CP ' CP

'+ÂP '-^ÂP

d'autre pért, le point P étant sur la droite BM, on a aussi la relation

d'où l'on tire

CP (y-/).r + (7-fib-hPy-fi^7-r\ •AP" (a'--p')x-}-(p-a)/-}-xf/-(=>a' \p'

on trouvera de môme

Cy (>/-.«-)xH-(a-7)r4-V«'-a7^ / BQ" (a'-fi')x-h(^-3t)r-f-af>'~|=ia'"' Ar/'

Os relations peuvent s'écrire sous la forme suivante :

(f>'-7')-^-l-(7-^).>-+fJ7'-7?'""(7'-^')-^-H(^-7b'-H7^'-^7'

""' (a'-f>').r-|-(j'i>-a).r-ha&'-Ôa''

On tire enfm de là

«~-hfi^ f-7 a'.;L-hf»'.f--4-7'

Kp A Y ^P ^H

On reconnaît ainsi que, pour passer de l'équation en coordonnées de

NOTES ET ADDITIONS. 5iJ

Descarlcs d'une courbe plane, à ré<iuation de 1 une quelconque de ses projections centrales, rapportée à des axes situés arbitrairement dans son plan, il suflit do substituer aux coordonnées x et j certaines expressions formées par les rapports de deux fonctions linéaires des nouvelles coordonnées x'etyh une môme troisième fonction linéaire de x' et y'.

Réciproquement, toute transformation analytique consistant à effectuer dans une fonction de deux variables x et r une substitution telle que

n.r' -\- hy A^ r a'x' -\- h'y' -h r'

correspond à la transformation géométrique d'une courbe en Tune do si\< projections centrales, pourvu toutefois que l'expression

af/r - m'h" + hv'n" - hn'r" -h rn'h" rb' a"

ne soit pas nulle.

Celte réciproque est une conséquence immédiate de ce fait facile à constater, que la substitution (i) olfre la même généralité que la substitution {'i)\ mais il import(^ en vue des applications, de lixer nettement la signification géométrique des coefficients de celle-ci, et pour cela nous poserons la question de la manière suivante :

Étant donnés dans un plan RS deux axes de coordonnées Ij-, \y\ déterminer la position d'un centre de projection 0, d'un plan de projection ou tableau R'S', et de deux axes de coordonnées QJx\ Cy dans ce plan , do telle façon (|ue x et y désignant les coordonnées d'un point du plan RS, x' et y celUiS de sa projcclion centrale sur le plan R'S', on ait entre ces quantités les relations

- J!f'j±py±£- a'x'+by+v'

où

ah'c"- ac'b"-^ bc'a"- bac''^ca'b" - cb'a">i^.

Il suffit, pour résoudre le problème, cridentifier les substitutions (i) et ('i) ; on trouve ainsi

Il .11 .. / " ..Il ^11

En remarquant que ces formules ne dépendent pas de l'angle du tableau et du plan de la figure, on conclut de là la construction suivante : Sur le plan de la figure RS, on détermine les points A, B, C* qui ont

Dif) SOUVIiNïRS,

respectivement pour eoordonnées ( — » ^ ) i ( 4 ^ tt ) ^ ( -7 > -7 ) '

et l'on choisit po\ir centre de projection 0. l'un quelconque des pointe

de l'espace, dont le rapport des distance aux deux points A et B est és,d\

h" à -5-7 c'est-à-dire un point quelconque de la surface sphérique dont un

diamètre aurait pour extrémités les deux points qui partagent la droite AB

/ " dans le rapport — ; une fois le centre de projection choisi, on obtiendra

la trace du tableau sur le plan RS, en menant une droite A'B' parallèle à AB de telle manière que l'on ait

enfin le plan du tableau devant tMre parallèle au plan OAB. et les axes C'.r', C'y n'étant autre chose que les perspectives d(»s droites CA et Ç.W. tous les éléments de la transformation se trouvent «iétinis.

Otte construction ne peut plus s'appliquer immédiatement lorsque Tun ou plusieurs des coefficients n% //', c" sont nuls, mais il est aisé do la modifier alors par des considérations de continuité. Elle ne toinhe réellement en défaut que lorsque les trois points A, B, .(' sont en ligno droite; ce qui ne peut avoir lieu que si l'on a

ab'r"- nc'i'^-hr'a"- hn c" -h m' h" ~ r// a" -- 0.

et cette hypothèse a été écartée.

Il convient de remarquer que, d'après la manière dont la question » été posée, toutes les projections centrales d'une figure qui correspondeni à une même substitution analytique ('2), ne sont pas elles-mêmes dp> fii^ures superposables ; car la forme précise de la courbe leprésenlée en coordonnées de Descartes, par une équation telle que f{-r\ y), dépend de Tangle des axes coordonnés. La déformation que subit une figure lorsque, laissant aux coordonnées de chacun de ses \mnis les mêmes grandeurs, on les rapporte à des axes formant un angle différent de celui des premiers, est géométriquement fort simple; elle consiste uniquement à balancer les ordonnées, c'est-à-dire à les incliner toutes d'un même angle et dans le môme sens, et il n'est pas difficile de reconnaître qu'ellr peut être regardée cx)mme un cas particulier de la transformation par projection centrale, \\o\xt un centre de projection situé à l'infini.

Quand on voudra assujettir les axes relatifs au plan du tableau à former entre eux un angle donné, le lieu de tous les points que l'on pourra prendre pour centre d'une projection conique équivalente à une substitution donnée, se réduira à un cercle ayant son centre sur la droite AB. cl son plan perpendiculaire à celte droite. Comme pour tous les points d un

pareil cercle, les longueurs que nous avons désignées pur /' el <y restent les mêmes, la valeur de À ne change pas non plus, el Ton conclut de là le théorème suivant, énoncé dans le Traité (tes Pmpnètês pmjccthrs, et qui joue un rôle important dans la théorie de Vhomologic : • « Lorsqu'une ligure piano est la projection centrale d'une autre figure »> plane, ces figures restent en perspective quand on fait tourner le plan » de la première autour de son intersection avec le plan de la seconde, n et le centre de projection décrit un cercle dont le plan est perpondin culaire à cotte intersection. »

Considérons, en particulier, le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires, tant sur le tableau que sur le plan do la figure; il est alors facile de calculer les coordonnées du centre et le rayon du cercle, lieu des centres de projection relatifs à une substitution donnée. Concevons, en effet, que du point 0 l'on abaisse sur la droite AU la ^ perpendiculaire OH; le point H sera le centre et la longueur OU le rayon cherché. Or, puisque le triangle AOB est rectangle, on a les relations

AU X rr--

A0\' . ,,„ AOxBO KO

) et OH

Al /AO m " \IM)