ÉCLAIRCISSEMENTS ET COMPLÉMENTS

RELATIFS SURTOUT A l'ÉQUILIBRE STATIQUE OU DYNAMIQUE DE DEUX COKPS QUI SB TOUCHENT.

P. 43, ligne 5 en remontant, après le moi « compréhensive » , mettre en note: « Cette continuité , trjop compréhensive, des fonctions simples de l'analyse , consiste surtout en ce que le plus petit arc de la courbe qui les représente suffit pour qu'on puissp en déduire la courbe entière , contrairement à ce qui arrive dans le cas des fonctions arbitraires ( si gi'aduellement variables qu'on les suppose) introduites par l'intégration des équations aux dérivées partielles, et exprimant, par exemple, l'état initial d'un corps. »

P. 210, après la ligne 11, cg'outer les deux alinéas suivants: « Toute cette théorie , donnée pour le cas d'uu corps élastique naturellement limité par le pian z — O, s'étend d'ailleurs à celui d'un coi'ps dont la surface dans l'état naturel , tangente , par exemple , h ce plan des xy , au centre de la future région d'application- pris pour origine , s'en écarte tout autour de quantités , ^ = ? {j7, y), très petites entre les limites où surviennent ensuite des déplacements normaux sensibles w. Alors les conditions spéciales à cette surface limite z = (p (a? , y) peuvent être censées se rapporter toujours , par raison de continuité , au plan ^ = o , vu que les écarts tp [x, y) , comparés aux dimensions de la partie sensiblement déformée du corps , ne sont presque rien. Mais , une fois ce corps élastique soumis à la pression P d'un corps dui' [supposé lui avoir été d'abord tangent à l'origine des coordonnées) , la surface de

contact, siège de la pression P, a sa nouvelle ordonnée z, qui se compose toujours d'une fonction connue if {os, y) expriinant la forme du corps dur et de trois tei'mes w„, «y, ix exprimant son rapprochement ou ses rotations , égale à la somme du petit déplacement subi w et de l'ordonnée primitive ç {x, y) , généralement non moins forte que w. La troisième condition spéciale , k joindre s.fx'=o,^y= o sur toute la région d'application, n'est donc plus

m = 'i. [ai, y) -t- M)„ -H ay -H ia; ,

TV =: -ji (», y) — f [x, y) H- îfcu -4- ay -H .hai,

relation do mèïQfs forme, où, seulement, la fonction ^ {p.y] — ^ [m, y) remplace la fonction ^ (a^, y), comme elle la remplace aussi dans l'expression des écarts existant, hors de la région de contact, entre la surface du corps élastique et celle du corps dur. En effet, ceux-ci sont évidemment, avant les déplacements, o {s:, y) — ^ (a), y) et, après les déplacements,

TO -t- w [x,y] — i|i (iP, y) ~r&^ — ay — hw.

Ainsi, la question de l'équilibre d'un corps élastique, limité par une surface un peu courbe s^f{x, y), et dont -se rapproche un corps dur ayant une surface donnée z = f (x, y), qui le touchait d'abord en un seul point, est identique à ce qu'elle devient quand la surface du corps élastique se réduit dans l'état naturel au plan z = 0., pourvu que celle du corps dur langent ait alors pour équation 2 = 1/' i'^' ?) — Ç {'^< ?/)■

Dans le cas, assez ordinaire, où les deux corps, avant de se comprimer , sont assimilables sur toute l'étendue de leurs futures surfaces de contact à deux paraboloïdes ayant pour axe la normale commune , le corps dur à considérer dans le problème transformé , ou dont la surface a pour équation z ^^ (», y) — f {x, y), est aussi, évidemment , un paraboloïde analogue ; car la différence des deux polynômes homogènes du second degré f {x,t/), <f {x, y) constitue un nouveau polynôme pareil. Le problème de la compression mutuelle, suivant leur axe commun, de ces deux corps à surface paraboloïdale, se ramène par conséquent au cas, étudié plus loin [n" 51 bis, p, 230), où la surface de celui des deux corps qui est élastique a sa forme naturelle plane et où l'autre est limité par un paraboloïde ayant

l'équation a = if (a;, j) — --f {x, y] ; de sorte que ces deux corps ainsi transformés fictivement gardent entr'eiix , soit avant , soit après les déformations , mêmes écarts, respectivement, que les deux corps réels proposés. »

P. 248, au bas du texte, ajouter ceci:

« Nous avons supposé naturellement plan le corps élastique que vient presser, sur une très petite partie de sa surface, un corps dur à forme arrondie, d'abord simplement tangent à cette surface. Mais on a vu que le problème est encore le même , quand la surface du corps élastique présente , elle aussi , dans l'état naturel , de légères courbures , à la condition d'observer que les déplacements m de sa partie en contact avec le corps dur sont alors les excès des ordonnées primitives a-^i-^ [x, y) de la surface du corps dur sur celles, j ^ tp (iB, y), de la surface du corps élastique, accrus du déplacement «>o du centre de cette région de contact. Tout se passe donc comme si la surface primitive du solide élastique était plane, mais que la surface du corps dur fût le paraboloïde ayant pour équation a=i;,{ai, y) — cp [a>,y); et il suffit qu'on se donne les trois coefficients de la fonc,tion homogène du second degré ^ {œ, y), définissant, avec la forme de la sui-face de contact , l'orientation ou l'azimut d'une de ses deux sections principales dans le plan tangent primitif î = o , pour que , si la pression P est d'ailleurs supposée connue , l'on puisse déterminer complètement l'ellipse de contact , c'est-à-dire la grandeur de ses deux demi-axes a, b et l'azimut de l'un d'eux.

