PREMIERE PARTIE
- Définition des invariants d'une surface réglée
1. Rappel de quelques formules Importantes. — Je commence par rappeler quelques formules dont j'aurai à faire souvent usage. Je considère un système invariable mobile dans l'espace et j'appelle (A.XYZ) un trièdre Irirectangle invariablement lié au système. La position de ce système sera cormue à chaque instant si l'on connaît la position du point A ainsi que les cosinus des angles que font les arêtes du trièdre (A.XYZ) avec un trièdre fixe {O.xyz).
Je déterminerai ces cosinus, qui seront des fonctions du temps t, par le tableau suivant :
Soient ï, i, C les composantes, à l'instant l, de la vitesse du point A par rapport aux axes mobiles ; p, 9, r celles de la rotation. Si l'on considère un point dont les coordonnées relatives sont X, Y, Z, les composantes de sa vitesse absalue par
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10 X. -AM'OMAHI
rapport aux axes mobiles sont données par les formules suivantes :
f dZ
Les rotations p, 9, )■ sont d'ailleurs liées aux neuf cosinus par les trois groupe; de relations:
Pour plus de détails s
urce
sujet, je renvoie aux Leçons
sur la théorie générale à
surfaces, de M. Darboux.
2. Ti'ièdre altaclié à une surlace réglée. ^ Ces formules étant rappelées, je suppose que AX soit une génératrice d'une surface réglée S et que A soit le point central sur cette génératrice ; je suppose enfm que le plan YAX soit le plan asymptote à la surface suivant la génératrice AX, de sorte que AZ sera la normale au plan asymptote menée par le point central.
Le trièdre ainsi défmi sera appelé le trièdre attaché à la surface réglée S 1 on verra dans la suite comment il se prête à l'étude de cette surface.
3. Détermination de ;7, 9, r. — Voyons d'abord comment les éléments du mouvement de ce trièdre se rattachent h. ceux de la surface. Imaginons pour cela que l'on mène par le point la parallèle à AX et que l'on prenne sur cette parallèle la longueur OM = 1 ; quand AX se déplace sur S, OM engendre le cùne directeur de cette surface et le point M décrit sa représentation spliérique (n) ; on sait d'ailleurs que le plan tangent au cône directeur suivant OM est parallèle au plan YAX et que AY est parallèle à la tangente en M à, la représentation sphérique (o), de sorte que l'on a
^ ' rf<7 " dri ^" d^ ^ '
a désignant l'arc de cette représentation spliériquo.
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APPLICATION DE LA MÉTHODE CINÉMATIQL'I! A l'ÉTLDF, DES SURI'ACBS RÉGLÉES 11
On peut supposer que l'arc n soit égal au temps, et c'est ce que nous supposerons toujours à l'avenir ; la comparaison des formules (2) et (5) donne alors immédiatement
c'est-à-dire deux des composantes de la rotation. Nous poserons
4. Sianilicatlon flcomé trique do B. — Pour avoir la signification géométrique de nous remarquerons d'abord quo l'on a, on vertu de (2), (3) et (41,
Cela posé, soient OM (fig. 1) une génératrice du cône directeur de la surface et ON la normale au cône menée par le point ; supposons que OM ^ ON = 1 ;
les coordonnées du point M sont a, p, y et celles de N, a^, Pj, Yj. A un déplacement infiniment petit MM' du point M correspond un déplacement infiniment petit NN' = rfS du point N et qui mesure l'angle des plans tangents au cône suivant les deux génératrices infiniment voisines OM et OM' ; on a de plus
d?, = ^d->.\ -+- d'^l + d"i\ , et d'autre part, à cause de (6),
^/rfa^-^dp^^-rfY| ^ Ut\
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on en conclut
Or, dl = MM' mesure l'angle de OM avec OM' ; on voit donc quû <i représente le rapport de l'angle de deux plans tangents infiniment voisins à l'angle des deux génératrices de contact dans le cône directeur de la surface. C'est encore, si l'on veut, la courbure géodésiquc de la représentation sphérique de la surface.
5. Interprétation des valeurs particulières de d. — D'après cela ; 1° Si e = 0, l'indicatrice spliéritiuc de la surface est un grand cercle ; caries relations (6) donnent alors
par suite la surface réglée est une surface à plan directeur ;
2° Si 6 est constant, l'indicatrice sphérique est un petit cercle ; en ciîet, le point dont les coordonnées sont
est un point fixe, car on a
— ^Ca, — ûa, = 0, etc .; dt ' '
de plus, si l'on, appelle V l'angle que fait la direction y-. S, ■( avec la direction M, V, w, on a
de sorte que l'angle V est constant ; il suit bien de là que l'indicatrice Hphi5rique est un petit cercle et par suite que le cône directeur de la surface est de révolution.
