Objet principal du Mèinoire

On peut se poser , relativement à l'équilibre des solides élastiques, deux sortes de problèmes fondamentaux, c'està-dire propres à faire comprendre de quelle manière se comporte un corps quand il se déforme pour résister à certaines actions extérieures.

I*) Plusieurs parties de ce mémoire ont été résumées : 1" dans des notes insérées aus Camples-Rendys de l'Académie des Sciences de Paris . ( t. LXXXVI , p. 1260, t. LXXXVII, p. 402, 519, 687, 078, I0T7, t. LXXXVIll , p. 277. 331 , 375, 701, 741, du 20 mai 1878 au 7 avriHS79; t.XCIII , 7 et 14 novembre 1881 , p. 703 et 783; t. XGV, 27 novombre et 4 décembre 1882, p. 1052 et 1149; t. XCVI, 22 janvier 1883, p-. 245 ) ; 2" dans deux extraits étendus , qui font partie de l'édition française de la Tli^orie de i'étasticilé de Clebsch , par MM, de Saint- Venant et Flamant, publiée k Paris chez M. Dunod (premier fascicule, de 1881, pages 374 k 407(1 , et second fascicule , de 1882 , p. 881 à 888).

Les premiers de ces problèmes concernent des solides dont les parties analogues éprouvent des déformations pareilles, comme il arrive : 1" pour un parallélipipède rectangle, quand, au moyen de pressions normales appliquées à ses faces et constantes sur toute l'étendue de celles de même direction, on le soumet à' des contractions ou dilatations uniformes , qui y laissent rectilignes et rectangulaires entr'elles les lignes matérielles parallèles à ses arêtes; 2" plus généralement, quand un prisme subit les mêmes déformations, soit en tous les points d'une fibre longitudinale quelconque , ce qui a lieu, à fort peu près , dans chaque tronçon d'une tige ou corps allongé, soit en tous les points d'un feuillet quelconque parallèle aux bases, comme il arrive de même, sensiblement, dans chaque tronçon d'une plaque ou corps aplati ; 3" ou encore, quand les divers points d'une sphère solide se déplacent suivant ses rayons et de quantités ne dépendant que de la distance au centre , etc. Tous ces cas présentent un grand intérêt; car il résulte, de la manière simple dont les actions ex- . térieures y sont supposées réparties , que les déformations et les pressions intérieures suiveni des lois saisissables , comportant une expression analytique facile à traduire en nombres et, surtout, une représentation intuitive ou géométrique, toujours plus satisfaisante pour l'esprit que ne peuvent l'être des formules.

Mais il faut évidemment , pour se former une idée suffisamment générale de l'équilibre intérieur des solides élastiques, considérer aussi une seconde classe de problèmes, dans laquelle on ne supposera plus réalisés ces modes spéciaux de répartition des actions extérieures, ni, par suite, la sorte d'uniformité ou d'égalité des déformations qui on résulte pour divers endroits du corps ; car ce n'est pas moins dans des conditions d'une inégalité quelconque de distribution, que dans celles d'une certaine égalité, qu'il importe de savoir comment agissent et se transmettent , aux différents points du solide élastique donné , les efforts

extérieurs qu'on lui applique. Malheureusement, ces nouveaux problèmes sont d'une complication excessive , et on ne iloit y regarder comme réellement fondamentaux, ou comme capables de nous éclairer sur les lois de l'équilibre intérieur des corps, que ceux dont la solution est bien intelligible et comporte une représentation géométrique naturelle. Il ne suffit pas d'y cboisir son terrain de manière à pouvoir effectuer les intégrations ; car quel résultat applicable 5 utile pour le physicien ou l'ingénieur, a-t-on pu tirer, par exemple, de la belle solution analytique donnée par Lamé, en 1852, du problème de l'équilibre d'une sphère, ou d'une enveloppe sphérique , que sollicitent des pressions extérieures distribuées arbitrairement à sa surface;? Il faut donc s'attacher surtout à des questions où , malgré la plus grande généralité possible laissée au mode de répartition des forces dans leur région d'application donnée, il se présente quelque circonstance simplificatrice, telle que l'éloignement des surfaces limites du corps, etc., qui permette à la solution d'avoir des lois intuitives ou , tout au moins , de ne pas dépasser ce degré de complication au-delà duquel les formules ne disent plus rien à l'esprit.

Il semble que, s'il existe de pareils problèmes, l'un d'eux, le plus important, et même le premier qui se pose naturellement quand on pense aux phénomènes d'élasticité, doit être la question de savoir quelles déformations on produit dans un solide, en le touchant sur une petite partie de sa surface, tandis que ses parties éloignées de celle-là sont maintenues fixes : cas où il n'y a de déplacements sensibles que dans le voisinage de la région de contact , en sorte que tout se pasye, à fort peu près , comme si le corps étudié était limité d'un côté par son plan tangent (mené à l'endroit touché) et indéfini suivant les autres directions. Ce problème ne diffère évidemment pas de celui des déplacements et des pressions que fait naître , dans un sol élastique horizontal, le poids d'un corps déposé à sa

surface. IL comporte d'ailleurs , comme nous verrons , deux points de vue distincts, suivant que l'on se donne le mode de distribution de la charge ou pression totale entre les divers éléments de ia surface de contact, pour en déduire les déformations du corps touché et spécialement de cette surface, autrement appelée base d'appui, on smv3.nl que l'on se donne, au contraire , la forme et la disposition nouvelles prises par la base d'appui, pour en déduire, ce qui est beaucoup plus difficile, le mode correspondant de distribution delà pression ou de la charge.

Une autre de ces questions , plus simple que la précédente en, ce sens qu'aucune surface limite n'y complique les phénomènes , mais moins intéressante à cause du mode peu pratique d'application des forces extérieures qui s'y trouve employé, est celle des déformations qu'on produit dans un solide en exerçant, sur une partie de sa masse suffisamment éloignée de sa superficie, des actions quelconques. C'est ce qui arriverait, par exemple, si une portion intérieure du corps était magnétique et que , la surface se trouvant rendue fixe , on approchât, à quelque distance, des masses de fer.

Tels sont les deux principaux problèmes qui feront l'objet de cette étude. Ils constituent des questions élémentaires, presque inévitables, de la théorie de l'élasticité. Il n'en est vraisemblablement pas qui soient plus propres à nous faire connaître de quelle manière, dans les solides en équilibre, les pressions ou autres efforts extérieurs se transmettent , soit de la surface à l'intérieur — ce qui est le cas du premier problème, — soit d'une région aux régions voisines — ce qui est le cas du second ; — et comment s'y prend, en quelque sorte, l'élasticité pour répartir et modérer ces pressions ou ces forces, ainsi que leurs effets , à mesure qu'on s'éloigne des endroits oii elles sont appliquées.

Observons , d'ailleurs , que la supposition qu'on y a faite, de l'inimobihsation des parties du corps très éloignées

de la région sur laquelle on agit , n'est guère introduite que pour fixer les idées. En réalité , les phénomènes produits dans cette région resteraient, sans doute, à peu près les mêmes, si le corps était entièrement libre dans l'esoace ; car ses parties éloignées , vu la grandeur relative de leur étendue et, par suite, de leur masse totale, seraient maintenues sensiblement immobiles par leur inertie , durant bien plus de temps qu'il n'en doit falloir à la petite partie, de masse insignifiante , qui est contiguë à la région d'application des forces exercées, pour suivre les impulsions qu'on lui imprime et se mettre dans un état quasipermanent de déformation et de tension, c'est-à-dire, à fort peu près , dans l'état d'équilibre correspondant à la fixation de l'ensemble du corps et à l'intensité actuelle effective des actions extérieures qu'il supporte à l'endroit que l'on considère.

2. — De l'introduction naturelle des potentiels dans d'autres théories que celle de forces obéissant à la loi newtonienne.

