SIXIÈME CAHIER

PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES DES SYSTÈMES DE CO NIQUES, DE CERCLES, ANGLES ET FIGURES POLY GONALES, SITUÉS SUR UN MÊME PLAN.

DES POLYGONES VARIABLES OU MOBILES, A LA FOIS INSCRITS ET CIRCONSCRITS A DES POLYGONES FIXES OU DONNÉS.

Recherche analytique concernant le lieu du sommet libre ou indépendant de toute directrice rectiligne,

Soil xx'x'',...,XiXia {Jig. i34) un polygone dont les sommets .r',^",elc., à l'exception de a, sont situés respectivement sur autani de droites données m7i,n/^,..., qr, rs, constituant ellesniAines un certain polygone circonscrit.

Fi(r . 134.

Soit pris sur chacun des côtés respectifs du premier de ces polygones rectilignes un pôle ou point fixe, qui pourra être considéré, si Ton veut, comme sommet d'un troisième polygone, tel par exemple, que le point a sur le côté ax', le point of^^Kïr le côté x'x", a" sur x" x'", . . ., a, sur x^Xxy a, sur ax, ; je àîs que, si le polygone clx'x".. . x^x^a vient à être déformé de manière que chaque côté tourne autour de son pôle respectif, et que chaque sommet parcoure la droite ou directrice correspondante mw, npy. ,,, rs sur laquelle il est situé, à l'exception

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3o^

du sommet a qui restera libre; «ce dernier sommet parcourra » dans son mouvement une section conique, quel que soit le » nombre des côtés du polygone mobile en question, et quelle » que soit la position des pôles fixes donnés a, a', etc., et » des directrices également fixes mn, np, etc. »

En effet, si nous conservons aux différents points du système les dénominations indiquées par la figure, et que, par analogie, nous appelions a et 6 les coordonnées du pôle a, x' et y celles du sommet x% et ainsi des autres, Téquation du côté ax' qui pjsse par le pôle a, considéré en particulier, sera en général, de la forme

X — b=-- — H^-^a); CL — a

et devra èlre satisfaite par les coordonnées x' et y du point x' commun à ce côté et à la directrice m/t; on aura donc réquation de condition

Cette équation doit avoir lieu en même temps (lue celle de la droite donnée mn, qu'on peut supposer de la forme

où m et n sont des constantes. Par conséquent, elle servira conjointement avec celte dernière , à déterminer les valeurs de x' et de y en fonction des coordonnées variables a et p du sommet libre.

Pareillement, le côté ^'x" donnera lieu aux deux équations

r"— 6'=4^^(^" — «') et y—m'x''-^n'; a — X

la première exprime que le côté x' x" passe par le point a', et la seconde que le point x'* est situé sur la directrice suivante np, dont les constantes m' et n' fixent la position relative.

Ces deux équations serviront, conjointement encore, à donner la valeur des coordonnées x'* etj" en fonction de x' QXy\ et, par suite, en fonction de a et de p.

En continuant ainsi jusqu'au dernier côté XxOl, on aura la

3io W CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

double série des équations de eondilion :

( I ) > ' — 6 = L (j;' — fi) r' = ni x' -\- w,

(n) Vi — 62=-^ — ^(^1 — a,) ri= m.i-, -f-/i,.

aj — Xi

>i —02=^ (Xt — rt, ).

rt, — a

Soii N le nombre des sommets a, x\ etc., du polygone variable, il ^L. clair que les équations précédentes seront au nombre de«iF-|-i. Or le nombre des inconnues a et p, ^ el r', etc., est aouble de celui des sommets, ou égal à 2k; donc il y a une équation de plus que d'inconnues ; et par conséquent, si l'on élimine entre toutes ces équations, les indéterminées x' et r', ^^ et j*', etc., à l'exception des deux inconnues a et p, on aura entre celles-ci une équation finale qui sera celle de la courbe parcourue par le sommet libre «, dans toutes ses positions.

