INTRODUCTION
Aprùs la sphùro, los surfaces réglées sont celles dont on conçoit le mieux la génération. Leur étude, en raison de leur apparente simplicité, devait donc attirer tout spécialement l'attention des géomètres : aussi les travaux sur cette classe si importante de surfaces sont-ils fort nombreux. ; citons parmi les plus importants ceux de Minding [Journal de Crelle, tome XVIII), de Bonnet [Journal de l'Ecole Polytechnique, 32° et 39° cahiers), de Bour (Journal de l'Ecole Polytechnique, tome 22) et de M. Beltrami (d»ma?i di matematica pura ed applicata, tome 7).
Minding s'est, le premier, occupé de la déformation des surfaces réglées ; à ce titre, son travail mérite d'être cité en première ligne. La question a été reprise ensuite par tous les géomètres qui se sont occupés des surfaces réglées. M. Bonnet a donné des propriétés importantes concernant les lignes géodésiques, les trajectoires orthogonales et la ligne de striction ; ces propriétés, que nous retrouverons en partie dans ce travail, ont été démontrées à nouveau et complétées par M. P. Serret, par l'emploi systématique de l'indicatrice sphéri que, dont ce géomètre est, comme on sait, l'inventeur.
Bour, dans son célèbre mémoire sur la déformation des surfaces [loc. cit.), a remarqué le premier que la détermination d'une surface réglée, abstraction faite de sa position dans l'espace, résulte complètement de trois fonctions a, p, w, dont les deux premières sont invariables quand on déforme la surface ; quant à la troi-
a X. ANTOMAUI
siéme, sa différentielle exprime pour chaque génératrice l'angle de contingence du cône directeur.
L'une des deux premières représente cet élément si important introduit par ChasleB et wji'pelé paramètre de distribution ; l'autre est d'une nature un peuplas cachée, et la méthode de Bour, basée sur l'emploi d'un système de coordomiées orthogonales, semble peu propre à renseigner exactement sur la définition et sur le rôle de cette fonction.
Le beau mémoire de M. Beltrami, « Sulla fiessione délie superficie rigatea , mérite une mention toute spéciale. C'est dans ce mémoire que se trouvent abordes pour la première fois des problèmes du plus haut intérêt, tels que :
La déformation d'une surface réglée de manière que chaque génératrice de la transformée soit parallèle à la génératrice correspondante de la proposée ;
La déformation d'une surface gauche de manière à transformer une ligne quelconque de la première en ligne asymptotigue de la deuxième, etc.
Signalons encore les travaux de M, Enneper [Zeitsehrift fur Mathemalik und Physik) et de M. Catalan {Journal de l'École Polytechnique). Ajoutons eniin que ces divers travaux ont été repris tout récemment par M. Darboux dans ses " Leçons sur la théorie générale des surfaces », où se trouvent si magistralement condensées tant de connaissances géométriques.
Le présent travail est basé sur l'emploi de la méthode cinématique; il comprend deux parties : ia première est consacrée à l'étude des surfaces réglées, et dans la deuxième j'applique les résultats obtenus îi l'étude du mouvement d'un corps solide assujetti à cinq conditions.
Pour faire l'étude d'une surface réglée, je rapporte la surface à un triôdre trirectangle mobile que j'appelle le trièdre attaché à la surface et qui est défini do la manière suivante :
L'axe des x est une génératrice G de la surface et l'origine est le point central sur cette génératrice ;
L'axe des y est la normale à la génératrice menée par l'origine dans le plan asymptote à ia surface suivant G ;
L'axe des z résulte des deux premiers.
Je prends comme variable indépendante l'arc t de l'indicatrice sphérique de la surface et j'observe tout de suite que le mouvement du trièdre ne dépend que de trois fonctions que je désigne par les lettres 6, A, /c, et qui sont définies comme il suit :
c est la courbure géodésique du cône directeur ;
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APPLlCAÏlOiN Iti: LA METHODE CINEMATIQIJF. A L ETEDE DES SUHFACEH REGLEES 3
h est la projection, sur la génératrice, do la vitesse du point central, quand on suppose que ( représente aussi le temps ;
Eniin k est la projection de la même vitesse sur la normale au plan asymptote, ou encore le paramètre de distribution de la surface.