Lamé et Clapeyron, dans leur célèbre mémoire de 1828, publié en 1833 .{'), avaient déjà étudié l'équilibre d'élasticité d'un solide sans pesanteur, indéfini dans tous les sens , excepté d'un côté où ils le supposaient terminé par une face plane et soumis du dehors à des pressions perpendiculaires. C'est bien l'une des questions traitées ici , celle qui se présente quand on considère , par exemple , les déformations produites dans un sol horizontal par des charges données que supporte sa surface. Mais la solution qu'ils ont obtenue consiste à superposer une quadruple infinité d'intégrales simples, dont chaque terme est le produit d'une constante arbitraire (que permet de déterminer

(*) Sut l'équilibre intérieur des solides homogènes, ru Recueil des Savants étrangers ie f académie des Sciences de Paris , t. IV { p-. 541. — Quatrième section , cas généraux).

ultérieurement la formule de Fourier) par une exponentielle où paraît en exposant, au premier degré, la coordonnée z, normale à la surface du corps , par une fonction linéaire de z et par deux sinus ou cosinus affectés chacun, linéairement aussi, de l'une des autres coordonnées «, y. Or , ces expressions des petits déplacements w, y, w du solide indéfini sont trop complexes pour permettre de se représenter le phénomène , dont elles ne mettent en évidence qu'une loi accessoire, d'après laquelle la dilatation cubique 9 est proportionnelle, en chaque point delà surface, à la pression normale qui s'y exerce. En général, dans toutes les questions de physique mathématique où l'on emploie la formule de Fourier, les résultats "s'ofFrent sous la forme d'intégrales définies , doubles , quadruples ou sextuples , qui en dissimulent profondément le sens concret; en sorte qu'on n'arrive , par leur moyen , à des lois saisissabJes, que lorsqu'il est possible d'y effectuer la moitié des intégrations. Ayant eu à traiter, en janvier 1870 ('), un problème assez, analogue à celui de Lamé et Glapeyron, quoique beaucoup plus simple, savoir, le problème de l'écoulement d'un liquide, sous des hauteurs de charge notables, par un orifice percé dans une paroi plane indéfinie, avec la supposition que l'on connaisse en chaque point de l'orifice la composante, normale à son plan, delà vitesse qui s'y produit, j'ai oompoàé aussi la solution d'une quadruple infinité d'intégrales simples, dont la formule de Fourier donne de suite les coefficients ; mais j'ai reconnu , en effectuant deux, des intégrations sur quatre , que les résultats ainsi simplifiés s'expriment aisément au moyen du potentiel ordinaire ou classique relatif à une matière fictive étalée sur l'orifice. 11 en résulte cette loi simple, que la

(*) Com-ptes-Rendiu de l'Académie das Sciences de Paris (t. LXX , p. 33 , 1T7 et 1279). Voir aussi, pour plus de développements, au tome XXIII du Recueil des Savants étrangers', la quatrième partie de VEssai sm- la Théorie des eaua: courantes (p. 53S h 569), et, dans les Comples-Itendus (t. XCIV, p. 904, 1004, 1139 ; 3, 10 et 24 avril ISKiJ, trois articles de M. de St-Venant.

vitesse du fluide en chaque point de l'intérieur du réservoir est égale, pour là grandeur et la direction, à l'attraction newtonienne qu'exercerait au même point, sur l'unité de masse , une couclie homogène recouvrant l'orifice et d'une épaisseur partout proportionnelle à la composante normale donnée de la vitesse d'écoulement. Une fois en possession de cette loi , on reconnaît aisément qu'elle satisfait à toutes les équations du problème, et qu'il y aurait eu avantage à partir directement d'unpotentiel sans passer par la formule de Fourier.

Il est naturel que les potentiels relatifs à des masses fictives finies s'introduisent dans certaines questions de physique mathématique , même ne se rattachant pas à la théorie de la pesanteur. Car, d'une part, la belle propriété, qu'ils présentent, d'avoir leur paramètre différentiel du secoad ordre A, nul hofs de la masse par rapport à laquelle on les prend , et en raison directe de la densité dans l'intérieur de cette masse, les prédispose, en quelque sorte, à vérifier les équations indéfinies des problèmes où les paramètres A^ jouent un grand rôle; et, d'autre part, ils deviennent inversement proportionnels à la distance pour les points très éloignés , ce qui , dans les milieux indéfinis , les rend également propres à exprimer les conditions dites amc limites , ou spéciales, qui consistent alors dans l'évanouissement asymptotique des phénomènes à mesure qu'on s'éloigne des régions d'activité de leurs causes (■).

3. — Leur application an problème de l'équilibre d'un solide élastique , limité par un plan indéfini.

Ayant voulu appliquer ces considérations au problème de Lamé sur l'équilibre d'élasticité d'un solide que limite

(*) Il est clair que cela n'empScIie pas les poteBtiels , définies plus ou moins analogues h ces fonctioius, de pouvoii' c des questions concernant certains corps limités en tous sens, quoique sans doute les formules deviennent alors, généralement, beaucoup plus compliquées.

une face plane, prise pour plan des x y, et dont la masse n'est sollicitée par aucune action extérieure telle que la pesanteur, j'ai reconnu qu'on, formait aisément trois types d'intégrales des équations indéfinies , en partant de toute fonction continue dont le paramètre A, est nul au dedans du solide . Dans le troisième, qui est le plus simple, 'm-=oei—u,v égalent les deux dérivées &a. y &ix de la fonction ; dans le second, u, v, w sont les trois dérivées de celle-ci en x, y, z; enfin, dans le premier , ils résultent d'un déplacement w , proportionnel à la dérivée de la fonction par rapport à z, et de trois déplacements u, v^w obtenus en multipliant celte dérivée', oliangée de signe, par z et en diff6rentiant le produit, respectivement, par rapport à x, y, z.

Seulement, pour que" les véritables conditions spéciales aux points éloignés se trouvent satisfaites, il faut que la fonction considérée soit, non pas ptécisément le potentiel ordinaire relatif à une masse fictive ( qui devrait toujoars , d'ailleurs, être supposée extérieure au solide, afin que le paramètre ij s'annulât en tous les points de celui-ci), mais, par exemple, une fonction ayant ce potentiel pour sa dérivée première en z. J'appelle cette fonction , qui me parait avoir passé inaperçue jusqu'ici, potentiel logarithmique à trois variables. Ses éléments s'obtiennent en mesurant ia droite r qui joint au point donné [x, y, z) de l'espace cliaque élément de la masse fictive , puis en augmentant cette droite de sa projection sur l'un des axes, qui est ici l'axe des z, et en multipliant ■ le logarithme népérien de la somme parla masse élémentaire considérée. Le paramètre différentiel 4, du potentiel ainsi formé est nul hors de la masse qui le donne (du moins du côté des z positifs, le seul dont il soit question), tout comme celui du potentiel ordinaire; et ses dérivées premières , ou les produits par z de ses dérivées secondes, qui entrent dans les expr-essions des déplacements M, V, w, deviennent, pour les points éloignés, comme il le fallait, de l'ordre de l'inverse de la distance , quoique le potentiel lui-même grandisse alors indéfiniment.

Enfin , les conditions usuelles les plus simples que l'on puisse se donner à la surface du corps, et qui consistent à y supposer nulles, avec Lamé et Clapeyron, les composantes tangeniielles de la pression extérieure, tandis que sa composante normale, par unité d'aire, est connue en chaque point, se vérifient aussi quand on admet, pour fixer les idées, que le corps soit un sol horizontal, et que la matière dont on prend le potentiel logarithmique se réduise à une couche mince pulvérulente étalée sur ce sol, assez lourde pour que chaque élément de la surface trouve sa charge effective, ou la pression qu'il supporte, dans le poids même de la partie de couche qui le recouvre. D'ailleurs, les véritables déplacements M, y, w se calculent alors par une superposition des deux premiers types d'intégrales

Une autre superposition des trois types permet de traiter le cas d'actions tangentielles exercées sur la surface : mais la détermination des fonctions arbitraires, quand ces actions sont données, y semble plus difficile (*).

4. — Déformations d'un sot élastique sous des charges données et transmission des pressions à son intérieur.