Or, imaginons maintenant qu'il y ait du côté des s négatifs, au lieu du corps dur, un second corps élastique poli, d'une forme paraboloïdale également connue, et qui, d'abord tangent , pour a; = o, y = o au plan a = o , comme ie corps élastique proposé , se soit un peu . rapproché de celui-ci, dans le sens de l'axe normal des î, de manière à faire naître entr'eux la pression P. Il est naturel de se demander si la surface , alors inconnue , de contact , peut être un paraboloïde s = ^ [^-.y]^ savoir , celui dont les trois paramètres [coefficients des termes en jc^, 2 a^ et y* de la fonction -^ (», y)J se détermiheront par les trois équations exprimant que l'ellipse de contact correspondante , dans les deux corps , a même demi-grand axe a , même demi-petit axe è , et orientation pareille. Comme le mode de répartition de la pression P à son intérieur , exprimé par la formule {&) [p. 232] , sera le même de part et d'autre , comme , d'ailleurs, la surface paraboloïdale de contact prolongée, à courbures naturellement intermédiaires entre celles des deux corps , passera, d'après ce qu'on a vu après la formule [d') [p, 237], en dehors des

deux surfaces déformées de ces deux corps élastiques , c'est-à-dire ontr'eux , toutes les conditions do l'équilibre simultané des deux corps pressés i'un contre l'autre se trouveront satisfaites, y compris celles de raccordement relatives à s = o , au nombre de six (savoir ^i,^, nuls dans chacun des deux corps, et w, p^ égaux' respectivement de part et d'autre). Ainsi le problème de cet équilibre sera résolu.

Si , par exemple , les corps dont il s'agit sont deux sphères , de rayons r, r', et de même nature, en appelant x, le rayon de courbure de la surface de contact, compté positivement quand il est opposé à r ou de même sens que r') , on aura , pour la première sphère,

1^ (lE, y) = — -, ^ (œ, y) = — —-5 ; d'oii, dans le paraboloîde

fictif de contact — « = — ^-^ — -, répondant au cas où la forme naturelle de la région d'application, sur cette sphère, est supposée rendue plane ,

¥ (af, y)~-if (^, ^) ou — s ^ (- -H -J -

et les formules (/") [p, 246j , {if"] [p. 236] , où il faudra faire -^, = -rr-~ — !-■—, 5 = «, donneront

On obtieot , en accentuant »■ et «>o 1 des relations analogues pour le second corps élastique , à cela près que , par l'apport à lui , la concavité du paraboloîde de contact change de sens , ou que % y devient — t. Par suite , a, P étant , ainsi que ^ et n, les mêmes de part et d'autre, une comparaison immédiate donne ■ — 1 — =-; ,

valeur de — monti'ant que la courbure de la surface de contact a,

comme U le fallait bien, le signe do la plus grande des deux — , —,

mais une valeur moindre. Et il vient alors par l'élimination de

t, en observant que «i„-i-m)/ est le rapprochement total, 'î, des centres dés deux sphères, corrélatif à leur compression,

En portant dans la première de celles-ci la valeur de a. tirée de la dernière, on voit que la pression mutuelle P est proportionnelle à

la puissance -^ du rapprochement éprouvée, lequel l'est lui-^même au carré du rayon a du petit cercle de contact. La pression P, répartie sur cecercle d'après la formule [i] [p. 232], devient d'ailleurs maxima au centre , où elle atteint par unité d'aire la valeur

— — -, et où les ti-ois déformations principales t)' qu'elle produit deviennent aussi, évidenmient, maxima en valeur absolue : par raison de syinétrie, ces dilatations principales 9 y sont, l'une, — et, les deux

, , du dv , . 3 P

autres, eeaies entre elles, ■ — , — . Leur somme 9 vaut — ■ ,, ■ , — -

en vertu d'une loi , due à Lamé, démontrée au n" 17 (p. 77),

après les formules (43) ; et comme , d'ailleurs , on a, en ce cenîre ,

3P , r. liw , , ,. dw ^ 3P ^ ,.

