P,= P(-P^4-4PQ-8R

03=(P'-aO)[-P«4-a(3PO-4R)P'-8(PQ-R)'], R,= [-P-4-2(3P0-4R)P'-8(P0-R)»]^ P3 = P*-4(P0-R)[3P-4(3P0-4R)P'-l-i6(P'Q*-3PQR4-3R')J.

548 SOUVENraS,

Lorsqu'on se propose seulement d'établir la relation à laquelle doivent satisfaire les coefficients des équations des deux coniques, pour qu'il soit possible de construire un polygone de n côtés, simultanément inscrit à la première et circonscrit à la seconde, il est permis, d'après la remarque finale du paragraphe précédent, au moins pour le cas de n impair, de substituer dans l'équation A,= o, aux lettres P, Q, R, les quantités P', Q', R' respectivement égales à la somme, à la somme des produits deux à deux, et au produit de bc, eu et ab. Dans le cas général, P', Q', R' ne sont pas exprimables rationnellement en fonction des paramètres dont dépendent la forme et la position des deux courbes, mais dans certaines applications particulières, on peut déduire effectivement de cette remarque, une manière de décomposer l'équation en deux et même en quatre facteurs rationnels, dont chacun reproduit les autres par des changements de signes convenables. Dans tous les cas, pour des valeurs paires de /?, l'équation peut se décomposer en trois facteurs rationnels, comme cela

résulte immédiatement de la formule -r— = %a^b^c^.

Examinons d'abord le c^as particulier où les deux coniques étant concentriques, on connaît les longueurs A et B, A' et B' de leurs diamètres conjugués communs.

Pour appliquer les formules générales, il suffira d'y poser

/l'd:: — ••6± — *'ri

OU, ce qui revient au même ,

On trouve ainsi les relations suivantes, dont chacune en représente

quatre, si le nombre des c^tés du polygone est impair :

Pour le triangle,

pour le pentagone, 4 A

AB

pour l'heptagone,

4A'BYA' . B'

AB

(M)[(^-iy-j(T-i'-^)

-A"B'VA' B'\ /A' B' NVA' B' \'

De même, si le nombre des côtés est pair, on a :

pour le quadrilatère, '^"'"r'""'» ^" Â^^R»""^'*

ou 4(^^-4-3^)^

pour l'hexagone, f — + — 4- 1 j . W ou 4 ( -gr 4- ^ j 1

(Connaissant la relation pour un polygone de // côtés, il suffît, lorsque l'on veut obtenir la relation pour un polygone d'un nombre do côtés doubles, d'y remplacer

mais on doit bien remarquer que si n est impair, Tapplication de ces formules à Tun des quatre facteurs de la relation A, = o reproduit précisément cette relation elle-même^ ce sont alors les trois autres facteurs qui fournissent les relations cherchées.

De môme, pour passer à un polygone d'un nombre de côtés triple, il suffît de remplacer

U^f+V"Hv^f;

Soient maintenant R et r les rayons de deux cercles situés sur un môme plan, d la distance de leurs centres; les équations de ces deux cercles pourront, en choisissant convenablement les axes de coordonnées, s'écrire ainsi :

et les quantités désignées ci-dessus par /?% ^*, r% seront proportionnelles aux racines de Téquation

55o SOUVENIHS,

en sorte qu'il nous sera permis de poser

d'où Ton lire

R* ri*

Nommant de même r^ et f/„ le rayon et Tabscisse du centre du cercle enveloppé par le côté libre d'un polygone de «4- 1 côtés inscrit dans (<X>,) et dont les autres côtés touchent (Â^), on aura aussi

et par suite

R < ' R al

r/ ~ nj "•

'Il

L'interprétation géométrique de - et -7 ou plus généralement de —

et — est facile ; concevons que l'on appelle respectivement 1 et l\ K,

et K', les points où la ligne des centres rencontre le cercle (X^) et le

cercle («A»„) et que l'on construise deux longueurs moyennes proportion-

/; c nellcs, l'une entre IK^ et l'R' l'autre entre IK' et l'K^; -=• et -=^ seront

les rapports de la demi-somme et de la demi-différence de ces longueurs au rayon R. Avec l'aide des indications qui précèdent^ il n'y a aucune difficulté à traduire les résultats relatifs au problème général dans les notations de Fuss et de M. Steiner.

