II

iG4 lll* CAHIER. ~ PROPKIÉTÉS DESCRIPTIVES

position parliciilière, puisqu'elle apparlient à la droite qui passe par les pôles fixes a et afy droite avec laquelle se confond la corde x''x"' quand le point x' est sur cette droite (^g. 8i). En supprimant le facteur m — m\ on n'a donc pas diminué la généralité de l'équation

r — r" = '^ — -^Jx — x''),

Néanmoins, comme à la corde eut' correspond une valeur particulière de a et p, on peut appeler l'équation m — m'z=o solution singulière.

Ces sortes de solutions, en apparence étrangères à la question telle qu'on l'a énoncée ou qu'on l'a entendue, proviennent essentiellement de la manière dont on a fait l'élimination ( * ).

On voit que, dans les deux solutions précédentes, l'équation finale ne renferme qu'un seul facteur étranger, parce qu'en effet la question présentée de ces deux manières, n'est susceptible que d'une seule solution générale; comme on peut s'en assurer directement d'après l'examen de \'àjig. 8i.

(*) M. Moutard, dont j'ai été à même d'apprécier le talent d'analyste, a bien voulu vérifier toutes les opérations algébriques de ces Cahiers, qu'il a trouvées exactes dans leurs résultats divers, mais auxquelles il aurait voulu apporter certaines abréviations ou simplifications que je n'ai pas dû admettre d'après mon intention formelle de ne rien changer aux démonstrations et aux idées du texte manuscrit. Ces abréviations, fondées en partie sur les méthodes mnémonifjutfs ou symboliques d'élimination et de notation aujourd'hui admises parmi les adeptes, sont les mômes qui, depuis 1826, ont permis à l'analyse algébrique do suivre les récents progrès delà géométrie intuitive; or ces abréviations, ces artifices de calcul ne pouvaient trouver accès dans un livre daté de 181 3. et destiné au plus grand nombre de lecteurs. M. Moutard l'a compris, et a bien voulu réserver pour les Notes qui terminent ce volume, les recherches analyticpies (ju'il a entreprises sur quelques-unes des matières qui y sont renfermées.

Quant aux réflexions qui accompagnent celte seconde solution analytique, je me borne à consigner ici brièvement une remarque essentielle de ce savant professeur : c'est que l'abaissement du degré de Téciuation finale ou la suppression des facteurs étrangers dont cette solution olYre un remarquabU;

DES SIMPLES CONIQUES. i65

Troisième solution analy^tique du même problème.

Cette solution résulte d'une manière toute différente de poser la question.

<c Soit (G) [Jig, 82) un cercle, a, a! deux points ou pôles » fixes arbitraires situés dans son plan; quelle est la courbe » telle, que, si de l'un quelconque a de ses points, on mène » deux tangentes olx" et ctx"' au cercle (G), le touchant Tune aih » point x" et Fautre au point x'", les droites x" a et x"'a'y me- » nées respectivement par chacun des points de contact et les » pôles a et a', viennent se couper en un dernier point x' » situé sur le cercle dont il s'agit? »

On s'aperçoit aisément de Tanalogie qui existe entre cette manière de présenter la question et celle déjà employée dans la première solution analytique; aussi Téquation fînale à laquelle on parviendrait dans ce cas, oflrirait-elle les mêmes circonstances, comme nous allons le démontrer, sauf ce qui concerne les radicaux et les facteurs étrangers introduits dans cette équation.

exemple, est amené par la suppression mi^me, toute volonttiire d'ailleurs, du facteur variable m — m' ou x''-~x\ considéré comme lini, coublant et étranger à la question, dès le début du calcul. Or il est bien clair que, en suivant les méthodes générales de rélimination, cette simplification n'aurait pas eu lieu, et que le degré de l'équation fmale se fût élevé au nombre 8, produit des degrés des 7 équations fondamentales du problème, (}ui comporte, comme le fait observer, avec raison, M. Moutard, trois espèces distinctes de solutions ou facteurs singuliers, à savoir : les dérivés des }}ôlcs a et a', le cercle directeur lui-même^ eiies tfWf^e/ites aux points oii il cou /w lit droite aal ; facteurs parmi lesquels se retrouvent ceux de la première des solutions analytiques du problème, et dont l'introduction, l'interprétation géométrique reposent sur des considérations analogues.

