Cette conclusion est même tout à fait d'accord avec les
vrais principes de l'Algèbre où les signes — et \ — 1 n'appa-
(*) Foir à la fin de ce El* Cahier la réfutation que, en 181G, j'avais entreprise des doctrines de MM. Français, Argand, etc., à propos de laquelle on lira avec intérôt une Notice historiiiue, par M. Vallès, dans l'ouvrage intitulé : Ktndcs philosnphhfitcs sur la science du calcul; Paris, 184 1 . p 18G.
198 III* CAHIER. ~ SUtt LA LOI DES SIGNES
laissent d'une manière délachée que dans la résolution finale des problèmes, c'est-à-dire dans la résolution môme des équations définitives, ainsi que nous en offrirons divers exemples ci-après. Mais cela ne doit nullement nous empêcher d'examiner à ce point de vue rationnel, ce que devient la loi de continuité et des signes ainsi que les diverses règles ou principes posés précédemment, quand certains points d'une ligure cessant de rester réels et constructibles géométriquement dans la transformée par le déplacement graduel et progressif de quelques parties essentielles de cette figure type, les distances qui se comptent de ces points respectifs étant devenues ellesmêmes impossibles, imaginaires, etc., il n'y a plus moyen de reconnaître à priori la loi des signes de position qui les concerne ou de les distinguer en directes et inversesy progressives et rétrogrades. La même chose aura lieu encore pour tout l'intervalle oii ces distances resteront Inconstructibles, idéales, imaginaires, et celui oii elles s'évanouissent ou deviennent infinies momentanément, transitoirement; ce qui fait rentrer de telles circonstances dans des cas déjà suffisamment étudiés ou qui le seront à l'occasion, et ne présentent aucune difficulté essentielle sous le rapport des signes de position.
38. Dans cet éuit particulier du système, les relations métriques ou descriptives qui concernent les points, les grandeurs géométriques impossibles, sont purement idéales, et si l'on persiste à les considérer dans cette hypothèse, c'est pour maintenir la continuité même dans les intervalles où elle cesse d'exister d'une manière absolue, non dans la forme des équations ou relations métriques, mais dans l'état en quelque sorte physique des grandeurs qui y entrent.
Je le répète, il doit être permis dans de tels intervalles, de considérer les grandeurs imaginaires comme des incoimues qu'il s'agirait de construire graphiquement au moyen des équations qui s'y rapportent et les déterminent. Cette supposition est d'autant plus permise qu'alors nécessairement, ces relations sont géométriquement incompatibles pour la série entière des positions de la figure où les grandeurs, les points en question restent imaginaires; sans quoi il existerait des valeurs réelles correspondantes des dislances ou racines inconnues.
propres à construire les points dont il s'agit; ce qui est contradictoire et en soi absurde.
Il est donc bien vrai que, pour les étals variés d'une figure dont les données constitutives changent par degrés continus et qui, par cela même, est soumise au principe de continuité, les distances, les aires, lignes et dimensions quelconques devenues impossibles graphiquement, doivent être considérées comme indéterminées à la fois de sens, de grandeur et de position; ou plutôt, il convient de ne rien statuer dans les relations métriques où elles entrent pour tout l'intervalle où elles restent impossibles (*), tandis qu'il est rationnel de continuer à appliquer la règle ordinaire des signes de position aux quantités demeurées réelles et qui seraient devenues inverses en passant par zéro ou TinOni.
39. Éclaircissons tout ceci par un exemple très-simple [f^. 11 5). Soient sb et .v^ deux sécantes extérieures au cercle dont le centre
est c; de ce centre soit abaissée la perpendiculaire en sur la sécante v.S, on aura, pour la situation actuelle,
sx,s^ = sa,sb )
J I" système (s).
.va -h A' p = 'z AO )
(*) Remarquons quMl ne s'agit nullement ici d'impossibilité absolue, mais seulement d'imaginarité relative, transitoire et en quelque sorte temporaire; c^r nous n'admettons pas l'existence géométrique de quantités négatives, imaginaires, intinies, considérées isolément (p. 168) , comme l'enti^ndent quelquefois les géomètres algébrisles, c'est-à-dire ilune manière purement analojrique, conventionnelle et partant arbitraiic.
Jtoo III« CAHIER. - SUR LA LOI DÉS SIGNES
Supposons que .vap se meuve parallèiemcnl à elle-même jusqu'en 0L'p\ les seules dislances s'a' et s'a seront devenues inverses, et, d*après la règle des signes, on aura
y 'À* système (a).
Si di* nouveau a'p' se meut par la même loi jusqu'en a^p", au delà du jwint /• d'intersection de saù et de co, jr^o* sera devenu nul puis inverse, et aura changé de signe; les autres segments étant restés directs, il viendra
. « »r» « . ! 3* système (^ .
a*^" prenant ensuite la position a'"^^'", pour laquelle s'^ est de nouveau hors du cercle, s"'p'" et s'"b seront seuls devenus négatifs, en sorte que les équations prennent la forme algébrique
'^ r ; V i\ ; r ^e système (/" ,
qui se confondent avec les équations (s) de départ.
