A- Y /.- — OY
— Il "" 1 '
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c"ftsL-;L-dire par les équations
X ^- (iz ^ 0,
IH
Ces deux équations définissent, la roulette.
On voit que l'axe hélicoïdal est toujours paralli'ki an plan ZAX et s'appuie sur AY ; donc le mouvement d'un tvièjire invariable attaché à une surface réglée s'obtient en faisant rouler et glisser un condidn droit sur une surface réglée.
Pour définir complètement le conoïde, il suflit de calculer son paramètre de
distribution A,. Pour cela soit PH l'axe instantané, l la distance AP et = l'angle de PH avec AX (fig. 13) ; on a {il" 11, 3")
dl dl dt ' rff dt dip
Pour déterminer ? on remarque que la projection AH' de PH sur le plan ZAX est représentée d'une part par
X — zcotgi? -= a,
et, d'autre part, par
X + fiZ ^ ;
a donc
et l'on en tire (3)
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APPLICATIO\ Dli 1.A MÉTdODE CINÉMATIQUE A l'ÉTUDE DES SORFACKS liKGI.ÉES 8H
c'est-à-difc précisément la torsion de la rcpréscnlafioii spliériqac de (R), Les équations (i) donnent d'aillfinrs
Il -+- Hk ^
~ 1 + 0^ ' d'où
dl il-^'j'){h';- iik' -H kll') — 20il'(/i + 0^i dt ~ [i + 0-)^
et, par suite,
hû/c' k — Wi—li'-k
66 Détermination de ]abase. ■ — Soient maintenant 0^, k^, k.^ les invariaiilrt de ta base et soient par rapport au triédre fixe [O.xy;:) ;
a, b, c les cosinus directeurs de l'axe hélicoïdal PH ;
«1, bi, e, les cosinus directeurs de la tangente à la représentation sphériquc du cône directeur de la base ;
«2, 6j, Cj ceux de la normale au plan tangent au même cùne.
Oïl a
(5) j /j = ^ cos 9 -H Pi sin <j,
\ c = -{ cos <f + 7j sin 10,
el si l'on appelle ^ l'arc dn la représentation spliériquc de la base, on a aussi
da
c'est-à-dire
di' di Or, en différeutiant les équations (5), on obtient
mais dans cette équation, en vertu de l'équation (2), le coefficient de a, est nul ; il en résulte que la direction ai, èj, Ci csl. menée dans le plan 2AX et fait avec AX l'angie ?+â' de sorte que l'on a
o, ^ — a sin W+ Œj cos a,
bi = — p sin <? + pj cos o,
Oi ^= — Y sin t? -h ■(, cos ?,
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84 X. ANTOMARI
et l'équation précédente devient
lia df
di~ '^' dt' En comparant avec
da . rfc Ift ~ "'di' on en conchit
on conclut aussi, Ae ce que la direction «i, b,, c, est dans le pian ZAX, que l'on a
L'invariant B^ s'en déduit immédiatement.
On a en effet
1 da^ __ i da^ dt ^ a, (^T fli cff rfd ' mais
da.^
Si l'on appelle p et t le rayon de courbure et le rayon de torsion de la représentation sphérique de la surface (R), on voit (n" 6) que
Calculons maintenant h^ et Aj. Pour cela, appelons a;,, ;/,, ï, les coordonnées absolues de P, c'est-à-dire du point central de la base, et x, y, z les coordonnées absolues du point A. On a
d'oii
dx, __ dx, di 1 'd^ ^W
ce qui montre que les composantes de la vitesse du point P, en supposant que c soit la variable indépendante, sont, par rapport au triédre (A.XYZ),
(1) r.es formules sont d'ailleurs évidentes a prîOTi piu'ce que la hase et la roulelte se vuccordeut.
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AI'I'LICATION Dli LA MÉTHODE CINÉMATIQUE A 1,'ÉTUDK I>ES SURFACES iiÉGLÉES 83
l' et f' désignant les dérivées de i et de o par rapport à (. On vérilie aisément que le point P est le point central de la base en vérifiant que la vitesse du point P est perpendiculaire à la direction «i, ôj, ci.