Je me bornerai à signaler les formules suivantes : Posant

K-hfl R-^/ R + ^/, R-^'„

il vient

^" ^" bc ^" '" br p-\-fi

Od tire de là, en particulier,

Geâ formulcd permeltent do passer de la relaliun pour le polygone de // côtés, à la relalion pour un poly^ono de in ou do 3/i côtés (*).

Au point de vue {général où nous nous sommes placés, il n'existe pour ainsi dire aucune différence entre le cas où les deux cercles donnés sont sur un même plan, et celui où ils sont sur une même sphère. Soient en eft'el R, r, r/ les (juanlités angulaires qui, dans le cas de la sphère, répondent aux longueurs ci-dessus désignées par les mêmes lettres. En choisissant convenablement les plans coordonnés, on pourra écrire comme il suit, les équations des cônes de révolution concentriques à la sphère, qui ont respectivement pour directrices les cercles donnés :

['\>^) x^-\-y'^— tang'R . z'z=z o,

j (cu6^/ -- sin'^/).r^-|-cosV. ) '+ (sinv/— sin-/-)^' ' ( - 'Jisinr/cos//. cr — o,

<*t l'équation qui a pour racines (i\ h\ r' est alors

À — i) laui'Mi. V— ( langM\-|- tani;v- ^^r-^^ — =- )A-hlangv-

^L "^ y^ n T n COS'R.COSV/ "^ J

Kn la comparant à l'équation analogue obtenue ci-dessus, on reconnaît immédialeraent que, pour passer du plan à la sphère, il suffit de remplacer dans les premiers résultais

R par taugR, /• par tiiug/-, ti par -

eus B cos r

uu, ce qui revient au même,

R par sinRcos/-, /• par sin/cusR, (/ par sin^/.

( * ) Les formules pmir la diiplieution oui éU' iloiinées par M. Richelol, dans hon iMcinuirc inséré au Journal de Crcltt'j l. V ; 18.19. ^^ térai reiuurqucr, à celte occasion, que la relalion énoncée dans ce Mémoire pour le pentagone, manque de précision, en ce qu'elle contient un facteur étranger fftf — p-^ //.

MotiAuri.

A mon lour et k la même occasion, je crois devoir déclarer ici que les Additions do MM. Moutard et Mannheim onl été faites sans aucune participation de ma part, et sans (|uc je sois intervenu dans la correction des épreuves d'impri' nierie. Je crois, de plus, devoir faire observer que mon travail et celui de ces savants géomètres onl elé conçus et rédiges d'une manière entièrement indépendante, avant toute communication réciproque de ces épreuves: les rapprochements que Ton voudrait établir entre la communauté d'origine des idées géométriques ou analytiques que ces diverses Notes et Additions renferment, ris((ueraient dune beaucoup de porter à faux.

l'oNCELCr

55'A SOUVENIRïi,

Nous terminerons ees applications par une remarque qu'il serait peutélre intéressant de développer.