Les expressions des déplacements deviennent extrêmement simples, pour chaque type d'intégrales, quand la couche par rapport è laquelle on prend le potentiel se réduit à un seul de ses éléments. Leur interprétation géométrique est alors immédiate, comme on le verra aux numéros 19, 20 , 21 , 22 et 23, et elle ne devient guère plus complexe lorsque , effectuant la superposition des deux premiers, types dont il vient d'être parlé , on considère le cas d'un sol chargé en un seul point, ou plutôt sur une partie, très petite en tous sens, de sa surface.

Le long d'une droite quelconque émanée du point pressé, les déplacements sont en raison inverse de la distance à

(*) On verra au n° 40 Us (p.1-82) qu'elle cesse de l'être par l'emploi d'un second potentiel' logarithmique ayant le précédent pour sa dérivée en z.

ce point. Leur composante verticale, partout de même sens que la pression élémentaire exercée , croît, d'ailleurs, à mesure que diminue l'angle fait par la droite considérée avec la verticale , proportionnellement au carré du cosinus de cet angle, sans s'annuler nulle part. Quant à la composante horizontale, pour une pression positive ou exercée de haut en bas, elle éloigne la matière de l'axe de symétrie vertical passant par le point pressé, s'il s'agit de celle qui est à l'intérieur d'un certain cône de révolution décrit autour de cet axe; tandis qu'elle l'en rapproche, au contraire , s'il s'agit de la matière extérieure au même cône et notamment de celle de la surface. Ainsi, des cercles concentriques , décrits sur la surface autour du point pressé, se contractent d'une petite quantité, inversement proportionnelle à leur rayon , en même temps qu'ils éprouvent un abaissement régi par la même loi de proportionnalité inverse.

Si l'on considère , à l'intérieur du corps , des couches de matière parallèles à la surface et de plus en plus éloignées de celle-ci ou de plus en plus profondes , on trouve que la pression exercée au dehors se transmet, de chacune de ces couches à la suivante, sous la forme de pressions obliques, dirigées exactement à l'opposé du point de la surface directement comprimé, et qui sont en raison inverse , tout à la fois , du carré de la distance à ce point et du carré du rapport de cette distance à la profondeur de la couche (').

A cause du principe de la superposition des petits effets, l'enfoncement produit en un point donné de la surface par des pressions extérieures connues, reparties arbitrairement, égalera, à un facteur constant près, la valeur, pour ce point, du potentiel ordinaire total relatif à une couche pulvérulente fictive , distribuée sur la surface de la même manière que les pressions , ou propre à faire naître celles-ci par son poids. Il est donc aisé de voir quelle forme

(*) Voir au n" 40 6ts (p. 18T) ce que devient cette loi dans le cas général d'une pression inclinée.

prend la surface , soit à de grandes distances de la région d'application des forces, là où un développement en séries très convergentes est possible, et où une première approximation donne les mêmes lois que pour une. pression isolée (ne s'exerçant que sur un élément plan) , soit même à l'intérieur et dans le voisinage de la- région d'application, en s'y bornant toutefois, pour simplifier les calculs, au cas simple d'une distribution pareille tout autour d'un point central. On trouve, par exemple, dans ce dernier cas, que les divers modes de répartition d'une même pression totale . à l'intérieur d'un cercle donné , sont presque sans influence sur la forme que prend la surface aux distances du centre dépassant une fois et demie ou deux fois le rayon du cercle, quoique les enfoncements ou abaissements y soient encore très sensibles ; le principal des termes qui expriment l'action propre de ces modes est en raison inverse du cube de la distance.

Des intégrales définies fort simples, aisément réductibles en séries, permettent d'étudier les déformations de la surface, notamment pour la région d'application des forces, quand celles-ci sont distribuées, dans tout l'intérieur d'un cercle , ou uniformément, ou paraboUquement avec annulation soit au bord, soit au centre, etc. La moyenne des enfoncements observés sur toute l'aire de la région d'application, et leurs valeurs tant au bord de cette région qu'à son centre, s'obtiennent même sous forme finie pour les modes précédents de distribution de la p*ression ou charge totale et pour une infinité d'autres modes plus complexes.

Les formules donnant tous ces résultats se déduisent, par voie d'intégration, de celles qui conviennent au cas d'une charge élémentaire uniformément répartie le long d'une circonférence ou , pour mieux dire , sur une bande annulaire infiniment étroite. Une loi digne de remarque signale ce cas simple : elle consiste en ce que , si deux charges égales sont ainsi déposées, à la surface du sol, suivant deux circonférences concentriques de rayons quelconques,

chacune d'elles produit un égal abaissement ou une égale flèche aux points qu'occupe l'autre. La même loi de réciprocité s'observe pour une plaque circulaire mince, liorizontale, appuyée ou encastrée sur tout son bord et supportant des charges réparties le long de circonférences concentriques à ce bord; en sorte qu'elle étabKt, malgré la difFérence profonde des formules, une analogie curieuse entre un sol de dimensions indéfinies et une plaque Uiince limitée en tous sens.

Mais revenons à l'étude de la forme prise par une région d'application circulaire, sur toute l'étendue de laquelle s'exercent les forces données. Une telle région, que nous pouvons appeler la surface directement comprimée, devient sensiblement concave pour une distribution uniforme de la pression, et cette concavité s'accroît encore , elle fait plus que doubler, dans une distribution parabolique avec décroissement du contre au bord. An contraire, la courbure prise par la surface comprimée est beaucoup plus faible dans le deuxième mode de distribution parabolique, où il y a annulation de la pression au centre , et aussi dans d'autres modes formés , comme celui-là , par une combi- . naison des deux précédents.

Ces derniers modes, où la surface comprimée s'éloigne moins de sa forme primitive que lors d'une distribution uniforme, portent l'esprit à chercher comment il faut répartir la pression , à l'intérieur d'un contoar donné, pour que toute la surface limitée par ce contour reste plane et horizontale. Il est clair que le potentiel doit alors recevoir une valeur constante en tous les points de la couche par rapport à laquelle on le prend, comme lorsqu'il s'agit d'une charge d'électricité en équilibre sur une plaque métallique; en sorte que le mode de distribution cherché est le même pour les pressions que pour une charge électrique à la surface d'un plateau conducteur ayant la forme de la région d'apphcation. Dans le cas bien connu où le contour est elliptique , il faut concevoir décrit sur

l'ellipse donnée, comme base, un demi- ellipsoïde à axe vertical, puis supposer la charge totale répartie, à la surface convexe de céderai-ellipsoïde, proportionnellement, en chaque point , à la distance de ce point à un ellipsoïde concentrique et semblable infiniment voisin, et transporter enfin chaque partie de la charge sur l'élément de l'ellipse donnée où elle se projette alors verticalement. La propriété , dont jouit ce mode de distribution , de laisser à la surface elliptique comprimée sa forme plane et horizontale se déduit sans calcul de celle que présente une couche homogène, limitée par deux ellipsoïdes concentriques et semblables , de n'exercer aucune attraction sur un point intérieur. Des parallèles équidistantes , d'une direction quelconque , découpent l'ellipse d'application en bandes supportant toutes d'égales charges, etc.

Enfin, la transformation classique par rayons vecteurs réciproques permet de déduire , de chacun des modes considérés d'application des pressions extérieures, une infinité d'autres modes, pour lesquels la forme de la surface se trouve connue sans intégrations nouvelles. En particulier, le mode de distribution qui laisse à une région d'application circulaire sa forme plane et horizontale conduit à un autre, également symétrique autour d'un centre, où la région d'application est une bande annulaire, sans limite extérieure déterminée, dont tous les points s'abaissent comme ils le feraient si la charge entière était réduite à sa résultante statique , c'est-à-dire transportée an centre.

Il n'existe aucun mode de répartition des pressions , sur une partie limitée do la surface indéfinie du corps , pour lequel il y ait proportionnalité entre la charge que supportent les divers éléments de la surface et l'abaissement qu'ils éprouvent. Mais cette proportionnalité se produit dans des cas où toute la surface est divisée en compartiments similaires que sollicitent pareillement des pressions et des tractions se neutralisant en moyenne. Les eifets des

forces décroissent alors, à mesure qu'on s'enfonce à l'intérieur du corps , bien plus vite qu'ils ne feraient s'ils variaient, comme dans les cas précédents, en raison inverse d'une puissance déterminée de la distance ; car il y entre en faoteiar une exponentielle qui s'évanouit (asymptotiquement) dès que l'éloignement à la surface devientun peu grand par rapport aux dimensions des compartiments.