Pour faire cette élimination avec ordre, on pourra tirer les valeurs de x' et j' des deux équations ( 1 ) ; ces valeurs seront évidemment du premier degré en a et P; on tirera de même les valeurs de x'^ et y" des équations (2), et ces valeurs seroi|C encore du premier degré en x' eif' : en continuant ainsi jusqu'aux deux équations (n), on aura la double suite de valeurs

, Aa4-BpH-C , (iaj4-BpJ-K

^ —DaH-Ep^-F' *'^'""DaH-Ep-hF'*

""'"" l>,^,-h E,> , 4- F/ '^' "~ D,.r,-hE,r,-+- F/ Mainienanl, si l'on substitue les valeurs de x' et/' dans

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3ii

celles de x" el j", on obtiendra évidemmenl deux expressions de même dénominateur et du premier degré en a et p. En les substituant à leur tour dans les valeurs de x'" et y^\ on en déduira deux nouvelles expressions de la même forme, et en continuant ainsi de proche en proche, on obtiendra ûnalement pour .r, et^-, des expressions de la forme générale

où M, N, P, R, S, T, X, Y, Z, etc., sont des constantes fonctions de (ly />, m, ïiy a', 6', etc.

Donc, si l'on substitue ces valeurs dans la dernière clés é(|uations ci-dessus

un obtiendra entre a et p, une équation finale évidemment du deuxième degré en a et p.

Donc enfin le lieu du sonnnel libre a ou indépendant, du polygone olx'x^ y. . .,.r,a, est lui-même de ce degré; c'est Tune des trois sections coniques, comme on Ta d'abord avancé.

Cette proposition est due, je crois, à M. Brianchon, qui l'a démontrée par des considérations de pure géométrie (* ).

Sur If* degré df l'enveloppe du côté libre d'un polygone mobile dans les conditions déjà indiquées ci-dessus.

Soit clx'x",. . ,XiXiOL[Jig. i35), un polygone dont les sommets sont astreints à demeurer respectivement sur les droites données, pq, pn, nm,, . ,,rs, rq; «, rt',. . .,«,, ri,, des points fixes ou pôles pris sur la direction des côtés respectifs du même polygone, le côté x''x, excepté, je dis (jue, « si l'on » déforme ce polygone en assujettissant tous ses sommets à " parcourir les droites ou directrices respectives nin, pn,.,.,rs, » et chacun de ses côtés, sauf le dernier ^"j?a,à tourner dans

(*) 11 y a là encore une erreur ou confusion de souvenirs qu'il importe (le ne pas laisser subsister. Le. théorème en question est dû à l'illustro Maclaurin, comme M. Brinnchon, lui-même, l'a remarqué dans le Mémoire simvent cité du IX'' cahier du Journal de P École Polylevhniqne (1810).

» toutes ses positions, autour de son pôle qui peut aussi être i> considéré comme sommet d'un deuxième polygone donné,

» il arrivera que le côté libre x" x-, roulera en Tenveloppaut » dans ses diverses positions, sur une conique ou courbe du » deuxième degré. »

En effet, si Ton désigne les coordonnées des différents points du système, d'après les notations correspondantes à celles de la Hgurc, Téquation de la directrice pq notamment, pouvant être supposée de la forme y =- mx -f- n, devra être satisfaite en y substituant les coordonnées a et p du point «; ce qui donne pour première condition

Au moyen de cette équation on pourra déterminer p quand « sera connu, et par suite aussi, on pourra trouver l'équation de la droite x^x^ côté libre ou générateur par enveloppement, en fonction de la seule variable a.

Les équations des côtés successifs aa:', x'x^\ . . ., ariX,, et celles des directrices correspondantes étant de la forme

' ^■'6'= V-il (*•"— a'), y''=m''x'+n"

(-2) < />,— ri

I ja— fta= :: — t: [x^ — a-^f, j, = /n,x, h- ih

Ut Xx

DES SYSTËBfES DE œNIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3i3

on déterminera, de proche en proche, par ce double système d'équations, les valeurs des coordonnées des sommais sujccessifs x', x" ^ x'"y . . . , J7,, a:,, etc., en fonction de a et p.