6. Expressions «n fonction de de la courbure et de In torsion de la représentation spbérlque de la surface. — On peut du reste exprimer en fonction de 8 tous les éléments de l'indicatrice sphérique de la surface réglée. Soit en effet M ifig. 2) un point de l'indicatrice sphérique (a) de la surface et soient p et t les rayons de courbure et de torsion de {a) en M. Pour avoir p on remarque que la vitesse du
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point M est égale à l'unité et, comme elle est constante, l'accélération totale se réduit à l'accélération normale, c'est-à-dire à — puisque V= i ; d'autre part les
composantes de l'accélération totale sont — r- 1 -r ' -;-;
^ dt dt dl
et (4} donnent
or, les relations (2), {3i
'\ en conclut immédiatement
ce qui définit le rayon de courbure .
Pour avoir le rayon de torsion, menons la tangente MT, la normale principale MC et la binormale MB à l'indicatrice sphérique. Les cosinus directeurs de MT sont h,, p,, y, ; appelons a,, 6,, c^ ceux de MG et Uj, ij, cs ceux de MB ; on a évidemment
da, 1
et deux autres relations analogues qu'il est inutile d'écrire. Cherchons les expressions de «1, è,, Cl ainsi que celles de aa, h, d. Pour avoir Sj, ôj et Cj, il suffit d'observer que MC est la direction de l'accélération totale du point M, de sorte que l'on a pour a, par exemple
On obtient facilement alors a^. h, a en remarquant que MB est perpendicu-
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X, ANTOMAHI
laire à MT pUi MC, ch qui conduite
on tire de \h, après réduction des calculs,
la comparaison des relations (7), (8) et (9) donne alors ■l Q'
7. Remarque. — On voit d'après cela que si 9 est connu on fonction de (, la courbure et la torsion de l'indicatrice sphérique seront connues en fonction de l'arc, et par suite l'indicatrice sphérique sera complètement déterminée de forme ; on connaîtra donc aussi le cône directeur de la surface réglée. La détermination complète de ce cône est du reste identique à la détermination du mouvement d'un trièdre parallèle au trièdre (A.XYZ) et ayant pour sommet l'origine des axes fixes ; et, puisque l'on a
les neiif cosinus directeurs des arûtes de ce trièdre s'obtiendront en intégrant l'équation de Riccati :
8. Yitesse du point central. — Pour achever de définir le mouvement du trièdre (A.XYZ), il nous reste à trouver la vitesse du point central ; elle est évidemment située dans le plan ZAX, de sorte que sa composante suivant AY est nulle. J'appelle alors h et k ses composantes suivant AX et suivant AZ ; nous verrons plus loin comment A se rattache k certains éléments essentiels de la surface ; mais nous pouvons dès à présent donner la signification géométrique de k. A cet effet, soit X l'abscisse d'un point I sur AX ; les composantes de la vitesse de ce point suivant les axes mobiles sont respectivement
La relation de Chasles relative à la génératrice AX est donc
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il en résulte que k n'est autre chose que le paramètre de distribution des plans tangents à la surface suivant AX.
Je remarque d'ailleurs, parce que j'aurai souvent à m'en servir, que h et k sont, par définition même, les quotients par dt des composantes suivant la génératrice AX el suîoant la normale AZ au plan asymptote du déplacement du point central, dt désignant la différentielle de l'arc d'indicatrice sphérigue de la surface .
9 . Les invariants d'une surface réglée. — En résumé, le déplacement du triêdre (A.XYZ) attaché à une surface réglée dépend de trois fonctions de ( : 0, h et k. J'appellerai ces trois fonctions les invariants de la surface ; ce sont des invariants métriques, de même que le rayon de courbure et le rayon de torsion sont les invariants d'une courbe gauche. Une courbe gauche est complètement définie de forme dès que l'on connaît le rîiyon de courbure et le rayon de torsion considérés comme fonctions de l'arc ; pareillement, si l'on connaît h,ketS en fonction de l'arc d'indicatrice sphérique, la surface réglée est complètement définie de forme. La détermination complète de la surface se ramène à la résolution de deux problèmes : le premier a pour objet la détermination du cûne directeur, et la solution est fournie par l'intégration d'une équation de Riccati (7) ; l'intégration de cette équation fait connaître les neuf cosinus directeurs du trièdre (A.XYZ) en fonction de t\ on en déduit ensuite par des quadratures les équations de la ligne de striction rapportée au trièdre fixe. Ces équations sont
(11) î y = f{h^^k%)dt,
■ z:=j(k;-t^kj,)dt,
et par suite les équations de la surface rapportée aux mômes axes seront
Xr= f{h^^k;^dt^-J.Ç,
10. Contact de deux surfaces réglées qui ont une géuératrtce commune. — Pour donner dès maintenant une application des invariants d'une surface réglée, propo-
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On a
sons-nous de chercher les conditions pour que deux surfaces réglées ayant une génératrice commune aient un contact d'ordre n suivant cette génératrice. Rapportons pour cela les deux surfaces à un trièdre fixe iO.xyz] et soit (A.XYZ) le trièdre attaché à la première et dont les neuf cosinus ont été délinis au début ; soient enûn ;
X, y, z les cooi-données absolues du point central A ;
A, B, C les moments de AX par rapport aux axes fixes ;
A,, B„ C, ceux de AY ;
Aa, Bj, Cj ceux de AZ.
