AH

'Aïï)

Vax conservant les notations ci-dessus, on déduit aisénicnl de là, ik)ui les c<K)rdonnées du [>oint II, les saleurs r(»spectives

(Kl" -h />//' (tu" t- ////

u -\-f) ' (t -4 ff

et pour la longueur du ravon 011 l'expression

m. — Apj}Iii(ttion (uudyluiav des forinulcs de prajcctinn centrale.

Les résultats exposés à Tarticle précédent permettent de déduire di^ certaines propositions relatives à la perspective, des conséquences analytiques auxquelles il serait quekpiefois pénible de parvenir directement. Nous choisirons comme exemple lu solution géométrique de ce problème : Projeter le système de deux sections coni(/ues situées dans le même plun suivant le système de deux cercles.

Désignons par (G) et (11) les deux coniques données, par (G') et (11) leurs projections respectives, qui doivent se réduire à de^ cercles; supposons d'ailleurs que la conique (G) soit ollc-mcme un cercle de rayon 1,

5i8 SOUVENIRS,

et prenons pour axes de coordonnées : i"" dans le plan de la figure, deux diamètres rectangulaires quelconques de (G); a** dans le plan du tableau, deux diamètres rectangulaires de (G'), dont l'un, Taxe des j', passe aussi par le centre de (H'); concevons enfin que, parmi toutes les positions du tableau parallèles à une même direction et satisfaisant aux conditions de l'énoncé, on choisisse celle pour laquelle le cercle (G') a même rayon que le cercle (G) dont il est la projection. Soient respectivement les équations de (G j, (II), (G'), (H') :

(G) .r'-f-r'-i-^o, (H) A.r--f-Ay-hA''-h2B/-4-2B>4-2B''x/ = o,

(G') :r"'-hr"-i = o, (H') K(.r'^-h v")-f-'2l/-}-J=- o.

Le problème, envisagé analytiquement, consiste à déterminer les coeflicients de la substitution

ot les trois coefficients K , I , J, de telle manière que Ton ait identiquement

K(.z'^-|-j^)-f-2lr'-hJ

A ^= 4- A'.>- - -h A" + 1 B.r -f- 2 B' x + 2 B" xy = — , ,„ ., . ,.„.., . ,,,,

D'autre part, au point de vue géométrique, la question revient à déterminer les situations des points désignés à l'article II par A, B, C; les longueurs OA et OB ou /; et 7 et la position de la droite A'B', de telle manière que la droite C'A' soit la ligne des centres des deux cercles (G') ot (II') , que C'B' soit le diamètre de (G') perpendiculaire à C'A', et qu'enfin le rayon de (G') soit égal au rayon de (G).

Or, sous cette dernière forme, le problème peut se résoudre entièrement, comme on l'a vu (V" cahier, p. 288), à l'aide de propositions de géométrie pure, lesquelles fournissent donc, par cela même, la solution complète du problème d'analyse correspondant. Néanmoins, les calculs se présentant sous une forme plus simple, lorsque l'on emploie simultanément les transformations analytiques et les considérations géométriques, nous ne nous servirons de celles-ci que pour ce qui est relatif à la détermination des points A , B, C

En premier lieu, le point A ayant pour projection sur le plan du tableau le point situé à l'infini sur l'axe C'A'j:', c'est-à-dire dans une direction per[)ondiculaire au diamètre commun de (G') et (H'), il résulte immédiatement des princi[)es de projorlion, que la corde de contact des taneontos monéos de ce point à h\ rourbe (H), (*'est-à-dire ia /h^fnirr de A

par rapport à (H), se confond avec la polaire du mémo point par rapport à (G). Or on sait que le point qui a pour coordonnées (?, >3) a respectivement pour polaires, par rapport aux deux courbes (G) et (H), les droites dont les équations sont

(AÇ-f-B''*îH-B')xH-(B''Ç-f-A'>3 4-B)j-f B'Ç-hBr.-4-A"=:o;

pour que ces deux droites se confondent , il faut que B et r, satisfusscMit aux relations

AÇ-hB^^ + B' B:'?-I-AV, + B BÇ-hB>3H-A''

ç yy -1

lesquelles deviennent, en posant ^= —^j Yi = —g conformément aux noUitions de l'article II,

Pour résoudre le système de ces deux équations homogènes , nous prendrons une inconnue auxiliaire Â' égale à la valeur commune des trois rapports dont elles expriment l'égalité; elles prennent alors la forme

I(A-X')«H-BV+BVi''. o, B%y-h{A'~/-)/ï'-hB^"----o, B'^-4-B«'-f-rA"H-/)r/" To;

l'élimination de «, a\ a", donne pour déterminer / l'équation du troisième degré

\ (A-X)(A'-X)(A"+/)-h2tBB'B" ^^' j(A-X)B'-(A'-X)B'='-(A''-4-/)B''^rro.