5 — Répartition, à la surface de contact, de la pression totale , quand c'est un corps dur qui Veœerce.

Le problème de l'équilibre ne cesse pas d'être complètement déterminé quand , au lieu de se donner la pression extérieure en chaque endroit de la région d'application , on s'y donne, au contraire, l'abaissement m , on encore lorsqu'on connaît, avec la charge totale*, la forme que doit prendre la surface comprimée, et qu'on cbercbe, d'une part, l'abaissement d'ensemble éprouvé par celle-ci, ainsi que son orientation ou les rotations qu'elle subit, et, d'autre part, la manière dont s'y répartit la pression. Seulement, ces problèmes inverses , dont le second se ramène toujours à plusieurs de l'espèce du premier, sont beaucoup plus difficilement attaquables que le problème direct, où l'on suppose donnée la cbarge partielle de chaque élément de la région d'application ('}. Heureusement, ils se trouvent résolus en même temps que ce problème direct, pour les cas où la surface comprimée aurait précisément l'une des formes qu'on y a obtenues et éprouverait l'abaissement d'ensemble correspondant ou supporterait la même pression totale. C'est ainsi que, par exemple, conformément à la loi énoncée plus haut pour des régions d'application elliptiques, une surface comprimée circulaire ne pourra rester plane

(*) Leur solution, soua une formo assez simple, est maintenant oblenuo (ians Je cas de symétrie tout autour d'un point, grâce à une formule de M. Eug. Beltracni sur les potentiels (n» 38 6w, p. 167).

et homontale qu'autant que sa charge, vue, d'une hauteur iniinie, en perspective sur la surface d'une demi-sphère ayant pour base le cercle donné, sera distribuée uniformément entre toute l'étendue de cette calotte hémisphérique. Or, la seconde des* questions inverses, celle où l'on suppose comiues la pression totale et la forme que doit prendre la surface comprimée, revient évidemment à chercher comment se répartit, sur un sol élastique horizontal et poli , le poids d'un solide beaucoup moins ûexible qu'on y dépose, et de combien s'y enfonce un tel solide. En effet, la forme de la surface de contact ne difTère pas alors sensiblement de ce qu'elle était dans le solide non déformé , c'est-à-dire de la hase d'appui du corps; elle fait partie des données de la question. Et les limites de la môme surface, quand elles sont inconnues, s'obtiennent en exprimant que la pression s'y annule ou que le sol élastique n'y présente aucune discontinuité de son pian tangent, conditions équivalentes et nécessaires, comme on verra (p. 208). Les cas où la base d'appui du corps est plate et à contour convexe taillé en arrête vive ne peuvent pas, il est vrai, être traités en toute rigueur dans l'hypothèse simplificatrice d'une courbure infinie aux arêtes ; car il en résulterait, pour la pression exercée tout le long du contour, des valeurs infinies elles-mêmes par unité d'aire, bien qu'insignifiantes en grandeur absolue. Mais cette hypothèse n'en conduit pas moins aux véritables lois naturelles, et les seules accessibles, du phénomène, pour toutes les régions du sol élastique autres qu'une zone étroite contiguë au contour, sur laquelle régneront certaines pertitrhaùkms locales comme il s'en renconire dans bien d'au- , très questions de physique mathématique. Donc, on aura résolu, pour les cas les plus simples, le problème célèbre de d'Alembert et Euler, relatif à la question de savoir comment le poids d'un corps, posé sur un plan horizontal, se distribue entre les divers éléments de la surface de contact.

S'il s'agit de corps dont la base, limitée par un certain contour, est plane et reste horizontale , le mode de répartition cherché sera le même, comme il a été dit, que pour une charge électrique en équiiibresurune plaque terminée à ce contour. Je viens d'énoncer la' loi très simple qui convient en particulier pour un disque circulaire. On reconnaît, d'ailleurs, qu'un tel disque s'enfonce, à la surface du sol élastique , d'une quantité assez peu différente (~ en moins environ) de l'abaissement moyen qu'éprouverait la surface circulaire comprimée si la charge s'y distribuait uniformément (').

6. — Application des potentiels à des cas où le solide est sollicité dans sa masse par des forces extérieures.

Ce n'est pas seulement pour des solides dont la surface supporte localement des pressions ou tractions diverses, que les potentiels s'appliquent avec avantage au problème de leur équilibre d'élasticité : ces fonctions donnentencore des intégrales, et aussi simples que possible, dans une autre question d'équilibre qu'on se propose de traiter également ici, savoir, celle où l'on s'occupe de corps dont la masse même, l'intérieur, est soumis, assez loin de sa surface, à l'action de forces quelconques données. Seulement les potentiels à considérer sont alors relatifs, non plus à de simples couches , infiniment minces, comme quand il s'agissait de pressions extérieures s'exerçant sur les surfaces occupées par ces couches, mais bien à des matières fictives à trois dimensions, remplissant, de même, l'espace où s'exercent les forces proposées. Il devient donc nécessaire d'étudier les potentiels et leurs dérivées pour l'intérieur des masses qui les donnent.

On sait combien sont artificielles et délicates les mé-

(*) La solution n'est pas moins simple dans le cas d'un corps k surface convexe qnelconque (voir n" 51 bis, p. 339).

thodes imaginées dans ce but par les géomètres, celles' pnr exemple, dont on se sert dans les traités de mécanique pour démontrer la formule de Poisson. J'espère avoir découvert le procédé réellement naturel qui convient à l'étude des intégrales multiples dont il s'agit, c'est-à-dire analogues aux potentiels direct et inverse ou à leurs dérivées partielles successives. Il consiste à décrire une sphère, d'un très petit rayon constant R, autour du point {w, y, z) qui a pour coordonnées les paramètres dont dépend l'intégrale, et où la fonction sous le signe/devient infinie : l'intégrale, supposée réduite aux éléments qui correspondent à la matière située en dehors de la sphère, reste une fonction extrêmement peu différente de ce qu'elle doit être réellement, c'est-à-dire de ce qu'elle devient pour R=o; et elle a les mêmes allures que cette fonction limite, qui d'ailleurs n'existe ou n'est définie que par elle. C'est donc sur l'intégrale ainsi entendue, ou dont on exclut tous les éléments correspondant à l'intérieur de la petite sphère, que doit se faire l'étude de l'intégrale limite elle-même.- Or, quand on la différonlie, " le point [x, y, z] se déplace infiniment peu, emportant avec lui la sphère, de rayon R, dont il est le centre. A côté des éléments communs à l'intégrale dans ses deux états successifs, et qui se différentient sous le signe /par le procédé ordinaire , il y a donc des éléments, les uns gagnés, les autres perdus, et qui correspondent aux espaces délaissés ou envahis par la sphère. De là des termes aux limites, relatifs à la surface de cette petite sphèfe, et dont la somme n'est pas toujours négligeable, c'est-à-dire de l'ordre d'une puissance positive du rayon R ou d'une autre fonction s'annulant avec R. Ce sont précisément ces termesqui rendent le paramètre A^ du

potentiel ordinaire ou inverse \ égal au produit de

— 4^1 par la densité p ; et ils donnent pareillement, au paramètre ia du paramètre i^ du potentiel direct/ri/M, la valeur — Sirp, au heu de la valeur zéro que Lamé trouve,

par la ditïérentiation sous le signe /, à la vi^ de ses Leçons sur la théorie de l'élasUeUé (").

Une méthode pareille s'applique à l'étude du potentiel logarithmique à trois variableis. Seulement la fonction aous le signe / est alors infinie en une infinité de points alignés sur une parallèle à l'un des axes coordonnés : ce qui conduit à remplacer la petite sphère par un cylindre mobile de très petit rayon , décrit autour de cette parallèle comme axe.

