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i62 ni* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

entre les coordonnées ^ et / du point d'intersection de deux cordes infiniment voisines.

Or l'équation du cercle x'^-^y^=r^ donne, parla différentiation immédiate,

c'est la relation qui doit exister toujours entre t^> x' et y, puisque le point x' doit dfemeurer sur le cercle; par conséquent, si l'on substitue cette valeur de -/-7 dans l'équation précédente, on aura une équation du premier degré en x' et y, comme l'équation (8), et donnant, conjointement avec elle, les coordonnées a; et j du point d'intersection de la corde x^x*^ avec celle qui lui est inflniment voisine; par conséquent aussi, ce sera le point même de contact de la corde x^x^ avec l'enveloppe cherchée.

Donc enfin, en éliminante' eiy entre les deux équations ainsi obtenues et l'équation x'^-^y*=r^, le résultat en x et j sera l'équation même de la courbe cherchée.

Voici la suite de ce calcul.

Ordonnant l'équation (8) par rapporta x' et y, on aura

y[i^a€^ — bb' — r')x-^[ab'-+-ba')x-^r'(b-^b')] — x'[[aaf—bb''^r')x-h{ab''^ba')x—r^a-ha')] H[(6-f-6')j-h(rt-f-a')e — aa' — bb' — r*] = o.

dr' Différentiant par rapport à x' et mettant pour -j-^ sa valeur

x' — .-^, il viendra, toutes réductions faites,

x'[[aa(. — bb'—r')X—{ab'-hba')x-hr'(b'^b')]

-^y[(aa' — bb'-hr^)X'h[ab''^ba')x—r^a-ha')]=^o.

C'est entre ces deux équations et l'équation ^'~|-y = r* qu'il faut éliminer x' et j'. Pour cela, multipliant la première par

DES SIMPLES CONIQUES. i63

x' el la seconde par r'> reiranchani la première de la deuxième et observant que Ton a x''H-^''= rS il viendra

r'[{ aa'— bb'-h /*' )x -+- ( ab' -h ba' )x — r'(a -h a')] = x' r'\{b -\- b' )x-h {a-h a' )x — aa'— bb'— r^].

Faisant maintenant l'inverse, c'est-à-dire multipliant la première équation par j' el la deuxième par x\ les ajoutant ensuite, on aura Téquation

r^[{aa' — bb'— r^)r — {ab'-h ba* )x -h r^b -{- b' )]

= — X' r^[{b -^ b' )y-h {a -^ a' )x — an' ^ bb' — r'].

Ces deux dernières équations remplacent parfaitement les deux premières. Si on les élève Tune el l'aulre au carré et qu'on les ajoute, qu'on nielle ensuite r* à la place de :c"H- j*'*, qu'enfin on divise le résultai par r\ il viendra

[(aa'— bb' -^^ r')x -^ {ab' -h ba')y— r^a-\- a')]' -{-[{aa'— bb' — r')X — {ab' -h bà' )x -h r^b -h b' )y = r'[{b'^b')X'^{a-ha')x — aa'^bb'— r']\

Telle est fmalement l'équation de l'enveloppe cherchée; donc puisqu'elle est du deuxième degré, cette enveloppe est en effel une section conique.

Le facteur m — w' supprimé dans le cours de l'opération, n'a qu'une application indirecle au problème qu'on s'était proposé, et il doit être regardé, en quelque sorte, comme une quaniité finie et conslante.

En effel, si l'on voulait satisfaire à Téqualion

-I-" ^ff

de la corde x^x'", en faisant m = m', el substituant pour m el m' leurs valeurs algébriques, on aurait l'équation

Y' — b = ^^{x'-a), a — et

qui n'est autre que celle de la corde même x"x"\ pour une