Pour obtenir ftj et k^ il suffit de projeter sur a, />, c et sur a^, è^, Cj le vecteur dont les composantes par rapport au trièdre (A.XYZ) sont
En projetant sur «;, à^, Cj, c'est-à-dire sur A.Y, on obtient
ce qui devait être puisque k.^ = lii ; en projetant ensuite sur a, 6, c, dont les cosinus directeurs par rapport au trièdre (A.XYZ) sont
COS a,
sincp,
m obtient de même
/ij =
-e^sin
H finalement
En résumé, on a,
pour la
roiileUe,
fi, = 0.
Al
Btpourla base.
67. Cas particuliers. — 1" Pour que /(^ = 0, il fautque l'on ait
c'est-à-dire que la ligne de striction de la surface (R) soit ligne de courbure de cette surface ; d'ailleurs hi=:^ h^ = 0; donc quand la ligne de striction de la surface décrite par AX est une ligne de courbure de celte surface, on obtient te mouvemanl du trièdre attaché à la surface en faisant rouler un conoïdedroit surua lieu de binormales.
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^6 X. ANTOMARI
2» Supposons A + e/: — 0; alors la roulette est un plan, car / = ; donc la base est une surface développable. Mais li-\-^k ^ signifie que la ligne de striction de (R) est une ligne asymptotiquft de la surface ; on voit donc que dans ce cas le mouvement du trièdre s'obtient en faisant rouler un plan sur une surface développable tout en le faisant glisser .
On détermine du reste sans difQculté le rayon de courbure p et le rayon de torsion T de l'arête de rebroussemeot de la développable : on a en effet
I \'. — Problème des roulettes
68. Dans les chapitres précédents on a vu comment, connaissant la base et la roulette, on peut déterminer soit la trajectoire d'un point quelconque, soit l'enveloppe d'un plan, soit là surface réglée décrite par une droite du corps. Je me propose maintenant de résoudre quelques problèmes inverses,
69. Froblërae I. — On donne la surface base et la trajectoire d'un point, trouver la roulette.
îl faut d'abord établir la correspondance entre les points de la trajectoire et les
génératrices de la base. A cet effet, soient {fig. 16) H l'axé hélicoïdal et M le point décrivant à un instant donné; H est justement la génératrice de la base qui correspond au point M de la trajectoire donnée C. Soit Mm la perpendiculaire à H ; la vitesse absolue du point M, c'est-à-dire la tangente U latrajectoire, est la résultante
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AI"I'LH.A110.\ DE LA MliTIlODE CI.NEMAÏiOUl; A L ETlilJK DES SL'KI'-AGIÎS RÉGLÉES f^7
d'une translation parallèle à H et d'une rotation autour do H; par conséquent clic est perpendiculaire à Mm.
Ainsi la tangente en un point M de la trajectoire doit être normale à la perpendiculaire menée de ee point sur taxe hélicoïdal, c'est-à dire sur la génératrice de la base qui correspond au point M.
Ceci établit évidemment la correspondance cherchée; on voit en effet que si M «si' un point de la trajectoire, pour avoir les génératrices de la base qui correspondent a, ce point il suffit de mener le plan normal en M à la courbe C et de prendre sur la section déterminée dans la base un point m tel que la génératrice de la base qui passe par ce point soit normale à Mm.
Le calcul va nous conduire au même résultat.
Figurons en effet à part en (A.XYZ) et en (A, .X.Y.Z.) {/ig- i'i et 18] les trîédres attachés aux deux surfaces ; soient (0.a;i/î) un trièdre fixe dans l'espace absolu et {Oi.x,i/,z^) un trièdre fixe dans le corps. Appelons C la trajectoire, J, t,, C les coor-
données du point A par rapport au trièdre (O.a^yj) et ^i, ï;i, Ï, celles du point Ai par rapport au trièdre (Oi.Xii/iZ,). Soit enfin M' le point du corps qui est en M . à l'instant t et X, Y, Z ses coordonnées par rapport au trièdre (A.XYZ). Je détermine les neuf cosinus directeurs du trièdre (A.XYZ) rapporté aux axes (O.icj/i) au moyen du tableau du numéro 1; les cosinus directeurs du trièdre (A, X,YiZ,) seront déterminés par le même tableau où toutes les lettres sont accentuées.