D'après l'article précédent, ces valeurs seront toutes du premier'degré en a et p, et, pour chaque sommet, Tabscisse et l'ordonnée auront même dénominateur. Les valeurs des cpordonnées des deux derniers points x^ et x^ ou plus généralement des points x^ et otr, seront donc de la forme

, Aa-4-Bp-HC ^ Gojj-HpH-K

"" ~Da-f-Ep4-F' ^ — Da-f-Ep-hF'

'^='— D'a4-E'p-i-F'' -^"""D'a-^-E'p-hF''

Si Ton y substitue pour p, sa valeur ci-dessus m a -+- n, ces expressions resteront toujours du premier degré, et seront par conséquent de cette autre forme plus simple,

La-f-M RgH-S

lyg-t-M^ R^a-i-S^

^ les substituant, à leur tour, dans l'équation du côté libre ou générateur de l'enveloppe

ou, ce qui revient W même,

j (x-— a;„) — (jjr-" — /«) J7 -h ^«r" — J« ar" = o, elle prendra évidemment cette autre forme générale

(3J a^Ar -+-B^-+-C) -h 2a(A'/-f-B'* -h C')-|- A'y4-B"j;-|-e=o.

Dans cette équation de la génératrice d'enveloppe, dont il s'agit, les coefficients A, B, etc., sont des fonctions des constantes a, 6, etc., différentes de celles que nous avons désignées par les mêmes lettres dans les expressions cidessus.

3i4 VI* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Ou voit d'après cela, que la génératrice par contact Tarie eii inème temps que a, comme on devait s'y attendre. Si donc on différentie le résultat obtenu (3) par rapport à l'inconnue a, on en tirera une nouvelle équation appartenant au point où cette génératrice rencontre celle qui lui est infiniment voisine ^ee point correspondra par conséquent à l'un de ceux (le la courbe cherchée, onrdfoppe de l'espace parcouru par le coté libre du polygone mobile. En effectuant cette différcntialionon trouve

a(Ar-hB.r-hC)-f- Vr-hB'jf-f r/=o.

Quand a sera connu, cette équation donnera, conjointement avec l'équation (3), les coordonnées x et r du point correspondant au contact de la génératrice et de l'enveloppe. Si donc on élimine a entre elles, on obtiendra pour représenter cette même courbe l'équation suivante

{A\>'4- B';r-H C')*— 2 (A'j-i- B' JT -i-C7

-H (Aj4-B^ -hC) (A>'-+-B"^-Hr/') = o.

ou, en réduisant et changeant les signes,

(A;>--|-B':c-i-C'j^— (Aj-hB^-f-C)(A"j4-B''xH-C'') = o.

(i(»tte équation étant du second degré en x et r, il s'ensuit que l'enveloppe de Tespace parcouru par la génératrice x" Xj, ou plus généralement x^x^, est une section conique, ainsi que nous l'avons avancé.

si:r i/ enveloppe des cordes soustendantes des aisulks inscrits A IN cercle et circonscrits a d'autres sur in plah.

Cas d'un seul angle et d'un seul cercle inscrit.

Exposé préliminaire , données fondamentales. — C, C (Jig. i36) sont les centres de deux cercles quelconques; d'un point a de la circonférence (C), on mène à la circonférence (C) deux tangentes ax\ ax^, dont l'une coupe la première (C) a» point x" et l'autre au point x^. on mène enfin par ces deux

DES SYSTÈMES DE œNlQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3i5 points, ia corde x** Xi ; je dis que, « si l'on vient à faire par- » courir la circonférence (C), au sommet de l'angle a du » triangle inscrit ax"a:„ en assujettisant les côtés ax" et » xjPt de cet angle à rester constamment tangents au cercle

Fig. i36.