Les propriétés générales des potentiels une fois reconnues, il est aisé de voir ce que deviennent, pour les points situés à l'intérieur des masses fictives, les trois types d'intégrales obtenus dans la première partie du mémoire : ils y satisfont encore aux équations indéfinies de l'équilibre, mais seulement pour des cas oîi certaines actions extérieures s'y trouveraient appliquées à l'unité de volume du corps élastique. Le premier type est particulièrement intéressant, en ce que, d'une part, l'action extérieure y a, en chaque en-

(■) Ce procédé présente un autre avantage , quand on applique le potentiel inverse à la théorie de la pesanteur, c'eat-à-dire des forces régies par la loi newtonienne. Gomme rien n'empêche de supposer le rayon , R , de la sphère décrite autour du point {«>, y, a), à la fois très petit par rapport aus dimensions des corps , ou par rapport aux distances auxquelles s'esercent en quantité sensible les actions dont on parle , et cependant très grand en comparaison de la distance de deux molécules contiguès, l'intégrale ne sera pas modifiée d'une manière appréciable , non plus que ses dérivées , si on pulvérise fictivement la matière, en répandant d'une manière uniforme la masse de chaque molécule dans tout l'espace qui la sépare de ses voisines. En effet , la distance , pour le moins aussi grande que R , de chaque fragment au point {x, y, x) n'aura varié que dans un rapport négligeable. La théorie classique du potentiel, qui suppose chaque corps formé départies exactement contiguës ou remplissant tout son volume apparent , subsistera donc dans l'hypothèse , admise par toul le monde , de la discontinuité de la matière. On peut voir à ce sujet un petit mémoire que j'ai publié au tome VI (1880, p. 89 à 98) du Journal de Mathématiques pures et appliquées, par MM. Liouvllle et Resal.

Ainsi que je le dis à la fin de ce mémoire, la considération d'une petite sphère mobile,- décrite autour du centre (a;, y, s) et entourant une matière dont on convient de faire abstraction dans le calcul du potentiel , n'a rien de commun avec celle de la petite sphère , fixe et pleine , qui a permis jusqu'ici aux auteurs de mécanique do démontrer, assez simplement , pour les points (a;, y, «) situés à son intérieur , le théorème de Poisson , par la facilité que présente le calcul direct du potentiel relatif k toute sa matière, supposée homogène et continue.

droitj sa valeur simplement proportionnelle à la densité de la matière fictive, et que, d'autre part, les expressions des déplacements ti, v, w s'y annulent en tous les points d'une sphère infinie décrite autour de l'origine comme centre.

Aussi ce premier type, d'où le potentiel logarithmique s'élimine de lui-même pour n'y laisser paraître que les dérivées secondes d'un potentiel direct, donne-t-il, sons une forme naturelle et comportant un sens géométrique des plus expressifs,, les valeurs des déplacements qu'éprouve un solide indéfini sous l'action de forces extérieures appliquées à certaines parties de sa masse. MM. William Thomson et Tait avaient déjà, aux n"' 730 et 731 deleurheau Traité- de philosophie naturelle, trouvé des expressions équivalentes, mais plus complexes, auxquelles les ont conduits des méthodes d'intégration beaucoup moins simples.

On peut aussi, daus ce problème, arriver très vite aux expressions définitives des déplacements îi, w, w par l'introduction de potentiels directs/r(?m, en s'appuyant sur l'analogie de l'équation ig Aj/rf^m ^ — 8icp, vérifiée par ces potentiels, avec les formules qui donnent les A^ des i-j de M, V, ou w, et qui se déduisent aisément, comme on sait, des équations indéfinies ordinaires de l'équilibre. Lamé avait comme pressenti cet emploi des potentiels directs, au n° 26 (p. 71) de ses Leçons sur la théorie de l'élasticité : on voit seulement que ce n'est pas pour un corps intérieurement libre do toute action extérieure qu'il réussit le mieux, comme l'insinuerait la comparaison que fait Lamé de relations telles que Aa h.^fnlm = o et A^ A^ («(, y, it) = o , mais bien, au contraire, pour un corps que sollicitent des forces quelconques appliquées à son intérieur.

7. — Déformations ei pressions dans un corps indéfini, sollicité intérieurement par une force unique ou par deux forces 'égaies et contraires. — Des perturbations locales dans la e des solides.

Le potentiel dont les dérivées secondes entrent dans les expressions des déplacements u, v, w se réduit à un seul de ses éléments , quand le corps, supposé indéfini en tous sens, est sollicité à son intérieur par une force unique. Alors, le long d'un même rayon r émané du point d'application delà force, les déplacements sont parallèles entr'eux et inversement proportionnels à la distance r. Si l'on décompose, par la pensée, la matière du corps en couciies sphériques minces ayant pour centre le point d'application considéré, chaque couche reste sphériqueet conserve son rayon, tout en se déplaçant dans le sens de la force ; seulement, son centre de gravité avance moins que son centre de figure, parce que la matière glisse à sa surface et s'accumule un peu à l'arrière-; etc. Des lois également très simples régissent les déformations produites et les pressions intérieures qui en résultent. Par exemple, chaque couche sphérique exerce sur celle qui l'entoure des actions, inverses du carré du rayon r, se composant par unité d'aire, en chaque point, d'une pression ohlique constante , de même sens que la force extérieure appliquée au centre , et d'une pression normale, proportionnelle au cosinus de l'angle qu'elle fait avec cette force.

En superposaAt les effets de deux forces égales et de sens contraires, appliquées au corps indéiiai, on peut se rendre compte, soit des erreurs que toléré la statique classique , dans l'étude d'un tel corps, lorsqu'elle permet d'y déplacer une force le long de sa direction, soit des effets d'un couple sur le solide. Ces derniers effets, de même que ceux de deux forces égales et opposées, sont purement locaux, c'est-à-dire insensibles à quelque distance

de îa région d'application; car ii n'y ^ pas de rotation d'ensemble, vu qu'on suppose le corps fixé à l'infini et qu'on cherche seulement ses déformations intérieures. D'ailleurs, même dans le cas où il serait libre, l'inertie de ses parties éloignées suffirait pour les immobiliser sensiblement, jusqu'à ce que la. région d'application, avec ce qui l'entoure, eût reçu ses déplacements d'équilibre.

On se trouve donc n'évaluer, delà sorte, que des perturbations locales, comme* il s'en produit près des extrémités des tiges ou du contour des plaques, c'est-à-dire lii où s'exercent d'ordinaire, dans ces corps d'une étude plus facile et plus répandue que les autres, de grandes actions extérieures, dont on donne la résultante et le moment sans s'occuper de leur mode de distribution ou d'application, ni, par suite, des effets locaux qu'il entraine.

Seulement, ces perturbations, à l'intérieur de solides ayant leurs troisdimensions comparables entr'elle3,parais-7 sent se propager beaucoup plus loin que celles qui, chez les tiges et les plaques, naissent sous l'action de forces en équilibre, appliquées à une extrémité ou dans une petite région quelconque. Et on le conçoit; car, dans les corps massifs, les diverses parties sont beaucoup moins libres 'de leurs mouvements, beaucoup .plus solidaires les unes des autres : des forces qui se neutralisent, ou qui ont pour effets non un mouvement d'ensemble, mais de simples tiraillements en sens opposés, y ébranlent donc beaucoup plus de molécules et, par contre, beaucoup moins les molécules mêmes contiguë^ aux points d'application, que dans les corps allongés ou aplatis. Effectivement, MM. Thomson et Tait ont pu calculer, d'une manière approchée, les perturbations que causent dans les plaques les couples de torsion, perturbations représentées par certaines intégrales du troisième type dont il est parlé plus haut, généralisé, et ils ont reconnu que ces perturbations décroissent très rapidement, à partir du bord de la plaque, proportionnellement à une exponentielle, de manière à s'évanouir, au point

de vue de l'observation, à une distance du bord qui vaut le double seulement de l'épaisseur de la plaque. Au contraire, dans un solide indétini, comme à la surface d'un sol horizontal, les effets de forces appliquées à l'intérieur d'une certaine région et qui se neutralisent ne décroissent, à mesure qu'on s'éloigne de la région considérée , qu'en raison inverse du cube de îa distance.