On trouvera dans le tome VIII (i"*^ janv. 181 8) des Annales de Mathématiques^ à l'occasion de la théorie des polaires réciproqiwsy des remarques plus générales encore, sur l'introduction de ces facteurs soi-disant étrangers^ dans la solution analytique des problèmes de géométrie. Ces remarques, qui seront reproduites avec extension dans le tome II do ces Applications^ n'ont pas jusqu'à présent, je pense, fixé convenablement l'attention des modernes analystes. ..

i66 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Il esl d*abord aisé de voir que tous les points du cercle (C)

remplissent la condition qui vient d'être énoncée. En effet, si d*un point quelconque a' de ce cercle, on lui

mène deux tangentes, elles se confondront en une seule et

leurs points de contact seront réunis au point commun a'. Si

Fig. 82.

ensuite, de ce point, on mène une droite au point a et une autre au point a\ il est clair que ces deux droites se couperont aussi en a' sur le cercle ; donc Téquation finale renfermera réquation du cercle (C), comme facteur.

Pareillement si Ton considère la droite ou directrice AM, dérivée du pôle a, comme on Ta dit plus haut, c'est-à-dire telle, que, menant par l'un quelconque de ses points deux tangentes au cercle (C), leur corde de contact passe constamment par ce pôle, je dis que cette dérivée satisfera à la même condition que la courbe cherchée ; car x' et x", par exemple, étant les points de contact relatifs à l'un des points X de AM, il faudra, selon l'énoncé et comme l'indique en particulier la figure, joindre x" au point «, et x'" au point a\ par de nouvelles droites qui se couperont visiblement en x' sur le cercle directeur (C).

Donc l'équation finale de la courbe des points a devra contenir un facteur du premier degré, qui, égalé à zéro, sera l'équation même de la droite AM, dont il s'agit. Par la même raison, l'équation finale devra renfermer pour facteur, la dérivée ou ligne droite AN qui répond au pôle fixe a!. Le quatrième facteur de l'équation finale devant appartenir au lieu cherché, on voit que cette manière de présenter la question ne diffère pas essentiellement de la premier^ des solutions analytiques ci-desaus, et que l'équation à laquelle on par-

DES SIMPLES œNlQUES. 167

viendrait sérail exactement la même, si Von supposait les axes des coordonnées placés aussi de la môme manière dans les deux cas.

Quatrième solution analytique.

Celle dernière manière de présenter la question offrant des conséquences particulièrement remarquables, nous allons la développer dans toute son étendue. Soit a [Jig* 83) Tun

des points de la courbe cherchée. Si Ton mène par ce point deux tangentes ax" et ax'" au cercle (C), on aura pour déterminer les points x" et x'" [i^oy. la première des solutions analytiques du problème), les deux équations

d'où Ton tirera les formules suivantes pour déterminer les valeurs de x" et/', x'" e\y'\

,„__ r'g— rp\/g^-^P'— /-^ „, H6-f- ray/g'-t-p^— r'

Maintenant, si Ton mène par le point x" et par le pôle a une droite x" a^ elle viendra couper en général le cercle (C), en un deuxième point x ^ et Ton aura les équations suivantes pour déterminer les coordonnées x' et y* :

i68 IIP CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

d'où Ton lire la nouvelle relation .

(3) ^'+^"Hi^(^<+y") = o.

L'équation (3) s'obtient en retranchant la deuxième des équations (i) dé la première et substituant ensuite, dans le résultat, lo valeur de j' — y" tirée de l'équation (a). Des équations (2] et (3] on déduira ensuite, par l'élimination et en ayant soin de remplacer x'"^-^y^'^ par r%

^ '" a^-h^^-hr* — 200:^ — 7.by '

'— ^^^^ — 2 flfrj^4- ^' ( fe' — a^—r^) ~ rt'-hft'-f-r' — T.ax" — 7.bf

On voit que ces valeurs ne sont que du premier degré en ^ ^^y\ comme on devait s'y attendre.