Donc a'^', a"p", a'"^"' finissant par sortir tout à fait du cercle après lui avoir été tangentes, et prenant la position .v'*o'', les points correspondants à a'" et ^"' cesseront d'exister ainsi que les distances 5'" a*", j'"f>'^: mais .v"'«, .v'"^, s'"f)"' seront restées réelles sans devenir inverses et sans changer de signe positif. Si donc on veut persister à conserver les relations primitives, il faudra ne plus rien prononcer sur les signes des distances imaginaires, et les regarder comme de vraies inconnues. Représentant ces inconnues analogiquement par s^^a.^"^ ^''*^'% il viendra
^ ' . / X I \ 5« système (j*'), imaginaire.
Si ces équations n'exprimaient par elles-mêmes aucune incompatibilité, on pourrait en déduire des valeurs réelles pour j**a'' et .v*'^"; attribuant implicitement les valeurs ainsi trouvées aux distances qui les représentent dans les relations ci-dessus, ces relations seraient satisfaites. Or, alors on pourrait aussi trouver sur 5**0** deux points réels pour lesquels les distances correspondantes auraient entre elles et avec s^^o*"^ jr*'rt, s'^b, les relations examinées.
Soient a'", p*"" ces deux points : on aurait donc rigoureusement
' ^ V f///.vi.
>v^ i ,ivr-i* - ,» c»"/," \
a-i- V^l-i'^ -- 'xs'^o
DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. aoi
Or si, par une marche inverse à celle qui a fait découvrir les relations du i*" système (.v), on remontait de proche en proche, des relations (^**). aux relations primitives qui leur correspondent, on trouverait évidemment que les points réels a'"", ^'' sont à des distances du centre c, égales à celles de ce même contre aux points ^ et ^; d'où Ton conclurait que les points a»' et S*' appartiennent au cercle dont le centre est c et qui passe par a et A; car sur le plan de la figure, il n'y a aucun i>oint hors de la circonférence qui jouisse de cette propriété. Il faudrait donc, dans Thypothèso où les relations examinées (j?*') expriment des dépendances réelles, que la droite 5''o*' rencontrât le cercle (c), ce qui est contraire à l'autre hypothèse faite en même temps que la première, à savoir : que la droite ^**o*' soit entièrement au dehors de la circonférence dont il s'agit. Donc les relations (s) ou (s^") doivent, dans l'état où elles se trouvent, être incompatibles entre elles, en ce sens qu'elles ne fournissent aucune valeur réelle pour les distances sec, ^p, ou a** a"", 5**^*''.
40. Si, au lieu d'examiner, comme dans ce qui précède, la variation successive des signes pour les diverses positions que i)eut prendre le système primitif, en le faisant varier d'une manière continue, on se bornait à comparer entre eux directement les états extrêmes (s) et (.v*""), les seuls qu*on ait en vue, il faudrait toujours agir de même et regarder les distances imaginaires comme des inconnues positives, en ayant égard seulement à la variation des signes des distances restées réelles. Ainsi les relations trouvées pour le système (so) étant
sa.sp = sa .sif.
celles du système imaginaire (.v*''o**) seront
puisque sa, sb et so sont devenus tous trois inverses.
Ces dernières relations diffèrent par le signe des distances j^^a*', .f**p'*, de celles [s^"] précédemment trouvées pour le même système, et cela doit être naturellement, puisque l'on n'a pas eu égard à ces signes; mais ces équations n'expriment ni plus ni moins que les premières, et doivent être également incompatibles entre elles. En effet, elles doivent donner les mêmes valeurs pour ,v*''a*\ a*" fi*", mais seulement avec d'autres signes; si donc les unes exprimaient des dépendances réelleg, les autres en exprimeraient aussi . ce qu'on a démontré être ahsurdo. Donr elles expriment à la fois des imp<>.«i.sibilité> géométri(|U('s rt la nnn-exi^-
•àoi 111« CAUIEK. - SUK LA LOI DES SIGNES
tence des points et des distances qu'elles concernent : la même cbose arriverait encore si, au lieu de {>artir du système ^r», on partait d'un système quelconque (.*'«'); car on aurait^ pour ce système (s'o'),
et, pour le système dérivé (.y**o**).
puis(|ue s'ù et .s'o sont seules devenues inverses; or ces dernières relations'ne diiïèrent et ne peuvent évidemment ditTérer que par le signe do s'^p'" de celles du système (s'").
41. Dans Texeinplc qui précède, nous avons supposé, pour plus de simplicité, que la droite 5o se mût parallèlement à ellemême, mais il est visible que les conséquences ne varieraient pas quand bien même la direction de celte corde se mouvrait d'une manière entièrement arbitraire aussi bien que sab{*).