Prenant donc A égal à l'une des racines de cette équation, on déduira des relations (1) les valeurs proportionnelles de r/, fi\ n" :

a //' fi"

(A-X)B-B'B" (A'-/)B'-B"B lA"-h/jB"-BB

Nous remarquerons, en outre, que les relations (1) peuvent être regardées comme exprimant que le lieu géométrique représenté par l'équation

(A-X).r'-f-(A'-X)7=^-h(A"-hX)-4-2Br + 2B'.r-h'2ir .;.)■• o.

consiste en un système de deux droites passant toutes deux par le point Â; et comme celle équation peut aussi s'écrire

( 4 ) A .'/;' - 1- A'r^ + A" 4- 'iB.» -}- iB'x -h iaBVj - / (jc'-hy^ — i) = o ,

ces deux droites passent par les points communs à (G) et (H) et forment ainsi un de leurs systèmes de sécantes communes.

En second lieu, la droite AB doit, en vertu de ce qui a été dit page 290, être Tune des sécantes communes à (G) et (II), et par suite les coordonnées TTT? vy du point B satisfont à Téqualion (4); on a donc

comme d'autre part le point B appartient à la droite qui a pour perspective Chy\ polaire commune par rapport à (G ) et (H') du point situé à l'infini sur l'axe des v', ses coordonnées doivent aussi satisfaire à Téquation

qui représente la polaire de A par rapport à (G) ; et Ton a donc aussi

(()) ab-^a'b'-a"b"-^o.

Enfin le point C, centre du cercle (G'), étant situé à l'intersection des polaires par rapport à (G') des deux points où la droite de l'infini est rencontrée par les axes C'r', C'r', le point C doit se trouver à la fois sur les polaires de A et B par rnpport à (G), ce qui donne

(7) rir-j~a'c' — (i''c":=o,

Par ce qui précède, les valeurs des rapports —yj --„■■, -pj -j-^t -j^ -^î

se trouvent seules définies. Trois équations sont donc encore nécessaires; nous les déduirons de l'identification directe de

x^-\-y^- 1 et

ou, c^ qui revient au même, de l'identification do

On trouve ainsi, outre les trois relations (6), (7) et (8),

NOIES KT ADDITIONS. 5'ii

ce qui fournit , en résumé , un système de dix équations distinctes renfermant dix inconnues, savoir les neuf coefficients r/, h,. , ., r' et linconnue auxiliaire /.

Pour reconnaître combien le système de ces équations renferme de solutions du problème, nous remarquerons : r que l'inconnue A peut, en vertu de l'équation (2), recevoir en général trois valeurs distinctes; 2? qu'à chacune de ces valeurs correspondent , en vertu des équations ( 3 ) et de la première des équations (9), deux systèmes de valeurs respectivement égales et de signes contraires de et, a' et n"; S"* qu'à chaque système de valeurs de a, a' et n^ correspondent, en vertu des équations (5) et (C) et de la deuxième des équations (9), quatre systèmes, deux à deux égaux et de signes contraires, de valeurs de h. h\ b\ et 4° enfin, qu'en vertu des équations (7), (8) et de la dernière des équations (9), à chaque système de valeurs de a^ a\ «", b, h\ h" correspondent deux systèmes égaux et de signes contraires de valeurs de c, c' et c". Le nombre total des solutions est donc 3x2x4x2 — 48. Mais d'autre part il est évident, à priori, que lorsqu'un système de valeurs des neuf coefficients de la substitution satisfait aux conditions de l'énoncé, on obtient encore un système satisfaisant aux mêmes conditions, en changeant de toutes les manières possibles les signes des trois groupes (<'/,«',«"), [b^b'^b") et (f, r', c"), ce qui permet de regarder chacune des substitutions comme tenant la place de huit d'entre elles, et réduit par suite le nombre des

solutions effectivement distinctes à -^ - G. Au point de vue géométrique,

de pareils changements de signe répondent à de simples changements dans le sens, non la direction, de l'un ou de l'autre des deux axes coordonnés ou de tous deux à la fois.

Conformément à \\i\e importante ]>rescriplion, fréiiuemment répétée dans le cours de cet ouvrage, et (jui renferme en germe le principe de continuité, nous n'avons juscju'ici tenu aucun compte des circonstances sous lesquelles les constructions indiquées sont ou ne sont pas possibles; aussi la solution exposée est-elle, malgré l'emploi de considérations de géométrie, entièrement algébrique. Nous nous proposons maintenant de discuter cette solution, en recherchant dans quels cas la transformation analytique proposée est jwssible en quantités réelles; et c'est particulièrement pour cette d-iscussion que les théorèmes du V*^ cahier sont d'un grand usage.

