Vir ET DEKMER CAHIER. - RÉSUMÉ

figure donnée jouit d'une certaine propriété de positim^}^ projection de cette figure doit jouir de la même propriété; a réciproquement, s'il est démontré que cette projection jM d'une propriété de cette espèce, on en peut conclure aussîqM la figure d'où elle provient jouit de la même propriété.

Voici maintenant la conséquence que l'on peut tirer de cctli remarque très-facile à faire :

« Une figure étant donnée, si l'on veut rechercher quelles » sont les propriétés de position dont elle jouit, on exan^inen » si elle peut être projetée suivant une figure plus simple; )j si cela a lieu, on cessera de s'occuper de la première figuit » et on recherchera seulement, sur sa projection plus simple. » les propriétés que l'on avaii particulièrement en vue; or, » fl'après ce qui précède, ces propriétés appartiendront aussi » à la figure considérée d'abord. »

Ceci cependant présente une difficulté; car les propriétés de la projection ne seront généralement applicables à la ligure primitive qu'autant que cette projection sera elle-même toujours possible, quel que soit l'arrangement général des parties dont elle se compose. Mais on peut résoudre facilement celle difficulté au moyen du principe invoqué à l'art. I.

En effet, supposons qu'une figure étant donnée, il soit démontré qu'elle puisse être projetée suivant une figure plus simple pour une certaine disposition générale des paitiesquila composent, et que, pour une autre disposition générale de ces mêmes parties, cette projection devienne impossible ou imaginaire : il est évident que, si la projection en question jouil d'une certaine propriété de position , la figure d'où elle provient en jouira aussi, pour toutes les dispositions des parties où celte projection sera possible et réelle (cela est une consé- (|uence de la remarque précédente). Or nous avons démontré art. 1, que s'il était prouvé qu'une figure jouit d'une propriéu; de position pour une certaine disposition générale de ses parties, elle jouira toujours de la même propriété quelle que soit la manière générale dont on ait interverti l'ordre ou la disposition de ces mêmes parties.

Donc, quoi(iue la projection d'une figure donnée puisse devenir imaginaire pour certaines dispositions de celle ligure, il n'en est pas moins vrai de dire (pie, touii^ propriété de position

DES (14HIERS PRÉCÉDENTS. 379

r dont jouit sa projection quand elle est possible^ est toujours

r une propriété de cette figure, même quand la projection de-

I vient imaginaire.

I D'après ces différenles remarques, on sent combien, il sera souvent possible de simplifier les recherches qui auront pour

I objet les propriétés générales de position. Voici, en résumant, comment il faudra s*y prendre :

, « Quand on se proposera de découvrir quelque propriété » générale de position d'une figure, on pourra imaginer que w cette figure soit projetée sur un nouveau plan (d'après la » manière indiquée ci-après), de telle sorte qu'une ou plu- » sieurs parties de cette figure soient réduites à des circon- » stances plus simples; on aura ainsi une nouvelle figure qui » pourra remplacer la première, sinon pour toutes les disposi- » tions possibles au moins en général ; on raisonnera sur cette » figure comme tenant lieu de la première d'où l'on est parti, » et les propriétés, les conséquences générales qu'on en dé- » duira seront également applicables à cette figure, quoiqu'il » arrive des cas où la projection soit imaginaire. »

On voit aussi, d'après cela, combien il serait avantageux de connaître à l'avance les différenles figures et propositions que l'on pourrait simplifier au moyen de la projection ; c'est ce que nous nous proposons maintenant de rechercher.

Pour y parvenir, commençons par remarquer : i" que l'équation du plan inconnu de projection renfermant trois indéterminées ainsi que celles du point projetant, on pourra, en général, satisfaire à six conditions distinctes; mais qu'il faudra avoir soin de les choisir parmi celles qui sont compatibles entre elles; 2° que certaines conditions peuvent en renfermer deux ou plusieurs autres explicitement ou implicitement, ce (ju'il faudra bien examiner; 3" que si le système se trouvait déjà soit par sa nature, soit par une réduction partielle, remplir une ou plusieurs conditions, ce serait autant d'indéterminées de nïoins dont on pourrait disposer.