Supposons pareillement que, de l'autre point de contact x'", on mène une deuxième corde qui passe par le point «', elle viendra couper, en général, le cercle (C) en un deuxième point Xi qui différera du point x*, si a est quelconque. On obtiendra évidemment les coordonnées Xi et ji de ce point, en changeant dans les valeurs de x' et j', j:" en x^^y" en 7^, a en «' et 6 en ft', ce qui donnera

^ a b' r^—9.a'b'x"-hx'" («''— b''—r') ^^'•~ a'^-^b'^-hr'—^a'x^—^b'yf '

Cela posé, puisque le point a doit être tel, que les deux points x' et x, se confondent, il faudra qu'on ait à la fois x'=^Xx aiy' = y. Substituant dans Tune et l'autre de ces deux équations, les valeurs de x', y\ Xy et j,, elles ne renfermeront plus que a et p, et parxonséquent elles devront être simultanément satisfaites par l'équation de la courbe cherchée.

Il semblerait, d'après cela, que ces équations dussent être identiques; mais, comme on va le voir, il en est tout autrement ; il faut donc rjVie l'une et l'autre soient compliquées de

facteurs étrangers à la question ; le facteur correspondant à la courbe cherchée devra seul être commun à ces éqpations , et il n'y a que lui qui puisse véritablement remplir les conditions du problème exigeant qu'on ait à la fois j:'=:j7„ y = jri; les facteurs étrangers ne remplissent, au contraire, que Tune ou l'autre des deux conditions séparées ^' = a:,,^=j,, et cette observation suffit pour en faire connaître l'origine.

En effet, considérant un facteur qui satisferait à la seule condition x'=zxi, ce facteur répondrait évidemment à la question suivante :

ce Trouver une ligne courbe qui soit telle que si, d'un point » quelconque a de cette courbe, on mène deux tangentes a^" » et «y au cercle (C) ; qu'on joigne ensuite les deux points de

Fig. 84.

» contact a:" et x"' respectivement avec les deux points a cl a\ )} par les droites x"aeia:"'a\ ces droites viennent couper le » cercle (C) en deux autres points x^ et ^, situés sur une même n perpendiculaire à l'axe des x, »

Cette condition pourra évidemment être remplie de deux manières différentes :

1*» Quand les points x' et x, se confondront, auquel cas on aura en même temps j'=j,;

7." Quand ces deux points, sans se confondre, seront simplement situés sur une même parallèle à l'axe des j.

Il est clair que la première condition fournirait une courbe entièrement distincte de la deuxième.

Donc l'équation x' = Xi, qui renferme à la fois ces deux conditions, devra donner en même temps, l'équation de la courbe correspondante à la première d'entre elles, et celle de la courbe qui répond à la seconde. Elle sera donc décomposable en deux

I70 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESOIIPTIVES

facteurs distincts, dont l'un ne satisfera qu'à la seule condition af^zx^y et dont l'autre, satisfaisant simultanément aux deux équations J7'=:^, etj^*'=j,, fournira l'équation unique de la courbe cherchée.

L'équation /'==j,, considérée à part, fournirait des conséquences semblables. Elle sera donc, comme l'équation :F'=jr„ décomposable en deux facteurs dont l'un, égalé à zéro, ne remplira que la seule condition r'=ji et dont l'autre, satisfaisant à la fois aux équations 0:'= a:, ety=j,, donnera l'équation même de la courbe cherchée; ce dernier facteur sera donc en même temps facteur de l'équation .r'= x^ et de l'équation ^=j^i.

Achevons maintenant le calcul {Voy\ le tableau ci-conire).

Cette équation étant du second degré, le lieu des points a de rencontre des tangentes au cercle, sera véritablement une courbe de ce degré ou l'une des sections du cône, comme on Ta annoncé. On voit, en outre, que les deux autres courbes mentionnées plus haut sont également du second degré. De là on tire cette conséquence : « Soit (C) un cercle [fig. 851 et a^ a\ a" trois pôles fixes situés dans son plan; que, d'un point quelconque x* de ce cercle, on mène aux pôles a et a',

Fig. 85.

