ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE

DONT DÉPENDENT LES PRESSIONS INrÉRIEURES

d'un MASSIF DE SABLE A l'ETAT

ÉBOULEUX ;

Par m. J. Boussinësq.

J'ai montre , dans trois notes des Comptes-Rendus de V Académie des Sciences ('), que l'équilibre-limite d'une masse sablonneuse à surface supérieure horizontale, contenue latéralement par une paroi verticale ou modérément inclinée sur la verticale, est régi par l'équation

m r (Al — - ! - — —

QÙ î-j 5, ^ sont les trois dérivées secondes respectives -^ , --;-;-, --;— d'une Certaine fonction m de deux- coordonnées

x&iy (la première, verticale, croissante de haut en bas, la deuxième , horizontale , plus grande que — ax dans tout le massif), et où a désigne la tangente du demi-complément

Z — I. (ie l'angle f de frottement intérieur du sable. Les

3 1884; t. SGVni, p. 667, 720 et 790.

dérivées secondes r, s, f importent seules , car c'est d'elles que dépendent le^ pressions

— Nji = n[a!-hi), H — ns, — Nj = n (s^ ic -+- r)

exercées dans le massif, dont II représente le poids spécifique. D'ailleurs, ces dérivées secondes, ou même la fonction s et, par conséquent, ses dérivées partielles premières, s'annulent en tous les points où l'on a. ^^ ace; de sorte qu'il suffit de les déterminer dans un assez petit angle dièdre, compris entre la paroi et le plan y = ax, où la différence y — aa; est négative et où d'ailleurs la somme y-hOiS est, comme dans tout le reste du massif, supérieure à zéro. A cet effet, r, s, ^restant partout notablement moindres que a; en valeur absolue, une première approximation s'obtient par l'annulation, dans l'équation (1) , du second membre,

s* comparable à— et, par conséquent, bien inférieur à 'r, s

ou i. Alors l'intégrale de (1) se réduit à

Le second terme, /l [y-^-aœ), s'y annule même par suite de la condition spéciale s; = o {pour y ^acc), tandis que le premier terme f{p — aœ) s'y détermine au moyen d'une autre condition spéciale, exprimant le glissement du massif contre la paroi. Par exemple, quand celle-ci est verticale ,

on trouve f" (y — aœ) = ~ , f, désignant l'angle du

' ^^ ' 8-*-C0t(pi ' I <=■ ■=■ ,

frottement extérieur ; et r, s, t ont les valeui, ï approcbées f^ f'ky — o-'^^ — o,f"{y — «i»), f"[y — ax]{''). Ainsi, le deuxième membre de (1) devient à fort peu près une fonction explicite de œ et de y.

Il en serait de même si la surface supérieure du massif, au lieu d'être horizontale, était inclinée , cas où, en faisant tourner d'un angle y convenablement choisi les axes précé-

(*) Voir, pour tous ces détails, les tixiia ai'tieles cités des Comptes-Rendus.

dents de coordonnées (dans le sens de oy vers ox), l'on continuerait à avoir l'équation (1) et les expressions ci-dessus de — N^, Tj — Nj, , sauf le changement , partout, de x en

X cos y-H ^ sin Y ; et la surface supérieure serait représentée

par la relation y = — a^x cot y {avec y ^ o).

En résumé, dans tous ces cas, l'équation aux dérivées partielles du problème devient , à une deuxième approximation, de la forme simple

presque aussi facilement intégrable que celle de première approximation, r — aH= o. Quand ra et, par conséquent, r,s,t seront , de la sorte, mieux connus , leur substitution dans le second membre de (1) donnera une expression encore meilleure de F [œ, y). Donc l'équation (2} pourra fournir alors une troisième approximation; et ainsi de suite.

Pour intégrer (2}, introduisons, au lieu c deux nouvelles variables

i a; et de y,

\ dx [du d^ ! ' d^ d«

L'équation (2), divisée par — 4a^, devient

d'xdp'

d^75 dadB '

2fl

Multiplions par di et intégrons à partir de p = o ( ou de y — aœ = o), en observant que îb et ses dérivées tant premières que secondes s'annulent à cette limite. Nous aurons

et une seconde intégration donnera enfin, si f{P) on f{i/ — ax) désigne une fonction arbitraire, nulle pour p = o, qn'on déterminera au moyen de la coadition de glissement du massif contre la paroi,

Par exemple, dans le cas d'une paroi verticale, avec surface supérieure horizontale , pour lequel la va leur de s , à une première approximation, est

le second membre de (1), réductible sensiblement a- — ^— ,

devient, pour le calcul de la deuxième approximation, 1-1- «* / a \^ (y — ax)^ — — , jt 1 ■ (jg sorte qu'en posant , pour

abréger,

(0) l'on a

On trouve alors , successivement ,

Jo «—a '^ '^ 2 ^ a— 13 '

et, d'après (5), en substituant à a et P leurs valeurs (3),

-il"

11 en résulte, par deux différentiations,

(,^„,,.gttfî],

-lî-t

Enfin, la- fonction f" {y — ax] se détermine au moyen de la condition, spéciale à la paroi,

(10; (poiirj = o) — jj- ou ^.-^--— = langy,,,

qui donne, d'après les valeurs (9) de s et r,

(11) (pou,,<„j r(y-")=[l+|jH„-«+4.1oii;2)]l=îî^.