La détermination de la surface réglée, abstraction faite de sa position dans l'espace, résulte de ces trois fonctions de L Je les appelle pour cette raison les trois invariants de la su7face : ce sont des invariants au môme titre que le rayon de courbure et le rayon de torsion sont les invariants d'une courbe gauche. La classification des surfaces réglées résulte immédiatement des valeurs remarquables de ces invariants. Sans entrer dans de longs développements, je me borne h transcrire ici les principaux résultats.
Si k = 0, la surface est développable et h est le rayon de courbure de l'arôte de rebroussement ;
Si A = 0, la surface est un lieu de binormales à une courbe gauctic ;
Si 8=0, la surface a un plan directeur ;
Si I^^Q et ft = 0, la surface est formée par les tangentes à une courbe plane dont li est le rayon de courbure ;
Si 6 =^ 0, h — Û, k^O, la surface est un conoïde droit;
Si A et i sont constants, la surface est un hélicoïde ;
Enfin si 6 est constant, le cône directeur de la surface est de révolution.
Dans le mémoire déjà cité de Boiu', la détermination d'une surface réglée, abstraction faite de sa position dans l'espace, résulte aussi de trois fonctions qui se rapprochent de celles que j'emploie, mais dont la définition est moins simple. L'une de ces fonctions est le paramètre dé distribution, mais les deux autres sont les intégrales respectives de h et de fl. A ce titre elles sont moins simples, car pour une môme surface elles dépendent chacune d'une constante arbitraire, de sorte que si ces trois fonctions sont données, la surface n'est pas complètement déterminée d^ forme. Cet inconvénient disparaît dès que l'on donne 6, A et A; bien plus, l'élément linéaire de la surface ne dépend que des fonctions /* et k, de sorte que l'applicabilité des surfaces réglées ne dépend elle-même que de ces deux fonctions. C'est ainsi, par exemple, qu'une surface réglée donnée peut toujours être appliquée, génératrices par génératrices, sur une autre siirface réglée k plan directeur convenablement choisie.
Quand on donne 9, A et le en fonction de t, le problème de la détermination de la surface se subdivise en deux : le premier a pour objet la détermination du cône directeur, et la solution est fournie par l'intégration d'une équation de Riccati. Cette
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équation une fois intégrée, on en déduit les neuf cosinus du trièdrc attaché à la surface, et celle-ci est alors définie parles équations suivantes :
Z^ f(hy-^ky,)dt + -;p.
Si l'on fait du reste p ==: dans ces équations, elles délinissent la ligne de striction.
J'ai repris par l'emploi systématique de ces trois fonctions 9, A et k, l'étude des principales propriétés des surfaces réglées et je crois avoir montré que la méthode s'y prête de la manière la plus simple. Je me borne h citer les démonstrations des théorèmes de Bonnet, Beltrami et Laguerre sur la déformation des surfaces réglées. Je me suis d'ailleurs surtout attaché h ne développer que les points qui m'ont paru nouveaux et que je vais indiquer rapidement en suivant le plan même du travail.
Dans le § I de la première partie, je donne la définition des invariants, les interprétations géométriques de leurs valeurs particulières et je montre que le contact d'ordre n de deux surfaces réglées est exprimé :
Par l'égalité des invariants 6 et de leurs n — 2 premières dérivées ;
Par l'égalité des invariants h et de leurs n — 2 premières dérivées ;
Par Végalité des invariants k et de leurs n — I premières dérivées.