» (C), le troisième côté a:'' j;, roulera dans toutes ses positions, » sur une autre circonférence de cercle (C"), qui jouira de • la propriété d'avoir une même corde commune, réelle ou *» imaginaire, avec les deux premiers cercles (C) et (C). »

Nommonsrle rayondu cercle (C),R celui du cercle (C); supposons de plus, l'origine des coordonnées x et j au centre C, du premier cercle, et que l'axe des x ait la direction de la droite <les centres C et C; alors les équations des cercles (C) et (C) seront, a représentant l'intervalle CC de ces centres,

I-e point a appartenant à ce dernier cercle , on aura en outre ^'équation de condition

Pareillement, les équations des tangentes olx' et axx menées ^u point a au cercle (C) seront respectivement (Cah. III, p. i47^

/•a -h p \/a'-Hp'— r'

VOL — fsya'-l-p' — i^ *=

3i6 VI* CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESOUPTIVES

k ei / représentant des tangentes trigonométriques» fonctions connues des variables a et p.

Il s'agit de combiner ces deux équations avec celle du cercle (C) pour obtenir les valeurs des coordonnées x" et y, x^ et js, des extrémités du côté libre qui, dans le triangle mobile oLXiX^ de la^gf. i36, représente le côté générateur de l'enveloppe cherchée.

Pour y parvenir, on commencera par retrancher l'équation de condition (a) de l'équation (c'), ce qui donnera une nouvelle relation de forme très-simple,

Combinant cette dernière avec l'équation (i) de la tangente aix\ on obtiendra, en opérant comme nous l'avons déjà fait à l'endroit cité, les valeurs des coordonnées x" et y ; d'où l'on tirera par un simple changement de lettres, celles du point .r,; on trouve ainsi les quatre valeurs suivantes

„ k{'7.xk — ^ak — 2p) a — aA^^-f-2aA»-l-2p^

îXa/ — nal — 26 p/' — p-4-2a/ — 2a/

/(2a/ — 2rt/ — 2p) a — a/»-}-2rt/*-|-2S/ ^ z= a — ; — = 7- •

Recherche de Véquation de la corde génératrice, — Pour obtenir au moyen de ces valeurs, l'équation de la coraux" Xt tangente à l'enveloppe cherchée, on remarquera qu'elle est en général, de la forme

ou bien, ce qui revient au même,

i'js y — Ta . ^">*» — >'"-^'-

X ~~'~ Xj X X-j

[ / of. la suite des opérations au tableau vi-ftp/Ts. )

ns le tables

-^.ft(

^ .fip//4-gpX'

-— — — ^— , -^OLpkl — ^ap/il

3 suivanlesy

liions (I) ot j^ ^^ ^jg.j^^ j^„^„^

P( *\o^ui de

Pag« 3iG.

Équations du point générateur de l'enveloppe. — Substiluani dans l'équation (3) de la corde x^x^ les diverses valeurs trouvées ci-dessus, on aura en ordonnant

ou bien, ce qui est la même chose,

p (R*— a») j4- [a(R*— a*)-|- a (R» -+-««)] x -h(R'— «?— 2RV-+-a(R'— a»)a = o.

Telle est fmalement Téqualion de la corde génératrice x'^Xt.

En la différentiant par rapport à a, et y mettant pour -7^

sa valeur tirée de l'équation de condition (a), on obtiendra une nouvelle relation qui donnera, conjointement avec la précédente, les coordonnées variables x eiy de l'un quelconque des points de la courbe ou enveloppe cherchée.

A cet effet, ordonnons d'abord l'équation ci-dessus de la corde x'^Xi par rapport à a et p; ce qui lui fait prendre la nouvelle forme

-h fl(R»— a»)x-|- (R'— a^y— a R» r^ = o.

Différentiant ensuite l'équation (a) par rapport à a, ce qui donne

rfp g — a

et substituant, comme on l'a expliqué, dans l'équation précédente également différentiée par rapport à a, on aura

— j(R»— a^)(a — a)-|- [(R'-h rt') ^ -h a (R^— a')] p = o.

Multipliant la première de ces équations en j: et j par p, la seconde par (a — a) et retranchant celle-ci de l'autre, il vient

j(R'-a»)[p'4-(a — «)'] -f- p [a (R^— a») X 4- (R'— a'Y—nWr']

-hrt[(R'-h«')^-4-«(R'— rtMjP = o,

ou, en observant toujours quep'-l-(a — ay=R^ et réduisant,

(4) :^R^(R'— cr')-+-p(7flR'^ — a'R'4-R*— 2RV') = o.