deux droiies x'a et x^ a' qui, prolongées, viendront couper le cercle (C) en deux nouveaux points x'' et x"" ; qu'ensuite de x" on mène au point a" la nouvelle droite x"a" coupant le cercle en un second point ^'^; qu'enfin on mène aux points â^ et ar*'' deux tangentes olx^ et ax'^ au cercle (C), ces tangentes viendront se couper en un dernier point a, situé sur une courbe du second degré; de sorte que si l'on fait parcourir la circonférence de (C) à x\ le point a décrira cette courbe. »

En effet, le cercle (C) peut être considéré comme la projection d'un autre cercle, et le pôle fixe a comme la projection (l'un point situé à l'infini. Or, dans celte nouvelle projection,

1 aura, pou

senter le ri

. réciproqu

et ordonm

r/ on — fr réciproquement. Cette obsen-ation nous dispensant »ft dans le «ompo^r l'équation (4) ou ^-'— j, = <> en les deux

♦"^tre mise i^près, on

')p-+-(/^4-«û'-^6>-/^(rt4-«')]--o.

a bj a' en b' et réciproquement. L'équation x'— jr, = o

DES SIWLES CONIQUES. 171

le syslème des droites x' x" qui passaient par je pôle a deviendra celui de cordes parallèles entre elles. Si donc on place l'origiœ des axes au centre C, et l'axe des y parallèlement aux cordes dont il s*agit, il est clair que la courbe engendrée par les nouveaux points a, satisfaisant à la condition unique ^'=x,, sera une section conique, d'après ce qui a été prouvé ci-dessus, et par conséquent la projection de cette courbe, c'est-àdire celle que décrit le point a [fi^* 85), sera aussi une section conique.

De là il résulte donc que la propriété du cercle démontrée dans les solutions précédentes, et qui n'avait lieu que pour deux pôles a et a' seulement, est vraie aussi pour le cas de trois pôles a, a' et a" . Je dis plus encore : cette propriété a lieu pour une conique quelconque et quel que soit le nombre des pôles arbitraires a, ce y à\ etc. ; comme le prouvent les démonstrations suivantes.

RFXUERCHES ANALYTIQUES SUR LES POLYGONES MOBILES INSCRITS AUX CONIQUES ET DONT LES COTÉS PASSENT RÎîSPECTIYEMENI PAR DES POINTS FIXES OU POiSS DONNÉS.

Soit {fig* 86) un polygone quelconque XxXiX^x^x^x^x^x^ inscrit à une ligne du second degré (C). Soient pris sur la direction de chacun de ses côtés, des points fixes arbitraires a,, rtj, ^,,...^3, «',, a',, excepté sur le dernier côté Xxx\, qui demeurera absolument libre. Soient, dç plus, menées aux extrémités de ce dernier côté, les tangentes x^a. et x\aL qui viendront se couper en un point mobile que j'appelle a. Imaginons que l'on déforme le polygone en assujettissant tous ses sommets à parcourir la conique (C), et ses côtés, à l'exception du dernier Xxx\, à pivoter autour des points respectifs a,, a2f «3, etc., comme pôles; je dis que l'enveloppe de l'espace parcouru par le côté libre Xix\ sera une autre section conique ainsi que la courbe décrite dans ce mouvement par le point a.

Dans le môme cas, si l'on circonscrit à (C), un polygone dont les côtés touchent cette courbe aux sommets respectifs

17'^ m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

du polygone inscrit , chacun de ses sommets parcourra la droite dérivée du pôle correspondant, à l'exception du dernier sommet ou sommet libre a, qui décrira généralement une ligne du second degré ou dernière section conique.

La courbe (C) pouvant être censée la projection d'un cercle quelconque, il suffira de démontrer la proposition pour ce dernier cas. Je suppose que les coordonnées variables des sommets du polygone inscrit et celles des pôles situés sur la direction de chacun des côtés, soient représentées par les couples de coordonnées qui correspondent aux lettres simples de la figure ; j'appelle, de plus, r le rayon du cercle donné, et je place Torigine des coordonnées à son centre C.