S. — Réflexions sur une di/férence que présentent, en physique mathématique, les véritables solutions simples,' ou les éléments naturels des solutions générales, suivant qu'il s'agit de systèmes matériels indéfinis ou de corps limités.

Enrésiimé, parmi les problèmes sur l'équilibre d'élasticité qu'on peut traiter par les potentiels, deux surtout m'ont paru trouver dans ces fonctions leur solution naturelle, la représentation propre et eu quelque sorte immédiate des faits f). Ces deux qnestiûns,concernant des phénomènes dont l'allure concorde si bien avec les modes même de variation des potentiels ou de leurs dérivées, sont, d'une part , le problème de l'équilibre d'un solide limité, par un simple plan et soumis, en divers points de ce plan, à des pressions arbitraires, d'autre part, le problème de l'équilibre d'un corps, indéfini dans toutes les directions, sur lequel s'exercent, en certaines régions limitées, des forces extérieures quelconques. Or. dans les deux cas, l'intégrale générale se compose d'une infinité de termes, dont chacun pris à part là constituerait si la matière fictive par rapport à laqueUe on prend le potentiel se réduisait à un seul de ses éléments, ou, ce qui se trouve revenir au même, si on n'appliquait, soit à la surface, soit au volume du corps, qu'une seule des forces élémentaires données. Les v^Uahïes solutions simples, c'est-à-dire celles en lesquelles se décompose d'ellemêmela solution générale, expriment donc les effets qui se

(") Il faut y joindre celai dun°43 6!S(p. 197), où les déplsetnionts à la surface sont donnés au lieu des pressions.

produiraient si les actions dé formatrices, cause des phénomènes étudiés, ne s'exerçaient qu'en un seul des éléments de leur région d'application, tous les autresrestant libres (').

Une loi analogue apparaît dans le problème, rappelé au n" 2 (p. 20), de l'écoulement d'un liquide, sous de grandes charges, par un orifice percé à travers une paroi plane indéfinie. L'appel du fluide intérieur vers le dehors se compose, en quelque sorte, des appels partiels qu'exercent sur lui les diver^ses parties 'de l'ouverture faite à la paroi ; car on a vu- que tout se passe comme si le liquide débité dans l'unité de temps par chaque élément de l'orifice imprimait aux molécules intérieures des vitesses proportionnelles à son volume et en raison inverse da carré de la distance, la vitesse effective s'obtenant ensuite par la composition géométrique de toutes ces vitesses partielles ,

Il en est de même dans la question de la corde vibrante de longueur indéfinie, type classique de tous les phénomènes ondulatoires. L'ébranlement initial, cause du fait étudié, est réductible, pour chaque partie de la corde, à' deux ébranlements distincts, émis, l'un, dans un sens, l'autre, dans le sens contraire. Or, chacun de ces ébranlements se propage comme si l'autre n'existait pas 'et comme si toutes les parties de la corde, excepté la portion infiniment petite que l'on considère, s'étaient trouvées initialement sans vitesse dans leurs situations de repos. Donc, là encore, l'intégrale générale, quoique de forme finie pour l'analyste, se décompose naturellement, pour le physicien, en une infinité de solutions simples , exprimant , chacune , ce que serait le phénomène si sa cause ne s'était exercée que sur un seul élément de la région donnée d'application.

Il serait aisé de mettre en évidence le même caractère dans- la solution générale, due à Laplace, de l'équation

(") On pourrait en dire autant si la ci^tise des phénomènes était {n° iSbis, p. 197' des déplacements à la suiface ilonnés, corrélatifs de pressions dont la plupart, s'ftxerçant en des points maintenus tixea, ne seraient pas réputées déformatriees, mais purement résistantes.

indéfinie des températures (") , solution qui exprime par une intégrale définie la dissémination, le long d'une barre infiniment longue ou an sein d'un milieu athermane à plusieurs dimensions, d'une quantité de chaleur que contenaient initialement certaines régions de la barre ou du milieu. En effet, chaque élément de l'intégrale définie considérée représente, pour tout point du corps, la part de sa température qui est due à la chaleur initialement concentrée dans une partie infiniment petite de ces régions. Et il en serait de môme de l'intégrale de Fourier, assez connue, qui exprime la propagation d'ébranlements transversaux le long d'une barre droite sans fm (") .

Dans ces problèmes et leurs analogues ('"), il convient de choisir comme variables d'intégration , sous les signes/ de l'intégrale définie obtenue pour exprimer le résultat, les variables mêmes dont dépend immédiatement la fonction arbitraire introduite sous ces signes/ef caractéristique de l'état initial on des circonstances qui définissent, pour ainsi dire, l'individualité du phénomène. Les variables dont il s'agit représentent directement les coordonnées de la région ou naissent les faits étudiés, en sorte que l'élément de l'intégrale définie exprimera les effets issus de chaque partie infiniment petite de cette région et produits par les causes élémentaires qui s'y trouvent ou s'y trouvaient initialement en jeu.

Il est donc permis, ce semble , d'ériger en principe général que, lorsqu'il s'agit de corps ou milieux indéfinis dans les sens suivant lesquels se déroulent les phénomènes, les véritables solutions simples des problèmes de physique

(*) Voir, à la fin du mémoire , le n." 14 de la deuxième note complémenlaire. Les éléments de la solution générale dont il s'agit sont donnent par la formule (67) d9 cette mti.

{*") Voir le ii» 20 de la même note.

(***) La même deuxième note complémentaire en offrira un eertain nombre : lys BoluCions simples naturelles y sont exprimées par les formules (32), (60), (67), {^}, (99), (ItO), (ili), (197), (201), (224), (229), (240), (242), etc.

matlkématique , c'est-à-dire celles qui figurent naturellement et utilement dans îa composition des résultats cherchés, sont des termes infiniment petits, exprimant, chacun, la partie des faits observés qui prend naissance dans un élément particulier de la région où ils se produisent. Ces faits élémentaires se superposent sans s'influencer mutuellement, à cause de la forme linéaire des équations. Et ils conservent indéfiniment leur simplicité , leur caractère distinctif de faits issus d'un même point et se propageant toujours de môme dans des espaces de plus en plus grands mais uniformes ou semblables ; car on suppose le système matériel homogène, et dépourvu de toute limite qui, inégalement distante des diverses parties, établirait entr'elles des différences relatives ou modifierait à son approche les phénomènes.

On sait qu'il en est tout autrement pour les corps limités. Alors les solutions simples représentent des cas où les causes en jeu interviennent à la fois dans toute l'étendue de leur région possible d'application , mais où leurs effets ont, aux divers points, des rapports d'intensité, dépendant delà forme du corps, tellement calculés, qu'ils se propagent, à partir de celte région, ou se transforment, à partir de l'instant initial, sans que ces rapports changent et, d'ordinaire, proportionnellement à des exponentielles, sinus ou cosinus de fonctions linéaires de la distance ou du temps. Ces solutions simples, en nombre infini, supposées rangées suivant l'ordre même de leur degré décroissant de simplicité, diffèrent, Jesunes des autres, en ce qu'elles présentent dans toute l'étendue de la région d'application un nombre de plus en plus grand de changements de signe à mesure qu'on passe de l'une d'elles à la suivante, c'est-à-dire en ce qu'elles expriment des faits élémentaires de moins en moins concordants pour tout l'intérieur de chaque partie de la région d'application ou, par suite, de moins en moins influents et de moins en moins marqués aux yeux de l'observateur. En conséquence, l'intégrale générale est une

série de termes fmis, dont chacun, proportionnel à une des solutions simples, se trouve affecté d'un coefficient qui exprime pour quelle part cette solution simple intervient dans le mode proposé de répartition des causes enjeu ou dans l'état initial donné. Kt la série ainsi obtenue est d'ordinaire très convergente ; car les fermes éloignés changent trop souvent de signe pour concourir, d'une manière notable , à l'expression d'un mode de répartition ou d'un état initial quelque peu graduels ets'ôtendant à la totalité de la région d'application (comme on l'admet, quoique souvent d'une manière implicite, dans les problèmes de cette nature, quand on veut que les" formules trouvées ne soient pas illusoires au moins dans la période de début des phénomènes).