Les coordonnées absolues d'un point quelconque delà trajectoire sont des foncr
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00 X, ANTOMARI
tions du même paramètre Â, de sorte qu'en les appelant x, y, z on peut poser
Pour (itablir la correspondance cnti'O les points de la courbe et les génératrices de la base, il suffit évidemment d'obtenir une relation entre X et i (f sera du reste toujours l'arc de la représentation sphérique de la base); car si l'on connaît l en fonction de (, comme l'on suppose connus t», p, y, «i, p,, fi, k^, p^, % en fonction de (, on aura au moyen de ces quantités et des équations (1) les valeurs de X, Y, Z au moyen de (.
Or, le point M' étant fixe dans le corps, on a (n° 53)
dt
Dans ces relations la roulette n'entre que par ft, et Oi; en les éliminant on ii
(S) Y^'+z':^ + XY-h-tZ-0.
^ ' dt dt
Je vais montrer que cette relation exprime précisément que la taiig;ente en M à la courbe C est normale à Mw ; en effet, les composantes de la vitesse du point M sur la courbe C prises par rapport au trièdre (A , XYZ) attaché à la base sont proportionnelles (n" 5S) à
rVX
d'autre part, la direction Mm est délinie par
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ArPLir.ATION Dlî LA METHODE CINEMATICIlii; A i ETUDli DES SDRWCES UEf.l.EES 89
et si l'on exprime que les deux dirûclions sont rectangulaires, on retrouve bien l'équation (3).
Cela posÈ,
et l'on en tire
^ = M^-î)-Hp(y"^)-HT[3-C),
dX
dt ~
( dx „ dv d:\ dl
dY
dt ~
\''di^''d\^''dl) di
OY-i^LS^a.f!ï-;-,.*\*.
Je remplace ces diverses quantités par leurs valeurs dans l'oquation (3), ce qui donne
,./ dx „ dii dz\ 1 dx dv dz\
Y et Y. étant définies par (4), — Dans le calcul on supprime la solution évidente ■j- — 0, qui correspond au cas où le point M seraitflxesur C, car alors sa vitesse serait nulle et par suite pei'pendieulaire à n'importe quelle direction.
L'équation (6) définit X en fonction de ( et alors dans les équations (4) on peut supposer que tout est exprimé aussi en fonction de t.
Le problème se trouve ainsi ramené au suivant :
Trouver une surface réglée, la roitleile, telle qu'un point invariablement lié à cette surface ait des coordonnées données à t'avance par rapport au trièdre qui lui est- attaché et connaissant le paramètre de distribution de cette surface.
Les équations {2; résolvent immédiatement le problème, car la première fait connaître h,, et l'une quelconque des deux autres, 0|. On commencera alors par déterminer au moyen de 6i le cône directeur de la roulette, ce qui nécessitera l'intégration d'une équation de Riccati(n° 7). Il semble d'ailleurs impossible d'éviter cette intégration, mais il est digne de remarque que le cône directeur une fois déterminé, la roulette se détermine sans quadratures.
En. effet, on peut toujours supposer que le point M' soit confondu avec le point Oi, de sorte que l'on connatt les coordonnées du point 0, par rapport au trièdre (A, .XjYiZi); d'autre part, puisque le cône directeur de la roulette est sup-
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90 X. ANTOMAHI
posé déterminé, on connaît a', p', y'; ^i, ^î, yJ,; «a, Pj, ï'^; ce qui revientàdire que l'on connaît Ji, tji, Ci et les cosinus directeurs de AiXi par rapport au trièdre (0i.3:,i/ia,), et alors la roulette se trouve définie. D'ailleurs on a
Je donne h la fin de ce travail une application de ce problème à un exemple particulier.
70. Cas parUç,ulief6. — Je suppose que C soit une droite, mais sans spécifier la position de cette droite dans l'espace. Dans ce cas, X, Y, Z doivent vérifier les équations (2) et les équations do la cubique d'inflexion (n° 59} représentée par les équations
R'h-Z R — <oY4-/: wZ + X
''^ -iî- = ~Z = "Y-
et ou II = -— — - -
Lorsque R n'est pas nul, on voit facilement que ces deux systèmes d'équations ne peuvent avoir plus de deux solutions communes ; car si trois droites sont données d'une manière quelconque dans l'espace, il n'est pas possible d'assujettir trois points d'un corps solide à les décrire.
