LA PLANCHETTE

marquera px' différent de px, le milieu o de la petite partie xx', pris à vue , donnera une ligne op pour remplacer xp dans une nouvelle épreuve de coïncidence entre les deux parties de l’angle bpa, et cette coïncidence, bientôt obtenue, servira à repérer la direction qui divise l’angle Apa en deux parties égales.

234. La détermination d’un alignement perpendiculaire d une direction donnée est un cas particulier de cette question, où l’on comparera deux angles adjacents graphiques à un même angle repéré sur le terrain , pour diminuer successivement la différence de ces angles jusqu’à la rendre nulle. Ainsi , s’il s’agit d’élever par le point p la perpendiculaire à l’alignement pA (fig. 91) : un déclinera la planchette, par pa sur pA, et l’on supposera perpendiculaire à pa le coup d'alidade pb, momentanément repéré en b ; puis, on éprouvera l’égalité des angles adjacents apb, bpe, par la déclinaison pa sur pB, en pa', pour reconnaître si le coup d’alidade cp, sur A, couvre la nouvelle position b'p de bp; et, dans le cas contraire, on marquera à vue le milieu t de l’intervalle c6', pour extrémité de la perpendiculaire qui , vérifiée en recommençant l’expérience précédente, servira à repérer un pointe' de l'alignement pu' perpendiculaire à pA.

235. La planchette sert, encore, à tracer le segment capable d’un angle dont ce goniomètre occupe le sommet.

Soient d el g {fig. 25} les positions graphiques de deux objets D et G observés d’un lieu z, accessible dans les limites de l’échelle ; on aura le point de rencontre du segment avec une droite quelconque gf. en déclinant la planchette suivant tg correspondant à zg, et en donnant , par d, un coup d’alidade sur l’objet d; ce qui formera l’angle dtg égal à dzg, et, par suite, t sera le premier point cherché. On obtiendra, de même, par des déclinaisons successives en t'g, t"g,... les points du segment capable qui se trouvent sur ces droites, pourvu que les sommets t, t', t",.... ne s'écartent de la verticale de station z que dans les limites .

lOOOO

UESL’RE DES A.'UiLES.

236. L’aiguille aimanlée, en fournissant le moyen d’assurer, suivant sa longueur, lu déclinaison de la planchette, § 191, 192, 193 pages 113, llk, permettra, aussi, de donner une constante déclinaison à ce goniomètre , dans toutes les stations où les influences magnétiques seront pareilles. En sorte que, la planchette ayant d'ahord été déclinée sur une ligne ab {fig. 82) , si l’on remarque la position alors occupée par l’aigiiillc du déclinatoire , vissé à la tablette en ADC , ou posé seulement en a'd'c' contre la ligne a'd' de la feuille : la même déclinaison se reproduira à toute autre station, en faisant tourner la tablette de manière à placer sous l’aiguille l'index du déclinatoire, qu’on aura établi dans sa position primitive adc ou a'd'c'.

L’adjonction du déclinatoire à la planchette transforme ce goniomètre en une boussole graphique , que l'on vient de régler sur un coup d'alidade donné, comme on l’a fait à l’égard de la boussole numérique, § 199 page 1 17.

237. On improvise quelquefois une planchette : en lui donnant pour alidade, une régie saillante rabv en bois ou en papier, § 158 \fig. 68), et, pour tablette, un morceau de planche ou de carton, posé sur un pied fait de trois baguettes 6S, DT, UC \fig. 83). qui se croisent dans un nœud e.

Un petit déclinatoire abc, vissé au carton Ats <fg. 82), complète d’ailleurs une boussole graphique, toujours suflGsante aux observations qui ont plus besoin d’étre promptes qu’exactes.

L Angle et VÈquetre d'arpenteur.

238. On rattache de.s points entre eux par coordonnées: avec un angle constant, qui, par son fréquent usage dans l’arpentage, porte le nom d'angle d’arpenteub.

Cet instrument se compost- de quatre épingles a, b, c, d Ifig. 90) s’élevant sur une plaque xy clouée é un bâton u , MU, mieux encore, de quatre pinnules pratiquées dans un prisme creux if, terminé par une douille P pour se poser sur

l’arole d’arpertbub.

un pied.Trois des épingles, ou pinnulcs, sont fixes, et l’antre peut se déplacer pour faciliter le réglement ou la vérification de l’instrument.