Mais concevons qu'un système matériel limité grandisse de plus en plus, et qu'en même temps la région où naissent les faits reste finie, de manière à n'occuper qu'une partie de plus en plus faible de son étendue totale possible. On aura ainsi un mode de distribution des causes en jeu, on un état initial, qui s'éloignera de plus en plus de ceux que représentent les solutions simples propres aux corps, bornés ; en sorte que, dans la décomposition à effectuer de ce mode ou de cet état initial en une série de modes ou d'états initiaux correspondant aux solutions simples, les termes de la série qui deviendront influents seront de plus en plus nombreux et d'un ordre de plus en plus élevé. A. la limite, c'est-à-dire au moment où les bornes du système s'évanouiront en disparaissant à l'infini, et où la région dans laquelle naissent les phénomènes étudiés ne sera plus qu'un point dans l'étendue qu'elle pourrait occuper, le mode de répartition ou d'état initial différera infiniment de celui qui est propre à toute sohition simple, et même de ceux qui correspondent à toute somme d'un nombre très grand, mais fini, de solutions simples. Donc, la série exprimant l'intégrale cherchée n'aura que des termes infiniment petits et ne sera plus qu'infiniment peu couver-

génie, sans compter qu'elle pourra même ne le devenir qu'après une infinité de termes. C'est ce qui arrive quand on passe, par exemple, des séries trigonom étriqués ordinaires à la série de Fourier, vers laquelle tend la plus générale d'entr'elles quand la période grandit indéfiniment. On n'a donc plus, à cette limite, qu'une formule illusoire . du moins au point de vue des calculs effectifs; et il le faut bien, puisqu'on veut, par une sorte de fiction, imposer des formes à un espace qnin'en a plus et saisir, relativement à ses limites qui se sont évanouies j des différences déposition,, entre ses parties, devenues au contraire similaires en tout. L'application de la formule de Fourier aux problèmes de physique mathématique concernant les corps indéfinis ne donne donc lès résultats que sous une forme de iransiiion , pour ainsi dire , forme parfois indécise , en ce qu'il y subsiste des traces de circonstances disparues, et impropre par eile-mème aux calculs numériques, mais apte d'ordinaire à se transformer utilement quand on peut. en effectuant dans ces résultats la moitié des intégrations, savoir, celles qui s'y trouvent indiquées par rapport à des variables auxiliaires allant de zéro à l'infini, sommer, sous leurs autres signes/, les séries devenues infiniment peu convergentes et converties en intégrales. Grâce à ces sommations^ une infinité de solutions simples se groupent en une seule, et il ne reste plus à intégrer que par rapport aux variables représentant les coordonnées de la région d'application , ou dont les différentielles multipliées ensemble expriment, en coordonnées rectilignes rectangles, l'élément même do cette région. Le terme unique obtenu sous les signes/encore subsistants n'est donc autre que la- véritable et naturelle solution simple propre au milieu indéfini , celle dont il vient d'être parlé, et que des potentiels, relatifs à chaque élément d'une matière fictive répandue dans la région d'application, expriment si simplement pour les questions étudiées dans ce mémoire ainsi que pour le problème de l'écoulement d'un liquide par un orifice.

8 bis. — Coup d' œil sur le sujet des noies complémentaires. — Définition naturelle des paramètres différentiels d'une fonction de point, et, en particulier, de celui du second ordre à^.

Termiaons notre résumé par quelques mots au sujet des deux notes jointes à ce mémoire.

La première a pour but : 1", de faire connaître un potentiel à quatre variables a;, p^ z, r, le potentiel spMrique , qui contient en germe les potentiels ordinaires ou à trois variables es, y, z, et dont le paramètre différentiel \ égaie la dérivée seconde par rapport à la quatrième variable r, propriété d'où découlent celles qui concernent les paramètres analogues des potentiels ordinaires ; 2" de montrer, BUT des exemples relatifs aus petits mouvements intérieurs de fluides et de solides indéfinis en tous sens, que ce po.tentiel sphérique comporte des applications , à la dynamique des corps élastiques , non moins importantes que celles des autres potentiels à leur statique et à Técouienient des liquides par des orifices.

Inutilité ou la fécondité de représentation des difTércntes sortes de potentiels, dans tous ces cas, paraît tenir à ce que les équations des problèmes dont il s'agit ne contiennent que des dérivées d'un même ordre pair. Or d'autres questions, non moins importantes, celles, par exemple, qui concernent les mouvements transve rsaus des barres droites et des plaques planes, les ondes liquides courtes propagées à la surface d'une eau assez profonde, etc. , s'expriment, au contraire, par des équations dons lesquelles les dérivées relatives à certaines variables sont d'un ordre deux fois plus élevé que celles qui s'y trouvent prises par rapport à d'autres. La seconde note complémen taire a justement pour but d'intégrer d'une manière très simple cette deuxième catégorie d'équations aux dérivées partielles, du moins dans l'hypothèse, faite constamment ici , de corps illimités

suivant les sens où s'y déroulent les phénomènes. Un y parvient au moyeu d'intégrales définies ayant cela de commun avec le potentiel le plus général, que leur élément contient le produit de deux fonctions arbitraires dont l'une, encore, reste telle après qu'on a satisfait aux équations indéfi.nies, mais en différant 1" par la manière dont s'y trouvent engagées les variables autres que celles d'intégration, 2° en ce que ce sont des intégrales simples, t-auf le cas où elles se combinent avec des potentiels (comme au n" 30 de la note II), tandis que ceux-ci sont des intégrales multiples. Kt leurs paramètres A3 ne se calculent pas moins aisément, car on les obtient en remplaçant simplement chacune des deux fonctions arbitraires par sa dérivée , prise avec un signe convenable.

Les intégrations ainsi effectuées conduisent, soit dans la première note, soit dans la seconde, à des lois physiques simples, dont plusieurs ont une certaine importance au point de vue des applications, et qui, toutes , présentent un réel intérêt en philosophie naturelle. Afin de nepastrop étendre cette introduction déjà assez longue , je renverrai, pour leur énoncé . au corps même du travail. Mon but serait atteint, si tous ces résultats, joints à ceux du mémoire proprement dit, donnaient an lecteur une juste idée des ressources que peut offrir au mécanicien ou au physicien géomètres l'immense et magnifique classe de fonctions qu'on appelle les intégrales définies, surtout quand il s'agit de représenter des phénomènes dont l'état initial comprend dans son expression une infinité de constantes arbitraires et dont, pour ce motif, les fonctions plus simples de l'analyse, avec leur définition trop étroite et leur continuité trop compréhensive, sont impuissantes à saisir les nuances ou à reproduire , en quelque sorte , i'allure plus libre.

Concluons par celte remarque , que les fonctions de trois coordonnées rectangulaires x, y, z. ou d'un nombre

moiadre. qui rendent le plus de services en physique mathématique, sont celles dont le paramètre différentiel Aj s'exprime de la manière la plus simple an moyen de certains de leurs élérnenls , ou de certaines de leurs dérivées relatives à des variables autres que x, y, z. Mais pourquoi les paramètres différentiels i^ se présentent-ils sans cesse dans les applications^3ë~T analyse aux pÏÏénomenes phvsjques-? C'est ce que fait comprendre, je crois , surtout sous la forme géométrique qui en sera donnée tout-à-l'heure , une définition très naturelle de ces paramètres , dont les géomètres ne s'étaient peut-être pas avisés encore , malgré sa simplicité. Elle consiste à dire que le paramètre différeniifil A3 d'une fonction est , au facteur numériçice p7'ès -\ , la ■ ~ secondes de la fonction, pns {iC ,y, z), suivant toutes les directioTU possibles, c^Gst-à~dire dans le sens de toutes les droites gui s'y croisent.