A = ps— fi/, A, = 3, s — Y,î/, A. ^ PjS — ïiî/,
B = yx — <^z, B, = -,-,a7 — a,s, Bs = -(,a; — V-
C = M/~i^x; Gj = ^.,y — ^,3; ; Cj = a,'/ — p,a7.
Supposons que AX soit la génératrice commune aux deux surfaces; pour qu'elles présentent un contact du premier ordre suivant cette génératrice, il faut qu'une seconde génératrice commune vienne coïncider avec AX. Si l'on appelle (' l'arc d'indicatrice sphérique de la seconde surface, on voit d'abord que l'on doit avoir
d^. da'
-r = -TT' etc.,
dt dt'
bien entendu pour les valeurs de t et de t' qui correspondent à la génératrice commune ; de sorte que les triôdres attachés aux deux surfaces doivent coïncider, mais alors on a
= A, +/£(p-f„ — vp^) ~ A,— /();,, etc.,
ce qui montre que les deux surfaces doivent avoir le mt'îmc paramètre de distribulion suivant AX.
En différentiant une seconde fois, on obtient de même
et d'autres formules analogues; ce qui montre tout d'abord que pour qu'il y ait contact du second ordre, il faut en premier lieu que les invariants soient les mêmes.
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D'autre part, on a
résulte
= " A — OA^ -I- 2k<i -
et par suite qu'il faut en ouïra, pour qu'il y ait contact du second ordre, que h, k et T- soient les mêmes.
On peut évidemment continuer ainsi, ci l'on voit que le contact d'ordre n sera exprimé :
par l'égalité des invariants et de leurs (n — 2) premiûres dérivées ;
par l'égalité des invariants h et de leurs (n — 2) premières dérivées ;
par l'égalité des invariants k et de leurs (n — 1) premières dérivées,
11. Interprétation des valeurs remarquables des iuvarlants. — Cherchons maintenant la nature de la surface réglée qui correspond à des valeurs particulières des invariants. Nous avons déjà étudié la nature de "la surface lorsque 6 est nul ou constant ; examinons les autres cas :
1» Si k=^ 0, la vitesse du point central est dirigée suivant la génératrice, donc la surface est développable ; en outre, par déilnition, h est alors le rapport de l'arc infiniment petit décrit par le point A à, l'angle de deux génératrices infiniment voisines ; par suite h représente le rayon de courbure de l'arête de rebroussement ;
2' Si ft — ot k^ 0, le déplacement du point A est tangent à l'axe AZ ; de plus on a
di-. dS, d-!,
dl dt '^" dt '"
il on résulte que ÂY est la normale principale en A à la ligne de striction, par conséquent AX est la binormale ; donc la surface engendrée par AS est un lieu de binormales. Enfin, si l'on appelle a:, y, z les coordonnées absolues du point A, les composantes de la vitesse de ce point suivant les axes fixes sont
dt " dl ''^' dl '"'- '
ce qui montre que k est le rayon de torsion de lalîgne de striction;
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i8 X. A.NTOÎIAHI
3° Si l'on a en même temps 8=0, ^ ;^ 0, et k^O, la surface est une surface à plan directeur (3) ; !c représente la dérivée par rapporta l'arc de la représentation sphérique, de l'élévation de la génératrice par rapport au plan directeur. Pour avoir la signification de h dans ce cas on remarque que la développable circonscrite h la surface le long de la ligne de striction est un cylindre perpendiculaire au pian directeur, et l'on voit alors que h représente le rayon de courbure de la section droite de ce cylindre ;
4" Si 6=0, k—Q et /i ^ 0, la surface est formée par les tangentes k une couriie plane et h est le rayon de courbure de cette courbe ;
50 Si 8 = 0, fi = et k^O, on voit sans difficulté que la surface est un conoïde droit ; quant à la signification de k, elle est connue en vertu de 3° ;
6° Nous allons montrer enfin que si ft, A et sont constants, la surface est un hélicoïde. A cet effet proposons-nous de calculer les invariants d'un hélicoïde ayant
pour axe Os (fig. 3). Soient Ox et Oi/ deux axes rectangulaires quelconques perpendiculaires à Oz et D une position de la génératrice; soit SR ^^ a la plus courte distance do D et de Oz ; appelons (o l'angle constant de D avec Os, et ip l'angle de OR' avec Oï ; les coordonnées du point R sont
/ a: = a cos tp, î/ = "8in-f, [ z = ma, m désignant une constante, pour le trièdre attaché à l'hélicoïde les notations du n° 1, on a a = — sin lu sin 9, p — sin f) cos 9,
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(l'oùi'on déduit
— ■= -r~- ■ -7 ■ = — Sm U COS 10 ■ -;- '
dt dif dt ' a(
dt
Il suit de là que l'on a t^ï = sinw rfo, et par suite
ai = — COS tp,
'fi — — sin Yi
On en conclut
ixj = COS tu sin (û,
fij = ^ COS U) COS ç,
De là résulte immédiatement la valeur de G donnée par la formule
1 (^Kj 1 COS w COS a
a, dt, COS <p sin ui
ou
= — COtg tu.