L’angle d’arpenteur se reporte en un point p du terrain {fig. 91) : au moyen d’objets b et a remarqués sur des directions visuelles db et ea, données pur les pinnules a, b,c,d', et, réciproquement, on forme cet instrument avec l’angje de deux alignements terrestres pB, pA : en le stationnant au sommet P de cet angle, de manière que, le rayon visuel ea passant par a, la pinnule mobile b puisse s’arrêter sur la direction pB. Enfin , pour placer l’angle d'arpenteur sur le papier: on mesurera, sur le terrain, les trois côtés Bp, pA. ba du triangle BpA dont l'angle p est donné par l’instrument, et l'on construira, sur la feuille, un triangle 6ic«' ayant ses côtés proportionnels aux longueurs mesurées : l’angle ir, égalant •pA, sefa l’angle cherché.

239. L’angle droit pouvant se vérifier et se tracer sans mesurer de distances; on l'adopte, le plus ordinairement, pour celui des axes coordonnés. Et , dans ce but, on a rendu droit l’angle d’arpenteur qui devient, alors, kqdbrbb vi- SDBLLE.

Pour vérifier ou régler l’équerre visuelle dont la pinnule b sera mobile, quand on n’aura pu tracer, sur la plaque {fig. 90), les deux appuis ac, bd des pinnules perpendiculairement entre eux : on stationnera cet instrument sur un alignement pA reconnu par l’axe visuel des pinnules c, « (fig. 91), et l’on remarquera, au loin , un objet b dans la direction db; les angles adjacents apb, bpc seront droits s’ils sont égaux, c’est-â-dire si , mettant ea sur pB, bd vient passer par A, § 88 page W. En tournant donc l’équerre, pour que ea vienne dans l’alignement c'a' de pu, on observera si la position b'd' de bd passe par a, auquel cas l’équerre sera juste. Autrement, on déplacera la pinnule b venue en b', de manière à diviser, en parties poratssant égales, l’intervalle de A au point g remarqué sur b'd'; et, pour vérifier si ce déplacement b't suffit: on éprouvera la nouvelle direction td'

MESUnE DES ANGLES.

comme celle db dont on était d’abord parti, en continuant les essais précédents jusqu’à superposition des angles adjacents afh, bpc.

Les directions, fournies par les pinnules de l’équerre d’arpenteur, se trouvant dans l’alidade; le réglement de cette équerre n’a fait que répéter le mode de détermination des a^es rectangulaires avec la planchette, § 231i.

LES GONIOMÈTRES RBPÊTITEDBS.

Généralités.

■ 24d. Quelque soignée que paraisse la division du limbe d’un goniomètre ; son imperfection, tout en échappant à nos sens, pourra souvent occasionner, dans l’évaluation des angles, des erreurs qui influeront sur les résultats dépendant de ces angles. «

< Comme les inexactitudes de division d’un limbe circulaire se compensent dans la circonférence entière ; on a imaginé d’atténuer les erreurs qui peuvent afiecter la graduation d’an arc de ce limbe: en concluant ladite graduation de celle d’un multiple de cet arc comprenant une ou plaideurs circonférences. Ainsi , au lieu de lire la graduation de l’arc og, (fig. 89) : on portera cet arc , bout-à-bout sur le limbe , jusqu’à ce qu’on ait dépassé une circonférence ,.en faisant :

09 , =9i9t =9t9t=9i9*> pour avoir : 4 Arc = circonférence -J- arc og^,

et amplitude

La mesure de l'arc oÿ, sera alors obtenue, à moins du

quart de l’erreur propre à l’arc og^, plus petit que l'arc oÿ,.

Si , au lieu de s’arrêter au point on continue à porter,

bout-à-bout sur le limbe, l’arc 09 1 jusqu’en où l’on vient

de dépasser une seconde fois le point 0, on aura :

7 arc oÿ, = a circonf. -J- arc og,

, 800* , grad. og,

et ampiit. og, — 1-

PSINCIPE 6 DK LA H8PÉT1TI0N UES ANGLES. 137 de sorte que cette appréciation de l’arc n’encourra plus que la septième partie de l’erreur propre à la graduation de l’arc oÿ,.

En général , l’arc z . n fois porté sur uii limbe, de manière à comprendre n circonférences de ce limbe pins un arc Z inférieur à z, produira : n arc z = n circonf. arc z;

d’où : amplitude arc z = — 4 o°* +

N If

On obtiendra donc la graduation d’un angle Fca, avec une limite d’exactitude désignée : en portant convenablement, sur le limbe, l’arc qui mesure cet angle.

241. L’approximation précédente sera également atteinte: en donnant au goniomètre plusieurs index, qui, marquant chaque coup d’alidade en divers endroits du limbe, fourniront une lecture mojenne d’autant moins incertaine que ces index seront plus nombreux.