En général, on peut supposer le cercle (c) non tracé, cas auquel, ignorant si la droite so le rencontre, on se trouve naturellement obligé do considérer les intersections de cette droite avec le cercle comme inconnues de position, et les distances 5a, 5(3 elles-mêmes, comme inconnues à la fois de grandeur et de signe, tout en conservant les formules, les équations relatives à la situation primitive arbitraire, de oc^.
Concluons de cet examen particulier et des réflexions générales qui le précèdent, que la règle des signes aura encore lieu pour les états de la/fg'. 1 16, où, en vertu du déplacement de quelques-unes de ses parties, certains points et les distances
(*) Tout cela est parfaitement conforme, pour le fond, aux résultats que fournit le calcul algébrique dans les équations du second degré à racines réelles ou imaginaires, de la forme x^ — px-\-(j ■-- o. Pour s'en con- \aincredirectenv*nt, on peut supposer que la sécante Wi devienne mobile autour (lu point fixe .v, aussi bien que scA, i éiant (railleurs le point mili«Mi do (ih. au<iuol (^as (»n a évidonunonl
/' sti \ \h . zs/, y su.sh, (»U'.
DE POSlTlOxN EN GÉOMÉTRIE. , ao'^
qui les séparent sont devenus imaginaires, pourvu qu'alors on se rappelle qu*ii est inutile de s'occuper du signe même des expressions qui représentent ces distances imaginaires.
Réflexions générales sur le principe de continuité et la différence caractéristique qui existe entre la Géométrie pure et le calcul algébrique.
42. Avant de terminer le sujet qui nous occupe, je crois devoir ajouter à ce qui précède quelques nouvelles réflexions propres à montrer que la permanence ou continuité des relations métriques et la règle des signes de position jusqu'ici constatée dans certaines figures élémentaires de la Géométrie, s'étendent, par là même , à toutes les figures possibles et à toutes les équations qui s'y rapportent.
La question revient évidemment à faire voir comment les relations métriques en général, peuvent se déduire de celles que nous avons précédemment examinées.
D'abord cela parait évident à priori, quand on réfléchit que l'Analyse des coordonnées de Descaries n'emprunte elle-même à la Géométrie qu'un très-petit nombre de principes, et qu'en les combinant d'une manière convenable par les procédés algébriques, ils permettent d'arriver à la connaissance de toutes les relations et propositions possibles relatives aux figures composées.
D'un autre côté, et sans recourir à ce moyen, il est visible qu'une telle figure, toujours décomposable en d'autres plus simples ou plus élémentaires, n(î jouira d'aucune relation et propriété métrique ou descriptive, si elle n'a été démontrée pour une situation actuelle et donnée, au moyen du raisonnement géométrique aidé ou non des calculs de l'Algèbre. Or, ce genre de raisonnement repose essentiellement sur la décomposition dont il vient d'être parlé ou la considération de figures plus simples, plus élémentaires encore, telles que nous en avons précédemment étudié, et soumises, par hypothèse, au principe de continuité non-seulement en elles-mêmes, mais aussi dans leurs conséquences, sans introduction ni mélange (17) d'aucune relation, d'aucune condition géoinéin(|ue ou algébrique étrangères à la loi des signes de position.
ao4 ^ m* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
C'est ainsi, par exemple, que les formules de la Trigonométrie, plane ou sphérique, se déduisent des plus simples propriétés du cercle et des triangles semblables. Or, il résulte de ces considérations évidentes que toutes les relations ou théorèmes obtenus par la combinaison licite des premières relations ou propositions, seront également soumis au principe de continuité et à la loi des signes précédemment exposés (*).
Que si Ton contestait les déductions de ce genre de raisonnement, je répondrais par cet autre argument : je suppose que, à une époque quelconque de renseignement de l'Algèbre et de la Géométrie, Ton y ait introduit, avec les ménagements et la gradation convenables, mais non brusquement, les notions intuitives inévitables de la continuité, de l'infini, de l'opposition de sens et de signes des grandeurs, etc.