Pour avoir k et k, cherchons la vitesse du point R ; en différentiant les é lions (13), on obtient
dt sin tu
dy COS ^
dt sin tu On vérifie sans difficulté qu'elle est perpendiculaire à la direction a,, ^j, -f,,
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20 X, ANTOMABI
ce qni montre en passant que le point H est le point central. Projetons alors successivement sur D et sm' la direction a.^, fJ^, v^ et nous aurons (8) A et le. On trouve
h —a-i-m coigfu,
k = — a cotg i.) 4-m.
Or u», a et m sont constants, donc dans l'héUcoîde tes trois invariants sont constants. La réciproque résulte de ce que la surface est définie dés que l'on se donne 8, h et k.
Si en particulier l'hélicoïde est un hyperboloide," m est nul et il reste
Il = n, k — ^ a cotg w,
d'où Ton conchii,
Nous verrons plus loin que cette- relation entre les invariants caractérise les surfaces réglées dont la ligne de striction est en même temps ligne de courbure.
12, Relations entre les Invariants il'mie surface réglée et les cooi'doonées d'un point iixe par rapport au trièdre atlaclié à la surlace. — Je termiueiai ce chapitre en donnant des relations utiles entre les 'invariants et les coordonnées d'un point fixe rapporté au trièdre mobile. Soient S, j], Z ces coordonnées ; les relations cherchées s'obtiennent en exprimant que la vitesse absolue du point est nulle, ce qui donne
at
I II. — Relations entre une surface réglée i<:t sa développable
ASYMPTOTE ; SURFACE ÊONJUGUÉE DE M. PaUL SerRET.
13. Développable asymptote. — La développable asymptote à une surface réglée est l'enveloppe du pian IKK. Soient xi, y,, les coordonnées relatives d'un point de ce plan; les composantes, suivant les axes mobiles de la vitesse de ce
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point, ont pour expressions (1)
dt
V^ = k — Uî/i .
Pour qu'il soit un point do l'arètG de rebroussemont do la développable asymptote, il faut et il suffit que sa vitesse soit dirigée suivant AX, c'est-à-dire par suite que l'on ait
d'où
Lapremière de cesrelations montre que la distance d'une génératrice d'une surface réglée à la génératrice correspondante de la développable asymptote est égale au quotient des invariants k et 0. Dans tout co qui suit, cette distance, d'ailleurs adectée d'un signe, sera désignée par /, de sorte que nous aurons la formule
k = iiL
Si l'on appelle p et - les rayons de courbure et de torsion do l'arôtc do rebroussement au point {xi, j/j, 0), comme le triédre attaché à la développable asymptote est parallèle à {k.xyz) et de même sens que lui, on a
La seconde relation montre que l'abscisse du point de contact de la génératrice de la développable asymptote avec l'arête de rebroussement est égale et de signe contraire à la dérivée de 1 par rapport à l'arc d'indicatrice sphérique.
Il y a lieu de chercher la signification de la composante de la vitesse suivant la
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génératrice ; il est visible qu'elle représente le rayon de courbure dû l'arête de rebroussement, de sorte que l'on a
d'après cela, pour que la développablc asymptote soit un cône, il faut et il sufQt que l'on ait
dl'' Je vais indiquer quelques conséquences de ces résultats.
14. Ud mode de génération des surfaces réglées dûpoiirviies de plan directeur.
— Occupons-nous d'abord delà formule
k = 'II,
qui établit une correspondance enti'c une surface réglée et sa développable asymptote ; elle conduit immédiatement au mode de génération suivant d'une surface réglée dépourvue de plan directeur :
Soit C {fig. 4) une courbe gauche quelconque. Prenons sur cette courbe un point quelconque Ai et construisons le trièdre (Aj.XiYiZ]) formé par la tangente A|Xi, la normale principale A.Yi et la binormale AjZ, ; soit A, Y, la direction de la normale principale dirigée vers le centre de courbure et soit enfin I un point de la normale principale d'ordonnée /, fonction de l'arc de la courbe C compté à
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partir d'une origine arj)ilraire, ou mieux encore, fonction de l'arc t de la représentation sphérique de cette courbe. Si l'on mène par le point I la parallèle IX. h A,X,, la droite IX, lorsque A, parcourt la courbe C, c'est-à-dire lorsque t varie, engendre une surface réglée dont la développable asymptote a pour arête de rebroussement la courbe C. Si l'on appelle 6 le rapport des deux courbures de la courbe C, le paramètre de distribution de la surface réglée est lié à 8 et à / par la relation
La construction subsiste si la courbe G se réduit h un point, c'esl-à-dîro si la développable dont elle est l'arête de rebroussement est un cùne ; dans ce cas le trièdre {A,.X,YiZ,) devientle triêdre attaché au cône et A[ le sommet du cùne.
