur le pointé; et, en outre, la répétition habile des angles, pendant un court intervalle de temps, fournit une bonne moyenne angulaire pour le temps-iiiilieu des observations.