Toute solution réelle du problème d'analyse ipii nous occupe, correspond nécessairement à une solution géométriquement possible de cette question : Projeter le système des dciLv coniques (G) et (H) suivd/tt le système de deux cercles; une pareille solution ne saurait donc exister qu'autant que les deux coniques auront une sécante commune idctdc (voir p. 290). Réciproquement, à chaque sécante idéale commune à (tî ) et (H) il corresptmd nécessairement un système de valeftrs réelles de.<

neuf coefficients ; en effet les trois points Â, B, C sont alors réels, et de plus les deux premiers sont à Textérieur et le second à Tintérieur du cercle (G); de ce que les points sont réels, il résulte que leurs coordonnées

respectives (^^,^ -^ j , f ^, -pj, (j„^ -^„j, le sont également ; de ce

que A et B sont hors du cercle et C dans le cercle, on conclut que

sont positifs, et par suite que «*, b"^ c" sont réels. Cela posé, nous avons à distinguer trois cas généraux : 1° Les quatre systèmes de solutions des équations

(H) Ax'-hAy-hA''-f-2Br-h2B'x-|-2B''jrj = o.

sont tous les quatre réels.

Il n'existe alors aucune sécante idéale commune aux deux courbes (G) et (H), et par suite la transformation proposée est impossible en quantités réelles.

a** Des quatre systèmes de solutions de (G) et (H), deux sont réels, deux imaginaires.

Les deux courbes ont alors deux sécantes communes dont Tune seulement est idéale; le problème admet donc une seule solution distincte (abstraction faite des signes). Pour l'obtenir, il faut remarquer que l'équation (2) n'a dans ce cas qu'une racine réelle, car il existe un seul point réel dont les polaires par rapporta (G) et (H) se confondent; c'est cette racine qui fournit la valeur de / dont dépendent tous les coefficients. L'ambiguïté relative aux deux systèmes distincts de valeurs de b, b\ b"y founiies par les équations (5), (6) et la seconde des équations (9), n'est d'ailleurs qu'apparente, car on sait à priori que l'un seulement d'entre eux est réel.

3° Les quatre systèmes de solutions de (G) et (H) sont tous les quatre imaginaires.

Les deux courbes (G) et (II) ont alors deux sécantes idéales communes, et le problème admet deux solutions distinctes. Dans ce cas l'équation (2) a SOS trois racines réelles, car il existe trois points dont les polaires par rapport à (G) et (A) se confondent, mais parmi ces trois racines, il n'y on a qu'une seule qui rondo (A — /) (A' — Aj-B"' négatif, et pouf laquelle rôquation (4) représente un système de doux

NOTES ET ADDITIONS. 5a3

droites réelles. A cette valeur unique de A, il correspond d'ailleurs effectivement deux svstômes distincts de valeurs de b. b' et b". En résumé, parmi les six substitutions distinctes de la forme

ax'-^by-^c a'x'-\'b'y-\'C'

qui transforment simultanément

Ax'+Ay+A'+;.Br+2B'x+aB'xj en E(^+^^±2ij^ ,

il en existe deux qui sont réelles, lorsque les deux fonctions proposées ne s'annulent pour aucun système de valeurs réelles de x et de/; il en existe une seule, lorsque ces fonctions ne s'annulent que pour deux systèmes de valeurs réelles de x et j; il n'en existe aucune, lorsque les deux fonctions s'annulent pour quatre systèmes de valeurs réelles de X et j.

II nous reste, pour compléter la solution de la question proposée, à calculer les valeurs de K, I et J. Pour cela, remarquons d'abord que le coefficient K est égal à /•, car en développant

A(^J:'4-i^/^-c)' + A'(/IV^-^y-4-^')^-hA''(«''x'-h^»y-hc•'')^

on trouve pour les coefficients de x'' et de f^ les expressions

A^/'-hAV'-f-A''rt'"-hîiBfl'rt"-h2B'/ï'rt-h'2BV//i', A^^'-f-A'^'^-h AV/'-t- 2B^'^>''-h 2B7/^r-haB''^Z»',

toutes deux égales à X-, en vertu des relations (i), (5) et (g). On vérifierait aussi aisément que les coefficients de x'y et de x' sont nuls. Pour calculer les deux autres coefficients 2I et J, nous nous appuierons sur cette remarque évidente que toute valeur de X-, qui rend

A^--}-Ay-4-A''-f-2B/-f-2B'^4-2BVv — X(.r*-hy-i)

dccomposable en deux facteurs du premier degré, rend aussi décomposable en facteurs l'expression transformée

K x'-" 4- Ky -f- 2 1/ -h J - X- ( X' 4- > " - 1 ) ;

il résulte de là que léquation ('j.) et 1 équation

/'-(•2K -J)X-- (2KJ^K*-r)/-+ K .1- M - n

5î44 SOUVENIllS,

oui les incines racines, el par suite

iK-J = A-hA - A", ïKJ - K'- r-^ A'A"-B='-T-A A- B "- (AA- B ;);

un tire de là

J-.'iK-tA-hA'-A"),

P=: - [(A'— K)(A"-hK)-}-(A''-hK)^A-K) - (A-K)(A'- K)~B'- B'^-hB"'].