La formule
nous montre alors que dans les deux cas l'abscisse du point central par rapport au point I est donnée par l'expression
(Il
On voit en particulier que si l'ordonnée / est constante, l'abscisse du point central sera nulle, donc :
Si sur les normales principales \,Y, à une courbe gauche on porte, à partir du point A,, une longueur constante AI, dans un sens ou dans l'autre, la parallèle IX menÉe par le point I à la tangente en A[ à la courbe gauche engendre une surface régléedont la ligne de striction est le lieu du point I.
On voitsans difficulté ce que devient cette proposition lorsque la couibc C est remplacée par un cône.
Dans les deux cas, si l'on suppose que la longueur l soit quelconque et si l'on appelle 5,7], ï les coordonnées absolues du point Aj, celles du point central sont
dt
= /' ; dans le cas du cène, ï, t; et ï sont constants, et on peut
les supposer nuls si le sommet du cône est à l'origine.
Il est bon de remarquer que si A est le point central sur IX, on a
de sorte que si A, A est constante et figalnà a, on a
/ — a 5in(f 4-C) ;
d'autre part, si l'on appelle ^ l'angle de A.A avec A, Y, on a aussi
tgf = tg((-~Cj, et par suite
9 — ( = Ci%
résultat intéressant en ce sens qu'il ne dépend pas de la forme de la développable. — Si en particulier la développable est un cône, le point A décrit une ligne sphérique ; de plus la relation
devient dans ce cas, puisque p = U,
di'
donc la surface est un lieu de binormales (11). Réciproquement, si une surface réglée est un lieu de binormales à une courbe sphérique, ie plan asymptote étant perpendiculaire à la tangente à la ligne de striction passe par le centre de la sphère et par suite la développable asymptote est un cône.
Une surface réglée de cette espèce est déflnie, en coordonnées absolues, par les équations
a; =: a(ai sin ï — a cos ;) + Xï,
y = a{<^, sin( — ? cos () + ^P)
! = (i(-i'i sin l^-{ cos () + '",'■
15, Construction des surlaces réglées qui ont un paramètre donné, — Le mode de génération d'une surface réglée défini dans le numéro précédent conduit à une construction intéressante des surfaces réglées dont le paramètre est une fonction donnée de (. Supposons en effet que dans la formule
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k soit une fonction connue de t et porlons sur la normale principale à une courbe gauche quelconque C {/îg. S) une longueur l définie par
puis par Je point I ainsi obtenu menons la parallèle à A|Xi. Lorsque Ai parcourt la courbe C, la droite IX engendre une surface réglée répondant à la question.
On pourraiL procéder de même si, au lieu de ])artir d'une courbe gauche, on partait d'un cûne.
Cette construction équivaut à une véritable intégration. Un cas particulier remarquable est celui où le paramètre de distribution est constant.
16, Expression des invariants d'une surface réglée iiu moyen des éléments de la dëveloppable asymptote. ■ — Après avoir montré comment on peut construire une surface réglée connaissant la développable asymptote, il y a lieu de chercher les expressions des invariants de la surface au moyen des éléments de la développable asymptote. Ces expressions résultent des formules
dans lesquelles / est comptée à partir de l'arête do rcbroussoment. On en déduit
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Dans ces expressions il reste une fonction arbitraire l; cela tient à ce qu'il y a une infinité de surfaces réglées ayant une développable asymptote donnée.
17. Remarque. — La correspondance entre une surface réglée et sa développable asymptote ramène certains problèmes sur les surfaces réglées à des problèmes sur les courbes ganclies.
18. Surlace conjuguée de M. P. Sorret. ■— - Soit (A.XYZ) le Irièdre attaché à une surface réglée S dont 9, A et ft sont les invariants; M. P. Serret a appelé surface conjuguée de S celle qui est engendrée par AZ. Cherchons les invariants ^,, ftj et k, de cette surface S, en fonction de 6, k et /;; pour cela, il fautd'abord chercher l'arc a de la représentation sphérique de Si. A cet effet, imaginons la parallèle de longueur 1 menée h AZ par l'origine des axes fixes; si l'on projette sur AX le déplacement de l'extrémité de cette longueur, on obtient M|do; mais d'autre; part cette projection est d»^, et l'on a
il en résulte par comparaison
d^ = 'idl ;
mais on voit de plus que ce déplacement est parallèle à AY, de sorte que le plan asymptote de S] est le plan YAZ, et par suite ZAX est le plan tangent au point central ; or, la vitesse du point A est dans le plan ZAX; donc le point A est aussi le point central de la surface conjuguée.