Bien que l'analyse que nous avons employée suppose' la possibilité de ramener simultanément les équations des deux coniques données aux formes X* -4- v' -h z^— G, a^x^-\-ij^y''-\-c^z* = o, et que cette hypothèse tombe en défaut, lorsque les deux coniques sont tangentes en un seul point, il est clair, par des considérations de continuité, qu'une fois les résultats exprimés en fonction des coefficients des équations générales, ils subsistent dans tous les cas. D'autre part, ce cas exceptionnel^ se caractérisant par l'égalité de deux racines de l'équation du troisième d^ré en >., ne se distingue pas explicitement, dans la question qui nous occupe, de celui où les courbes sont doublement tangentes. Mais en vertu de l'un des princi()os de projection centrale, deux coniques doublement tangentes peuvent se projeter suivant le système de deux cercles concentriques, et par suite la solution algébrique complète du problème revient alors à la multiplication des fonctions trigonométriqiies. C'est ce qui a d'ailleurs été montré directement pour le cas de deux cercles tangents, par MM. Mention et Tciiébychef dans le Mémoire cité ci-dessus. Il y a plus, la détermination de l'enveloppe du côté libre d'un polygone inscrit dans une conique , et dont les autres côtés roulent sur d'autres coniques données, ne dépend que de l'addition des fonctions trigonoraétriques lorsque les courbes directrices, s'entre^oupant en deux points, sont en outre tangentes en un troisième point. Dans le cas général, où les quatre points communs aux directrices sont distincts, le problème dépend au contraire de la considération de transcendantes plus élevées.

Réduction (lu pmldèmc à la résolution (Func éqiuition fonctionnelle.

Les diverses propriétés que nous avons reconnues dans ce qui précède, aux trois séries flr„, h^, c^, peuvent être regardées comme autant de systèmes d'équations aux différences finies, propres à définir, moyennant certaines conditions initiales, leurs termes généraux respectifs. Sous un autre point de vue, on peut les considérer comme caractérisant certaines fonctions de l'indice //, susceptibles de conserver un sens précis pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de l'indice, et dont il reste, bien entendu, à démontrer l'existence. En prenant en particulier les relations (6), on est ainsi amené à se poser le problème suivant :

Construire trois fonctions bien déterminées e^(«), ift»(w), ^('Oi ^" tisfaisant pour toutes les valeurs de u et de v aux é(juations

'^\y(u + v)Z[u--v)-Jt-'\S\>(U'-i')Z(u-\-v)^^-jA%uZu\\^vZv,

C I // -|- V ) Ai>( u — v)-\-Q'(u — »' ) r l>( /^ -|- t' ) — -2 C u A^ u 3 r rSe T, .Il // -i- r ) \\\^[n — f ) -f- tV( u — I' ) \<l)( W -h «' ) «2 4,1. // 1)1)1/ ^K, V '\R> I',

et aux conditions initiales

,\.(o)=\li>(o) = a(o) = i, X(u^) = a, ySi>(u,) = b, G(m,) = c.

Il est clair, en effet, que les valeurs de a^^ b^ et c^ coïncideront entièrement avec les fonctions cl>(//), 'i)l>(i^), C(i^], pour la valeur /?f^, de la variable.

Soit donc proposé de rechercher tous les groupes do deux fonctions bien déterminées qui satisfassent à Téquation

Il est possible de reconnaître à priori que les fonctions / et f sont nécessairement jxdrcs^ qu'elles sont entières; qu'elles ne peuvent avoir fie racines finies communes, qiâeUes ne peuvent at*oir de racines finies multiples. On reconnaît encore aisément que si / et jjp appartiennent à cette classe singulière de fonctions qui ne peuvent ni s'annuler ni devenir infinies pour aucune valeur fînie de la variable, la solution du problème est donnée par

et que lorsque Tune seulement des deux fonctions, 7, par exemple, appartient à cette classa, la solution est donnée par

Nous ajouterons d'ailleurs, que si ¥(u) et <ï>(w) fournissent une solution du problème, les fonctions

en fournissent également. Mais aucun des deux types déjà trouvés ne permet de former trois fonctions distinctes satisfaisant doux à deux à réquation fondamentale, en même temps qu'aux conditions initiales; il sera donc entendu, dans ce qui va suivre, que les fonctions / et 9 doivent être susceptibles toutes deux de s'annuler pour des valeurs finies de la variable, et qu'elles sont paires, entières, premières entre elles et premières avec leurs dérivées respcctives.Le problème ainsi précisé, nous nous appuierons, pour le résoudre, sur les considérations si lumineuses relatives aux zéros et aux infinis des fonctions bien déterminées^ développées par M. Liouville dans son cours du Collège de France en i85i et en iSSg.