Nous commencerons ces recherches sur la réduction des figures, en faisant connaître d'abord celles de ces réductions qui

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peuvent être établies par le secours seul de la géométrie, et dont la plupart même sont déjà tellement connues, que nous nous dispenserons d*en donner la démonstration ici. Nous ferons connaître ensuite les réductions qui, étant moins simples que les premières et n'étant point encore connues, exigent, par là, que l'on en donne une démonstration complète.

Comme les réductions dont il s'agit seront souvent employées et doivent former la base de ce Mémoire, nous leur donnerons le nom de Principes, Il faudra se rappeler que ce que nous appelons projection d'une figure ou système de figures, n'est autre chose que la perspective de cette figure prise d'un point nommé central ou point projetant,

1" Principe. — Un système de droites concourant au même point peut être considéré comme la projection d'un système de droites parallèles, et réciproquement un système de droites parallèles peut être considéré comme la projection d'un égal nombre de droites concourant en un même point.

Il* Principe. — Deux ou plusieurs systèmes de droites concourant dans chaque système en un même point, peuvent être considérés, quand tous ces points de concours sont situés sur une même ligne droite, comme la projection d'un égal nombre de systèmes de droites parallèles, mais ayant une inclinaison distincte selon le système auquel elles appartiennent. Réciproquement, deux ou un plus grand nombre de systèmes de droites parallèles peuvent être regardés comme la projection d'un égal nombre de systèmes différents de droites concourant, dans chacun en particulier, en un même point et tous les points de concours ainsi obtenus, sont situés sur une seule ligne droite.

m* Principe. — Une courbe quelconque du second degré peut toujours être considérée comme ayant pour projection centrale ou perspective, etc., une circonférence de cercle, et vice versa. Cependant le système de deux lignes droites quelconques qui se coupent sur un plan, quoique représentant une véritable section conique, ne devra pas être regardé généralement comme pouvant être projeté suivant une circon-

férencc de cercle , du moins quant à l'objet que nous nous proposons. La réciproque est également vraie et la raison en est très-évidente; car toutes les parties de la figure, à Texceplion des deux droites en question, se trouveraient être projetées suivant un point unique ou des lignes droites passant par ce point, puisque le plan de projection passerait nécessairement aussi par le centre projetant.

Néanmoins, le système de deux droites n'étant qu'un cas particulier de la section conique, toute propriété de position de celle-ci sera applicable à l'autre, modifiée d'une manière convenable : ainsi des propriétés générales de la courbe du deuxième degré on pourra bien déduire celles du système de deux lignes droites, mais l'inverse ne sera pas vrai.

IV*' Principe. — Toute figure composée d'un cercle et d'une droite peut, en général, être regardée comme la projection d'une autre figure composée aussi d'un cercle et d'une droite située à l'infini; de sorte que (11° Princ), si la première figure renferme, entre autres, un système de lignes droites concourant en un même point situé sur la droite en question, ce système dans la projection, sera un système de lignes droites parallèles.

Ce principe a besoin d'être démontré, et c'est .ce que nous allons faire en reprenant la chose d'un peu plus haut.:

Un cône oblique dont la base est une section conique peut être coupé par un plan suivant un cercle, et il existe deux positions du plan, non parallèles, pour lesquelles cela a lieu : c'est ce qu'on appelle sections sous-contraires (*)/ cette propriété est générale pour les surfaces du second degré et se

(*) Autrement dites sections anti-parallèles. D'après l'antique définition des coniques par Apollonius , l'existence des sections circulaires obliques au cercle de base du cône, se démontre élémentairement par la géométrie, comme on l'a vu déjà aux p. ii8et suiv. du texte; cette démonstration est reproduite ici, à quelques différences près dues à la substitution des figures de cet endroit à celles du texte ci-dessus.