Cela posé, puisque AX est lii normale au plan asymptote de S,, on a
d'i di dl d^~ dï ' <h~
ce qui donne la valeur de l'invariant Oj. Pour avoir /(, et k,, il faut diviser par dt les composantes suivant AZ et .\X du déplacement du point A. Or, ces compo-
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santés sont respectivement kdt et hdt; on aura donc
IKACES REGLEES
' Ut
formules qui mettent bien en évidence la reciprocité des deux surfaces S et Sj.
La considération des surfaces conjuguées peut avoir une certaine utilité. Ainsi, par exemple, il peut arriver que la développable asymptote de Si soit un cône; nous avons vu alors comment la surface S, peut être déduite de ce cône, et cela permet également de construire la surface S. Au reste les surfaces S et Sj interviennent tout naturellement dans certaines questions, ainsi qu'on îe verra dans le § suivant.
I 111. — Sur une transformation de l'espace réglé
19. Définition de la transtorination. — Soit D une droite quelconque sur laquelle on a fixé un sens positif et soit un point fixe {fig. 6] ; par le point je mène la parallèle D' à D nt je fais tourner D de 90" autour de D' dans un sens
convenu, ce qui l'amène en A; de cette façon, à toute droite D il correspond une droite parallèle i, et à toute figure composée de droites, une autre figure composée de droites respectivement parallèles. On a donc défini ainsi une transformation de l'espace réglé; le point sera appelé le pôle. Je vais indiquer quelques propriétés remarquables de cette transformations ce qui montrera par cela même le parti que l'on peut tirer de la considération des invariants d'une surface réglée.
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Dans une note insérée aux Comptes Rendm ('}, M. Guiciiai'd a donné une transformation des figures en vertu de laquelle à toute congruence de normales il correspond une congruence dont la surface moyenne est un plan. On verra que la transformation définie plus haut change toute congruence de normales dont Venveloppée moyenne (") est un point en une autre congruence de même nature.
20. Application aux eurlnces réglées. — Soient AX (fig. 1) une génératrice d'une surface réglée R et (A.XYZ) le tri èdre attaché àla surface. Je suppose en outre la surface rapportée à un trièdre fixe (0 . xyz) de sommet et soit (0 . X'Y'Z') le trièdre
de même sommet parallèle au trièdre (A.XYZ) et iJe môme sens que lui. D'après la définition du triodre attaché à une surface réglée, A est le point central de cette surface; j'appelle ?, r,, C ses coordonnées par rapport au trièdre (O.X'Y'Z'). J'appelle enfin, par rapport au trièdre fixe :
Cl, p Y l^s cosinus directeurs de AX;
a,, pj. Y, ceux de AY;
"a- Ps' ïj ceux de AZ;
et enfin ar, y, a-lcs coordonnées du point A.
(') Numéro du 28 mars 1892.
(") Voir plus loin 121) les définitinns de la surface m
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Je suppose toutes ces quantités fonctions de l'arc ( de la, représentation sphérique de R, et j'appelle fl, h et k les invariants de cette surface. Cela posé, il esl. évident que l'on a
et des expressions analogues pour y et pour s; on en déduit
dt \di V '\dt^^ ■) \dt V
Or, puisque le point A est le point central de R sur AX., on a aussi
dx
-— = h^ + kl... ;
dt. ^
on en déduit par comparaison
formules qu'on aurait pu déduire d'ailleurs des formules du n" 12.
Supposons quo le point soit le pôle de la transformation et faisons tourner AX de 90° autour de OX', ce qui l'amène en X, ; lorsque AX engendre la surface R, Xi engendre la surface R', transformée de R, et il est clair que le trièdre attaché à R est constamment parallèle à celui qui est attaché à R.
Soit P le point de rencontre de AX avec le plan Y'OZ' ; après la transformation il vient en P', de manière que l'angle POP' soit égal à 90°. Par rapport au trièdre (O.X'Y'Z') les coordonnées de P sont
celles de P' seront donc
et par suite les coordonnées de P' par rapport au Irièdre fixe seront
— <^-'i + la,, — ÏS. + 'îpa, — ïïi + Vfî ;
il en résulte que les coordonnées absolues d'un point quelconque M de P'X, , géné-
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ratrice de R' qui correspond à la géncralrice AX de R, seront données par la formule
et par deux antres formules analogues pour y, et z^, p désignant l'abscisse du point M par rapport ii P'. En différentiant l'équation (2), on obtient
et si l'on veut que le point M soit le point central de R' t 1er le coefficient de a, dans (3), ce qui donne
L'abscisse p du point central étant ainsi définie, si l'on appelle f),, ^i et k, les invariants de R', on a
Soient 11 ï), ^i les coordonnées du point central de R' par rapport au triédre (O.X'Y'Z') ; en se reportant aux formules (1) on voit que l'on a
on a d'ailleurs
(7) r,i = ~~Z. ïi = T| ;
enfin, la comparaison des formules (1) ot (5) donne aussi
Ces diverses relations définissent la correspondance entre les surfaces R et R'. D'après cela :
1° Je suppose que R soit développable; alors on a /.■ = 0, et la formule (6) donne
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APPLICATIO.N bE LA MÉriIODE CINÉMATIQUE A l.'KTUltli DES SDllFAi;i';S HÉÛLÉES 31
donc le point central de R' coïncide avec le point P' ; mais le plan Y'OZ' est alors le pian asymptote de la conjuguée de R', donc :
A toute xurface dévetoppable la transformation fait correspondre une surface réglée telle que le plan mené normalement à la génératrice par le point central passe par le pôle ; c'est-à-dire telle que la développabU asymptote de la conjuguée soit un cône de sommet 0.