3i8 VP CAHIEK. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Multipliant de nouveau la première des précédentes équations par a — A et la seconde par ^^ puis ajoutant.au Heu de retrancher, il vient également

[(R»-f- a')x-\-a (R-— a"]] [p=-4- «=— «a] -+-(a — fl)[a(R«— rt»).r-h(R-— /ï=)^— ?.R'r»] = o,

ou bien, en réduisant,

[(R»-l- a')x -h rt (R=— «»)] [R'— «* -h fla] -H (a— rt) [rt(R= — rt') :r: -4-(R=— «*)'— 2R'r=] = o,

ou enfin en ordonnant et simplifiant

(5) a(2aR»^— a'R'-hR«— ?.R>r»)4-R*(H'— rt')^-+-2RVfl=o.

Équation de l'enveloppe. — Les équations (4) et (5) trouvées en dernier lieu remplacent parfaitement celles dont elles dérivent immédiatement; de sorte que si Ton se donnait arbitrairement une valeur de a, d*où résulterait, d'après Téquation de condition (a), une valeur correspondante pour p, ces deux équations (4) et (5) fourniraient conjointement, les valeurs des coordonnées du point correspondant à a de l'enveloppe cherchée. Eliminant donc a et p entre ces mômes équations et l'équation (a), on aura entre x et y une relation qui sera l'équation même de la courbe enveloppe.

Pour effectuer celte élimination, on commencera par tirer les valeurs de a et de P des équations (4) et (5), ce qui donnera, d'une part,

^""srtR or — «»R»-|-R*— 2R'/'"~ i)

en remplaçant momentanément le dénominateur par la lettre D, et, d'autre part,

— R'(R2 — fl')x— aR^r'/T

Substituant donc ces valeurs dans (a) ou p'-H(3t — ar=l{\ on obtient l'équation

} ■ {W—a-y-Jr [x (R- -H «'J -f- a (R^— a^}]' = (9.a\\x — rt]{-hK'—2]{f^y;

DES SYSTÈMES DE œNIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 319 développanl et ordonnant par rapport kx eA r, cela donne

= [R(R»— a»)— 2 Rr»]»a'(R3 a^y, ou finalement, ce qui revient au même,

Telle est Téqualion de la courbe enveloppe, sur laquelle roule la corde mobile ou génératrice x'^jr^.

Cette enveloppe est un cercle ayant même corde commune avec les proposées. — D'abord l'équation précédente est visiblement celle d'un cercle dont le centre C", est situé sur l'axe Cx, ainsi que nous l'avions avani^; il ne s'agit donc plus, pour rendre la démonstration complète, que de prouver que ce cercle a même corde commune avec les proposés ((])

et (C).

Pour obtenir l'équation de la corde qui lui est comibun(^ avec le cercle (C), dont l'équation est j'-h^'= /**, il n'y a qu'à multiplier cette dernière équation par (R^ — a^y et en retrancher l'équation (6], ce qui donne immédiatement

2ax[{R'—a'y — ^lVr'] =:r'(R2— rt')— R^[(R^— fl^) — 2r»]^-f-a»(R^— a')' = (r»— R^)(R^— «7— 4RV+4R»r'(R^— a')-+-rt'(R' — «')S

ou, en simplifiant et rassemblant les facteurs de H — R%

2rtx[(R»— /x»)'— 4RV']

==(r'— R')[(R^ — a^r— 4R*r»]-+-û'[(R^ — /i')' — 4HV];

divisant enfin pw le facteur commun constant »

(R^— rt»)»— 4R»r% on obtient l'équation très-simple

. iax = r' — R'-4-«\

3m VP CAHIEB. - PROPRIÉTÉS DESCHIFnVBS

Cette équation est la même que celle de la corde commune aux cercles (C) et (C)- Car, en retranchant l'équation y-i-{x — «)'=: R' du cercle (C) de l'équation ar' + ^= r» du cercle(C), on obtiendra précisément pour cette dernière corde,

équation identique à celle ci-dessus.