(]ela étant convenu une fois pour toutes, je suppose que le point a soit pris d'abord arbitrairement, en sorte que si Ton mène les deux tangentes a. r, et 9.x\ au cercle, et qu'on joigne de proche en proche le premier point de contact Xx avec le pôle a,, ce qui déterminera ^2, puis le second point x-^ avec le pôle suivant «a, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à un certain sommet ar„ correspondant au pôle «n-i; qu'on en agisse de môme, à partir du second point de contactée',, en allant de proche en proche, du sommet j:^', au sommet .r, par le pôle rf,, de x\ au sommet x^ par le pôle «',, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne au pôle le plus voisin de celui /ï„i, auquel on s'est arrêté précédemment : en supposant que le dernier des pôles r/, , «,, etc., soit ^'„.,, le dernier des sommets x,^ x\^ etc., sera pareillement x„,. Supposant le point a pris arbitrairement, les points a;» et x',^ seront quelconques; mais si a satisfait à la condition précédente, il laudra que ces

DES SIMPLES œNIQUES. lyj

deux derniers points se confondent en un seul et même sommet appartenant au cercle (C).

Cette condition serait évidemment remplie si Ton exprimait que les deux dernières cordes obtenues, ^„,a,^,, ^„,fl«, se coupent sur la circonférence de (C). Mais elle peut l'être également en exprimant que les coordonnées :r„, j„ sont respectivement égales aux coordonnées ^',„ e^j',.» ce qui donnera les équations de condition :r« — ^'^=o, y-n — /'„,== o, qui devront avoir lieu à la fois. Or il est clair que le point a étant déterminé, les points x„ et JCm le sont également d'après la construction précédente; donc les coordonnées de ces points qui entrent dans les équations, peuvent être obtenues au moyen de a, p et des constantes qui déterminent la position des pôles a,, a,,. ..,£/,, a,,. .., et du rayon r du cercle (C). On aura donc des équations de condition de la forme (p(a, p) = o, il/(a, p) = o, qui devront avoir lieu en même temps, entre les coordonnées variables a et p.

Évidemment ces deux équations ne sont point indépendantes Tune de Tautre, sans quoi il n'y aurait qu'un certain nombre de valeurs de a et de p qui y satisferaient à la fois, et, par conséquent, la condition dont il s'agit ne pourrait être remplie que par un égal nombre de positions déterminées du point a; ce qui est absurde, puisqu'il est clair, d'après la figure, qu'il y en a une infinité formant par leur succession continue, une courbe unique et distincte. Donc enfin, puisque les équations o»(a, p) = o, >J;(a, P) = o ne sont point indépendantes entre elles, et qu'elles doivent être satisfaites à la fois par l'équation d'une certaine ligne courbe, il faut qu'elles aient un facteur commun de la forme /(a, p).

Ce facteur égalé à zéro, remplissant la double condition a:„ — a;\^=o,y'n — j'„.:ç= o, sera évidemment l'équation même de Ja courbe cherchée. Quant aux deux facteurs non communs à ces équations, égalés de même à zéro, ils représentent séparément deux autres courbes, mais étrangères à la question. Pour savoir à quoi elles répondent, et comment il se fait qu'elles se soient introduites dans la solution du problème, il n'y a qu'à examiner séparément les écjualions de condition x„ — x[„=o, j\ — >•' 1=0, et chercher d'où ces solutions ou facteurs étrangers proviennent.

174 ni* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Si Ton ne considère que la seule équation x^ — j:[^=o, on verra qu'elle répond à la question suivante : Soient «i, Oa, a,, a'j, d^y a, (*) six pôles ou points fixes situés sur le plan d'un cercle (G); Ç^x et Cj deux axes rectangulaires de pofiition donnée : on mène une corde arbitraire x^ x\ parallèlement à Taxe des r; on joint son extrémité x^ avec le pôle «j, ce qui détermine le point x^; on joint ce point x^ au pôle suivant fla, et Ton continue ainsi jusqu'au point x, ; on répète la même construction à Tégard de l'autre extrémité x\ de la première corde et des pôles «,, tf',, a,, ce qui détermine un second point x\ ; par les deux points x\ et Xx ainsi obtenus, on mène au cercle (G) deux tangentes qui viennent se couper en a : quelle est la courbe parcourue par le point a quand on fera varier la corde x^x\ parallèlement à l'axe des j?

