L -R'j[R'-</74-i On trouvera de même, en ayai ii — JL

laB, I

Donc enfin l'équation (3) de

(4) j|p(R'-/7,.r [R'(fl-h«'-x)-r/rt4

TeHf est Téquation de l'une des q

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. inj au moyen de l'équation de condition a»-|-p'=R^ ce qui donne

il viendra, en metlant ces deux nouveaux radicaux à la placé des preniiejs dans les valeurs ci-Hikssus de le et A', "^

/'S — (a— «') \ /— V^ll'-h a^ — /•»— 2«a /i =. n^ ->

/•'(a— ^/')-|-fi i/— V^K^-h «'— r^— 2rf a

ou, ce qui est plus simple et revient absolument au menus en posant, pour abréger l'écriture,

( / o)-. /// .sY//V«' au tableau ci-aprcSy p. 33o.)

Remarque sur le rôle des fondions radicales, — D'après les observations déjà faites plus haut, en changeant le signe du radical ^ dans l'équation (4), on aura celle de la corde inférieure x'\x\; en y changeant de même le signe du rayon /•', on aura celle de la corde x'\x2, et enfin en y changeant à la fois le signe du radical ^ et du rayon /^, on obtiendra l'équation de la corde ix'^x^. Nous continuerons à nous occuper de la corde x"x-,; mais avant de poursuivre le calcul, il est nécessaire de faire sur la forme de l'équation (4) quelques observations qui nous faciliteront les moyens de parvenir à l'équation finale de la courbe enveloppe.

Je remarque d'abord qu'une fonction quelconque de a de la

forme T v^X-f- Y )/Z ou — T v'X^ Y v/Z, (X, T, Y et Z étant

33o Vl" CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

elles-mêmes des fonctions rationnelles de a), renferme toujours un ou plusieurs facteurs en a dont on peut déterminer Texpression particulière dans bien des cas, et dont, tout au moins, on peut prouver Texislencc en général. * En effet, si Ton représente cette expression par l'inconnpe ç, ou qu'on pose ^ '

±:Tv^X4-Y>/Z==^, d'où ff-\)/Z = ±Ts/X,

on aura, en élevant au carré,

ep'— 2çYv/Z= PX~Y'Z,

et Ton voit par cette équation du deuxième degré en ^, que toute valeur de a qui rendra nul son second membre, rendra en même temps nulle Tune de ses deux racines; car cette équation deviendrait alors

^»— a(fYv'Z = o, d'où ^ = oetç = 2Yv^.

Or, celle même équation ayant évidemment pour racines les deux fonctions d'abord considérées, on doit en conclure que l'une ou l'autie de ces expressions

peut en effet, toujours être satisfaite par une certaine valeur de a déterminée par l'équation de condition

PX-Y'Z = o;

et qu'ainsi l'une ou l'autre de ces expressions est le produit de deux ou de plusieurs facteurs fonctions de a; ce nombre croissant évidemment avec le degré des fonctions rationnelles X, Y, Z et T.

11 ne faut pas cependant en induire que cette même expression de (f pourra se décomposer explicitement en ses deux ou multiples facteurs : il ne sera souvent possible de le faire qu'au moyen du développement explicite des fonctions qui y entrent.

application de ces remarques if la question. — Elles nous

conduisent naturellement à rechercher si le numérateur et fe dénominateur de la fraction

i^iévavpi

rB— (a — rt)v/R'-+-a' — r^ — 2 flic

Il = . =. »

r(a — a)-|-p VH'-ha*— r*— ?.««

obtenue d'abord, n'auraient pas un facteur commun, puisque Tun et l'autre sont compris dans la forme générale

Yv^ZdzT^/X.

Considérons en premier lieu le numérateur. En Tassimilanl à l'expression Y sjZ — Tv^X, on aura

Y==r, T = a— a, Z = R'--a% X == R'4-«'— r'— 2aa, et l'équation de condition P X — Y* Z = o deviendra

(a — a)'(R'-*-û' — r»— 2aa) — r»(R'— a»)=o, ou (R»4-a»— 2tfa)(a — fl)^— r'[(a — fl)'-|-R'— a»] =: o,

ou encore

(R'+rt'— 2rta)[(a— «)'^— r'] = o.