Supposons R ^ 0, c'est-à-dire, examinons le cas du roulement ; dans ce cas la cubique d'inflexion se réduit à
qui doivent vérifier les éqaations (2). En remplaçant dans la troisième on voit" d'abord qu'il faut que l'on ait
Ainsi, Id base doit être une surface à plan directeur, résultat évident a prïorj,;carl.;t vitesse reste toujours perpendiculaireiil'axe hélicoïdal, et comme la trajectoire est une droite, la vitesse est dirigée suivant cette droite ; donc l'axe hélicoïdal est perpendiculaire à une direction fixe, et il décrit une surface à plan directeur.
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APPLICATION" DE lA MÉTHODE CINÉMATIQUE A L'ÉTUDE DES SURFACES liÉGLÉES
En reraplaçanl maintenant dans les deux, premières, on doit avoir
On a ainsi la relation à laquelle doit satisfaire la roulette pour qu'un point du corps puisse décrire une droite dans le cas où il y a roulement. Si d'ailleurs cette condition est remplie, il n'y a qu'un seul point décrivant une droite, comme on le voit en remontant la suite des calculs.
L'équation (8) permet de déterminer tous les mouvements de roulement dans lesquels un point décrit une droite; il suffît pour cela de choisir la roulette de manière à vérifier l'équation (8), la base étant bien entendu à plan directeur.
On peut, par exemple, se donner arbitrairement le cône- directeur de la roulette ; alors l'équation (8) fait connaître Ai puisque k est donné avec la base ; la roulette s'obtient ensuite par des quadratures.
Si, au lieu du cône directeur, on se donnait lu, il faudrait d'abord intégrer l'équation (8), puis une équation de Riccati et enfin effectuer les mêmes quadratures pour achever de déterminer la roulette. On voit qu'il y a toujours avantage à se donner le cône directeur.
71. Problème II. — On donne le cône directeur de la surfaee base et ton propose de déterminer cette surface ainsi que (a roulette, connaissant les trajectoires de deux points du corps.
Soient G et C, {flg, 19) les deux trajectoires connues rapportées au trièdre fixe {O.xyz) et soit (O.XT'Z') le trièdre de sommet parallèle au trièdre (A.XYZ) attaché à la base. Le cône directeur de cette surface étant connu, on connaît en fonctionde / le mouvement du trièdre (O.X'Y'Z'). Soient alors
loB équations de C pii
V rapport aux
axes fixes et soieàt de môme
!/. = ÇP.),
cellesdfi Ci. Si M el Mi sont lespositionsdespoinlsdécrivant it un instant donné,
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an écrivant que MMi =: const., -on aura une relation entre X et À,; do sorte que l'on pourra supposer xi, y, et a, exprimés, comme x, y et s, en fonction de î..
Appelons :
' les projecUons du segment MMi sur les axes fixes; on a
et ces projections sont ainsi exprimées en fonction de X; par suite si X', Y', Z' sont les projections du même segment sur les arêtes du trièdre (O.XT'Z'), ces quaiitUés seront aussi des fonctions de ), définies par les équations
\ Z' = a^x' + Pj^ + Yjî'.
On peut supposer que (O.X'Y'Z') soit un trièdre parallèle à celui qui est attaché à la roulette, et alors, on peut regarder X', Y', Z' comme les coordonnées d'un point fixe dans le corps; en exprimant cette condition, on voit que X', Y', Z'
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APPTJCATION DE LA MÉTHODE CINÉMATIQUIi A l'ÉÏUDE I
doivent satisfaire aux équations
Ces équations doivent se réduire à deux, oai' la longueur MMi étant conslante, on doit avoir
dl dt ' dt '
or, si l'on ajoute les équations (S) après les avoir multipliées respectivement par X', T, Z', on trouve bien l'équation (6).
Cela posé, si dans la première des équations (3) on remplace X' et T par leurs valeurs tirées de (4), on a Téquation
dx'. , dif dt'
■qui définit X en fonction de (, c'ost-îi-dire, qui établit la correspondance entre les points décrivants et l'axe hélicoïdal.
