PREMIÈRE PARTIE

PRINCIPES FONDAMENTAtX.

J'adopterai eiï principe, dans ce Mémoire de géométrie, que si une figure quelconque jouit d'une de ces propriétés que nous avons appelées de position, quand les parties dont elle se compose ont une disposition particulière, cette figure jouit encore de la même propriété quelle que soit la manière générale dont on ait interverti l'ordre ou la disposition respec-

tive de ces parties.

Celte généralisation ou extension n'est autre que celle que l'analyse algébrique porte avec elle dans toutes les questions où il ne s'agit que de propriétés de position. En effet, quand on met un problème (ou théorème) de cette nature en équation, on part d'une situation particulière de la figure, et les résultats auxquels on arrive sont vrais pour toutes les dispositions possibles qui remplissent la même condition, parce que les résultats auxquels on est parvenu ne laissent aucune trace de la situation particulière d'où l'on est parti ; les signes et les lettres s'élant disposés d'une manière générale et invariable. C'est celte grande extension de l'analyse, extension qu'on doit pouvoir donner dans les mêmes circonstances aux démonstrations géométriques, qui a justifié l'expression de puissance de l'analyse,. . . Il semble qu'on n'a pas assez prouvé cette puissance; on y croit: mais cela suffit-il? Peut-

DES CAHIERS PKÉCÊDENl^. 37.5

èii e celle propriélé qui lui vieiU de la couvenlion mèaie élablie sur les signes algébriques, esi-elle irès-difficilc à démonirer en loule rigueur; aussi les premiers géomèlres qui s'en sont servis el Newton lui-même, ont-ils toujours eu soin de faire suivre chaque démontration analytique d'une démonstration svnthétique. Celte preuve répétée souvent donne toute la confiance imaginable: mais est-elle d'une certitude mathématique? Dans le cours d'un calcul, il arrive souvent, que certaines expressions qui y entrent implicitement sont nulles, imaginaires ou prennent toute autre forme : on continue le calcul sans s'en douter, et l'on arrive à une équation finale qui n'en laisse aucune trace; la suite des opérations, qui n'esl qu'un raisonnement tacite, est donc appuyée sur des considérations d'infinis, d'imaginaires, etc., et cependant les conséquences sont vraies. 11 n'en est pas de même de la géométrie, telle qu'on la considère ordinairement : comme tous les raisonnements, toutes les conséquences ne peuvent être appréciés par l'esprit qu'autant qu'ils se peignent à l'imagination par des objets sensibles, dès que ces objets manquent, le raisonnement s'arrête.

Ces réfiexions sont naturellement nées du sujet qui nous occupe, et n'ont pas du être passées sous silence, puisque toutes les conséquences que nous allons développer sont fondées sur la vérité des résultats de l'analyse; mais qu'il soit ou qu'il ne soit pas démontré, en toute rigueur, que ces résultats de l'analyse sont toujours vrais, peu nous importe, puisque celte vériié est tellement reconnue des géomètres qu'elle est mise au rang des axiomes. Il est donc prouvé d'après le raisonnement que nous avons fait plus haut, que toutes les fois qu'on aura démontré qu'une propriété existe pour une disposition générale des parties d'une figure, cette propriété existera toujours quelle que soit la manière dont on intervertisse l'ordre ou la disposition de ces parties, pourvu toutefois que les éléments de la première figure ne soient pas liés par des conditions de grandeur déterminée.

Voici, à l'appui de ce qui précède, un exemple très-connu et (lui fera voir et apprécier l'avantage de pouvoir étendre les <lémonstraiions de la géométrie. Soit une droite et une surface <lu second degré qui ne se coupent pas; par la droite imagi-

3yiS VH' ET DERNIER CAHIER. - RÉSUMÉ

lions deux plans tangents à la surface, ils toucheront chacun, la surface en un point ; imaginons en outre, un cône qui soit tangent à cette surface et dont le sommet soit situé sur la droite en question, il déterminera, comme on sait, sur la surface une courbe de contact plane et cette courbe passera évidemment par les deux points déterminés d'abord; donc le plan de cette courbe passe par la corde qui joint ces deux points, et il en est de même du plan de contact de toute autre surface conique pareille.

Cela posé, imaginons que, par la droite donnée, non sécante, on mène un plan sécant dans la surface; ce plan coupera : cette surface suivant une section conique (Q),Jig'' i56; la corde des points de contact au point 0 ; chaque surface coftîque suivant un couple de tangentes /?/ ou />'/', qui se couperont sur la droite donnée ML, et enfin les plans de contact de ces surfaces coni-

ques suivant des cordes de contact tt, t't'. De là donc cette propriété bien connue : Si des points d'une droite ML située au dehors d'une section conique C, on mène deux à deux, des tangentes telles que/?/ et /?'/', les cordesde contact//,, /'/^,, etc., passeront toutes par un même point 0.

Tant que la droite ML est située au dehors de la courbe (C), cette proposition est une conséquence du raisonnement précédent; mais cela n'aura plus lieu quand elle traversera la courbe, car alors il sera impossible de mener par cette droite deux plans tangents à la surface en question. Devrait-on conclure de là que la propriété n'a plus lieu dans ce cas? Non sans doute, et l'analyse dont les résultats sont indépendants de la position relative de la courbe et de la droite, fournit la même «onséquence dans un cas que dans l'autre.

Qu'on se donne, en effet, les équations de la droite et de la conique, il est clair que, quelle que soit leur position relative, les coefficients, quoiqueayant implicitement des valeurs différentes selon la position particulière que Ton choisit, y entrent malgré cela, de la même manière et sous la même forme; en sorte que la question pour le cas où la droite rencontre la courbe, et celle pour le cas où elle ne la rencontre pas, ne peuvent pas être distinguées Tune de l'autre. Cela n'aurait plus lieu si la position de la droite était liée à celle de la courbe par une condition de grandeur : la forme des coefficients pourrait changer alors, et la conséquence que Ton en tirerait serait bien un cas particulier de la conséquence générale, mais ne la renfermerait pas. Ainsi, ayant trouvé dans ce cas, que les cordes //, /'/' se renconirent en un même point, on n'en pourrait pas conclure, avec certitude, que cela soit vrai en général.

Par la suite, des exemples réitérés éclairciront encore plus ce qui précède. Quant à présent, nous allons en déduire un moyen général do simplifier les démonstrations des propriétés de position dont jouissent les figures.

Considérons une ligure quelconque composée de points, de lignes droites et de sections coniques, et supposons toujours que ces différentes parties soient liées entre elles par une condition générale de position, indépendante d'aucune grandeur déterminée ; il est évident que, si on la projette sur un plan arbitraire, par de nouvelles lignes droites, des plans et des cônes partant tous d'un même point également arbitraire (qu'on peut nommer point de vue ou point projetant)^ il est évident, dis-je, que, sur ce nouveau plan de projection, une droite sera projetée suivant une autre droite, une section conique suivant une autre section conique, etc., et que toute ligne droite ou section conique qui touchera une ou plusieurs autres courbes de cette espèce dans la première figure, étant mise en projection, touchera également la projection de ces courbes aux points qui correspondent, respectivement à ceux où elle les touchait d'abord.

Cela posé, il est permis de conclure, en général, que, si la