43. Ces réflexions me paraissent devoir provoquer une refonte, sinon des éléments de la Géométrie pure, du moins de ceux qui ont pour objet spécial l'application de TAnalyse algébrique, dont les hardiesses, les abstractions contrastent singulièrement avec le caractère timide, réservé de la Géométrie
( * ) Par exemple, les formules ou relations fondamentales de la Trigonométrie
Rsin^ . W . Rcos,ç R . R*
tangi' = ;-) séc* — ? coly = — ■: = ; , cosée^ =
coss coss sms tangj sm.v
dans lesquelles s est Tare, R le rayon positif tournant toujours dans le même sens , ces formules n'ayant que deux termes qui ont été obtenus par la considération des triangles semblables, no comportent par ellesmêmes aucun signe cxpiicUc, et les signes impiicUcs, variables avec la position et le sens, doivent constamment s*y détruire; de sorte que si l on considère comme inconnue la ligne trigonométrique de Tun (]uelconque des premiers membres, sa valeur de signe et de position sera donnée par le second. Ainsi notamment, la séc^mle a toujours le signe du cosinus, et, par conséquent, si Ton regarde le rayon mobile du cercle comme unité de longueur, la sécante sera négative pour tous les arcs
compris entre -tt (2// -f i) et 7: {ri-\-i); ce qui s'accorde avec la règle
des signes géométri(pies, puisque la sécante aura alors une |>osition opposée il colle (lu ravon toujours cont^v jK»sitif et tournant progiessivemenl danj^ lo sens m«^nic dos arcs posilifs, cir.
DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. 2o5
des Anciens; car Tesprii, d'abord accoiUnnié aux resiriciions de toute espèce, interprète et s'explique péniblement les généralités de la Géométrie analytique; souvent même elles lui paraissent contrarier les notions les plus rigoureuses et le plus généralement admises : on se forme difficilement de nouvelles idées, parce qu'on ne songe pas à remonter aux principes et à les approfondir. On veut interprétera priori la nature des solutions positives, négatives et imaginaires, on veut expliquer, démontrer la règle des signes de position, sans faire attention que ces solutions diverses ont pour fondement et explication nécessaire des faits placés à l'entrée même de la science et indépendants de toute vérité antérieure, parce qu'ils sont de véritables axiomes auxquels on ne saurait rien ^substituer de plus clair.
Ce sont ces faits primitifs qu'il faut d'abord nettement exposer, afin de pouvoir en déduire avec certitude les conséquences les plus générales. Il n'est pas permis, en effet, de prétendre démontrer rigoureusement et à priori un théorème compliqué en esquivant ceux dont il est la conséquence nécessaire, c'està^ire indépendamment de toute donnée antérieure. Les vérités géométriques les plus éloignées sont liées, par une chaîne continue, aux vérités les plus élémentaires, et il est impossible à notre entendement d'apercevoir un rapport compliqué entre des grandeurs quelconques, si l'on n'en montre la filiation, la dépendance intime et rigoureuse avec d'autres rapports précédemment admis ou démontrés, et ainsi de suite jusqu'aux axiomes qui tombant immédiatement sous le sens, n'ont abso^ lument rien avant eux {*).
(*) Je prie le lecteur de se rappeler (note de la p. 107) que ces réflexions ont été écrites en 18 16 pour moi seul, et sans nulle intention de les publier sCus la forme qui leur a été conservée ici. C'était, comme on voit, peu après l'époque où fauteur de la Tcc/tnie de l'J/f^orit/imie yîonûée sur la doctrine philosophique de la soi-disant raison purr, déjà cité à la p. 49^ du précédent volume, essayait, non sans succès, d'attaquer les écrits mathématiques de nos plus grands géomètres, défendus par M. Servois et d'autres; ce qui a conduit de plus jeunes savants algébristes à se laisser entraîner à l'attrait de discuter, de refondre môme et de démon- Irer à priori les plus anciennes vérités mathématiques, celles qui sont dues aux lents et pénibles progrès des siècles antérieurs.
ao6 m* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
kk. Que penser donc de ceux qui, voulant expliquer la règle des signes de position, commencent par poser ce principe vague : Tout ce qui existe dans le calcul doit exister aussi en Géométrie, par la seule raison que le calcul est applicable à tous les objets que cette science considère ( * ). Ce n'est certes pas là un axiome; aussi est-il impossible d'en rien déduire qui soit bien clair ou mathématiquement établi : n'est--ce pas oublier ainsi que le calcul algébrique n'est point, à proprement parler, une science, mais bien un art, un mécanisme assujetti à des règles, à des procédés invariables qui s'appliquent à nos premières conceptions géométriques, lorsqu'elles se bornent à formuler des rapports préexistants entre certaines grandeurs des figures, etc.? Ce mécanisme servant à découvrir d'autres rapports qui découlent des premiers, soulage la mémoire,^ abrège le travail de l'esprit, mais jamais il ne le dirige; car, dans son mystérieux symbolisme, il cache trop souvent, non pas simplement des erreurs matérielles, mais des contrevérités ou d'insignifiantes vacuités.
Comment appliquerait-qn l'Algèbre à la Géométrie, notamment, si l'on ne commençait par raisonner sur les figures pour en déduire les propriétés métriques et élémentaires? Il est néanmoins d'illustres savants qui ont conçu l'espoir chimérique de rendre l'analyse des coordonnées tout à fait indépendante de la Géométrie, et cela faute d'avoir fait la remarque qui précède. Il ne serait guère plus absurde, ce me semble, de prétendre démontrer algébriquement les bases de la Mécanique et les lois du système planétaire, sans partir de la notion expérimentale et physique des forces qui se manifestent à la surface de la terre ou des lois naturelles les plus simples que Kepler et Galilée ont découvertes, en se fondant sur l'observation directe des phénomènes.
