S^'=SA.SB

sera unique; dans le cas contraire, cotte môme relation pourra appartenir à plusieurs courbes distinctes (^).

80. Conséquences, — On voit, par cette discussion, que si, en Géométrie, on prétendait ne pas avoir égard aux signes de position dans les figures corrélatives, on pourrait être entraîné

(*) Comme mêle fait remarquer avec raison M. Moutard, il existe dans ce qui précède une sorte do confusion provenant de ce que l'énoncé géométrique du problème se fonde sur la similitude de deux triangles qui ne peuvent être équiangles^à la manière ordinaire, quand le point S (^^. i3/|) passe à l'intérieur de rintervalle AB. Dans ce cas, en effet, Tanglo BSD cesse d*ètrc commun aux deux triangles ASor, BSx, et devient le supplément de ASD ou ASx; par suite, Tangle A-r S et le côté AS changent de signes et de sens; mais, d'après nos principes (24 etsuiv.)» les angles intérieurs des triangles, au lieu d'être égaux, sont suppléments respectifs l'un de l'autre et ont même nnus, ce qui entraîne également la proportionnalité des cOlés homologues, véritable caractère de la similitude des triangles en général. Dès lors aussi la construction des points x et x', pour le cas où l'appliquée CSD vient en C'S'D', dépend non plus du contact de deux cercles passant par A et B tangents à cette appliquée, mais bien do la rencontre de celle-ci avec une circonférence unique décrite sur AB comme corde, et ayant pour centre le point commun aux perpendiculaires clcvccs en son milieu et au point S de la droite CD' ; car en traçant ce dernier cercle, on

s'assure qu'en effet, l'équation de condition Sx =SA.SB est satisfaite sans contradiction dans les signes de position. Les deux systèmes de construction cidessus établissent d'ailleurs un caractère distinctif entre les propriétés de lellipso et de l'hyperbole, et il est digne de remarque qu'en appliquant aux diamètres conjugués de Tellipsc et de l'hyperbole on général, le genre de considérations critiquées pour lo cas particulier du cercle, dans les n^* 35 et 3G, on

serait induit ii conclure que le ccefjicient algorithmique \/ — i n'est point exclu-

144 in- CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

à de graves erreurs, puisqu'il arriverait de confondre enlre elles des courbes très-distinctes, bien que jouissant de certaines propriétés communes quand on fait abstraction de la situation relative des points et des lignes.

Donnons-en un nouvel exemple :

« On demande quelle est la suite des points .r [Jîg. i35 et i35') tels, » qu'en menant de chacun d'eux, comme le montrent ces figures, deux » lignes droites j:A et j:B à deux points fixes A et B, la somme des angles » a et p formés par ces lignes avec des droites fixes AK et BK soit égale à » un angle constant k donné, en sorte qu'on ait

Pour la situation do la fig, i35, le point x appartient évidemment à une circonférence de cercle; car on déduit facilement de renoncé que

Fiç. i35.

l'angle en x du triangle ABo: est lui-même constant; mais si Ton voulait admettre la même relation pour toutes les situations possibles des lignes de la figure, sans avoir égard aux changements qui s'opèrent dans les signes de position, le point x pourrait cesser d'appartenir à c«tte courbe, et cela arrive notamment dans les hypothèses de la Jig, 1 35'.

sivcmcnt le signe de la perpendicularité ; mais qu'il peut tout aussi bien représenter Vohliquité des droites dirigées sous un angle d'inclinaison quelconque- Diaprés cela, il me parait diflicile de s'expliquer rationnellement comment M. Cauchy, notre célèbre cl très-habile transformateur de formules, d^équations algébriques, ait appuyé de l'autorité de sa plume élégante et facile, Tin-

terprétation exclusive du signe ^ — i , en se fondant sur un genre de considérations géométriques pour le moins discutables au point do vue des principes {Complet rendus de l'Académie des Sciences, i85o, t. XXII, p. i3i et 193).