Réciproquement, ïHe p/an mené normalement à AX par le point A passe par le pôle, c'esl'à-dire si la développable asymptote de la conjuguée de R est un cône de sommet 0, la transformée R' de R est une surface développal>le.
En effet, on a dans ce cas S = 0, et par suite, en vertu de (8), ki — 0.
2" Je suppose que R soit à paramètre constant, alors ?i sera constant en vertu de (6), et réciproquement, si k, est constant, I sera constant en vertu de (8) ; or, dans le premier cas, Y'OZ' est tangent à une sphère de centre et dans le second cas YAZ est tangent à une sphère de centre également ; donc si la surface primitive est à paramètre constant, le plan asymptote de la conjuguée de R' est tangent à une sphère de centre 0, et réciproquement.
3" Je suppose que la développable asymptote de R soit un cône de sommet 0, c'est-à-dire que. le plan YAX passe par le point ; on a alors ç — et par suite ■Il = 0.
Réciproquement, si ^i = 0, on a ï, = 0, et par suite le plan asymptote de R' passe par 0; donc si la développable asymptote de la surface R est un cône de sommet 0, la développable circonscrite à R' le long de la ligne de striction est un cône ayant pour sommet le même point.
Réciproquement, si la développable circonscrite à h. le long de la ligne de striction est un cône de sommet 0, la dévetoppable asymptote de R est un cône de même sommet.
4° Je suppose que AY passe par îc point 0, c'est-à-dire qui; l'on ait ; = et ï ^ ; on en conclut
réciproquement, si k = ainsi que r, = Q, on a
ce qui montre que si les développables asymptotes de V^ et de sa conjuguée sont des cônes de sommet 0, la surface R' est une surface développable dont le plan rectifiant passe par le point 0, et réciproquement, si K est une surface développable dont ie plan rectifiant passe par 0, les développables asymptotes de R' et de sa conjuguée sont des cônes de sommet 0.
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32 X. ANTOMARI
Lorsque la développable asymptote d'une surface (R pai' exemple) et de sa conjuguée sont des cûncs de même sommet 0, la normale à la surface le long do la ligne de striction, normale qui n'est autre que AY, passe par !e point ; donc la ligne de striction est une ligne sphérique ; on a d'autre part, en vertu des formules (1), h — OA, et j'ai déjà fait remarquer (11, 6°) que dans ce cas la ligne de striction est une ligne de courbure. Les surfaces en question sont donc des surfaces dont la ligne de striction est une ligne sphérique et en même temps ligne de courbure de la surface.
Les formules (1) montrent enfin que l'on a -ïj = C" et k = — t, = C'% de sorte que la développable circonscrite h ces surfaces le long de la ligne de striction est en même temps circonscrite à une sphère de centre et de rayon ^ ; la surface réglée elle-même et sa conjuguée sont circonscrites à cette sphère. On est ainsi conduit à ia construction déjà donnée (14) de ces surfaces.
5° Je suppose que AZ passe par le point 0, c'est-à-dire que l'on ait
on en déduit
/c, = 0, ïi = 0,
ce qui montre que la surface R' est une surface développable dont le plan asymptote passe par le point 0; donc R' est un cône de sommet 0. — La réciproque est vraie.
6° Si la surface R est formée par les tangentes à une courbe plane dont le plan passe par 0, il est évident géométriquement et par les formules que R' est un conoïde droit ayant pour axe la perpendiculaire au plan de la courbe menée par 0.
Il suit de là que la transformée d'un plan par rapport à un point de ce plan est une congruence linéaire spéciale ayant pour directrices la droite à l'infini dans te plan el la perpendiculaire à ce plan menée par le pôle.