Ainsi, les expressions (9) de r, s, i? et celles des pressions — N^=n(x+^), T=ns, — N^ = n((ïV + r)j sont homogènes, du premier degré , en a; et ^i' ; d'où il suit que les pressions continuent à être pareillement distribuées, comme à la pre~

(pour y =

:ria:

21og2|.

— (2 — 21og2-t

ïtangyi).

»pc2!»

mière approximation, en tous les points d'une droite quelconque émanée de l'origine, et que les surfaces de rupture sont encore homotiiétiques par rapport à cette origiiie. Sur toute la couclie contiguë à la paroi (verticale) il vient

On voit que la composante normale , — N^, do la poussée supportée par l'unité d'airo de la paroi, égale le produit de Ilic, c'est-à-dire de la poussée qu'exercerait le sable s'il était fluide, par le coefficient

Lorsqu'on passe de la première approximation à la deuxième, ce coefficient est donc augmenté dans le rapport de 1 à

l-^(— l+21og3)(;, ou de 1 à 1 + (0,3863}^ f^-^^]'

vu la valeur, 1,3863 environ, du double du logarithme népérien de 3 et l'expression (6) de c.

Par exemple , dans le cas d'un sable ordinaire contenu par une paroi rugueuse , il faut faire ^ = tp, == Si** ; d'où a =tang 28" —0,5317, c = 0,124(i ; et ia valeur de première approximation trouvée pour k, qui était , — ■ = 0,2081 ,

l-^-aUng<f^

se trouve multipliée par 1,04813 ou augmentée de 0,01002 et portée à ^ = 0,2181.

Pour juger du progrès de l'approximation d'une de ces valeurs à l'autre, observons que chacune d'elles exprimerait exactement k, si l'angle de frottement intérieur f, égal à f

pour y ^ ax^ était variahîe pour g/ < «a; et s'y trouvait défini, en chaque point, par l'équation

(14) sm^ ,.' — ; ^ 1 ^ J 1

Dans le cas de la première approximation , ces valeurs de tp' croissent de plus en plus à mesure qu'on approche de la paroi et , sur la paroi même , quand f , égale cp, on y a

sin f ' ~ — - — - — ; ce qui, pour cp = 34°, donne cp'= 39°17',8,

ou un accroissement total de 39''17',8 — 34" = 5'*17',8. Dans le cas de la deuxième approximation , le second membre de (14) devient fort complexe et d'une étude peu aisée. Mais il est probable que f', toujours égal à ip sur le plan y=:ax, s'éloigne encore sans cesse de ^ quand on approche de la paroi, et que, par suite, sa valeur la plus distante de f se produit à la paroi même ou pour y = o. Or les deux dernières formules (12) , en prenant tpi — 34°, donnent alors

— t — . . ' =: 2,9659, = lanff 34";

— Nj a^ 1-f- 0,04813 ' ' — Nj, ''

.,.,'= fi:i^l'-lV f-?i^l^) =0,36143, .'=36"57',3. ^ l 3,9659 j \ 3,9659 / ' ' '

Ainsi , la deuxième approximation suppose l'angle du frottement interieyr, près de la paroi, encore trop grand, de 36°57',3 — 34" = 2'*57',3 . L'approximation gagnée sur cet angle par rapporta la valeur précédente 39°17'j8, n'est donc que de 39n7',8 — 36°57',3 = 2°20',5 ou 140',5. Or on peut conjecturer que, si cette approximation de 140',5 sur l'angle en question a fait grandir le coefficient k de 0,01002, une approximation parfaite, qui diminuerait cet angle

de tout ce qu'il avait d'atord en trop, c'est-à-dire de 5°17',8 =317',8j produirait sur le coefficient iè une augmentation totale sensiblement proportionnelle, ou exprimée

(1,0 1002x3 17', 8 , .„„„ , ■ ^ A er ■ ,

par ■ TTT^r-;; =0,0227. La vraie valeur du coetiicient

doit donc être , à peu près ,

Ce résultat confirme, de la manière la plus satisfaisante, la méthode pratique que j'ai donnée , dans l'arlicle du 31 mars 1884 cité plus haut, pour évaluer k par le moyen de deux limites , l'une supérieure , l'autre inférieure, déduites des formules de la première approximation , et dont on prend finalement la simple moyenne arithmétique. En effet , ces deux limites sont, ici, 0,2081, 0,2538 et leur moyenne est, par suite,

valeur pratiquement ideniique, comme oq voit, à la précédente 0,2308.

yGoosle