— -- — = Afl -I- 2u. — : la contraction — v est tt. — r— ;. tandis que

chacune des deux autres, -, — , y vaut, par suite, moitié moins.

dx dii " "

Quand le rapprochement des deux sphères est dû à un choc , les seules déformations perceptibles ont lieu près de la surface do contact , dans des parties dont la masse totale et les inerties sont insignifiantes, eu égard à leurs tensions. Ainsi, l'équilibre intérieur régi par les formules {g") y existe sensihlement à tout instant du choc. Le système élastique de deux sphères ou, plus généralement, de deux corps contigus à formes massives et an-ondies, est donc de ceux (dont on voit des exemples aux p. 507, 535, 541, 558, 561) où la force vive se trouve séparée presque entièrement de la force de ressort , de manière à n'en troubler que peu les lois ; et la réaction mutuelle P y est , même à l'état de mouvement , simple fonction du rapprochement 3 des parties en pi'ésence non encore déformées sensiblement. C'est bien ce que suppose la théorie élémentaire du choc direct des corps élastiques, conlirmée par l'expérience dans ce cas de corps massifs.

Si p désigne la densité commune des sphères , m et m' leurs masses — n/rf-s et, -^ ;rpr'3 , les accélérations du centre de chacune

vers ie centre de l'autre vaudront respectivement , 7 ;

l'on aura , pour équation de leur mouvement de rapprochement.

(/") ^^-(i-ip-

On en déduit aisément, par exemple, la valeur maximum du rayon ffl du cercle de contact ; résultat particulièrement intéressant , car il peut être constaté en recouvrant l'une dos sphères d'une mince couche d'huile , ou d'un enduit coloré , capable de laisser sa trace sur les parties touchées de l'autre. A cet effet, on multiplie y") par2-^rfi, et l'on intègre depuis le commencement du choc, où l'on avait ^ = 0 , jusqu'au milieu de sa durée , où (? et a sont maximums, en observant que la dérivée — s'annule à la limite supérieure et n'est antre chose, à la limite inférieure , que la vitesse V du choc, c'est-k-diro celle avec laquelle se rapprochent les deux sphères au moment où elles commencent à se toucher. Si l'on élimine enfin, ff par la seconde formule (/'), Q vient

[y'") Meximum de m — ' '

On trouve, non moins aisément, pour la moitié de la durée du choc, en appelant a le quotient du rapprochement J à un moment donné t par sa valeur maxima,

Demi-durée du choc =^

expression où l'intégrale définie (égale , d'après M. Hertz, à 1,4716) peut se calculer en développant la fonction f 1 — «i)~"i^ par la formule du binôme, puis intégrant en série, et évaluant la différence.

du résultat d'avec le développement analogue de f ■ ou ~.

Dans le cas le plus simple , les deux sphères sont égales et vont l'une vers l'autre avec une vitesse initiale, o, moitié de V, Le cercle de contact, au moment de sa plus grande étendue, a donc alors pour

rayon , d'après [g"), — 7; — ~ r — v'^ . Comme d'ailleurs , par

L 1^ V-'^N J * raison de symétrie, le pian fixe mené perpendiculairement au milieu de la ligne des centres marque une limite qu'aucune des doux sphères ne dépasse , rien ne serait changé si ce plan devenait une paroi inébranlable, ou si le problème traité était celui du choc normal d'une sphère élastique de rayon r, animée de la vitesse c , contre un plan rigide fixe.

Au moment où se terminait l'impression de ce volume (décembre 1884) , je me suis aperçu que M. Heriz (Heinrich ), de lîerlin , avait déjà reconnu , dans un Mémoire allemand ( Ueber die Beruhrung fester elastischer Korpër ] .iasèrè en 1882 au Journal fur die reine und angewmidte Mathemaiik (t. SCII, p. 156), qu'une surface paraboloïdale de contact , réduite à une très petite partie elliptique voisine de son sommet, satisfaisait aux conditions de raccordement de deux corps élastiques arrondis en équilibre, pressés normalement l'un contre l'autre , et que les lois de cet équilibre, approximativement vérifiées même dans le mouvement des deux corps , conduisaient à celles de leur choc quand le frottement y est négligeable. La vue de ses formules m'a donné l'idée du Complément actuel et du précédent, consacrés ii ces belles questions qu'il a traitées ie premier. »

P. 356, à la /in, ajouter : « Notre solide élastique indéfini en tous sens, supposé s'être trouvé d'abord à l'état naturel, pourrait aussi avoir son mouvement produit non à la suite de déplacements initiaux doimés de certaines de ses parties, ou de vitesses initiales qu'on leur imprimerait, mais par l'application de forces extérieures X, Y, Z, venant s'y exercer sur l'unité de volume à partir de l'épûflue t = 0. Quand il en est ainsi, les déplacements effectifs u,v,wk toute époque ultérieure t s'obtiennent, vu la forme linéaire des équations, en ajoutant ou superposant : 1" ceux d'équilibre que régissent les équations (177) [p. 277], représentés par les formules (185) [p. 286], ou (195) [p. 291] dans le cas le plus simple ; 2" des déplacements variables u, v, w, régis par les équations ordinaires