Corollaires et remarques relatives à des cas spéciaux.

Le cercle enveloppé par la corde mobile ar'ar,(^g'.i36)peul dégénérer dans certains cas, en une ligne droite ou un point.

Cas où l'enveloppe dégénère en une droite. — La première de ces circonstances aura lieu évidemment quand la circonférence [C) passera par le centre du cercle (C). Il est aisé en effetde voir qu'alors [Jig. iBj) la corde LM commune aux cercles donnés (C)et(€') est l'unedes cordes :r";i:], qui doivent toucher le cercle envetoppe (C") indiqué sur la Jig. i36.

Or nous avons prouvé que ce dernier cercle ayantjmémé corde commune avec (C) et (C), passe par leurs intersections Let M; donc aussi le cercle enveloppe (C") doit avoir les points I, L et M en commun avec la corde LM, et par conséquent, il doit se confondre tout entier avec elle.

Il suit de là que, dans les mêmes circonsunces, si* d'un point B du cercle (C), on mène au cercle (C) deux tangentes

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3>i olx* el a^,, lesquelles viendront couper le cercle (C) aux points respectifs :c" et ^,, qu'on joigne ensuite ces deux points parla ligne droite x" x-iy cette corde sera, dans toutes ses positions, parallèle à LM.

On peut aussi conclure de ce qui précède, que si l'on trace la tangente //' commune aux cercles (C)et (C), et que, du point de contact /' sur (C), on mène au cercle :(C) une autre tangente /'©', elle sera parallèle à la même wofte ou corde commune LM.

Toutes ces circonstances sont fidèlement retracées par l'analyse algébrique.

En effet, on a, dans le cas particulier où le cercle (C) passe par le centre C,

rt=±H, d'où U' — a' = o;

faisant cette hypothèse dans l'équation (6) du cercle (C"), elle deviem

ce qui est l'équation même de la corde commune aux cercles (C) et (C); comme on peut s'en assurer directement en écrivant R' — a*= G dans l'équation

lax = r^ — R^-i- a} y

trouvée ci-dessus pour celte corde. En faisant la même substitution dans l'équation générale de la corde x" x^ d'abord obtenue, elle devient

rjix = r^ ;

ce qui est l'équalion d'une droite variable de position avec a, el perpendiculaire à l'axe CR des .r, mais toujours parallèle à la corde LM, commune aux cercles (C) et(C') (*).

(*) Toute celle partie du manuscrit, d'un extrême laconisme, aurait besoin d'explication, de commentaire mémo, à cause du paradoxe qui consiste à regarder, conformément aux résultats de l'analyse, la corde LM commune aux deux cercles proposés , comme la véritable enveloppe des cordes gé-

32!i W CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Cas oà r enveloppe dégénère en un point. — Soient (C) el (C) (Jig. i38) deux cercles tels que les tangentes ax' et ax\ menées à (C) par rextrémité a du diamètre aa' de (C), coupent ce dernier cercle aux points x" et j:„ les mêmes que ceux où les tangentes menées au cercle (C) de l'autre extrémité a' de ce diamètre, rencontreraient (C), je dis que les cercles (C) et (C) jouissent de la propriété suivante :

Fi(T. i38.

a Si, d'un point quelconque de la circonférence (C), on » mène au cercle (C) deux tangentes et que par les points où » elles rencontrent le cercle (C), on trace la corde corres- » pondante, cette dernière passera dans toutes ses positions » par un même point C", situé à la rencontre du diamètre aa! » et de la corde x" Xt* »

Il est visible, en effet, que, dans le cas général, le cercle (C") a pour limites, d'une part la corde x^x^ qui correspond à l'extrémité a du diamètre de (C), el de l'autre, une corde pareille correspondant à l'extrémité a! .

