X- j^ , ., jj

et il ne pourra généralement en être ainsi, a moins que toutes les valeurs des ordonnées des sommets de polygone :t", x'", . . précédant x\ ne soient aussi de celte forme. Or on peut satisfaire immédiatement à cette condition en supposant que tous les pôles rt, a', etc., (^g. io3) se confondent en un seul, avec l'origine C des coordonnées; ce qui donne

« = o, /> = o, a'^o, //=o, etc.

Les valeurs des coordonnées x'\ y'\ etc., deviennent, par cette supposition,

^llf „// -,//' . ,,//

les signes supérieurs de x^ et >" ayant lieu quand k sera impair et les signes inférieurs quand n sera pair.

Pour savoir ce que devient alors l'équation de la courbe, il faut observer que l'on a ici

A = o, B=±i, C = o, A'-^o, B'-^o, C'--±:i, D-i, E^-o, F-ro; ce qui donne l'équation

[(p^-ma)ip(p — ma)]'H-m'[ifi-f-ma)±(fi — ma)]«=4m'r% ou bien, en prenant les signes supérieurs de ± et de zp,

et, en adoptant les signes inférieurs,

'jt24 IV-^ CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

La première de ces équations est celle du cercle directeur même; la seconde est celle d'une ellipse.

On ne saurait être surpris de retomber sur Téquation du cercle (G); car, pour un nombre pair de pôles ou côtés, les sommets extrêmes x* et ^" se confondent sur sa circonférence, et les droites «j?', aj?", partant d'un même points:', se coupent en ce point, ce qui fait que le sommet libre a, confondu avec x' y ne quitte pas le cercle (C).

La deuxième équation correspond, à l'inverse, au cas où les pôles étant en nombre pair, les deux points x' et jt' seraient situés aux ttlrémités d'un même diamètre; elle représente évidemment lïne ellipse concentrique à (C), et dont les axes ont la direction de ceux des coordonnées : l'un de ces axes

étant égal à amr et l'autre à — (*).

Développement de l'analyse relative au cas général, dans r hypothèse où les pôles des divers côtés sont situés à l'infini, sur le plan du cercle directeur.

. Transformation, réduction des formules fondamentales, —

Les valeurs des coordonnées x" et j", x'" et r'", etc., prendront

A-j-B^'H-Cr' encore la forme particulière =^ —y lorsque tous les

(*) En se reportant à \àfig. 107 du cas général, dont celle (fig. 108) du cercle est la projection, on verra que le centre de celui-ci y serait représenté par le point conjugué à la droite indéfinie qui contient les pivots a et a^" ou a^ des deux derniers côtés olx\ a x" du polygone variable considéré, mais réduit dans Thypothèse actuelle, à un simple triangle formé de ces côtés et des cordes pivotantes de la conique donnée, assujetties à passer par le point fixe ci-dessus ; seule condition indispensable pour que le lieu des sommets a se réduise à une courbe du même degré. Mais il ne s'agit ici que de trouver, par l'analyse, les bases fondamentales de théorèmes ou lemmes de géométrie qui doivent devenir Tobjet de recherches ultérieures plus étendues ou approfondies. Du reste, les déductions de l'analyse des coordonnées, comme celles, ci-après, qui concernent les polygones variables dont les côtés pivotent autour de points fixes rangés en ligne droite, ont des relations intimes avec la théorie géométrique des intersections do surfaces cylindriques et coniques, en général.

DES SIMPLES CONIQUES. aaS

pôles étant situés à Tinfini, on aura

0^=1, ft'=-, a'=^, h"=l, etc.

Alors les côtés du polygone conservant des directions déterminées, les tangentes tabulaires des angles que ces directions forment avec l'axe des x auront elles-mêmes, en général, des

b' b" valeurs déterminées bien que les fractions -r» -^j etc., se

présentent sous la forme -•

Posons donc -7 = m', -77 = m", et ainsi de suite ; introdui-

sons ces hypothèses dans les valeurs de a:'', 7-", etc., trouvées ci-dessus, après les avoir préparées de la manière convenable; posant enfin et successivement a'=oo , a" = co , etc., ces diverses valeurs deviendront

^^ —'imy'—x'[i — m'') „—2m'x'—r'{/n''—i)

.ir

— 'im'"x'"—x"'[i — m'"'') ^^^—^m'^x'"—x'"{m'"^—i)

i-\-nr* -^ H-/W

Af/2

On tirera évidemment de là, pour x"* et ^•'', d'autres valeurs de cette forme linéaire.

^x'^Cy' ,B^x^-hCy^

^"= BT^' y- D '

d'où il résulte que Thypothèse faite sur les quantités a! et fr', a*' et M, etc., rend à la fois nulles, dans le cas particulier qui nous occupe, les constantes E, F, A et A' qui entrent dans l'équation générale [a] de la courbe chercbée. Pour savoir ce que deviennent les valeurs des autres coeffi- I i5

rionls B, C, B', C el D de celle même équalion, il esl indispen> sable de développer un peu les subslilulions successives de x" ei j", a:'* el^'*', elc.

A cel effel, nous poserons, pour plu's de simplicilé, dans les expressions déjà irouvées,

mr^—\

ff/2