Mais il est temps de revenir à notre sujet principal, que les discussions précédentes nous ont fait un instant abandonner.
45. Nous venons de démontrer rigoureusement qu'en admettant la règle des signes en Géométrie, toutes les relations et propriétés métriques relatives à une figure appartiennent,
; *) Gandin, Exs/ii sur la théorie des signes, etc.; Nantes, 1816, p. 5.
DE POSITION EN (iÉOMÉTIUE. ao-
non-seulement à une disposition donnée des parties de cette figure pour laquelle elles seraient géométriquement démontrées, mais encore à toutes les dispositions possibles de ces parties, pourvu que la transformation puisse être conçue comme ayant lieu en vertu d'un déplacement continu.
Il résulte de là que, de même que pour une situation particulière et donnée d'une figure, chaque relation est apte à déterminer une certaine distance ou un certain point sur une certaine droite, quand les autres distances qui y entrent sont connues, de même cette relation devient propre, quand on suppose le système variable, à construire la suite des points analogues au premier; ce sera donc la définition frénétique d'une certaine ligne, c'est-à-dire son équation, et comme telle, elle devra en renfermer implicitement les propriétés essentielles; car elle construit et détermine parfaitement toutes les parties de la courbe.
Donnons quelques exemples :
Soient nbf ah' (fig. îi6) des parallèles quelconques comprises dans l'angle A.vB formé par deux droites lixes indélinies .vA et .vIJ : on a, comme on la vu (n" 29) sans signe algébrique,
a'b' ah sb' ~W
quelle que soit la position des lignes ou des distances. Or. si Ton suppose que l'angle en s et la droite nb restant invariables, a'// se meuve parall^-
Fi[j. iifî.
Icment à ah, la relation ci-dessus sera apte à déterminer à chaque instant Tordonnée a'b\ et par conséquent l'extrémité mobile n\ si l'on se donne l'abscisse variable sb'; car on aura, m étant une constante,
n'b'=r'^sb'=.-:m..sh', sh
2o8 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
Cetto relation sera donc propre à construire successivement tous les points de la droite indéfinie s\ et rien que ses points; ce sera donc I équation même de cette droite, en ayant égard à la loi des signes de position. Ce serait aussi Téquation de Tautre droite ^B, si Ton regardait les dislances sa' comme successivement données, et celles de a'b' comme inconnues.
46. Ces considérations géométriques s appliquent à une relation métrique ou algébrique quelconque, entre les abscisses et les ordonnées d'une courbe plane, pourvu que celte relation , assujettie à la loi des signes, subsiste dans toutes les positions possibles des coordonnées variables.
Par exemple, dans le cercle (c), Jig, 117, dont c est le centre,
Fig. 117.
AB une diamétrale, c^ = r un rayon quelconque, bn peipendtculaire à AB l'ordonnée, en l'abscisse de l'extrémité b du rayon, on a algébriquement
ac -\-ab = cb = r',
quel que soit b ; c'est donc l'équation de ce cercle. Je n'insisterai pas ici sur les Ihéories de l'Analyse des coordonnées, qui, au fond, n'est qu'un cas particulier de l'application de l'Algèbre à la Géométrie; ce que nous venons de dire, en effet, des équations entre les coordonnées ordinaires d'une ligne courbe, s'applique aux relations géométriques entre des distances variables quelconques.
Soit acbd ou («), Jtg. 1 18, un cercle quelconque, ab et cd deux sécantes se coupant en s\ on a, toujours sans signes algébriques,
scsd = sa,sb,
Fij. 118,
Imaginons que les points n, r, d restent fixes, tandis que la droite rtb
DK POSITION EN (ÎÉOMÉTRIE. - 209
tourne autour du \mïila: l'équation ri -dessus, en ayant égard aux inversions de sens et de signes, donnera, pour chaque position de aù^ un |)oint b du cercle (o) qui passe par ft, c, d^ et elle ne donnera aucun point en dehors de ce cercle; ce sera donc son équation génétique, de môme que l'équation sm — /• constante, serait celle d'un autre cercle ayant pour c(»ntre le point fixe j.
Soit encore abc un triangle inscrit au cercle (^>), fi}^. 119, dont le
sommet r vienne â se mouvoir, tandis que a et /; restent fixes : on aura, intérieurement au triangle,
angle tivb ou r - C const..
(fuelle (jue soit la situation de c sur le cercle, ou, si l'on veut encore,
ft -^ b-\- C — jLoo".