Cette équation étant du troisième degré, elle donnera naturellement trois valeurs de a, qui rendront nulle l'une ou l'autre des expressions

En essayant la valeur fournie par l'équation

R* -+■ a* — lacL = o,

qui représente l'une des trois racines en question, on trouve qu'elle annule en effeU la fonction où le second radical est affecté du signe —, c'^'/lj.'dirc le numérateur de /r.

En agissant de même 0 l'égard du dénominateur de cette

33a Vr CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

fraclion, on trouve que la même quantité R*-i-a' — laoL est facteur de l'équation de condition

PX— Y»Z = o,

et, en essayant la valeur de a qui en résulte, le dénominateur de k devient nul à son tour.

Donc le numérateur et le dénominateur de k ont un facteur commun qui, égalé à zéro, donne

Il est évident que, par la même raison, le numérateur et le dénominateur de l'autre fraction k ont un second facteur ébmmun, lequel égalé à zéro donnera

En examinant la forme des expressions de *—j, — ^^ etc., en k

et /i ', on voit de suite que l'un et l'autre de ces facteurs devront y exister. Donc l'cqualion (3) de la corde x" Xi contiendra, du moins implicitement, ces mêmes facteurs, et Ton peut s'assurer en effet que celte équation est satisfaite quand on y fait

R'-i-rt' R^-ha'^

a = ou a= ; — •

Je dis de plus, que les facteurs qui répondent à ces valeurs ne peuvent être que de la forme

R^-ha»— 2aa et R'-ha'^— 2a'a.

En effet, remontons au numérateur ci-dessus de k en a,

qui renferme le facteur correspondant à la valeur a = 1

r'est-à-dirc à la fonction

/• sjV^ — a' — (a — a) y/lt' -H a' — / ' — '^d a.

D'après ci? (juc nous avons fait voir plus liaul, la valeur de «

qui annule cette expression et peut être regardée comme l'une des racines de Téquation

y'— 2(pYv^Y=PX— Y^Z,

ne saurait annuler simultanément l'expression

r V^K'— a^-h (a — fl) V^H^-H«= — /'— 2^/a,

seconde racine de cette même équation, à moins qu'il n'en

arrive autant de la quantité Y ou v^Z. Or cela n'a pas lieu dans le cas présent.

Donc, si l'on multiplie entre elles ces deux expressions, ou racines de l'équation ci-dessus, le produit devra renfermer le facteur dont il s'agit sans nulle altération. Mais ce produit est évidemment égal à Y'Z — T'X, fonction, comme nous l'avons trouvé, qui a pour facteur R^-+-rt' — aaa; donc aussi le numérateur et le dénominateur de la fraction h renferment le facteur R' -h «* — laoLy et, par conséquent, l'équation (4) ellemême contient ce facteur.

Par une raison semblable, cette équation renferme le facteur R'-f-«'' — 2a' a, ou au moins son équivalent; je dis son équivalent, car, ainsi que nous l'avons vu, la forme explicite de la fraction A' a été changée dans le cours du calcul, au moyen de l'équation de condition

R^-+-rt» — r» R'-hrt"— r'' a n'

Complication nécessaire du résultat final des éliminations; moyen d'y échapper. — D'après ces remarques il n'est pas surprenant que l'équation (4) soit du deuxième degré entre les inconnus a et p. Je puis affirmer même, d'après un examen approfondi, qu'il est impossible, au moins en général, de supprimer d'une manière explicite les deux facteurs variables qui rembarrassent. Dans des cas particuliers, cela pourrait avoir lieu néanmoins; par exemple, si l'on avait la relation R' — aa^= o, etc. Puis donc que l'équation de la corde x"Xi est compliquée de facteurs inutiles ou singuliers, dont il est impossible de la débarrassera priori, on ne saurait suivre la même marche que dans la démonstration précédente du n* IV : la différentiation

qu'on serait obligé d'exécuter ne ferait en effet, que rendre la complication encore plus grande. La marche indirecte que je vais suivre ne présente aucune difficulté, et n'exigera pas le secours du calcul différentiel.