En désignant par Lct M, les deux racines autres que K de Téquation {-i), on peut encore mettre les valeurs do I et J sous la forme

Nous nous bornerons à indiquer succinctement comment les résultats précédents permettent de réduire l'intégrale

V^Acos*y + A'sin-y-hA''-f-2Bsinv-l-*2B'cosyH-2B*sin'î>cosv à lu forme

par un substitution telle (pie

m -h n tang - r.

lang - -i/ - •

//-j-i/tang-/;

(kjncevona que l'on choisisse pour a, h, r, a\ //, r', a", b'\ c\ les valeurs calculées comme il a été dit ci-dessus; il sera, comme il est aisé do voir, possible de trouver pour toute valeur de y une valeur de >î telle, que l'on ait à la fois

^/COSr, -}-/>sinr, -l-r f/'cOS/J -h /'Sin r* -1- r" ^

^"^'' '^' '"''' rt"cosT:-|-^"sin>î-i-c" ' ^*" • " ^"cosn-h/Zsinn -+-/;" '

ces deux relations équivalent â une relation unique entre tang - ^y et

tang-y;, de la forme

/// 4- // tang - r, tanu-o -

/7 î //tang-r.

NOTES ET iyR)lTIONS. 5^5

où Ton peut, par exemple, prendre

,n = c"-^fi" — c — (i, n = b'' — b, p-—c'-\-a\ <y— //-f-i.

On vérifie, sans difficulté, que par cette substitution l'intégrale proposée se transforme en

y/K + J-l-'iUiny:

ou bien, remplaçant 1 et J par leurs valeurs, en

v/'2K— L — M -h 2 v/ ( K — L ) ( K — M } . si n >3

En rapprochant ce résultat de la discussion relative à la nature réelle ou imaginaire des coefficients r/, ^, . . . , on arrive à cette conclusion.

La réduction proposée n'est jamais possible en quantités réelles, lorsque l'expression

A cos- 'j + A'sin' w 4- A" 4- 2 Bsin i» -h 2 OVoso -h aB'sinocosc/

s'annule pour quatre valeurs distinctes de <j), comprises entre o et 2 7r. Elle est possible dune seule manière distincte, lorsque l'expression ne s'annule que pour deux valeurs réelles de ^; l'équation (2) n'a alors qu'une seule racine réelle, et c'est elle qui donne la valeur de K. Enfin, lorsque l'expression ne s'annule pour aucune valeur réelle de cp, la réduction est possible i>our deux substitutions distinctes; l'équation (2) a dans ce cas ses trois racines réelles; mais l'une d'elles seulement rend (A — K)(A'--K) — B"^ négatif ; et c'est elle qui fournit la valeur de K.

On peut remarquer que les deux coefficients 2K — L — M et

v/(K— L)(K~M) de l'intégrale réduite ne sont pas altérés lorsque l'on remplace A par A — À, A' par A' — >., et A" par A" — /, ce qui ne change

pas

A cos' 9 -h A' sin' <^ -+- A" 4- 2 B si n q> -h 2 B' cos -y -h 2 B" sin y cos V .

En effet, un pareil changement revient simplement à augmenter de a toutes les racines de ré(iualion (2), et n'inllue par conséquent pas sur les valeurs des fonctions ci-dessus de ces racines, l^s coefficients de la substitution ne subissent non plus aucune modilication dans leurs valeurs; ce qui résulte d'ailleurs à priori, de ce fait évident que toute substitution satisfaisant aux conditions énoncées au commencement de cet article transforme nécessairement

(,V-A).i='4-(A'-A)j^-hA"-f-A-f-2B.)-f-'^.H'.r--{-'AB"rr

IF. — Sur les coordonnées symétriques.

Les formules qui servent à trouver Téquation générale, en coordonnées de Descartes, des projections centrales d'une courbe donnée, sont susceptibles d'interprétations directes, entièrement indépendantes des considérations à Taide desquelles on les a d'abord établies. On est ainsi conduit à les regarder comme exprimant en langage algébrique la définition d'un mode de transformation, que lanalogie permet d'étendre immédiatement aux figures à trois dimensions. Concevons en effet que x, ^-, s, étant les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, on détermine, par une construction d'ailleurs susceptible d'énoncés géométriques divers, un nouveau point (x', /', z') lié au premier par les relations

ax' -\- ùy -h cz' -{- (/ a'j:'-hb'y-\-c'z''\'d*

a\r'-^b"y-^c"z'-hd" .

la figure formée par les points {x\ j', z') pourra être considérée comme la transformée de la figure formée par les points (.r, /, z).