Dans le § Il j'étudie des relations nouvelles et remarquables entre une surface réglée et sa développable asymptote. Je montre que la distance de la génératrice d'une surface réglée à la génératrice correspondante de la développable asymptote est égale au quotient - ou encore à —, p et r désignant le rayon de courbure et le rayon de torsion de l'arÊle de rebroussemeut de la développable asymptote. Je déduis de là :
1° Un mode de génération de toute surface réglée dépourvue de plan directeur et qui permet de ramener à des problèmes sur les courbes certains problèmes sur les surfaces réglées. A la vérité cela ne résout pas ces problèmes, mais cela permet de juger en quelque sorte de leur degré de difficulté ;
2° La construction des surfaces réglées ayant un paramètre donné et particulièrement celles dont le paramètre est constant : cette construction équivaut à une véritable intégration. Dans le môme paragraphe j'établis la réciprocité entre une surface réglée et la surface conjuguée de M. P. Serret, réciprocité mise en évidence
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APPLICATlOiV DE LA MÉTHODE CINÉMATIQUE A L'ÉTUDE DES SURFACES RÉGLÉES 5
par les relations
ee, = 1, flftj = !c, U, = h,
oii la signiflcation de 0,, A, et k, est évidente.
Le § 111 est consacré à l'étude, au moyen des invariants, d'une transformation de l'espace rég;lé signalée d'une manière tout à fait accessoire par M. Ribaucour, et qui me permet de résoudre sans intégration le problème suivant également résolu par H. Ribaucour dans un cas particulier ;
Déterminer toutes les eongruences dont l'enveloppée moyenne est un point.
Dans une note insérée aux Comptes Rendus (numéro du 28 mars 1892), M. Guichard a donné une transformation des figures et a énoncé, sans démonstration, la proposition suivante : A une congruence de normales à une surface réglée, la transformation fait correspondre une congruence dont la surface moyenne est un plan, dont l'une des focales est une surface développaèle et dont l'autre est un lieu de paraboles. Dans le § IV je donne la démonstration de cette proposition par le moyen des invariants.
Dans le § Vje m'occupe de l'élément linéaire d'une surface réglée. Comme résultat nouveau je signale les relations entre les arêtes de rebroussement des développables asymptotes à deux surfaces réglées applicables avec parallélisme des génératrices. Je montre en particulier que si l'arête de rebroussement de la première est une courbe de M. Bertrand, on peut déterminer la seconde de façon à ce que son arête de rebroussement soit aussi une courbe de M. Bertrand. Je montre aussi que l'on peut déterminer une infinité de couples de surfaces réglées applicables avec parallélisme des génératrices et ayantmême développable asymptote. Le reste du paragraphe est consacré à des démonstrations nouvelles de propriétés connues.
Dans le § VI j'étudie les trajectoires orthogonales des génératrices; j'en détermine le rayon de courbure normale et le rayon de courbure géodésique. Je montre que les seules surfaces réglées dont toutes les trajectoires orthogonales sont des cercles géodésiques sont formées par des binormales à une courbe à torsion constante. Je prouve d'ailleurs qu'il n'yapas en général de trajectoiresorthogonales qui soient des cercles géodésiques, mais que s'il y en a une, il en existe une seconde de rayon égal et de signe contraire, et pas davantage; de sorte que s'il y en a trois, il y en a une infinité, et la surface est formée par les binormales à, une courbe à torsion constante.
Le § Vil est consacré aux lignes asymptotiques; entre autres choses je montre que l'on peut intégrer l'équation des lignes asymptotiques d'im lieu de binormales
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■aune courbe à torsion constante et je donne l'expression du rayon dfi courlinre des lignes asympto tiques.
J'ai abordé daus le § VIII l'étude des lignes géodésiques. Je donne d'abord une forme remarquablement simple de l'équation de ces lignes et j'en tire certains résultats que j'avais obtenus antérieurement par une autre méthode et qui ont été publiés dans le Bulletin de la Sociélérnathématigue de France. L'étude de la courbure et de la torsion d'une ligne géodésique me conduit h. ta relation
sin <p cos 9 k ces »
dans laquelle 9 désigne le complément de l'angle que la tangente en un point d'une géodésique fait avec la génératrice qui passe par ce point et \ la distéuice de ce même point au point central correspondant; quant à la signification de p, -c et k, elle est évidente. Cette relation est la généralisation d'une relation concernant les surfaces développables et trouvée par M. P. Serret dans sa thèse, page 137.