Pour que la corde jr^x^soit, dans toutes ses positions, tangente à un même cercle dont le centre soit sur Taxe des x, il faut et suffît qu'il existe sur cet axe un point inconnu, mais fixe, tel que la longueur de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la corde x'^ x^^ n'importe la position particulière de cette corde, soit une quantité invariable, par conséquent indépendante de l'indéterminée ou abscisse a.

Recherche de la distance d* un point quelconque de la ligne des centres à la corde génératrice de l'enveloppe. — Soil x l'abscisse d'un tel point,

l'équation de la corde x"Xi^ l'équation de la perpendiculaire abaissée de ce point sur x" x^ sera évidemment

d'où l'on tirera pour les coordonnées inconnues du pied de celte perpendiculaire,

On aura donc, en appelant ^ la perpendiculaire dont il s'agil.

Si, pour simplifier féqualion {4)f nous faisons

K^4-fla'(fl4-rt')a = A, i/- rp»— rr' = B,

DES SYSTÈMES DE œNlQUES, ETC., SUR UN PLAN. 335 elle prendra la forme suivante :

j(BD — EF + )=a:{BE-hDFr^)— R^(AB'-hC>!;);

ce qui donne

M=BD — EF+, N = BE-f-OF>!/, P = — RMAB'-hC>!/).

( P^oy, in suite nu tableau ci-après, p. 33G. )

Donc enfin la valeur de <î^ deviendra, en v mettant celles do M'H-N* et de P-hNx que nous venons de trouver

Vî)

et la longueur de la perpendiculaire abaissée du point correspondant à l'abscisse x ^^^ P^i* conséquent

P-t-Nx

R'-a«')(r'+ry/^)

Équation finale des cercles enveloppes. — Cette distance étant indépendante des variables a et p, nous pouvons en conclure qu'il existe, en effet, sur Taxe des x ou ligne des centres des cercles proposés, un point dont l'abscisse

ma-a')[r-r'^^ l,^-aa'){^^^ryjl)

est telle que la perpendiculaire abaissée de ce point sur la corde variable jc^ x,, a une longueur constante <î, quelle que soit la position de la corde génératrice.

Donc celte corde, ainsi que nous l'avons annoncé, roule dans toutes ses positions sur une quatrième circonférence de cercle dont l'équation est par consécjuent de la forme relative-

ment simple,

(R'— fitrt') R' r(R'— «") + ;•' i/-(U'—rt')

Maintenant si, au lieu de Téquation (4) de la corde x" x^^ on eût considéré celle de la corde conjuguée ou inférieure xx"xXt^ qui se déduit de la première en y changeant le signe du

radical ^p ou v/R' -f- a* — r^ — iÔol , il est évident que Ton serait parvenu à la même équation finale du cercle engendré. Car la valeur précédente dl^X^^i^sant disparaître ce radical dans l'expression de P-hN^, la valeur de ^ en est parfaitement indépendante, et par conséquent elle reste la même quel que soit son signe. Donc les cercles engendrés par la corde x" X'^ et sa conjuguée xx*\xi ayant môme centre et même rayon, ces deux cordes engendrent la même circonférence de cercle, ainsi que nous Tavions d'abord annoncé.