Cette relation est aussi l'équation du cercle [o] ; car, en se donnant n, elle fournit b^ et par suite le point correspondant c du cercle, dont, par conséquent, elle c-onstruit successivement tous les points en considérant a et b comme variables.
11 en est évidemment de même de toutes les propriétés possibles des figures à Tégard des lignes qu'elles sont supposées construire; mais il est à remarquer qu'une môme équation relative à une figure donnée peut souvent être la définition de plusieurs lieux, selon la nature des quantités qui y entrent. Cela arriverait notamment pour les figures qui nous ont occupés ci-dessus, si l'on changeait les hypothèses concernant le mode de description. Il faut donc, dans chaque cas, distinguer attentivement les grandeurs et les points censés fixes, des grandeurs et des points qui doivent être mobiles ou variables en vertu de la liaison admise; autrement, on ne saurait prononcer sur la nature des lignes que représentent les relations examinées. Or cela peut arriver dans toutes les questions géométri({ues où la nature et la loi du déplacement des parties constituent la donnée essentielle.
VI, Il nous reste à faire sur les relations métriques appartenant aux figures, une remarque générale qui nous sera irèsulile par la suite.
210 m* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
Toutes les propriétés géométriques pouvant être censées déduites avec exactitude du raisonnement ordinaire, elles ne doivent évidemment renfermer rien d'étranger aux figures mêmes qu'elles concernent; elles sont nécessairement, dans leur expression algébrique, les plus simples possible.
Pour faire concevoir ce que nous entendons par là, reprenons les données et les hypothèses de la fig, ■ 17, n"* 46, on aura, pour tous les points du cercle (c),
ab = r* — ac .
Voilà une relation primitive, car elle ne peut provenir par aucune transformation d'une autre plus simple qu'elle. En l'élevant au carré, on a nécessairement aussi
ab = (r* — ca ) ;
mais quoique cette relation soit une conséquence rigoureuse de la première, elle dit pourtant plus qu'elle, par la raison
que r' — ca au lieu d'être essentiellement positif peut y devenir négatif, sans que cette dernière équation change de forme algébrique; en sorte qu'elle exprime à la fois tout ce que ren-
ferme la relation ab = r^ — ca et celle-ci — ab =r* — ca , qui est bien différente, puisqu'elle appartient, non plus au cercle lui-même, mais à Vhyperbole équilatère, et construit cette hyperbole par points.
La relation ab = r* — ca est celle que nous appelons primitive^ l'autre ab = (r* — ca ) n'est que dérivée. Or, Je dis que les relations de la Géométrie sont toutes d'une nature simple comme la première.
D'abord, cela peut résulter du fait géométrique même, et l'on peut toujours supposer qu'on n'admette que de semblables relations; mais on peut aussi montrer que cela résulte immédiatement des pHncipes fondamentaux de la Géométrie pure, à l'aide d'un raisonnement déjà employé et que nous allons reproduire.
^8. Il est incontestable qu'il en est ainsi dans les flgures
DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. in
élémentaires auxquelles peuvent se ramener toutes les autres. Or, nous avons vu que les propositions les plus générales de la Géométrie peuvent se déduire de la combinaison dés égalités qui appartiennent aux figi^res élémentaires. D'ailleurs, il est bien visible que ces combinaisons se réduisent, en dernier terme, à l'élimination de certaines quantités entre les égalités primitives; si donc on a le soin de ne jamais employer pour cette élimination que des méthodes qui ne compliquent pas inutilement les résultats, il arrivera que les équations finales ne diront ni plus ni moins que les relations primitives; par conséquent si celles-ci n'appartiennent qu'à la figure proposée, les autres n'appartiendront également qu'à celte seule figure, et en seront^ par cela même, des définitions exactes, des équations caractéristiques. Mais c'est précisément ce qu'il faut admettre dans la recherche de propositions nouvelles, et c'est nécessairement ce qui arrive quand on procède par le raisonnement ordinaire. Donc, les propriétés géométriques sont des relations simples, inséparables, irréductibles à de moindres termes; elles n'appartiennent en toute rigueur, qu'à la figure dont elles émanent. Quant aux équations qui s'en déduisent par voie de multiplication, d'élévation aux puissances, etc., nous en faisons abstraction, et regardons de telles opérations comme non permises au point de vue de la Géométrie ancienne.
Ce que nous venons de dire relativement aux relations de cette nature est précisément aussi ce que l'on observe dans les recherches purement algébriques; car on n'admet jamais pour résultats véritables tous ceux qui proviennent d'éliminations ou de transformations non immédiatement ou implicitement comprises dans les équations primitives; il faut que ces résultats les rendent identiques par substitution directe et ne donnent ni plus ni moins que ces équations. C'est dans l'hypothèse où l'on n'admet que des opérations et des résultats licites, que nous raisonnerons dans ce qui va suivre, afin d'éviter toute équivoque, tout paradoxe, et de détruire par là les nombreux reproches adressés jusqu'ici aux applications de l'Analyse algébrique à la Géométrie.