7° Je suppose eniin que R soit formée par les tangentes à une courbe plane dont le plan ne passe pas par le pdle. Dans ce cas on a 9 — et k = 0, et les formules (1) donnent K ~ C"; il en résulte
0, = 0, p = 0, h, rrr C'\
ce qui montre que R' est une surface à plan directeur dont le cylindre circonscrit le long de la ligne de striction est un cylindre de révolution ayant pour axe la perpendiculaire au plan directeur menée par le pôle, et pour rayon la longueur de cette perpendiculaire. On arrive sans difliculté aux mêmes conclusions par des considérations de géométrie élémentaire.
On conclut de là que la transformée d'un plan ne passant pas par le pôle est une congruence dont les focales sont :
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APPLICATION CE LA MÉTHODE CINÉMATIQUE A l'ÉTUDE DES SURFACES RÉGLÉES 33
Un cylindre de révolution autour de h perpendiculaire au plan menée par le pâle et ayant pour rayon la longueur de ce/le perpendiculaire ; La droite à Vinfini dans le plan.
21. Application aux congnienees. — Je rappelle d'abord qiielques définitions relatives aux congruences de droites.
Lorsqu'une droite D appartient à une congruencc, M. Hibaucour (') appelle :
point moyen, le milieu de la distance focale;
plan moyen, le plan perpendiculaire h D mené par ce point;
surface moyenne, le lieu des points moyens ;
enveloppée moyenne, l'enveloppe des plans moyens.
D'après Kummer (") les points limites sur D sont les points I tels que les deux surfaces réglées de la congruence passant par D et ayant leur point central en I sont tangentes en ce point ; les plans limites sont les plans perpendiculaires à D menés par les points limites.
Cela posé, à toute droite D de la congruence la transformation fait correspondre une droite parallèle i; aux développables, (DJ et (DJ de la congruence passant par D correspondent deux surfaces (S,) et (S,) passant par a et dont le point central (20) est le pied H de la perpendiculaire abaissée du pôle sur i. En outre, comme les plans asymptotes de deux surfaces correspondantes sont parallèles, il est visible que l'angle des deux surfaces (S,) et (Sj) en H est égal à l'angle des deux développables (D,) et (DJ.
Cela posé :
1° Si D engendre une congruence de normales, (D.) et (D^) sont orthogonales, et par suite (SJ et (S^) sont orthogonales en H ; mais alors le point H est le point moyen de la congruence engendrée par A ; or, le plan perpendiculaire à D mené par H passe par ; donc aux congruences de normales la transformation fait correspondre des congruences dont V enveloppée moyenne est le pôle, c'est-à-dire est un point. Réciproquement, si la congruence engendrée par D a pour enveloppée moyenne le point 0, la congruence engendrée par i est une congruence de normales.
En effet, soit I le point moyen sur D et soient (R,) et (Rj) les deux surfaces réglées de la congruence, qui passent par I et dont ce point est le point central; en vertu de ce qui précède (20), les surfaces correspondantes (Aj) et (ia) sont développables ; mais (R) et (Rj) sont orthogonales en I, donc (A;) et (a^) sont orthogonales.
(') Étude des Elassoîdes, Pic.
(**) Sur tes systèmes de rayons redUitjves.
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Les développables de la congruence engendréy par i éLaiil orthogonales, cette cbngruence est une congruence de normales.
Par exemple, supposons que les focales de la congruence engendrée par D soient deux courbes tracées sur la même sphère ; l'enveloppée moyenne est un point, le centre de la sphère; la congruence qu'on en déduit par la transformation est donc une congruence de normales. D'après cela, on sait déterminer toutes les congruences dont l'enveloppée moyenne est un point, car par la transformation précédente toutes ces congruences deviennent des congruences de normales.
2° M. Ribaucour a montré que l'on peut déterminer analytiquement les congruences de normales dont l'enveloppée moyenne est un point ; la proposition précédente et sa réciproque prouvent que la transformation change ces congruences en congruences de même nature. En effet, en vertu de la proposition directe, h une congruence de normales il correspond une congruence dont l'enveloppée moyenne est un point; en vertu de la réciproque, si l'enveloppée moyenne de la congruence primitive est un point, la congruence correspondante est une congruence de normales. Finalement, la congruence obtenue est de mûme nature que la congruence primitive .
3' Si la congruence engendrée par D est formée par les tangentes aux lignes asymp totiques d'une surface, les développables (Dj) et (Dj) sontconfondues,etpar suite aussi (Si) et (S^) ; il en résulte que la projection du pôle sur à est im point limite de la congruence engendrée par A; donc auv congruences formées par les tangentes asympto tiques d'une surface, la transformation fait correspondre des congruences dont un plan limite passe par un point fixe.
Réciproquement, si un plan limite d'une congruence passe par un point fixe, la transformée est formée par les tangentes aux lignes asymplotiques d'une surface.
En terminant ce chapitre, je dois dire que M. Ribaucour s'est occupé d'une manière accessoire de la transformation qui en fait l'objet, (^'iwrfe des Elassoîdes , page 94, § 67.) M. Ribaucour s'en sert uniquement pour déduire une congruence isotrope d'une autre congruence isotrope.