En second lieu, les équations des cordes xx" Xi et x" yX-x ne différant, ainsi que j'en ai fait la remarque, de celles des deux cordes x" x-x et xx'\xy^ qu'en ce que le rayon r' y a simplement un signe contraire, il est évident que l'équation finale à laquelle nous fussions parvenu pour ces derniers cas, eût été la même encore que l'équation (5), sauf le signe de r'. Donc, ainsi qu'il aélé énoncé encore, les deux cordes ^x" x^ et x" xx-t engendrent dans leurs mouvements, une même circonférence de cercle distincte de la première et dont Téquation

no diffère do la prérédente (5) que par de simples changemcnls de sifçiips on r et /■'.

t'^ — 'ia'i-^a'^ — TLa'x) de ces mêmes facteurs. Donc le dénoroi- Dur D^ I

\V-ha

!'. U'il Ifuantiti

n^resl ême radical J dans Texpression de P4-Nx; ce qui

(lisîhar !

Dà|

Mo)

Pas^e 336.

-^/-')(R'-h«»-'2/ia),

/^ j r{R'- rt") ^r"- /•' —\

— 'la'-x) /•(

ou, en supprimant le faneur R* — aa' commun au numérateur et au dénominateur,

/•'»(H=-t-«') — /-^(.H^-ha") X = — •

ei, comme on a

R'H- rt"= - ( R'-f- ^M-f- /''— r^ -7 cela donne finalement

(R'-f-«'-r»)(r'^-r^-) ^, , ^ , \ (ij R'-f- a} — r'

Telle est l'équation de la corde commune au cercle (5 ou 6, p. 336), et au cercle (G); or cette équation est précisément celle de la corde commune à ( C ), ( C ) et ( G" ).

Cette équation ne renfermant pas le rayon r', la corde commune au même cercle (C) et à celui que représente l'équation (6) sera la même qui a été obtenue en dernier lieu; car elle doit s'en déduire en y changeant le signe seul de r\

Donc enfin le cercle enveloppe des cordes .x^x, et x'' xx^^ a bien la même corde en commun avec les trois proposés.

La proposition énoncée en tête de cet art., p. 323, se trouve ainsi complètement démontrée; et, quoique le raisonnement mis en usage soit appuyé sur une suite de calculs assez laborieux, il me semble cependant que la marche ici adoptée est à la fois simple et rigoureuse, et qu'il serait peut-être difficile d'en suivre une plus directe et plus générale sans se jeter dans des complications (\o calcul plus grandes encore. La raison en est

DES SYSTÈMES DE œNIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 339

assez évidente; car Tcial de la question implique en luinfnême une complication très-grande, puisque, à un même point a du cercle (C) correspondent quatre cordes génératrices x" x^y xx" ,^„ xx" Xty x" xXi distinctes les unes des autres, et dont il serait impossible de séparer les équations sans y introduire des facteurs étrangers à la question, indépendamment dès facteurs naturels du deuxième degré qu'elles comportent.

Corollaires et remarques concernant des cas spéciaux.

Rapprochement entre les solutions des p. 819 et 336. — On doit considérer le théorème énoncé à la p. 3 1 5, comme une conséquence très-particulière des propositions générales que nous venons de démontrer en dernier lieu, d'une manière purement algébrique.

En effet, si Ton suppose dans les équations (5) et (6), a'= a, il est évident que, dans ce cas, les cercles (C) et (C) se confondront en un seul, et qu'ainsi les deux cordes x" x^ et xx^xx^ se réduiront, chacune, à une tangente au cercle (C), et par conséquent engendreront Tune et l'autre, dans leur mouvement, ce même cercle, solution particulière du problème.

Pareillement les deux cordes x" xx^ et xx" Xt se seront confondues en une seule alors, représentée dansla^îg. i^o ci-

dessus, par x'\x<x ou i^r^j;,; d'ailleurs le cercle représenté par l'équation (6) sera dans ce cas, engendré par cette corde de la même manière que le cercle (C") l'était dans la Jig, 189, p. 323, par la corde x" x^. Bien mieux, comme on va le voir, on

34o VI* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

peut trouver son équation en faisant 0^=0 dans Téquation (6). Mais auparavant nous allons introduire cette hypothèse dans réquation (5) qui doit représenter alors le cercle (G ) lui-même, ainsi que nous l'avons déjà remarqué.

