COS h Q

Qllt)= COS — Il ; —

I — 2 o*" COS h </*"

(D w =— sm — TT j^ —

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et Ton reconnaît ainsi qu'elles sont respectivement à des constantes près les fonctions désignées dans les écrits do Jacobi, par ^, («), ©(«), H,(«) et H(f/). Comme il est d'ailleurs possible de choisir les constantes arbitraires i/q, «> p de manière à satisfaire aux conditions X(u^) = a, aft)(''o) = ^» G(«o) = ^î iï r^ste seulement à reconnaître à posteriori que 'X>(u), 1)1) (/^), C(2<) satisfont bien deux à deux à Téquation de condition

Cest à quoi Ton parvient sans peine en appliquant les méthodes de M. Liouville, et remarquant que l'expression

constitue alors une fonction doublement périodique de //, laquelle ne peut s'annuler ni devenir infinie pour aucune valeur de u.

Les mêmes principes permettent de vérifier, à posteriori, les propriétés de ces fonctions exprimées par les formules suivantes, lesquelles corres-

pondent respectivement aux relations (5), (9), (10) et (n):

(5 bis)

= — lll

(10 ^/a) 'vJb(««-l-ï')iPo(w — «'H-Gl'M-^'lGl''— ï') = 'Ub*«GV4-MbvG^',

I [ub("4-«0-+-G(w-h^')][iib(«-*') + G(«-*')] = (ilb«G«'-4-ub^Gw)' ([iJb(«-l-<')-G("-l-»')][iib('/-")-G('' — <')] = ('Ub'/G»'-'ilb»'G")'

et toutes celles qui s'en déduisent par l'échange des lettres <v^, olb, G,

En essayant d'établir les relations analogues aux précédentes, dans lesquelles Tune des fonctions X(u)^ ilb(«)ï G(«) serait remplacé par CD(//), on trouve, parmi diverses formules, les suivantes :

(0(tf-f-(')(D(w — c^) = (£)'// ol,'i' — tJfe)*<'al,'«,

(D(w-|-«O^Ô(tt — «') = ^*«\ft>'*'-^'<''llb'«,

lesquelles permettent de rattacher la fonction (D(tt) aussi bien que les

fonctions cA«)(«), iJb('0» G(«)> ^" théorème de M. Poncelet. Faisant, en effet, u = m\ on tire de là

co qui, rapproché des relations (12), et de la définition du symbole cidessus désigné par A„, nous apprend immédiatement que, de même que

on a aussi

Si Ton porte cette expression de A„ dans les diverses formules ci-dessus.

on obtient les relations suivantes :

Enfin la dernière propriété relative aux A, établie par une considération géométrique, peut s'énoncer ici :

(S)(ip-\-ï,n) ggj exprimable imr une fonction entière, rationnelle et

symétrique, de degré '-iLHU ^ des trois produits \\\y{'itf)Q(iti)^

3(2w)^l.(2«), X(2//)\)1,(2m), laquelle jouit de cette propriété, que, si l'on y remplace X (2 «), 1)1,(2//), 0(2//), respectivement par leurs valeurs en oAo«, iiJ,/^, Qu, à savoir : -

X(att) par — 'ift,'/(C'//H-3^wX'w-|-«i)'//iiî>'«, iji,(a«) par \\[,*uQ^ u — Q^ 11 ,V 11 -hrX>^u^i\>^ n, 3(111) par ii^'w3'//-|-G'«a^'« — "Ai^«ifc'«,

le résultat de la substitution est un produit de quatre facteurs, dont Tun t'st formé avec X//, iJb//, C, comme la fonction proposée Test avec «.1.(2//), t(l,(2//), G(2f/), et dont les trois autres se déduisent du premier, par le changement successif du sif^ne de <.l>«, de \ft,/^ et de Qu,

Remarque relative au cas où les côtés du polygone inscrit sont assujettis à toucher des coniques différentes j coupant toutes la conique circonscrite aux quatre mêmes jxtints ,

Nous avons établi dans ce qui précède, que si Ton met les équations de deux coniques sous la forme

l'équation de la courbe enveloppe du côté libre d*un polygone de n côtés inscrit dans la première et circonscrit à la seconde, peut s'écrire

^i.» ( /z/^ ) . ./r=' + aft,M '"O/ H- C ( ''w ) 2' = o,

56o SOUVENIRS, NOTES ET ADDITIONS.

ou, ce qui revient au môme,

(5d^(nu)(tVu . x^-\-'\S\,^u ./^-f- G^u . z*) — (0 (n—iu) CD (ri + tu) (x'4-^-*-|-z*).

Concevons maintenant que Ton n'assujettisse plus les côtés du polygone inscrit à rester tous tangents à la môme conique, mais seulement à rouler sur des coniques qui coupent toutes la conique circonscrite aux quatre mêmes points. Le problème est évidemment réductible au cas du triangle, et peut alors s'énoncer ainsi : Étant données trois coniques (ei»^), ('>V^), (A>.), circonscrites au môme quadrilatère^ trouver Tenveloppe du côté libre d'un triangle inscrit dans (XJ et ayant ses deux côtés tangents, l'un à (A».), l'autre à (<A.,).

Comme il est aisé de le voir, on pourra généralement, en choisissant convenablement u, c et les constantes a et ^, mettre les équations des trois coniques sous les formes suivantes :

(AJ Jl«'f/.ar'4-'0l)'«.r'4-e'«.3' = o,

(AJ X'c.^4-Dl,'^.r'4-G'«'.3' = o.

Par une méthode d'induction, qu'il est inutile de développer, on arrive à prévoir que l'enveloppe se compose des deux coniques

et ^

{X^J J(o'(u-v),v'-h'\i\>'(ii-i^)y-he^u-v)z^ = o,

et cette prévision se justifie. Il suffit pour cela de considérer, comme cidessus, trois systèmes distincts de deux droites se coupant deux à deux en quatre points situés sur la conique (Jlc^J. Le développement du calcul conduit précisément à rattacher cette proposition aux propriétés des fonctions al^î'Oi lib('O) ^{'^)i qui nous ont servi de point de départ pour en établir la construction.

Pâtes.

Titres et Préface.. i à xiij