Donc, puisque, dans le cas actuel, ces deux cordes se confondent, le cercle (C") se réduit effectivement à un point unique situé à là rencontre de cette doubîe corde x"xt et du diamètre an' confondu en direction avec la ligne des centres ce

nératrices, alors devenues parallèles, c'est-à-dire convergentes à Tinfini. Il y a là évidemment quelque chose d'analogue aux faits ou remarques dont on s*e8t occupé dans les Notes des p. i65, 224, aSa, ainsi que dans différents passages du texte; mais je ne crois pas nécessaire d'insister ici sur des particularités qui, dans la théorie de l'élimination, tiennent aux solutions singulières.

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., ^R UN PLAN. 333 On voit, d'après la Jig. r 38, commenl, étanl donnés le cercle

Il serait facile de tirer les mêmes conséquences de l'ana-

Ivse ; mais comme cela entraînerait dans des longueurs, nous

ne nous en occuperons pas. ^

Cas de plusieurs angles à sommet commun, inscriis à un même cercle et circonscrits à d'autres.

Données et équations. — C, C, C {^g- 1 39), sont les centres en ligne droite, de trois cercles ajanl même conle commune, réelle ou imaginaire. D'un point a du cercle(C), pris d'une manière arbitraire, soient menées aux deux autres cercles (C] el(C"), quatre tangentes ax', xx„ aix" et a,x, lesquelles rencontreront respectivement le premier cercle (C) aux points x", x„ ix" et ,x,; je dis que l'enveloppe de l'espace parcouru par les cordes x'x, et ,x' ,x, sera une circonférence de cercle unique qui aura même corde commune avec les trois cercles proposés, et pareillement, que l'enveloppe de l'espace .■décrit par les deux cordes a:", a:, elx,,x' sera aussi ^ine circonférence de cercle unique, distincte de la première et aj'ant même corde commune avec les cercles donnés (C), (C) et (C").

Soit R le rajon du cercle (C), rie rayon du cercle (C) et r' relui du cercle [C). Supposons que l'origine des coordonnées

Fii;. lîg.

soit placée au centre du cercle (C), et que l'axe des j^ ail pour direction celle des trois centres C, C et C" ; les équations des

3z4 VI' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

cercles (C), (C) et ((]*') seront respeclivcnieni de la forme

Le point mobile a restant constamment sur la circonférence tle(C), il en résulte l'équation de condition

I/équation générale d'une tangente au cercle (C), menée par l'un quelconque x' des points de sa circonférence, étant de la forme

( I ) yr''J(-(x — a) (.r' — a) = ^^

et celte tangente devant, par hypothèse, passer par le point a, on aura aussi la relation suivante entreTa et p :

Pour obtenife; les coordonnées x* et j' du point de contact x\ Il faut éliminer successivement chacune de ces quantités entre les équations de condition

P^r'H- (a — a) [x'— a) = v\ y^^{x'— aY= r%

dont la première exprime que la tipngente ax' passe par h» point a, et l'autre que cette tangente appartient au cercle (C). On tirera de là, sans aucune difficulté,

jr' — rt =

/-^(g — ^)±:prv/(a — fl)>-4-p^— r =

Équations des cordes tangentes. — Ce sont ces expressions qu'il faut substituer dans l'équation de la tangente a ;r'; pour cela, il suffira de retrancher l'équation de condition (2) de l'équation générale (i) d'une tangente au cercle (C); ce qui donnera immédialomenl

}'{r—^)-h{^r'—a){x—a) = o, ou ^-«=— ^-— ^^(.r— pj.

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 325 En y substituant pour j' ci x' — a les valeurs trouvées ciflessus, on aura donc pour Téqualion de la tangente xx' ou de sa conjuguée a tx\

En changeant r en r', a en a' dans cette équation, on aura celle de cix ou a ,j;,, qui sera par conséquent

Dans ces deux équations les signes du radical se correspondent au numérateur et au dénominateur: ainsi chacune d'elles représente deux tangentes passant par le point a. Les signes supérieurs appartiennent aux tangentes ctx* et m^Ci et les signes inférieurs aux tangentes xx\ et a ,ar,.