En effet, delà situation représentée par lay^/^. i34 on déduit, on ap|>elant M et N les angles constants MAfi, NBA,

ang j: = aoo** — xXB — xb\ — 200** — M-f-a — N + p ou

tandis que pour la seconde position (fig, i^5) du point .r, on aura

ang.r = a 00° — j: AB — xBA = 200® — M-f-a — N — p ou

.r = 200° — M — N + a — P = aoo" — M — N-f->^--2f^

relation différente do celle qui a d'abord été obtenue, à tel point que Tune apprend que l'angle x est constant, et l'autre qu'il est variable. On peut, en outre, s'assurer que la première correspond au cercle et la seconde à l'hyperbole équilatère : la véritable solution embrasse donc l'ensemble des deux courbes, dès (jue l'énoncé verbal ne spécifie pas la position à laquelle correspond la relation examinée a + [î = X ; mais, si l'on entendait assujettir cette mémo relation à la loi des signes de position ou de continuité, il n'y aurait plus qu'un seul lieu géométrique relatif à chacune des figures distinctes choisie en particulier (*).

Remarque. — On pourrait multipliera rinfini les exemples, ce qui servirait à faire découvrir les propriétés communes aux courbes de diverses espèces. Dans d'autres circonstances, il pourrait aussi arriver qu'on n'obtînt qu'une portion limitée ou une simple branche d'une courbe, comme on en a des exemples dans la cissoYdc et la conchoïde des Anciens, etc.

81. Examen de la loi des signes de position dans le système des coordonnées de Descartes. — Les diverses relations

(^) H est arrivé plus d'une fuis à ma connaissance, et sans doute à celle do beaucoup d'-autres, que, dans les examens d'admission aux diverses Écoles et dans des compositions de concours pour des prix de mathématiques spéciales, le même problème de Géométrie analytique, mis en équation par les élèves sous des aspects ou conditions distinctes quant ii la position hypothétique des lignes inconnues de la figure, ait conduit à des solutions différentes, contradictoires même dans les résultats. Hien souvent aussi, il est arrivé que, faute d'une attention sulHsante de la part de Texaminatcur ou des membres du jury, on ait adopté comme seule bon'ne et ri^joureuse la composition qui offrait des résultats conformes à ceux que Ton connaissait déjà, et qui avaient été préparés h l'avance par des professeurs étrangers ou non au concours.

246 ni« CAIUER.- SUR LA LOI DES SIGNES

métriques examinées ci-dessus sont ce que, d'après l'usage général, j*ai déjà appelé les équations des lignes correspondantes; mais on voit combien on peut êlre induit en erreur sur la nature véritable de la ligne représentée; car, selon qu'on suppose à la figure telle ou telle situation, selon qu'on prétendra rendre Téquation applicable simultanément à toutes ces situations sans avoir, égard à la mutation des signes ou en y ayant égard, elle pourra correspondre (Ik et suiv.) tantôt à une ligne ou portion de ligne courbe, tantôt à une autre ligne, et tantôt aussi elle peut appartenir à la fois à deux ou plusieurs lignes distinctes géométriquement , c'est-à-dire qu'elle est apte alors à en construire successivement et séparément tous les points.

On doit voir par là encore, si je ne me trompe, combien est grande Terreur de ceux qui prétendent expliquer la règle des signes de position dans le système des coordonnées de Descartes, à priori et par convention, c'est-à-dire sans recourir aux notions premières de la Géométrie. Ils sont nécessairement obligés de supposer tacitement cette règle toute démontrée, ou de l'admettre par analogie avec ce qui se passe dans les courbes déjà connues telles que la circonférence de cercle, la ligne droite, etc. Aussi les démonstrations qu'ils veulent établir ainsi pèchent-elles toutes en ce qu'elles supposent, d'une manière plus ou moins déguisée, ce qu'il s'agissait précisément de prouver, à peu près comme il arrive dans les prétendues théories des parallèles où l'on cherche à éviter toute notion de continuité ou de l'inQni.