On aurait pu écrire cette équation a priori ; car si sur la parallèle à MMi menée par on porte On — MMi, le mouvement de Of:i est une rotation autour de OX' ; et comme MMi — const., la vitesse du point n est perpendiculaire à OX' ; c'est précisément ce qu'exprime l'équation (7). D'après cela, on comprend la présence de la solution — = qu'on trouve dans le courant du calcul et qui a été supprimée.
L'équation (7) définissant X en fonction de t, en revenant aux équations (4) on voit que X', Y', Z' seront aussi connues en fonction de la même variable ; en remplaçant ensuite dans l'une quelconque des deux dernières équations {S) on en déduit l'expression de 61 en fonction de t. Je vais montrer que le problème proposé se trouve alors ramené aux quadratures.
72. Détermination du cône directeuv de la roulette- — Pour cela je remarque d'abord que 81 étant connu en fonction de (, si l'on appelle a', p', y ; ai, P',, y) ; "2, Pa. Ts l6S cosinus directeurs du friôdre attaché à la roulette et rapporté aux
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axes (Oi.a']j/iîi), lixcs dartH le corpH, on a
cL la détcrminaLion du cône directeur est ramenée à rintégralion de ce système d'équatiûus ; mais cette intégration se ramone clle-m(''me, comme on sait, à celle de l'i^quation
dt '
Or, le système (8) est identique au système (o) ; par conséquent on connaît une solution de ce système (8) et par suite aussi une solution de l'équation (9) fournie par les valeurs de X', Y', Z' données par les formules (4). On achèvera donc l'intégration par des quadratures.
73. Détermination de la base. — La détermination de la base revient au calcul des coordonnées i,ri, X, du point  par rapport au trièdre {0.a;yz). Pour cela on calcule d'abord les coordonnées X, Y, Z du point M par rapport au trièdre (A.XYZ). A cet effet, on remarque que l'on connaît ar, »/, % en fonction de ( et par suite la vitesse, du point M. Soient "Vr, Ya les composantes de cette vitesse suivant les arêtes AY et AZ du trièdre (A.XYZ) ; on a vu que
Vï = — wZ,
Vx^
wY,
d'où l'on tire YetZ, D'autre part, on a aussi
qui donne ensuite la valeur de X. Cela fait, on aura S, i^ et ï au moyen des formules
j:==.-£ + «X-.haiY + ;£.Z,
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APPLICATION DE LA MÉTHODE GINÉMATIOUE A l'ÉTUBE DBS SURFACES RÉGLÉES Ô5-
74. Détermination de la roulette- — La détermination de la roulette s'achève aussi sans difficulté. On connaît en effet les neuf cosinus des arêtes du trièdre attaché h cette surface puisqu'on a déterminé son cône directeur ; d'autre part, on, connaît, d'après ce qui précède (n° 73) X, Y, Z en fonction de (, de sorte que si' l'on appelle îj, t],, ï, les coordonnées du point central de la roulette rapportées au. trièdre {Oi.a:,y,Zi), et si l'on suppose que le point M du corps soit coiifoïidu avec l'origine 0|, on a
;, +a'X + a;YH--7;Z -^ 0,
C^ + v'S-I-t'.Y + ÏîZ^Û, qui achèvent de définir la roulette.
73. Remai-que I. — On voit qu'une fois le cône directeur de la roulette déterminé, le problème s'achève sans quadratures. Il est facile de s'en rendre compte ; en effet, connaissant la vitesse d'un point du corps et les composantes de la rotation, on peut déterminer AX, c'est-à-dire l'axe hélicoïdal; or, cette droite décrit une surface réglée dont le point central s'obtient par de simples différentiations.
76. Remarque II. ~ On peut voir autrement que la solution du problème se ramène aux quadratures. Soit en effet {O.xyz} (fig. 20) le trièdre fixe, et Oij; la droite
égale et parallèle à MMi menée par le point 0. te point i^ décrit une courbe sphérique connue (i,) puisque l'on connaît les coordonnées absolues de ce point (n" 71). Soit [i) la trace du cône directeur de la hase sur la même sphère ; si l'on imagine le trièdre de sommet parallèle à celui qui est attaché à la roulette, on voit que la
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délermination du cûne directeur de cette surface est ramenée au problème suivant': Dans le mouvement d'un solide autour d'un point fixe, on connaît le cône base par sa représentation spkérique (u), la ti-ajectoire (œi) d'un point de la même sphère, trouver le cane roulette. Le problème se ramène ainsi à résoudre sur la sphère un problème analogue au suivant dans le plan : Connaissant la base et la trajectoire d'un point, trouve)' la roulette.