Bornée au cas des figures planes, l'étude directe d'un pareil mode de transformation ne saurait évidemment fournir aucune proposition qu'il ne soit possible d'établir d'une manière plus intuitive, par les principes de la projection centrale, et l'auteur de la Théorie des Propriétés projectiles a montré lui-même, en créaqt la notion de Yhomologie^ qu'une analyse purement géométrique des méthodes de perspective suffit pour en dégager les résultats généraux, sous une forme qui n'exige plus que les constructions et les raisonnements de la géométrie plane. Mais les principes de l'bomologie s'étendent à l'espace aussi bien que les formules [voir le Supplément du Traité des Propriétés projectiles) ^ et bien que la transformation que celles-ci servent à définir, paraisse dans l'espace plus générale que la transformation homologique, elle lui est au fond réductible; il suffit pour cela de combiner la transformation homologique avec une opération spéciale, que l'on peut regarder comme l'un de ses cas particuliers, et qui consiste simplement à déduire d'une figure donnée, rapportée à un certain système de plans coordonnés, une figure nouvelle, où les coordonnées de chaque point ont, par rapport à un nouveau système de plans coordonnés formant un angle trièdre différent du premier, les mêmes valeurs que les coordonnées anciennes du point correspondant.

Quel que soit d'ailleurs l'intérêt qui s'attache, sous un point de vue philosophique, aux formes géométriques diverses que peut revêtir la méthode de transformation analytiqucment définie ci-dessus, il est juste d'en rapporter les résultats essentiels à l'idée mère de la projection cen-

traie, dont elles sont historiquement et logicjuement dérivées. Sous cet aspect, il paraît permis de rattacher à la môme origine, la conception de géométrie analytique, aujourd'hui bien répandue, qui constitue la méthode des coordonnées symétriques. C'est l'objet que nous nous proposons ici de développer.

La forme sous laquelle nous avons jusqu'ici considéré lu substitution correspondante à la transformation d'une figure par voie de projection centrale, devient plus symétrique lorsque, pour désigner les deux coordonnées de chaque point de la figure ou de sa projection, on emploie deux rapports ayant même dénominateur, et que l'on remplace, par

JC Y jc' v'

exemple, x par - » y par j, x' par -^ i f par*^« Par l'introduction de ces

-t tj .j mt

nouvelles lettres, les premiers membres des équations d'une courbe et de sa projection se présentent comme des fonctions homogènes à trois variables, F(x, j, 3), /(j:',y, z!)\ et la substitution propre à transformer la première en la seconde, peut alors s'écrire sous une forme identique à celle que l'on emploie le plus communément dans l'algèbre et la théorie des nombres :

x = ax'-irhy'-\-cz\ y ^ a' x' -\- by -\- c' z' , z ^ a" a' -\-h"y' -^-c" z' ,

On conçoit aisément que dans ces notations les expressions algébriques qui répondent à des propriétés projectives, acquerront, en général, plus d'élégance et de symétrie; les travaux de Jacobi, de Plucker, d'Otto Hesse, sur la géométrie analytique, f5n offrent de beaux exemples; c'est ainsi encore que si, l'on désigne par /(.r, j, z) = o l'équation rendue

homogène d'une courbe d'ordre m, par p) -^j les coordonnées d'un point

de son plan, l'équation de la polaire d'ordre p du point par rapport à la courbe peut s'écrire sous l'une des deux formes symboliques

Mais il convient de remarquer que la symétrie obtenue de cette manière est plutôt apparente que réelle, plutôt algébrique que géométrique, car toutes les variables ne jouent pas le même rôle dans l'interprétation concrète, à moins toutefois qu'on ne la regarde comme ayant pour objet de substituer l'étude des cônes à celle des courbes. Mais ce dernier point de vue ne s'étend pas aux figures à trois dimensions, et c'est à proprement parler dans là conception qui permet d'attribuer des significations géométriques similaires à toutes les variables d'une équation homogène à trois ou quatre lettres, que consiste le principe de la méthode des coordonnées symétriques. Cette conception dérive, d'une manière fort simple, de l'étude des formules de transformation par voie de projection centrale.

Considérons, en Hîel, la substitution

ax'-^by-^c r,'.r'-j-// >'-}-<•'

et imaginons que l'on trace dans le plan du tableau les trois droites [Aj, (A'), (A"), qui ont respectivement pour équations :

(A) rf.v'-hf{}'-r-c^o, (A') r/.r'-h///-4-r'---o.

On sait que les premiers membres de ces écjuations sont les expressions des distances du point (jo',y) aux trois droites correspondantes^ à des facteurs constants près; de là résulte que, l'équation d'une courbe en coordonnées de Descartes étant donnée, il suffit, pour obtenir celle de Tune quelconque de ses projections centrales, de rendre d'abord l'équation homogène par l'introduction d'une nouvelle variable z, et de considérer ensuite les trois lettres .r, >-, z comme désignant, à des facteurs constants près, les distances d'un point de la projection à trois droites arbitraires fixes situées dans son plan.