^9. Considérons toujours une figure composée d'éléments géométriques quelconques, séparément soumis à la loi de
•jti2 IIP CAHIER. - SUR I.A LOI DES SIGNES
continuité et des signes de position, tant dans son état ariuel ou primitif que dans ses états corrélatifs ou dérivés; il est indispensable de distinguer attentivement les données des inconnues ou grandeurs restées entièrement arbitraires; les constantes des variables ou indéterminées ; les objets fixes des objets mobiles ou susceptibles de changer de position par rapport aux premiers; enfin les constantes Jixes des constantes mobiles^ c'est-à-dire variables de position. Par exemple, dans un triangle, la base peut être donnée de grandeur et de position, tandis que Tun des côtés adjacents, aussi donné de grandeur, ne le sera pas de position relativement au sommet fixe par lequel il est assujetti à passer.
Cela posé, imaginons qu'on résolve les équations qui expriment les propriétés de l'état primitif du système, équations en nombre suffisant par rapport aux inconnues pour les déterminer de grandeur et de position ; les valeurs ainsi obtenues satisferont, par hypothèse, aux relations primitives en les prenant collectivement avec leurs signes. Si ces signes sont positifs, la position d'abord attribuée aux divers éléments do la figure sera, sans nul doute, la véritable position du système, conformément aux principes généralement reçus. Donc alors les quantités inconnues se trouveront à la fois déterminées de grandeur et de situation.
Mais si, au contraire, le signe algébrique de la valeur finale d'une inconnue quelconque est négatif, c'est, admet-on encore, la preuve que cette inconnue doit avoir un sens opposé à celui qu'on lui attribuait d'abord, et, si cette valeur était imaginaire, ce serait aussi une preuve que les équations d'où l'on part sont incompatibles entre elles pour l'hypothèse faite sur la position relative des points, les signes des données, etc.; le résultat définitif, la figure à découvrir étant elle-même inconstructible géométriquement.
50. I^ chose est en soi incontestable, en général, d'après les règles de l'Algèbre et les principes précédemment établis pour la loi des signes de position ; mais il peut se présenter bien des difficultés dans l'application, et ces difficultés proviennent moins de l'Analyse algébrique que de la manière restreinte dont on envisage souvent les questions.
DE POSITION KN GÈOMKTHIK. ni
Nous allons essayer, dans les paragraphes ci-après, île parrourir successivemcnl les prineipalcîs sohuions de celle espèce qui sonl jusqu'ici (1B17) parvenues à noire connaissance.
1° Si les objets connus sonl tous fixes, landis que les inconnus resteni seuls indélerminés de siiualion et de grandeur, il est visible que les conséquences ci-dessus seront directement et rigoureusement applicables, pourvu toutefois que les équations de départ expriment des propriétés effectives du système. En effet, les signes et les valeurs des inconnus étant alors seuls indéterminés, le système obtenu et la figure qui s'y rapporte ne peuvent être en désaccord avec les hypothèses de la mise en équation, que par les signes mêmes et la grandeur absolue ou la situation des quantités cherchées.
Dans les mêmes circonstances, il peut arriver deu\ cas : ou les distances inconnues se mesurent sur des lignes droites de position fixe et déterminée, ou elles se mesurent sur des lignes droites de situation inconnue; le premier de ces cas ne saurait offrir aucune difficulté, que les valeurs obtenues algébriquement soient positives, négatives ou même imaginaires, pourvu toujours que les équations d'où l'on part exprimenl les véritables conditions ou propriétés du système cherché.
Examen raisonné et critique de la solution coniuie lif quelques problèmes déterminés relatifs aux points rangés sur une droite fixe,
31. Une erreur que Ton commet facilement et irès-souveni dans la mise en équation, c'est de confondre le système cherché avec d'autres systèmes plus ou moins analogues, mais qui en sont réellement distincts géométriquement, sinon algébriquement. Celle erreur est d'autant plus facile à commettre que, sous un cerlain point de vue, sous celui de l'énoncé verbal de la question notamment, ces systèmes ne semblenl différer que par la situation et non par leur nature propre.
Pour en donner un exemple élémentaire, soit abx [fi^. 1-20; une cir- <:unférence de cercle, dont le cenlre est ^k sh et sx deux sécantes, dont Tune sb détermine des si^i^^mcnls sa, sb qu'un suppose connus, tandis *pron regarde comme inconnus les sej^inenls sw et .v> formés sur l'autre;
du centre o soit abaissée une perpendiculaire oi sur la droite sx : si Ton suppose sxy donnée de direction , is sera aussi connue, et l'on aura tout ce qu'il faut pour déterminer x et / ou sx et sy. En effet, i étant nécessairement le milieu de xy^ on a, pour la position hypothétiquement supposée aux points x et y^ remplissant d'ailleurs la condition que ces points soient sur nn cercle qui passe par /i et 6, on a, dis-je.
sa . sh = SX . sy, •! si — sx -^ sy.