Enfin, dans le § IX et dernier de la première partie, je m'occupe des lignes de courbure. J'y résous en particulier le problème suivant :
Trouver toutes les surfaces réglées dont la ligne de striction est plane et eut en même temps ligne de courbure.
Dans la deuxième partie, j'applique la notion des invariants d'une surface réglée à l'étude du mouvement d'un corps solide assujetti à cinq conditions. Cette étude a déjà, été faite à un autre point de vue par divers auteurs et entre autres par MM, Résal etThévenet; le premier, dans son Traité de Cinématique pure et dans divers mémoires publiés dans le Journal de l'École Polytechnique ; le second dans sa thèse.
On sait que le mouvement d'un corps solide assujetti à cinq conditions peut s'obtenir en faisant rouler et glisser une surface réglée sur une autre surface réglée. Il semble donc naturel d'étudier ce mouvement au moyen des invariants des deux surfaces ; le nombre de ces invariants distincts est d'ailleurs égal à cinq, parce que le paramètre de distribution est le même, et cette façon de procéder présente l'avantage de donner un sens bien net aux éléments du mouvement. J'ai donc calculé de cette manière les éléments infinitésimaux d'ordres 1, 2 et 3 du mouvement. Toute cette partie était du reste bien connue, sauf cette remarque importante qu'il faut aller jusqu'aux infiniment petits du troisième ordre pour caractériser complètement le mouvemf.nt; de sorte que deux mouvements non identiques peuvent se correspondre de façon que les infiniment petits d'ordres 1 et 2 soient identiques.
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APPLICATION DIL LA METUODK CWiiMATlQUl'; A L ETUDE DES SUlIfACES REGLEES 7
Comme problèmes nouveaux traités dans cette deuxième partie et en outre de ceux que je signalerai plus loin, je dois citer les suivants :
Calcul des invariants des surfaces réglées engendrées par les droites du corps solide et mouvement du trièdre attaché à une surface réglée. Ces problèmes ont été traités dans les paragraphes III et IV.
En particulier, dans le § lY je montre que le mouvement du trièdre invariable attaché à une surface réglée s'obtient en faisant rouler et glisser un conoïde droit sur une surface réglée. Je montre en outre dans ce paragraphe :
i* Que si la ligne de striction de la surface donnée est ligne de courbure de cette surface, le mouvement s'obtient par le roulement, avec glissement, d'un cono-^de droit sur un lieu de binormales ;
2" Que si la ligne de striction est ligne asymptotigue, le mouvement s'obtient par le roulement, avec glissement, d'un plan sur une surface dëveloppable.
J'ai eu surtout en vue, dans la deuxième partie, un certain nombre de problèmes analogues aux problèmes des roulettes dans le plan, problèmes qui n'avaient pas encore été abordés jusqu'ici et dont voici les énoncés :
Problème I. — On donne la base et la trajectoire d'un point, trouver ta roulette.
Problème ïl. — On donne le cône directeur de la base et les trajectoires des deux points du corps, trouver la base et la roulette.
Problème lit. — Connaissant la base et ta surface engendrée par une droite du corps, trouver la roulette.
La solution du problème I s'obtient en intégrant une équation de Riccati ; cette équation une fois intégrée, on en déduit le cône directeur de la roulette et il est remarquable que le problème s'achève alors sans quadratures.
La solution du problème II résulte aussi de l'intégration . d'une équation de Riccati dont on cannait une solution, et on achève encore sans quadratures. Ce problème est analogue au problème suivant de géométrie plane : Connaissant la base et la trajectoire d'un point, trouver la roulette. On connatt en effet les trajectoires de deux points dont l'un est le point à l'infini sur la perpendiculaire au plan de la base.
Quant au problème III, il n'est possible que si les normales à îasurface donnée le long de la ligne de striction rencontrent à angle droit les génératrices de la base. Mais si cette condition est remplie, le problème s'achève sans quadratures.
Ces exemples montrent comment onpourrait résoudre des problèmes analogues, et pour donner un exemple de la manière de procéder, dans tous ses détails, je ■ termine ce travail en traitant complètement le problème I, dans un cas particulier : les calculs en sont développés dans le § VI de la deuxième partie.
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