On est ainsi conduit à définir en général la position d'un point dans un plan, en se donnant les produits respectifs des distances do ce point à trois droites arbitraires fixes, par trois nombres arbitraires fixes. Nous nommerons les trois droites fixes, rtxes de référence, les trois multiplicateurs fixes, paramètres de référence, et les trois produits coor^ données symétriques du point. Dans ce système de coordonnées, tout lieu géométrique peut être représenté^ par une relation homogène entre les trois coordonnées de chaque point; et pour passer d'une courbe donnée à l'une quelconque de ses projections centrales, on peut à volonté effectuer une substitution linéaire dans l'équation symétrique de la courbe, en regardant le résultat comme relatif au même système de référence, ou bien conserver l'équation proposée elle-même, en changeant simplement le système de référence. Ce dernier point de vue, qui permet do confondre dans une représentation unique, tout le groupe des courbes qui peuvent se déduire les unes des autres, par voie de projection centrale, fait ressortir la profonde analogie du problème algébrique de ia réduction d'une fonction homogène, avec la méthode si efficacement employée dans cet ouvrage, pour ramener l'étude {\q^ propriétés d'une figure à celle d'une figure plus simple.

A côté de l'origine loizique, allribuée dans ce qui pfécède à la méthode des coordonnées symétriques, on peut en signaler une autre dans certaines notations abréger s que Bobillier a le premier employées d'une manière systématique; mais il non est pas moins vrai que ce nouveau mode (le représentation analytique dos figures n'a le plus généralement un

avantage marqué sur Tanalyse de Dcsrartes^ que dans les questions relatives aux propriétés projectives, et qui n'impliquent aucune détermination métrique spéciale du système de* référence. Ce n'est on effet qu'à la condition de laisser dans une complète indétermination, et la position des axes et les valeurs des paramètres de référence, qu'il sera permis de regarder l'équation d'une courbe, et tous les résultats qui s'y rapportent, comme s'appliquant sans modification à l'une quelconque de ses projections centrales.

Nous nous bornerons à exposer succinctement, parmi les formules relatives au calcul des coordonnées symétriques, celles dont l'emploi parait le plus avantageux dans l'analyse des transversales.

La question fondamentale dans ce genre de recherches est la suivante : Étant données les coordonnées symétriques do deux points ^1» (^p Ju ^1) et M,, (jT^y ).,, z..), calculer les coordonnées (.r, r, z) du point M, situé sur la droite M, M, de manière que l'on ait

MM, À MM, u

En supposant d'abord, pour fixer les idées, les points M, et M, dans l'intérieur du triangle do référence, et le point M entre les points M, et M,, on trouve aisément pour ./•, j, z les expressions

JT — 7 } ■ - : ? Z — : •

La discussion de ces formules conduit par des considérations analogues à celles qui se présentent au début de l'analyse de Descartes, k préciser la notion des coordonnées symétriques en les affectant d'un signe, et à nommer, en général, coordonnées symétriques d'un point, les distances de ce point aux trois axes de référence, multipliées respectivem<»nt par trois nombres arbitraires fixes, et précédées du signe + ou du siiJjne —, suivant que le point est situé pnr rapport à l'axe correspondant, du môme côté (jue le point de concours des deux autres axes ou d'un côlé diftërent. On peut d'ailleurs remanpior que l'on arrive directement à la mémo définition du signe, en partant, comme nous l'avons fait ci-dessus, de l'interprétiition des formules de projection centrale.

En supposant, en second lieu, le [)oint M non situé entre M, et M.^, on trouve de même aisément l(»s expressions

u — A ' UL - X a — A

qui se déduisent des précédentes par le changement du signe de -•

Réciproquement, lorstiue les coordonnées de trois points sont liées entre I. 34

53o SOUVENIRS,

elles par les relations --? — = — - — r— = r— ? où w et > sont

des notnbres quelconques positifs ou négatifs, on voit parce qui précède que le point M (x, /, z) est situé sur la droite qui joint le point M, ( x,, 7p z^) au point M, (x,, /„ z,), que le rapport des distances MM, et

MM, est égal à la valeur absolue du rapport -? et enfin que le point M est entre les points M, et M, ou sur le prolongement de M, M,, suivant que > et fx ont le même signe ou des sis:nes différents. L'élimination de - entre cesdeui équations donne celle de la droite M, M, sous la forme symétrique

Les formules qui précèdent permettent d'interpréter géométriquement plusieum des éléments analytiques que Ton rencontre dans Vétude des fonctïo^homogènes. Concevons que dans une pareille fonction /(x, y, z) on suDiSStue à x, r, z les quantités px, -+->Xj, fAjr,4-X^5, pz,-|-Xz„ et que Ton développe le résultat par rapport aux puissances de > et de /x, les divers coefficients de cette expression représenteront certaines grandeurs géométriques faciles à définir, dépendant de la position relative des points (x,, j,, z,), (x„ j,, Zj), et de la courbe dont l'équation est /(x, j, z) = G. En combinant les divers coefficients, on retrouve ainsi, par une discussion fort simple, le théorème de Carnot, les propriétés des polaires des divers ordres, et la plupart des résultats généraux de l'analyse des transversales. Mais ce n'est point ici le lieu de développer les conséquences de cette interprétation; rappelons toutefois, i** que Téqua-

tionx -7?-^X'^ "^^"/? ~^ représente Vaxe des moyennes harmoniques (Poncelet) du point (Ç, u, Ç) par rapporta la courbe/(x, /, z) = o, et que l'axe harmonique d'un point situé sur la courbe se confond avec la tangente en ce point; a* que l'expression ax-+-^j4-cz représente, à un facteur constant près, la distance du point (x, j, z) à la droite qui a pour équation a.r -j- 6/4- cz = o.