On voit que la question, présentée de la sorte, donnera Heu à une courbe différente de celle qui satisfait à la fois aux deux équations Xn — x\^=o, y\ — j'^=o. Et, comme l'une et l'autre courbes doivent satisfaire à la même condition Xn — ^„,= o ou <p(a, ,8) = o, il faut que celte dernière équation soit décomposable en deux facteurs dont l'un, égalé à zéro, donnera une équation /(a, p) = o, représentant la première des courbes en question, et dont l'autre, égalé de même à zéro, donnera une seconde équation F( a, p) = o, différente de celle-là et représentant l'autre de ces courbes. 11 y a plus, on peut imaginer que lay?g. 86 soit la projection d'une figure analogue, mais dans laquelle la directrice (G) des sommets serait toujours un cercle, et le système de cordes parallèles XiX\ un système de cordes passant par un septième pôle donné «4, en sorte que la seconde des deux courbes dont il s'agit, peut être considérée comme la projection d'une ligne engendrée de la même manière que la première, 4liis pour laquelle il y aurait un pôle de plus à l'infini.

Ces préliminaires étant posés, nous allons chercher la forme des équations Xn — x^ = Qy yn — jI„=o ^n a et p. Pour cela, nous observerons d'abord que, si d'un point a on mène deux

(*) On prend le cas particulier flo la //^^ 8G. afin de rendre la démons- Iralion plus claire.

tangentes ax, et ajc', au cercle (C), les coordonnées des points de contact x^ et :c', auront les valeurs suivantes :

nr — — ' ' - /^-» — — *

, r'^a.— r^ s/a^4-p^— r^ ^, r'p-hra y^a^-j- p'—

Il s'agit maintenant de trouver la valeur des coordonnées ^«et j«, x*^ ^^Tm ®" fonction de Xx et j,, x\ et/',; car alors, en y substituant les valeurs précédentes de x^y j, , etc., on aura celles de ^«,7», etc., en fonction de a et de p, desquelles on pourra conclure ensuite, les deux équations de condition mentionnées ci-dessus.

Si Ton mène par le point x^ et par le pôle voisin a, une ligne droite, elle Viendra rencontrer le cercle en un second point X3, dont on pourra facilement déterminer les coordonnées au moyen de celles du premier. Pour généraliser cette dernière recherche et la rendre plus simple en même temps, appelons s et ^ les coordonnées du premier point donné a;,, et a, h celles du pôle qui lui correspond, les équations du cercle (C) et de la droite sa seront évidemment

on a, de plus, Téquation de condition suivante :

qui exprime que le point s est situé sur le cercle (C).

En combinant Téquation (i) avec Téquation (2), on aurait évidemment les coordonnées :c et j du point d'intersection de la droite et du cercle; on se servirait ensuite de l'équation (3) pour simplifier le résultat; mais on peut y parvenir d'une manière beaucoup plus simple. En efTet» si Ton retranche Téquation (3) de Téquation (i), et qu'on y substitue la valeur de j

176 m* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIV'ES

tirée de l'équation (2), on aura

ce qui donne séparément

(4) ^ — 5 = 0, X -h s-h ix-^^) = 0.

Substituant la valeur x = s, fournie par la première de ces équations, dans Téquation (2) ci-dessus, on en déduira /•== /; donc la droite (2) coupe d'abord le cercle (C) au point s; ce qui revient à l'hypothèse même d'où l'on est parti.

Pour déterminer la valeur des coordonnées :c et ^ du second point d'intersection, il faudra combiner la seconde des équations (4) avec l'équation (i), et, pour cela, on la mettra sous cette nouvelle forme

En y substituant la valeur de j — / tirée de l'équation (2), on

en conclura

ce qui donne, par suite,

ft — /

On tirera de là, en réduisant au même dénominateur et observant que s^-\-i^=r^,

lar^ — 2fl6/-f-5(6* — a^ — r*) "" a* -^- 6^ -h r^ — 2 05 — 2 6/ '

__26/'^ — 7,abs'\-t[a^ — b^ — r") •^"" a'-hé^-hr* — 205 — ibl

On voit que les coordonnées 5 et / n'entrent qu'au premier degré dans ces dernières expressions.

fi. Ci. O

Ci* «) O

QJ C3 '^

C/ C cA

-C) es

«5 es

tr.

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C ^ co ^

c OP