Ainsi , en supposant quatre index b, a, b', a' {fig. 80), qui • désignent , après le coup d’alidade sur le premier côté d’un angle c : les graduations g^, g^, g^ \ et , après le coup d’alidade sur le second QÔté de cet angle : g„ g,, g„ G 4 ; l’amplitude de G aura quatre graduations lues sur différentes parties du limbe, savoir : (fi,— p,), (fi,— ÿ,), (fi,— ÿ,), (fi«—

dont la moyenne («»— yt)+ (« 4 — y«) ^

ou i£i+3 ). ^ 1 ^» + y» + .g »±y« J, donnera

une valeur de c , dans laquelle les erreurs de lecture auront, au moins, quatre chances de compensation.

De plus, la décentration des index n’influera pas sur cette valeur moyenne de c : en effet c, observé avec les index décentrés b et a, aura pour mesure, § 178 page 106 ,

l'observation des index b' et a' donnera aussi :

MESURE DES ANGLES

et la moyenne entre ces résultats reproduira la valeur précédente de c.

Wî. Le principe du la répétition des angles, mis en usage arec un goniomètre , atténuera : non seulement, l’incertitude de lecture sur le limbe ; mais encore , les importantes et inévitables erreurs de pointé , auxquelles les multiples mesures offrent des chances de compensation.

Le GONIOMETRE RÉPÉTITEUR Suppléera donc eflicacement : l.° é l’imparfaite division du limbe, particuliérement due à .s la petitesse de son rayon ; 2.o à l’incertitude du pointé, provenant surtout de la longueur des côtés observés. Et , pour qu’un goniomètre serve à la répétition des angles , il faudra que l’alidade et le tuyau visuel-déclinateur puissent se mouvoir et s’arrêter contre la plaque du limbe , rendue fixe ou mobile à volonté.

Le Cercle répétiteur.

24i3. Considérons , d’abord, le cercle astronomique, dont la construction (fy, 78) laisse aux lunettes et au limbe une entière indépendance de mouvements brusques ou lents; supposons que , le goniomètre ayant son limbe fixe et décliné d’une manière quelconque dans le plan d’un angle c , au moyen d’un alignement auxiliaire imposé à la lunettedéclinatoire, les graduations ÿ, ç,, correspondent aux coups d’alidade sur les côtés de l’angle: cette première observation fournira ÿ ^, — =c.

Fixons, maintenant, au limbe la dernière position de l’alidade, pour en amener ensuite, par la rotation du limbe, l’axe visuel sur le premier côté de l’angle ; le goniomètre sera décliné suivant ce premier côté, et la lunette-déclinatoire assurera cette position, si on la dirige, par son mouvement propre, sur l’alignement auxiliaire primitivement choisi: tellement que l’alidade reportée alors sur le second côté, par son mouvement particulier, déterminera une autre graduation et l’on aura gi, — ÿi=c.

LE CEBCLE REPETITEUB.

En regardant, pareillement, celte graduation^, comme Tappiii d’une nouvelle déclinaison du goniomètre suivant le premier côté de l’angle c: l’alidade, mise une troisième fois, par son mouvement propre , sur le second côté de cet angle, donnera la graduation ÿj, avec laquelle on formera ÿ, — ÿ,=c; et, en continuant celte manœuvre, il viendra successivement:

De sorte que, en ajoutant chacune de ces valeurs de cavec

celles qui la précédent , on aura :

Chaque graduation comportant, d’ailleurs, l’incertitude de

lecture — , § 110 page 63; la combinaison la plus défavoraan

ble de ces deux erreurs produira, pour chacun des multiples de l’angle observé, l’incertitude — rendue apparente dans :

C’est ainsi que , en répétant à volonté la mesure de l’angle c: on portera autant de fois son arc bout-à-bout sur le limbe, pour obtenir un multiple désigné de cet arc par la différence des graduations du premier coup d’alidade au dernier (celui-ci comprenant la somme des circonférences qu’il aura preourues) ; et qu'on réduira, à une petitesse voulue, l’erreur d’observation d’un angle: attribuée tant à l’inexacte division du limbe et à l’incertitude de sa lecture , qu’à l’imperfection du pointé de l’observateur.

Âu lieu de donner une déclinaison quelconque au limbe, dans la première des observations précédentes: on pourra appuyer cette déclinaison sur le premier coup d’alidade, comme on y est astreint dans les mesures suivantes; mais alors, il sera avantageux de mettre d’abord l’alidade à zéro, pour In diriger ensuite sur le premier côté de l’angle, pr le mouvement du limbe. La première graduation g n’étant plus apprente, les graduations des coups d’alidade con-

ikO MESURE DES ANGLES.

duits sur le SCcood côté de l'angle seront précisément, d

l’incertitude de lecture prés —, celles des multiples corres-

pondants de l’amplitude de cet angle, (>-â-d, qu’on aura :