Transformation des coordonnées. — Soient

n.x -h k)' -h ^z = o, n'x -h b'y -h r' z = o, «"x -f- fy -h ^ "« = o,

les équations de trois droites qui ne concourent pas en un même point, ce qui exige que ah'c'' — ac'b"-^bc'a'' — ba'c''-\'ca'b''—cb'c^ ne soit pas nul. Il résulte de ce qui précède que l'équation

/(a.r+6r-f-^z, a' .r -^ h' y -\- c' z, rt''x-f-6''/-hr''z) = o

représente dans le système donné de référence la même courbe que c^llo qui serait représentée par/(x, >-, z) = o, dans un nouveau système où

NOTES ET ADDITIOxNS. 53 1

Ton choisirait pour axes les trois droites, et pour paramètres les trois facteurs numériques par lesquels les trois expressions ax-^by-^-cz doi- V nt être multipliées, pour fournir les distances respectives du point (x, Xj z) à ces droites.

Cette remarque contient la solution du problème de la transformation des coordonnées symétriques, lequel consiste, étant donnée Téquation d^une courbe dans un certain système de référence , à découvrir la substitution propre à fournir Téquation de la même courbe dans un nouveau système. Nous définirons ce nouveau système en nous donnant les coordonnées des sommets o, o\ o" du triangle formé par les nouveaux axes. Quant aux paramètres, nous les choisirons dans le courant du calcul, de manière à apporter la plus grande simplification possible dans les résultats.

Soient donc (Ç,ï3, Ç), (|', r/,,Ç'), (Ç", V', w"), les coodonnécs des trois points Oy o', o"] les équations des trois droites n'o", n"o, ««'seront respectivement :

(o'o") (vr-2;V)x-h(2;'?''-r^")j-f-(?V-V^'')3 = o,

(oo') (n>i' -W)jr-h(Kç' -Wlr-hiW -rir)z--.o.

Les premiers membres de ces équations représentent, à des facteurs numériques près, les distances du point .r, j, z aux droites correspondantes ; si donc on prend pour paramètres de référence ces trois facteurs, et que Ton désigne les coordonnées nouvelles par X , Y, Z, on aura

d'où l'on déduit, en posant ^=WK''-'i^'ri''-^riVE''■^nï,'^''-{-!:^'n''->:r/l\

Ax = ?X4-5'Y+?''Z, Aj = yjX-+-r/Y-+->:''Z, A3 =rX-4-^'Y-hrZ.

En résumé donc, si f(,T,r, z) = o est Téquation d'une courbe dans un certain système de référence, l'équation de la mémo courbe par rapport à un nouveau système, où les points de concours dos axes ont respectivement pour coordonnées (Ç, y;, Ç), (Ç', >-/, Ç'), (?", y?", D, pourra, en choisissant convenablement les paramètres^ se mettre sous la forme

/(ÇX+ï'Y + rZ, yîX-f-VY-hTj'Z, a-hÇ'Y-hrZ)--:©.

Du triangle polaire conjugué à deux coniques, — On a vu dans le y* cahier (p. 270 et suiv.) que, lorsque deux coniques sont situées dans le même plan, il existe en général dans ce plan, un triangle unique dont

chaque sommet a pour polaire commune , par rapport à chacune des coniqueS) le côté opposé. Ce théorème ne cesse d*avoir lieu que lorsque les deux coniques sont simplement tangentes; lorsque les coniques sont doublement tangentes, le triangle polaire conjugué comporte une certaine indétermination.

Lorsque l'on prend pour axes de référence les côtés du triangle polaire conjugué à deux coniques, les équations de celles-ci se présentent soûs une forme particulièrement simple , et qui facilite notablement la solution de divers problèmes relatifs à leur système.

Soit, en effet, /(.r,j, z)= o l'équation d'une conique; les polaires des points (jr = o, « = o), (z = o, x = o), (x = o, j = o) ont respectivement

pour équations

^(f df df

dx ^' dy ' dz '

pour que ces trois droites se confondent respectivement avec les trois axes, il faut nécessairement que Ton ait

D*où il résulte que les équations des deux coniques données pourront

s* écrire

ax^+bf-Jt-cz'=o, rt'x'-|-^y+c'z*= o,

ou enfin, en choisissant convenablement les paramètres de référence, que rien d'ailleurs n'empêche de supposer imaginaires,

x'^-\-y^-\-z^ = o et ax^-^ by^-^-cz^ = o.