Soit alors (a) la base sur la sphère de rayon 0;^, (di) la trajectoire et soit à un instant donné jx la position du point décrivant ; le grand cercle normal à (ii) au point ji doit passer par le centre instantané de rotation sur la sphère, ce qui définit la correspondance entre lés points de la trajectoire et ceux de la base. Soit I le point de la base qui correspond au point ji, V l'angle sous lequel le grand cercle normal id à. (oi) rencontre la base ; la correspondance dormera une relation entre Tare |il et l'angle V, c'est-à-dire, si l'on veut, l'équation polaire de la roulette
en prenant comme pôle le point décrivant. Supposons par exemple 0|j. — 1 et soit jil = — — - 9 ; on pourra supposer que la relation précédente qui déliait la roulette soit de la forme
tg ^ - /(?)■
Imaginons la roulette rapportée à trois axes rectangulaires (O.XayîZ^) dont l'un passe parle point ii.(fy.^l) et soient ? et 4- les angles polaires du point I ;lea coordonnées de ce point sont
cos "? cos 4'- cos o sin i, sin o,
et par suilc les composantes de la vitesse du point I sur la roulette ont pour ex-
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AI>PL[CAT10.\" DE LA METHODE CINEMATIOUE A Lli;Ti:DLÏ DKS SURFACES RÉI;LÉES 97
pressions respectives
— sm o cos v -; ^ sin 't' cos ° --r- 1
dt (Il
— siri ? siii i!- -;- + cos 9 cos Jj -r- -
dt dt
ses composantes suivant les tangentes eu 1 au méridien el au paralItHe ilo ce point sont iJonc
-y- el cos f -T- '
dt dt
on en déduit
La comparaison avec la première expression de tgV nous donne finalement
J cos ?
ol montre bien que ie problème se ramène aux quadratures.
77. Remarque III. — Le problème II est véritablement l'analogue du ])rolilème suivant de géométrie plane :
Connaissant la base et la trajectoire d'un point, trouver la roulette ; car on connaît en réalité deux trajectoires : la trajectoire donnée et le point à l'infini sur la perpendiculaire au plan de la base. C'est ce qui explique pourquoi le problème se ramène aux quadratures.
78. .Problème lii. — Connaissant la base et la surface engendrée par une droite, trouver la roulette.
Soit {S) la surface réglée donnée et soit G la position de la génératrice de la surl'ace il un instant donné [fig. 22). Il faut d'abord établir' la correspondance entre la droite G et les génératrices de la surface base. Or, si H est l'axe hélicoïdal au même instant/nous avons vu que le point central sur GeSt le pied de la perpendiculaire RC à H et ïi G ; d'autre part, la vitesse du point G qui est la résultante de trois vitesses perpendiculaires à, RC est elle-même perpendiculaire à RC ; donc RC doit être normale en G à la surface donnée (S). // suit de là que le problème proposé
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n'est possible que si les normales à la surface donnée le long de lu ligue de slrklion rencontrent à angle droit les génératrices de la base.
Si cette condition est remplie, on établit ainsi une relation entre les généra-
trices de (S) et ceîlcs de la base ; de sorte que l'on peut supposer G dclinic en fonction de t. Soient aloi-s a, b, c les cosinus directeurs de G par rapport aux trièdres (A.XTZ) ou (A'.X'Y'Z') attachés soit à la base, soit à la roulette ; ils vérifient les relations
■la ,
dj dl
el, comme rt, 6, c sont coTmus en fonction do t, ces relations donnent ' d'ailleurs avoir piir suite de la condition de possibilité du problème
dl
Hoô = 0.
i)i étant connu, on achève la détermination du cône directeur comme dans le problème II ; car, on a encore ici une solution particulière du système k intégrer et qui est fournie par les valeurs de a, b, c.
