W& SURFACES RÉGLÉES
un voit en oulrii alofs comment on pourrait ohtenir les autres éléments de la dévfiloppable.
— Calcul des invariants des surfaces rêgléks engendrées par les droites du corps
(JH . Calcul de l'invariant fl. — Soit D {fig. i'i) une droite invariablement liée au corps ftt dont les cosinus par rapport au trièdre mobile sont a, 6, c ; je poserai
1 a = sin f, (1) î é = cos 4- cos ¥,
f c = sin '^ cos f,
la signification des angles o et -i- étant définie par la figure ci-dessous. J'appelle (R) la surface réglée engendrée par D, 9j, Aj, k^ ses invariants. Je vais d'abord calculer (tj, c'est-à-dire déterminer le cône directeur de la surface. Pour cela, je
par calculer.rarc i de la représentation sphérique de la surface ; on l'obtient évidemment au moyen de la vitesse du point M de coordonnées a, b, c, abstraction faite de la translation de l'origine, de sorte que les composantes de cette vitesse sont
on a donc
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'8 X. A>TOMARr
En exprimant d'ailleurs que la direction «,.*, c est (ixe dans lo corps, on a
dt
db
ce qui donne, en remplaçant «, 6, c par leurs valeurs (1),
Cela posé, je calcule les cosinus directeurs, par rapport aux axes mobiles, de la tangente h. la représentation sphérique de la surface ou de son cône directeur, ainsi que ceux de la normale au plan tangent à ce cône; j'appelle a„ b,,c, les premiers, «3, ég, Ca les autres, ai, è,, c^ sont proportionnel h à 0, — wc, ff) ; de sorte qu'on a
«1 = 0, il = — siit ijj. Ci = cos 'l'.
et l'on en déduit
o^ = cos f, 6j = sin f cos ^, Cj = — siii <f sin ^.
Ou obtiendra alors l'invariant 0^ en exprimant que la Vitesse absolue du point flj, èj, Cj, abstraction faite de la translation do l'origine, est égale à
Prenons par exemple la composante do cette vitesse suivant AZ ; elle est égale
d'une part il
de.
dt ^'
d'autre part à
d^ 0, — cos ib, ^ dt
car elle est dirigée suivant la tangente a la représentation sphérique ; on doit donc
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APPLiCATIOr» DE LA MÉTHODE ClMijlATIQUE A LÉïTblî DES SlJHl'ACKS RÉGLÉES 79
avûif
di - ^ dt ^
On en déduit, tons calcula faits,
8i„<- + c.m,cosT
64. Calcul des invariants ft^ et/;^. — On les obtient en divisant par rfn (n" 8) les composantes du déplacement du point central suivant la génératrice et suivant la normale au plan asymptote. Vérifions d'abord que !e point central est, comme l'on sait, le pied de la perpendiculaire commune à la droite D et à Taxe hélicoïdal. Soit C (fig. 14) le pied de la perpendiculaire commune sur D et
m, — )■ sin 4", V cos ^
les coordonnées de ce point, i^ £i déjà été défini; quant à m et à j-, ils représentent le premier l'élévation du point G par rapport au plan YAZ, et le second la longueur de la perpendiculaire commune. La vitesse du point C est la résultante de deux vitesses : celle du point sur la droite D et celle du point du corps qui coïncide avec le point C. Nous devons vérifier que la vitesse absolue du point C est perpendiculaire à la direction Oj, b^ Ci définie dans le numéro précédent; or, la vitesse du point C sur la droite est perpendiculaire à a,, Ôi, e, ; il suffit donc de vérifier que la vitesse du point du corps qui coïncide avec le point G est elle-même perpendiculaire à 0|, il, C| ; mais les composantes de cette vitesse sont (n° 53)
loR, — u) !■ cos i(, — 0) )■ sin il*,
et si l'on se reporte aux valeurs de di, b^, ci, on a évidemment
u)((iiR — 6,r cos if — c,f sin 'V)— *^-
On peut déterminer par cola mfimc la valeur de k^ ; car il suffit pour cela de projeter sur a^, ft^, Cj la vitesse du point central et de diviser ensuite par -j ■ On obtient ainsi
(6) ^, -R + rlg?.
Il reste à calculer Aj. Pour cela, appelons X,y„Z„ un point fixe l^ sur la droite D Qt p l'abscisse d'un point I mobile sur la droite, cette abscisse étant comptée sur
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la droite à partir du point I„. Les coordonnées du point I par rapport, au trièdre (A.XYZ) sont
I X = X. + ap,
(7) ! ï = ï, + Sp,
( Z = Z,+cp,
et la vitesse de ce point est la résultante : 1° de la vitesse du point 1 sur la droite ; 2° de la vitesse du point du corps qui coïncide avec le point î. Les composantes de la vitesse du point I sont donc
dl Si ce point est le point central, la projection de sa vitesse sur D est h^fo cos 9, eu vertu de la d61initioii de k^; on a donc, pour déterminer cet invarîanl, l'équation
(8) /i, u) cos'? = aH-H<o(cY — SZ}-
Tout revient donc maintenant à calculer la valeiir de p qui correspond au point central ; mais le point central étant le pied de la perpendiculaire commune à D et à AX, on a
__ b\\ + cZ(, Y„ cos ^ + Z^ sin •!/
'' b' +c^ cos 'i
ou encore
p cos ç -(- Yo cos 'I' + Z(, sin 4- = 0.
dt dt dt ait des formules ^2) du ij I, soit des formules (4) du numéro 63, on en tire
os o -~ = p sin ç cos i^i -I- (Xj -I- 9,Z„) cos ''-j + {k — O.Y,) sin '^
+ (Y, sin >}' — Z, cos ^)(a, -H tg tf sin |) .
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APPLICATION DE LA MÉTHODE CINÉMATIQUE A l'ÉTUDE DES StKFACES RÉfiLÉGS 81
Or, pour le point central, on y.
el, d'autre part la plus courte distance r est donnée par la formule
)■ = z„ cos <i' — Yo sin if ; il «n résulte
dp
ces ç — — m cos 4' + ^ sin i — r ig ç sin '^,
cl par conséquent, pour définir h.^, l'équation
1 cos 'î' -+- ft sin ^ r sin a sin •!/
(9) AjO> cos ç" = uR sin ^ — wr cos o -f
Les formules (3), (6} et{9) délinissent complètement Ja surface R.
I lY. — Mouvement du trièdrb attaché a une subface héglée. Détermination de la base et de la roulette
05. Détermination de la roulette. ■— Proposons-nous, comme application, de chercher la base et la roulette dans le mouvement d'un trièdre invariable attaché aune surface réglée (R). Soient 0, A, k les invariants de cette surface ; je rappelle que si (A.XY2) est le trièdre attaché à la surface, les composantes, par rapport à ce trièdre, de la vitesse du point A sont
et celles de lo rotation
il en résulte que les composantes, par rapport au mémo trièdre, do îa vitesse d'un point X, Y, Z qui lui est invariablement lié, sont
A — Y, X-l-OZ, K — (lY.
L'axe du mouvement hélicoïdal, rapporté au même trièdre, est donc représenté parles équations