Lorsque les deux coniques données sont doublement tangentes, deux des coefficients a, /;, c de la dernière équation sont égaux entre eux. Nous nous bornerons à indiquer sans démonstration une remarque dont nous aurons besoin plus loin, à savoir que la polaire réciproque de la première conique par rapport à la seconde a pour équation

n''x^^b^f-\-cH''=zo.

y, — Réduction simidtanêc de deux fonctions homogènes du second degré

à des sommes de carrés.

Le problème de la réduction simultanée de deux formes quadratiques é'énonce de la manière suivante : Étant données deux fonctions homogènes du second degré à m variables, déterminer les coefficients d'une substitution linéaire homogène propre à transformer simultanément les deux fonctions, chacune dans la somme des carrés des nGUi'clles variables midtipliés respectivement par des coefficients constants.

Pour préciser la question, nous ajouterons la condition que dans l'une des deux transform^^, les coefficients deviennent égaux à l'unité.

Lorsque les fonctions proposées no renferment quo trois variables, le problème se rattache géométriquement à la détermination du triangle polaire conjugué à deux coniques, explicjuéc dans lo V Cahier; lorsqu'elles renferment quatre variables , il se rattache de même à la détermination du tétraèdre conjugué à deux surfaces du second ordre, expliquée dans le Traité lies Propriétés projcctives, I^ solution à laquelle on est conduit, dans l'un ou l'autre cas, par les considérations de géométrie fondées sur les théorèmes de M. Poncelet , peut d'ailleurs être aisément dégagée de ces considérations, et Ton reconnaît alors qu'elle s'applique à un nombre quelconque de variables.

Soient

¥ = k x'+M y--\-k" z^-\-'ih :yz-^7.h' zx^ih" xy,

F, = A, x' 4- A', ^T-" + A*; 3' -h ii B, rz -f- aF, 3^ -j- 2 B'; jj,

deux fonctions homogènes du second degré ; proposons-nous tlo calculer les cooflicients d'une substitution

a:---ÇX+?'Y-f-Ç''Z, (0 J j=--7jX-h>-/Y-h>î''Z,

assujettie à la condition de transformer simultanément F en X^ + Y' + Z^ et F, en«X"-|-^Y^-hrZ'.

II suffit de rapprocher la question ainsi posée, de ce qui a été dit cidossus, relativement à la transformation des coordonnées et au triangle polaire conjugué à deux coniques, pour reconnaître que les trois groupes de coefficients (?, yj, Ç), (?', r/, j;'), (;", n\ l") sont respectivement proportionnels aux coordonnées des trois points qui ont la même polaire par rapport aux deux courbes F —■ o, F, - = o. J.o problème se trouve donc ramené à la détermination de ces points. Or, si l'on désigne par x,r, z les coordonnées de l'un quelconque d'entre eux, elles satisfont aux relations

dx ' dx " dy ' dy " dz ' dz '

posant chacun de ces trois rapports égal à >. , on obtient les éiiuations

et rélimination de a\ y, z donne, pour déterminer >, l'équation du troisième degré

Bn-B^ \'\-k\ Ba-B^ o.

B'îi-B', B>-B. A''X~A';

Soient v, \ , \ les trois racines de cette équation; soient encore I , «i, ^ les valeurs de x, y, z correspondantes à la valeur \ ; Ç', n', Ç' celles qui répondent à \ ; r, n", Ç' celles qui répondent à X,. Il importe de remarquer que de cette manière les valeurs de Ç, etc., ne sont pas encore entièrement déterminées ; ce qui est connu en réalité , ce sont les rapports mutuels des trois inconnues d'un même groupe, et il sera permis par conséquent de joindre une quatrième équation de condition aux équations (2). Quoi qu'il en soit, en prenant ces quantités pour les coefficients de la substitution (1), on sait à priori, par la géométrie, que les deux fonctions F et F, se transformeront chacune en une somme de carrés ; la vérification analytique n'offre point de difficulté ; les théorèmes d^analyse sur lesquels elle repose, bien que correspondant à autant de théorèmes de géométrie qui peuvent en faciliter la découverte, s'étendent d'ailleurs aux cas d'un nombre quelconque de variables.

Cette vérification, qu'il nous parait inutile de développer, donne pour la transformée de F

et pour celle de F*, •

F.(^, r., î;)X^-+-F,ir, r/, r')Y»-hF,(r, ri% V)Z\

Si donc, comme cela est permis, Ton joint aux équations (2) l'équation F(u:, ^-j 2)= I, pour déterminer entièrement les trois groupes de coefficients (Ç, »î, Ç), (Ç', V, Ç'), (Ç", m", ^*), et si Ton remarque d'autre part que

et

on obtiendra en définitive, pour les transformées de F et F,,