Exposé du problème

Je me propose d'étudier en premier Heu l'équilibre d'un solide élastique, hojnogène et isotrope, limité d'un côté par un plan, indéfini dans tous les autres sens, et soumis sur sa surface à diverses pressions, tandis que son intérieur reste libre de toute action extérieure.

Ce corps ne sera autre, par exemple, qu'un solàori^ontal supportant diverses charges. Un tel sol, il est vrai, n'est pas sans pesanteur : mais son propre poids n'a pour effet que d'imprimer à sa matière de petites compressions, exactement pareilles sur toute l'étendue d'une même couche horizoni aie . en rapprochant un peu de la surface , le long de chaque verticale, les particules du milieu qui s'y trouvent situées aux diverses profondeurs. Il suffit donc de rapporter à la surface même, prise pour lieu de repère, les déplacements produits par le poids du sol, pour que ces déplacements soient très petits depuis la surface jusqu'à une certaine distance à l'intérieur, c'est-à-dire dans tout l'espace que nous aurons à considérer, et pour que, dès lors, le principe de la superposition des petits effets puisse leur être appliqué. 11 sera donc permis de faire abstraction de ces premiers déplacements , ainsi que de leur cause, dans le calcul des déplacements nouveaux que diverses charges déposées "ultérieurement sur l'e sol feront naître et qui, seuls, nous occuperont.

Le corps considéré pourrait être aussi un solide élasti-

qae, de forme quelconque, touché par un autre sur tine très petite partie seulement d'une de ses faces, et se comportant par suite, à fort peu près, dans toute la région 'directement atteinte et autour, c'est-à-dire là où ont lieu des déformations sensibles, comme s'il y était limité d'un côté par son plan tangent, mais indéfini dans tous les autres sens.

Il est évident d'ailleurs que les parties du corps situées à l'infini ou, plutôt, au-delà d'une certaine distance de l'endroit touché, conserveront leur forme et leurs dimension^. C'est naturellement à celles-là, c'est-à-dire à des axes qui leur seront liés, que nous rapporterons les déplacements des autres parties, de manière à n'avoir à considérer que des déplacements qui s'annuleront en tous les points infiniment distants de la région d'application des pressions données.

iO. — Équations indéfinies et conditions spéciales aux surfaces limites.

Je prendrai la surface du corps ou du sol indéfini pour plan des œy d'un système de coordonnées rectangles et un axe des z dirigé vers l'intérieur. Conformément aux notations ordinaires (employées par Lamé), x, y, z désigneront les coordonnées primitives de chaque molécule, w, v, iv les accroissements qu'elles reçoivent lors des déformations éprouvées , enfin 5^ et [j. les deux coefficients constants d'élasticité du milieu. Les équations indéfinies de l'équilibre seront, comme on sait,

yGoosle

en désignant par 0 la dilatation cubique

du dv dio

' d(c dy dz

et par i^ rexpresaioii symbolique -jj -+- -r-j -+- —y , qui

désigne le paramètre différentiel du second ordre de la fonction écrite à la suite de ce symbole.

Il y aura, en outre, des conditions d'équilibre spéciales aux surfaces limites.

Les composantes^^, Pf,'pt, suivant les trois axes, de la pression exercée du côté des ^ négatifs (par unité d'aire) sur tout élément plan parallèle aux xy et notamment, pour z=o, sur un élément quelconque de la surface, c'est-à-dire du plan des œ^j, auront les expressions connues

/ dn du \

I dv dw \

^ \ dz dy I '

p^ =xe — 2fj, -^.

Ces valeurs de^^ i fv ^V: égaleront des fonctions données de (C et de y, aux divers points de la surface pour lesquels on connaîtra les pressions extérieures exercées : et elles y seront même nulles, si ce n'est dans les régions où nous supposerons appliquées les actions extérieures. Quant à celles d'entre ces régions pour lesquelles on ne connaîtrait pas p^, jiyi Pi, il faudra s'y donner, à la place, soit les composantes correspondantes, ii, v ou w, du déplacement, soit, tout au moins , des relations en même nombre entre les pressions extérieures et les déplacements prodoits. Atinde simplifier, nous supposerons d'abord qu'on se donne en fonction de x et de y, pour chaque partie du plan des xy, fj. ou u,py ou V, P; ou w.

Enfin, sil'onconçoitdécrite, de l'origine des coordonnées comme centre, une sphère d'un très grand rayon t, laquelle découpera le corps suivant une calotte demi-sphérique. cette calotte deviendra aussi une véritable surface-limite, quand on fera croître indéfiniment son rayon et qu'elle entourera de îa sorte toute la partie du corps déformée. Or, il. s'exerce évidemment, sur la surface 2-nï? de cette calotte, des pressions dues à la matière qui l'entoure et chargées de tenir en équilibre celles que l'on a directement appliquées à la surface supérieure. D'ailleurs , celles-ci ayant, par hypothèse, leurs composantes totales, suivant les trois axes, finies, il en est de même des pressions appliquées à la calotte : en conséquence, ces pressions, rapportées à l'unité de son aire 27îi.*, seront comparables à -^~^ 5

et les déformations qui les produiront, ou qu'aura éprouvées la matière du corps à cette distance t de l'origine, c'est-àdire de la région d'application, seront aussi de l'ordre de

— . Mais ces déformations s'expriment par des dérivées

premières, en a;, y, z, den,v, w; en sorte que te, «, w, nuls pour ï. infini , comme on a vu à la fin du numéro précédent,

et devant avoir leurs dérivées premières de l'ordre de —^ •,

ne peuvent manquer d'être eux-mêmes comparables à — .

Si A, kl, ^2 désignent trois fonctions de iP, y, z, inconnues, mais qui ne grandissent pas indéfiniment avec t, on aura donc encore les trois conditions

il. — Unité de la solution.

Grâce à ces diverses équations ou conditions , le problème de l'équilibre est entièrement déterminé. En d'autres termes, si l'on a pa trouver trois fonctions u,v, 7V, de X, y, z, qui les vérifient, et si l'on remplace, dans toutes ces équations ,u,-v,n> par u -+- u, v -+- v', w ■+- iv\ on sera forcé de poser u = o . v' = o , m' = o.

Effectivement, substituons u-^u', v-^v', w-^w' à

, ,,,, .du dv àto'

îf,y,w,etappelonsq l'expression— — i — -, — h "-^. ' ' ' ' ^ ^ d^ dy di

Les équations (1) prendront la forme