En effet , soient «, ô, c les trois cosinus directeurs de l'une de ces droites et a = f{x, y, z) une fonction quelconque âe point {ou fonction ayant une valeur en chaque point de l'espace}. Le long d'un chemin infiniment petit ds, compté sur cette droite à partir de {cc,y , z), les coordonnées croissent de ses trois projections dx = ads , dy = bds, dz = cds; de sorte que l'accroissement correspondant tfp de la fonction est

dx ay dz \ dx dy dz j

La dérivée première de p suivant la direction considérée vaudra donc, comme on le sait d'ailleurs,

et cette relation, étant applicable à toutes les fonctions de

point, équivaut à la règle générale de différenliation qu'exprime la formule symbolique

ds dm dy fh

Par suite , la dérivée seconde de p suivant la même direction sera

ds^ \ dœ dy d% j \ dx dy dz j

ou, en développant et ordonnant.

ds^ daP' dy^

dy dt dz dw dx dy

qu'aura la dérivée seconde — |-. Gomme les cosinus diree-

Supposons maintenant que la droite cls tourne autour du point [x, y, z), de manière à prendre successivement toutes les orientations, et cherchons ia moyenne des valeurs

ds'^

leurs a, h , c, et même leurs produits deux à deux be, ca, ab, seront aussi souvent et autant négatifs que positifs , les trois derniers termes disparaîtront du résultat. Quant aux trois précédents, les carrés a^ ,V , â ^ recevront leur valeur moyenne, évidemment égale pour tous les trois, et qui est \ , à cause de la relation (î' + b^ ^- c* = 1 . Il viendra donc

Ainsi, le paramètre différentiel A2 d'ane fonction est bien, au facteur numérique près |, ce qu'on pourrait

appeler sa dérivée seconde moyenne dans l'espace au point considéré : il constitue, pour les figures à trois dimensions, telles que, par exemple, une masse, hétérogène ayant la densité ?, ou pour les affections d'un espace triplement étendu, l'égitivalent de ce qu'est, dans les^ surfaces^^^, com%mx moyenne . avec laquelle il se confond d'ailleurs , sâïïTéïïcore un facteur numérique , quand il s'agît d'une fonction p indépendante de !a coordonnées, et des surfaces exprimées soit parl'équation ,2 = £p , où s désigne une constante infiniment petite , soit par l'équation ^ = p , mais en se bornant alors aux points où le plan tangent est paraîlèle au plan des xy. H est bon d'observer, à l'occasion de cette analogie , que le théorème d'EuIer, sur la somme des courbures de deux f^ections normales rectangulaires d'une surface , n'est qu'un cas pariiculier du principe évident de l'invariabilité du trinôme A^p quand le système des axes coordonnés tourne arbitrairement. L'expression

à laquelle Lamé a donné le nom Ae paramètre différentiel dup'emim' ordre de la fonction p, comporte une définition analogue; car son carré, divisé par 3, n'est autre chose que la valeur moyenne du carré de la dérivée première

do

— au pomt considéré, c'est-à-dire de.la somme

{ ^ ^a^ ^ ^i-^ JpI ^c'i ÉÊ.

\ ds^ dx" n'y* ' rfî*

^ 2 le -^ ^ + 2ca -^ ^ + 2 al ^ ^ .

\ dy dt dz dx dœ dy

Comme cette valeur moyenne est évidemment la même quel que soit le système des axes rectangulaires choisis, il suffit de prendre un des axes parallèle à une normale

infiniment petite dn, menée, en partant du point [x ,y , z). à la surface p [x, y, z) = const. qui y passe , et du côté vers

lequel p grandit, pour que les trois dérivées -j—^ — ^ deviennent, l'une, -p-, les deux autres, zéro, et qu'on ait, par

suite, vu que le rapport -^^ est d'ailleurs positif, aip= -~:

relation exprimant, comme on sait, la définition géométrique ordinaire du paramètre diOFérentiel ^i. Et si, lorsqu'il s'agit d'une fonction p de deux coordonnées x el y seulement, le paramètre Aap trouve une application immédiate dans la théorie des surfaces représentées par l'équation 2 = P (.-ï, f/} , du moins aux. endroits où le plan tangent est parallèîe à celui des xi/, puisqu'il y exprime la courbure moyenne et que son indépendance d'avec les axes rectangulaires des X et des y choisis y a pour traduction géométrique le théorèm.e d'Kuler, le paramètre différentiel ij p joixe , de son côté , dans le même cas d'une fonction ? de a; et de y représentant l'ordonnée z d'une surface , un rôle peut-être plus naturel encore: car, le plan des xp étant supposé, par

exemple, horizontal, le rapport, -~ =Aip, de la diférence

de niveau dp de deux coupes horizontales voisines de la surface à la distance dn de leurs projections sur le plan des as-//, ég3\e]ii pefiûe dû la surface en (a;, y, z), pente qui, d'après l'expression même de ij p, a pour carré la somme des carrés

des pentes, -i- 1 -j--, des deux coupes faites dans la surface ,

aux mêmes points, par les deux plans verticaux des zx et des zy. On adonc, au lieu du théorème d'Eulersur l'imariabilité de la somme des courbures de deiix sections normales rectangulaires, celui de l'invariabilité de la somme des carrés des pentes des deux sections faites dans la surface, au point considéré, par deux plans verticaux rectangulaires quelconques.

Mais revenons au paramètre A^. La définition que nous en avons donnée admet uno forme encore plus géométriffue, expliquant le rôle immense de ce paramètre dans l'étude des phénomènes naturels. Imaginons qu'on décrive, autour du point (x ,y ,z) comme centre, une sphère d'un rayon infiniment petit ?■, et, o désignant la valeur de la fonction en ce centre, appelons /et p" ses valeurs aux deux extrémités du diamètre dont la direction est [a, h, c).

La dérivée seconde -j- -j- , égale , par définition , à la

valeur limite du rapport — [ ' ~ —~ - j , qui n'est

autre que — (-^-~ p] , sera très sensiblement le produit de -T- par l'excédent , sur la valeur de p au centre . de

la moyenne de ses deux valeurs aux extrémités du diamètre 2 r. Par suite, si l'on appelle pi, la moyenne .générale des valeurs de la fonction sur toute la surface de la petite sphère , ou aux extrémités de tous les diamètres possibles , il viendra

Moyenne de — - =^ — - (c, — />) ;

5 J) = 3 moyenne d

ds^

Donc, le paramèire différenUél du second ordre d^une fonct'ion, emm point donné , égale le produit de l'accroissement moyen qu'elle éprouve autour de ce point, quand on !^ en, éloigne à une distance infiniment petite, par siœ fois Vinverse du carré de cette distance. Ceparamètre mesure ainsi l'accroissement moven de la fonction autour__Sû~point, et voilà pourquoi il enestladéo-ivéelaplus natureUeT^afisi conçoit-on que, par exemple, dans la théorie de la chaleur , où les échanges calorifiques se règlent d'après les différences de température, il exprime, à un facteur spé-

cîfique près, io gain total de chaleur effectué par la molécule {x, y, z) sur ses voisines pendant un instant infiniment petit.

La formule A^ p = — ( ?i — p ) , résolue par rapport à pi ,

donne les deux premiers termes du développement de cette fonction de ic, y, ^, r suivant les puissances de r. On verra, au n" 2 de la première note complémentaire , une méthode facile pour obtenir le même développement, mais complet, et pour en déduire une expression simple , au moyen du symbole ig , de la valeur moyenne des dérivées d'un ordre quelconque m de la fonction p , prises , à partir du point [a;, y, i] , le long des droites qui en émanent. Cette expression, qui comprend la précédente, J- ia p, relative an cas w, =2, est

Moyenne de — — ^= o (|iour m impair) , (dj) p (pour w pair) ,

(A2)Tdésignant la répétition, effectuée — fois, de l'opéra- ^^""^ ^^ ^ ^ "*" i" q'i'indiqiie le symbole A,.

On verra aussi, à la fin du. même numéro, que. dans le cas d'une fonction indépendante de z et considérée seulement dans le plan des xy^ la formule de la valeur moyenne de la dérivée ■mfi'^^ de p devient

Moy. de — — ^ =: o (pour m impair) , — — . . . (ij) p {pour»! pair).

j I". — .ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE L'ÈQUILIBHE d'uN SOL ÉLAS- TIQUE HORIZONTAL , HOMOGÈNE ET ISOTROPE , DONT LA SURFACE .SUPPORTE DBS PRESSIONS DONNÉES OU EPROUVE DES DÉPLACEMENTS CONNDS.