Soit a l'une quelconque des racines soit de/(«), soit de <?(«); en rempla^-ant v par a dans l'équation fondamentale, on obtient

f(u-\-%) y[U'-7.)-^f(u—0L) îp(//-h a) = <».

(I Ou

ou, ce qui revient au môme,

c'cst'à-dire que pour tout accroissement égal au double d'une racine, soit de /, soit de ?, donné à la variable, la fonction ^^4-4 ne fait que changer de signe, et que le quadruple de toute racine de / ou de •}> est une période do^^Y~\* ^ ^^ résulte, en particulier, que tout multiple impair d'une racine de /(^O ou de f^{u) augmenté de multiples pairs de racines, soit de l'une, soit de Fautre de ces deux fonctions, est aussi une

racine de la première, et que les multiples impairs du double d'une ra-

f cine de /ou de «p ne sont pas des périodes de -i mais que la somme de

deux pareils multiples est une telle période.

Cela posé, concevons que Ton figure sur un plan les affixes de toutes les racines de / et y ; nommons les points ainsi obtenus points-racines, et désignons-les par les mêmes notations que les valeurs algébriques auxquelles ils correspondent. Les fonctions / et <p étant paires, ils seront situés deux à deux symétriquement par xipport à l'origine des coordonnées. Joignons l'origine o à l'un de ces poinls, tellement choisi que la droite obtenue n'en renferme pas d'autre entre l'origine et lui ; prolongée, cette droite contiendra une infinité d'autres points- racines équidistants compris dans la formule ('jiw-l-ija, a désignant le premier; et il est clair par ce qui a été dit ci-dessus, que si de tout autre point-racine on mène une parallèle à oot, et qu'on y porte, dans l'un ou l'autre sens, une longueur égale à un multiple pair de oa, le nouveau point obtenu correspondra luimême à une racine. Do là résulte d'ailleurs aisément, que la droite />« ne saurait contenir d'autres points-racines que ceux qui sont contenus dans la formule (2/i-h i)a.

Imaginons maintenant que l'on transporte la droite oa parallèlement à elle-même, jus(|u'à ce que l'on rencontre pour la première fois un nouveau point racine ^. Dans cette nouvelle position, elle contiendra aussi tous les points compris dans la formule S -4- -2// a, mais n'en contiendra pas d'autre; en effet, tout point de cette droite est évidemment l'aflixe d'une quantité comprise dans la formule f^-f-Ax, en désignant par > un nombre réel quelconque; or si f;-4->.a est racine de /ou y, a-h'i((5-f-)5e) — aS^ c'est-à-dire a-j-'2)a, l'est également, ce qui exige que ^ soit entier; mais d'autre part > ne peut être impair, sans (\\\o\ [i-H-Xa serait en même temps une racine el la somme de deux rvicines; ce (jui est impossible, puis-

qu'alors 'ilp-\lyi) devrait à la fois être et ne pas être une période de — •

L'existence des racines a et ^ (dont le rapport est imaginaire) entraîne l'existence de toutes celles qui sont comprises dans les formules

En outre, on peut affirmer qu'il ne saurait y en avoir d'autres; car, par hypothèse, il n'y a pas de points-racines entre la droite qui contient les (2/i-hi)a et celle qui contient les ^ + 2/71 a, ni par conséquent, puisque les fonctions f et <f sont paires, entre la droite p + a/wa et la droite — P + 2/wa, et tout point du plan peut toujours être ramené entre ces deux droites par l'addition d'un multiple pair convenablement choisi de 2 p.