Considérant d'abord les deux tangentes a.r' et a a,, on aura

r'(a — a') -h pV'p'-t-(a—a' )'—/•'»'

On peut remarquer avant d'aller plus loin, qu'en changeant à la fois les deux radicaux de signes, on obtiendra les valeurs de ^et k' relatives aux deux tangentes a^x' et a,jr,. Pareillement en changeant dans k' le signe de r', les valeurs de k et k* qui s'ensuivront, correspondront aux deux tangentes ax' et a.j;,. Enlin quand on changera à la fois les signes de deux radicaux de k et k* et celui de r', les valeurs de /r el // qui en résulteront correspondront aux deux tangentes a^, et a, a?'. Il suit de là que, quand on aura obtenu l'équation de la corde x"xi qui répond aux tangentes ax' etao?,, on pourra, par de simples changements de signes, obtenir celles des cordes •^ I «^j » \^ iXjf etc»

Revenons maintenant aux équations indéfinies des deux tangentes ax' et ajr, que nous avons vues être de la forme

{ax) X — a = ï- î ^ ' (r — p)

r(a — a)H-pv/p'-f-(a— a)»— r*

P©ur avoir les coordonnées x'^ el j" du point où la première aar' de ces tangentes rencontre le cercle (G), il faut combiner entre elles les trois équations

et Ton obtiendra

^^ -p-^~-:n5^- — rn^ — '

kiikoi — 26) a — A^a-i-aA-p

£n changeant ensuite /r en A' dans ces expressions, elles donneront les valeurs des coordonnées x, et j, relatives à lu deuxième tangente ax,~q«i seront ainsi

— ft ^A^g— 2p pA^^— p-f-2//a

Recherche de l'équation de la corde génératrice de l'enveloppe. — L'équation générale de cette corde x^ x^ étant de la forme

3; y = '— — —J^-^ "hi — ' '

il s'agit d'y substituer les valeurs de x", ^^', etc., trouvées cidessus, ce qui consiste à calculer celles de y" — r^', de x^ — x^ et de x^Vi — y'^'xt.

DES SYSTÈMES DE CONIQUES, ETC., SUR UN PLAN. 3ji7

"Je

CClJr*

-Je

■«ÎC

-Je ■*<

«•^ "«Je

r« Cfi-

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co.

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cri-

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es 0)

pmM

"Je

3i8 VI' CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESOUPTIVES

Jk rciiiiirque en passant, que l'on aurait pu obtenir ces leurs directement au moyen des expressions semblables i calculées dans le n° III, ci-d(rssus; il eût suffi, pour cela, faire dans ces expressions, a = o el L = A^.

Calcul dts éléments qui eiiii-ent dans l'équation de la vo génératrice. ^- Il s'agit de substituer explicitement dans diverses expressions les valeurs ci-dessus des fractions /> ei en fonction de a et p. Mais auparavant, nous donnerons au r cal qui entre dans If" une autre forme, en nous servant p cela, de la condition que les trois cercles (C), (C) et (C) s supposés remplir, à savoir: qu'ils ont une même sécante corde commune.

La corde commune aux cercles (C) et (C) a pour équation

celle de la corde commune aux cercles (0) et (C") étant

et ces deux cordes devant se confondre, il faut qu'on ait

D'ailleurs, le radical Vf-

-a'y — r" qui entre dans le

réduisant à ^K'+a"— r" — aa'a, quand on y fait ou E pose a'+ p'^ R', et l'équation de condition (6) donnant

Pareillement, s! l'on siinplilie le radical d» k ^p'+(a — a)'-

PoNCBLBT. — ApiMcations^ S'ig. ' l

De là on conclut les valeurs siitrice de l'enveloppe, \

... ^h-'O + Sy^'

Je représente dé flmreau, pour ahuant les substitutions, j'j^

ou, toutes réductions faites,

Sut)stituant, à leur tour, ces vafsus, il viendra

-rr' 4-ap('ix — « — ^i')l

rrr' -|- f>»(aa — ^? — «')

Rassemblant les quantités atfeBimplement

se rappelailt que a

P(R'-fl«')