Le problème s'achève ensuite sans quadratures. En effet, on connaît les moments de G par rapport au trièdre (A . XYZ) ; ou, ce qui revient au même, par rapport autrièdre (A'.X'Y'Z') ; d'autre part, on connaît maintenant la direction de AX, ce qui permet de déterminer l'axe A'X' par rapport à un trièdre fixe dans le corps et dont une arête serait par exemple la droite du corps qui décrit la surface.
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APl'LiCATIOX IIK LA iMK'l'UODE Cr^KMATIQ^)E !
(ÏUDE DES SURFACES IIKGLÉES t)9
I VI.— Exemple de détermination de roulette
CONNAISSANT LA RASE ET LA TRAJECTOIRE d'uN POINT
79. Soil {O.xyz) (/ig. '■2ii)\c Ir'U-dre fixe. Je suppuso la IraJocLoiro cU'ilinic parles équations
y=^\l+j tg ..(e'!"^"«"-i-e->»'")])-sm ^^ [e^'"^"- - e^""-] '- sin ro cos i,
dans lesquelles w et ;■ sont cle« constantes ei ^ une variable arbitraire.
ces lîquations se mettent sous la forme plus simple
c = f 1 + - tg eu j f cos 4" — -■ »■ sin 01 sin i,
y = 1 1 + - tg [il M' sin 'f' H
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100 ï, A:<TOMAliI
Je prends comme surface de base un hyperboloïde de révoluLioii autour de Oz, dont le cercle de gorge situé dans le plan des xy a pour rayon r et dont les génératrices font l'angle w avec le plan des xy. Le cercle de gorge étant la ligne de striction de la base, le trièdre attaché à cette surface sera formé par la génératrice AX, par la normale AOY et par la perpendiculaire AZ au plan des deux premières. Les neuf cosinus directeurs des arêtes de ce trièdre sont définis par les équations
[a — ~cos oj sin v, ( "i — — f^*** w, f ^^ = sin oi sin f,
(2) ^ p = cos (0 cos (ç, (3) i ^1 ~ ~ S'il 9> W \ ?i = ^ sin co oos tf,
[ Y = sin oj ; \ Yi = ; \ -{^ — cos «> ;
et si l'on appelle t l'arc de représentation sphériquc de riiyperholoidc, /; le |);iramètre de distribution de cette surface, on a
dl = cos m rfm, k — — rtgvi
Enfin les coordonnées absolues du point A sont
/ X, = j- cos o,
(5) i y, =^ r sin te,
Cela posé, il faut d'abord établir la correspondance entni les points de la trajectoire et les génératrices de Thyperboloïde, c'est-à-dire trouver la relation entre o et ^. Pour cela, je calcule les coordonnées X, Y, Z d'un point de la trajectoire rapporté au trièdre mobile (A.XYZ; ; elles sont données par les équations
(6) \ Y = ^,(:c-^0+Pify-!/>) + T,.-, ( Z^.^,{^~^,}-\-?,(,j^y,)^^r^z.
où X, y, z, X,, yi, Zi sont définis par les équations (!) et (S). Fin faisant la substitution, on trouve
- z:^ coso>sin(^ — oj+^sinuisint^ — *?)"+" 7 ^^'^"' cos m cos (41 — a) -h sin^wtgw ,
-^ l — cosOI- — ^)— ^tgwcos(d — ç)-H|Sin(osin(i— -?),
^ = sin =0 sin (^ -f) - ^ ig oi sin ^ sin (i o) + ^ |^l cos ('i -?) | sin^ 0, :
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AITUCATKifv ]IK LA MÉÏilODG CISÉMATIQUE A l'ÉTUDE DES SURFACES RÉGLÉES lOi
oL, ciii>orfaiit cos v;i.lcurs dans l'êquaLioii
qui délinitlit curresfiondanco, on obtieni, parmi les sululioiis de cette équation, 1. solution
Les valeurs de X, Y, 7. expriméfts alors en lonct.iou de t deviennent
et, eti porlanl (huis la rotation
dt '
on obtient ici
k ie-
La détermination des neuf cosinus du trièdrc attaché à la roulette revient inaii tenant k l'intégration de l'équation de Riccati :
OÙ X' n'a pas, bien entendu, la même signilication que dans les formules (1).