En supposant, en. effet, a — «'=0 dans cette équation (5), elle devient simplement

qui représente bien celle du cercle (G) donné à priori; mais, si Ton fait la même hypothèse a — a' =: o dans l'équation (6),

ses coefficients prennent la forme -; ce qui provient évidemment de ce qu'ils renferment, au moins implicitement , le facteur a — a' à leur numérateur et à leur dénominateur : on le fera disparaître facilement dans le terme

R'(a-a')^r'-t-ry/^j

(R.a«')(r'-ry/|)

qui représente en général l'abscisse du centre du cercle enveloppe ou sa distance au centre du cercle (G), en ayant recours à réquation de condition souvent employée ci-dessus.

de laquelle, si Ton chasse les deux dénominateurs et qu'on réunisse dans un ordre convenable, ses différents termes, ou tire, en effet,

{^'—aa')[a—a')=r'''a—r^a'=a\r'—r\J^^ ce qui donne, par conséquent, l'égalité ou identité

{\V—(ta')\ r

-Vî)

{IV—aa'y

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 34 1 Or, sous celle dernière forme, l'abscisse du ceiilre de l'enveloppe circulaire des cordes généralrices, ne devieni plus -; car en faisanl a = a', el par suile r':= r, elle acquierl la valeur déterminée

Quant au terme du second membre de Téquaiion (6), il est impossible d'y supprimer explicitement le facteur commun qui en complique le numérateur el le dénominateur; mais on peut meure ce facteur en complète évidence dans Tun el dans l'autre des deux termes de la fraction dont il se compose et qui représente le cercle enveloppe, en s'y prenant de la manière suivante, fondée sur les observations, déjà faites plus haut, et qui concernent les expressions radicales de la forme générale Y v^ZzhTy^X.

L'on a identiquement pour le numérateur,

Mettant dans le second membre ainsi transformé, pour /*'' sa valeur tirée de l'équation de condition

— ■ = , ou R»— aa') a — a') = i'^a—r^a\

c'est-à-dire, faisant

ce second membre, que j'appelle I pour plus de commodité, deviendra successivement

1 ou r»(R'-fl'M'--r''-(r-«')'

^,,V(R'-,^^^)»^^/»(R»fl»)»-.^/(R»-W)(tf~r/)(R^ — fl')

r«is

es S

o* "ri ^ C

c/) es

en ja

en ;î-^

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SI^R UN PLAN. 343 tant par le carré d'une nouvelle constante r',

,, R^ [2 r^( R^-f- g» ) ^ ( Ra — fl» yy

Celte expression est le carré même du rayon du cercle engendré dans rhypoihèse où les proposés (C')et (C") se confondraient entre eux.

Nous avons déjà trouvé que, dans ce cas particulier, Tab-

4RVa

scisse cp du centre de ce cercle est égale à T-ïf— -• Donc

réquation de ce dernier est simplement

On voit, par tout ce qui précède, qu'on aurait pu se passer de démontrer à part le théorème de la p. 3i5; mais j'ai cru devoir en agir autrement, afln de le distinguer mieux de la proposition beaucoup plus générale, énoncée à la p. 323, et avoir ainsi occasion de faire connaître un mode de démonstration différent de celui employé en dernier lieu.

Examen d'un cas particulier digne d'attention, — Avant d'abandonner ces considérations analytiques, je m'occuperai d'un cas assez intéressant du théorème général, pour lequel la position des deux cercles (C) et (C) (Jig. 139), satisfait à la condition R' — aa'=o déjà mentionnée en passant, comme entraînant de notables modifications.

Le cercle engendré par les cordes ^x^x^ Qix" xX^ est alors une ligne droite perpendiculaire à l'axe des Xy ce dont on peut s'assurer par l'équation (6) de ce cercle. En effet, si l'on appelle «j>' l'abscisse du centre de ce cercle et R' son rayon, qu'on la développe ensuite, elle deviendra

Mettant cette équation sous la forme

ou^ ce qui est mieux encore, sous la forme