Il est donc certain que toutes les racines de / et ^ sont comprises dans les deux formules ('im-\-i)ot-h'^np et imoL-\-(in-\-i) p. De plus, si a est une racine de /, (aw-hija + awfi sera aussi une racine de /, car 2/wa-|-2/îp est une période; dès lors p ne saurait être racine de/, sans quoi toutes les racines appartiendraient à /, et il n'en resterait point pour r^y hypothèse que nous avons exclue.

En conséquence, lorsque deux fonctions /et (^ satisfont à l'équation fondamentale du problème, leurs racines respectives peuvent être représentées par les deux formules :

Pour/(i/) M — (a/Ti-hija-j-a//^,

Pour y (//) «= 'if/ia,-\-(7.fi-\-i) 6,

OÙ a et p désignent des constantes arbitraires dont le rapport est nécessairement imaginaire. Mais les quantités comprises dans la formule (2//i-4-i)a-l-a/i{3 peuvent aussi être représentées par la formule

en choisissant les premières pour racines de/, il sera donc permis de leur associer comme racines de cp toutes les quantités comprises dans la formuler

2wa4- (2/îH-i) (a-4-p).

ou , ce qui revient au même.

(•un -\-i) a -+- ( 2 « -h I ) J5.

De là résulte que, si l'on forme séparément trois fonctions ft^l>(//), iJb(//), 3 ( w ) , ayant respectivement ])our racines ( 2 //i + i ) « + ( 2 // 4- i ) p , 2wa-|-(2/î-f- i)p, (2/w 4-i)« + 2«j^, deux quelconques d'entre elles satisferont aux conditions que notre première discussion impose aux fonctions/et 7. Le type de trois fonctions auxquelles on parvient ainsi est nécessairement unique; pour s'en convaincre, il suffit de remarquer que si l'on distribue les points-racines do /, par exemple, suivant les points d'intersection de deux systèmes do parallèles équidistantes, de telle sorte

que Torigine se trouve au centre de Tun des parallélogrammes formés, ce qui est possible d'une infinité de manières, nécessairement les pointsracines de Tautre fonction formeront le système des points milieux de tous les côtés parallèles à une même direction de tous ces parallélogrammes; par suite, une fois les racines de Tune des fonctions choisies, celles de l'autre ne peuvent plus Tôtre que de deux manières différentes. Pour définir complètement les fonctions A» (m), afb('^)) Oiu)^ qui ne se présentent encore que comme les valeurs de produits doublement illimités, dont le facteur général est

Pour la première i — ■; ^ ; r? i

Pour la deuxième. ... i ; r« ;

2/wa-h(2/i-f-i)p

Pour la troisième i —

(2/?ï-l-i)a-h2/ïp'

il est nécessaire de spécifier la loi suivant laquelle on fera croître indéfiniment les entiers m et /?. 11 convient d'ailleurs de remarquer que la généralité de la solution no se trouve pas diminuée par le choix d'une loi particulière, car l'on sait qu'en changeant cette loi, on ne fait qu introduire un de ces facteurs de la forme e*" , dont il a été tenu compte au commencement de la discussion. Soit donc admis que l'on fasse augmenter indéfiniment d'abord m, puis //, ce qui revient à grouper les pointsracines suivant des lignes parallèles à la droite Oa; on aura pour les expressions des trois fonctions

.\r(u) = \m TT lim TT (1 — 7 , \ '\ f ; — râ)

n= — n — 1 m= — m — i n=in' m=im'

..b(«) = lim n ""> n ('-»/;,a + (L + .)fi)

C(//) = lim TT lim ff (i-, ^ '' — isV

n= - n' mrz=. — m' — i

On est naturellement condtiit à leur en associer une quatrième (0(//)

que l'on peut définir comme il suit :

11= n' ms=.m*

:o(«)=iimn ^^ni'-TJi^A^)

n = — n ms=. — m

en avant soin de convenir que le facteur i ; -r soit remplacé

par u pour les valeurs //f = o, /i = o. ^

En posant ^ = ^ ^ " , les quatre fonctions prennent les formes suivantes :