POINTS FIXES QUELCONQUES

^o'WoLx' x",,,,[fig. 107), un polygone dont tous les sommets,

a rexceplion du dernier a, sont situés sur une ligne quelcon-

Fig. 107.

que (C) du second degré, et dont les côtés passent respectivement par des points donnés a, a', etc.; quelle sera la courbe

(*) Il ne faut pas confotidre ces recherches analytiques avec celles qui nous ont précédemment occupés, et dans lesquelles il s'agissait, en réalité, de polygones circonscrits dont les divers sommets, moins un, étaient astreints à parcourir ^étè directrices droites ou polaires fixes; le lieu du sommet libre, coi^^ié au dernier côté du polygone inscrit, etc., no s'élevant pas au delà du second degré. Ici, au contraire, le lieu du sommet libre appartient à un degré supérieur, sauf dans le cas particulier où les polos donnés sont en ligne droite et les directrices polaires convergent en un niôuïo point, comme le suppose le théor. IX, sect. ïl du Oh. 111 (p. i4o), dont la démonstration analytique, fort simple, a été primitive-

décrite par le sommet libre a, quand, en déformant le polygone, on assujettira ses autres sommets et ses divers côtés à remplir les conditions précédentes?

Supposons ,((116 Ton projette la figure sur un nouveau plan, de manière c(10||||||a* conique directrice des sommets se réduise à un cercle (C), fig. 108, et que les côtés extrêmes aj;', olx^" ou a^" soient, dans toutes leurs positions, respectivement pailletés à deux droites ou axes fixes, ce qui revient à choisir ^ \t plan de projection de manière que les pôles a et a\ (Jig. 107), soient situés à une distance infinie (Princ. IV).

Alors, en nommant m et — m les tangentes trigonométriqucs des angles, censés égaux et de sens contraires, que les directions de ces droites forment, de part et d'autre, avec celle de Taxe Cx des abscisses, dont la direction se trouve ainsi déterminée, fixée h priori; si, de pluif^ on donne aux différents points les dénominations corresponitefifies à celles qu'indique la figure, et que l'on place l'origine âes coordonnées au centre C du cercle, les équations de ce cercle et des côtés ex-

ment indiquée par M. Brianchon, qui a ouvert ainsi un nouveau champ d'études analytico-géomélriques.

L'analogie existante entre le cas actuel et celui dont il s'agit, conduit à conserver, sans changement^ les notations et conventions du manuscrit relatives aux indices des lettres qu'on a précédemment modllkées en vue de faciliter Timpre^sion typographique des plus longues foriBuleè. Seulement, on s'est dispensé ici. pour plus de facilité encore, do supprimer les parenthèses ( ) aux indices supérieurs dos petites majuscules simples, en les laissant aux indices majuscules composés.

Ainsi nous avons écrit : //^ au lieu de /^/^^ ; //" au lieu de (/i^^^)^: </('* '^^ au lieu do (n^^ ' )% elr.

IV' CAHIEK. - PROPRIÉTÉS DESCRlPTlNliS

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DES SIMPLKS COMOUES. 221

En substitu<nnt les valcnirs de x" el r" dans.r'" el^*'", cellesci ensuite dans .t*' el >•', el conlinuanl de même les subsliiiilions successives, on obtiendra fmalcmenl celles de x^ et j" en x' et y\ qui seront de la forme,

^ ~ D -h Ex'^ F> ' ' ^ ~ \)^Ex-h Fj ' '

et qu'il faudra substituer dans l'équation (3) de la droite a.r"; ce qui donnera pour cette équation, en réduisant au môme dénominateur,

A'-h B'jr'-h r/ >•'— pi D -h Ejr'-h h\r') = — miAH- Bx'-h C)-') -h m [\) -h E.r'H- F v'^

(Juand les valeurs de x' o.i y^^ seront déterminées, les coordonnées du point d'intersection a des deux droites «^ et xx"*, le seront pareillement. Donc, si l'on élimine x' et y entre l'équation précédente et les deux suivantes,

on obtiendra une équation entre a et p, qui aura lieu quel qu<» soit le point x% et sera par consécpient l'équation môme de la courbe cherchée.

Ordonnant d'abord par rapport à x' et >•', les équations des deux droites en question, il vient

(f/— pF— amF-hC/;7)v'-4-[n'— SE — amE4-mn).r' = ml)a-f-I)p — wA — A',

>' — mx'= 6 — m a.

Tirant de là les valeurs de x' et r', ce qui donne

'^ ~ -(E-+-/''F)fi--(///E4-w4^Ma4-B-+-///BH-C///='-h///(:' '

^ ■^E5^-4-w'Ey.'-4-(///D-|-B'-|-///B)S4-(w-l) - ///B^~///-B)a — ///'A-///A' •^ " — ^E-f-/;/F)(5-(///E-f-mMviz-hB'-h///B-i-(:///M-///C'

Substituant enfin ces valeurs dans réquajlion x'^-hy^ = i'\ il

viendra, pour Téquation de la courbe cherchée, enlrc les

coordonnées variables a et p,

1 [F(^»-/w*a')4-D(P-h/wa)-(C'4-Cw)(p-/wa)-/;/A-A']' (aou 4) I -h [-E(f '-/iiV)4-D///(p-+-wa)-h(B'H-wB) (p-//ia)-///(wA-|-A')]-' (=r'[-(E+wF)(p-h//ia)-+-B'-hKBH-C/w4-C')p.

Celte équation est, comme oh le voit, du quatrième degré; d'où Ton est autorisé à conclure que la courbe lieu des sommets libres a du polygone, est en général, elle-même, du quatrième degré.

En combinant cette équation avec celle x^-\-^^=r\ du cercle directeur rapporté aux coordonnées a et p, prises pour variables indépendantes, on obtiendrait les intersections de la courbe ^connue avec ce cercle; ce qui permettrait de résoudre ce problème : « Inscrire à un cercle donné, un poly- » gone dont les côtés passent respectivement par des points » également donnés. »

Ce problème a déjà été résolu précédemment (Cah. III), et nous avons vu qu'il revenait finalement, pour le cas le plus général, à trouver les intersections d'une droite et d'une section conique. Donc les deux points où la courbe ci-dessus rencontre le cercle doivent pouvoir se déterminer dans tous les cas géométriquement, et les coordonnées de ces points, par conséquent, dépendre simplement de la résolution d'équations du deuxième degré.

Je n'essayerai pas de démontrer la chose en général, au point de vue purement analytique; ce serait d'une longueur si ce n'est d'une difficulté extrême. Je me bornerai à l'étude circonstanciée de quelques cas spéciaux où l'équation générale (a) du lieu, subit un abaissement naturel.

application des précédents résultats, au cas singulier où les pôles des côtés sont confondus ai'ec le centre même du cercle directeur, en projection.

On voit, à la simple inspection de l'équation précédente {a), que la courbe qu'elle représente se réduira généralement à une section conique lorsqu'il arrivera, par les conditions du problème, que l'on ait en même temps, E = o, F = o.

DKS SIMPI.ES CONIQUES. i-iS

Dans celte supposition, d'ailleurs, les valeurs de x"* et > " doivent nécessairement se réduire à la forme