La forme de cette équation conduit à chercher une solution particulière de la . l'orme
où A et B désignent des constantes à déterminer ; en exprimant que cette valeur de X satisfait à l'équation (9), on obtient les trois équations suivantes pour déterminer A et B ;
A(i-l-l)-HB(i — 1) ^ 2iU — 2AB).
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ri X. ANÏOMAIII
Cos équations sont vériOées siiualtaiiémeiif pour
on en coiiclul que
est une solution particulière de l'équalion (9). Pour tronver la solution générale, on pose
À est alors déterminé par l'équation
' dt e'-h e-' e' + c"'
doni l'intégralo g-énéralo csl
e'^e---^i{e'-e-'i-\-{li^ih,)e
Dans tout ce qui suit je poserai
Je désignerai enlin par œt l'expression coiyuguée de x. [}<•■ Cfttie façon la solution générale de l'équation (9) sera
mais on sait que si " est une solution de cette équation et si <^- est Timagiiiaire
conjuguée de <j, , est solution de la môme équation; par conséquent
sera aussi solution de l'équation (9).
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APPLICATION ni'; LA MÉTHODE CLNÉMATIQUE A l'ÉTIIDE IIILS SURFACES ilÉGLÉES 11)^
Cela posé, si l'on appelle maintenanL a', p', 7'; a,', ^\, -/',', «â, ?i, Ts les'neuf cosinus du trièdre attaché à la roulette et rapporté k un Iriêdre fixe dans le corps, chacun des Irois groupes de cosinus est déterminé par les formules
j a= -^^, pour y.\ ^', y';
) . i -i- XV , ^, ,
pour i|. P[, Ylt
pour m' Qi, -'L
Les constantes ft et fti qui entrent dans a? et y varient d'ailleurs en passani d'un groupé de solutions à l'autre; nous les déterminerons en supposant que pour ; = on ait :
En romplaç.anl x et y par leurs valeurs, on a enlin
PQ ( 1 -I- a:„a-,) + m^(h= + P^„ + Qari)
^ PQ(3rna^i — 1) + M^(w^ + Pxa+ Qxi)
Voici alors rapidement le calcul des neuf cosinus.
1° Détermination de h', a',, «î. — Pour ï ^ 0, en vertu du tableau (T) un doit
2(m sm.t-\-v coii
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104 X. ANTOMATII
2" Détermination de ^', [-,;, %. — Kii vertu du tableau (T) ou doit avoir maiiiliinantpour (^0.
ar =■ U; il eu riîsnlte
■4 siu t-\-uv cos t
2(« sin ( — M cos
'A" Détermination de y', ■;[, ^â. — Dans ce cas enfin on doit avoir a; — — 1 ;
En résumé, si Ton remplace w et v par leurs valeurs (12), on a le tableau ï vaut pour les neuf cosinus :
(e' — e~') cos t
B>__ [e'—e-')smt
, 4 cos f — (e^' — e -') sin ( /.sin t-^{e^' — e-^')cosi
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APi'LKATinfi DE LA MÉTHODE CihRMATIQUE A l'kTUDE DES SUHKACES RÉGLÉES 105
; , ±[[e'-he-'} sin t-t-{e' — e-'] coi^ t\
80. Détermination de la sui'Iace l'oulelte. — La détermination de lu surface roulette s'achève sans difficulté. En effet, les coordonnées du point centrai rapporté à des axes qui passent par le point décrivant sont
;= ^ï'X — a/Y — ïj'Z,
dans lesquelles les neuf cosinus ont les valeurs trouvées plus haut et X, Y, Z sont délinies par les équations [7). On en conclut les expressions des coordonnées d'un point de la surface :
x' = i + 7!p etc.
i^es valeurs des invariants de cette surface sont eniin
Kemarqiie. — La développable asymptote est un Cone puisque 7. = 0.
Vu et approuvé :
Paris, le 22 juin 1892.
Le Doyen, Vu p.t permis d'imprimev : '-!■ flARBOUX,
Paris, le 23 juin 1892.
Lh Vice-Recteuii dk l'Académu^ de Pahis, GREâHI).
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