Ces équations étant des traductions algébriques rigoureuses de l'énoncé doivent infailliblement faire connaitre les points x ety cherchés. Mais si, au lieu de Supposer les points x el y d'un même côté du
point Sy on les eût supposés de côtés différents en x' et ^>'', on aurait obtenu les équations
sfi.sb = sx' .sy\ 'isi = sy' — sx',
lesquelles diffèrent entièrement des premières et fournissent aussi des valeurs distinctes. En effet, tandis que les premières donnent
SX = si ±: M si — sa.sh.
les autres, au contraire, donnent
' ~ — si ±: V.vi -h sa, su
SX —
Le problème semblerait donc susceptible de quatre solutions réelles et distinctes, ce qui parait véritablement absurde. D'un autre côté, l'absurdité ne vient |>as de ce que l'Analyse a mêlé des racines étrangères à rellesî
DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. ai 5
qui ap))arlieniieot au problème, car .les racines obtenues satisfont algébriquement aux équations primitives correspondantes; elle ne peut donc provenir que de la mise en équation elle-même, ou plutôt encore, de l'hypothèse particulière qui a été faite sur la position des points x' et jr' : en effet, Thypothèse faite en second lieu sur la position de ces deux points, ne saurait convenir à la nature du cercle; car on sait que, dans cette courbe, le point d'intersection de deux sécantes quelconques est à la fois au delà ou en deçà des quatre points d'intersection qui leur correspondent.
Ainsi ie système des dernières équations n'appartient pas à la question proposée, puisqu'il est expressément spécifié, dans son énoncé, que les points inconnus doivent appartenir au cercle contenant a et b. Mais si, négligeant cette condition particulière, on se borne à exiger que le rectangle SX. SX soit donné à priori, ainsi que le point / milieu de .r/, alors le problème aura quatre solutions effectives, qui ont déjà été données cidessus; car il n'y aura plus de raison pour rejeter l'hypothèse où les points r et jr seraient situés de part et d'autre du point s.
On aurait donc bien tort ici de .croire que les incertitudes tiennent au mode d'opérer, à ce que Ton se sert de l'Analyse algébrique; car si, en traitant la même question géométriquement , il arrivait qu'on ne connût ni la position du centre, ni celle de la circonférence («), on tomberait évidemment dans une indécision pareille à l'égard de la véritable position des points inconnus x et y.
D'ailleurs, de quelque manière que l'on procède, on n'échappe point à toute difficulté; puisque si on met le problème en équation dans ces conditions générales, on ne pourra partir que de l'une de ces hypothèses distinctes : ou les points x et j sont à la fois d'un même côté ou ils sont de côtés opposés du point s; or, dans l'un et l'autre cas, on n'obtiendrait que deux solutions du problème, tandis que réellement il en a quatre, d'après l'énoncé verbal, dès que, dans cet énoncé, rien ne spécifie quelle est la position relative des points cherchés x et r à Tégard du point .v, toujours censé donné à priori ainsi (jue le point milieu /.
52. Dans cette dernière hypothèse comme dans la première, on ne saurait accuser l'Analyse algébrique; car les mêmes raisons qui prouvent qu'elle n'avait pas nécessairement et de son fait, mêlé des racines fausses ou étrangères à celles qui appartiennent au problème, servent aussi à démontrer qu'elle ne saurait en avoir diminué le nombre. 11 est bien évident, en effet, qu'ici les équations de départ ne peuvent avoir d'autres racines algébriques que celles qui s'en déduisent par les procédés ordinaires du calcul.
(]'ost donc encore à la façon dont le problème a éic mis en
n6 HP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
équation qu'il faut attribuer la limitation des résultats obtenus; c'est parce que cette mise en équation n'exprime pas tout le sens de la question, qu'en un mot elle est trop restreinte. 11 ne faut pas croire, au surplus, que la Géométrie pure se conduise d'une manière différente dans les mêmes circonstances; car on peut s'assurer ici du conlraire eh cherchant à résoudre le problème d'après les procédés d'intuition qui lui sont propres. Ce qui fait que l'Algèbre, comme la Géométrie, ne donne, dans certains cas, que des solutions partielles, c'est que ces solutions sont séparables et ont quelque chose de distinct; c'est que l'équation générale qui les donnerait toutes simultanément, est décomposable en facteurs rationnels plus simples. Dans toute autre circonstance, la même chose n'aurait plus lieu. Ainsi, par la même raison qu'il y a en Algèbre des racines étroitement conjuguées, des équations indécomposables, il y a aussi en Géométrie des solutions qu'on ne peut séparer autrement que par la pensée et en violant la continuité : tels sont, par exemple, les deux points d'intersection d'un cercle et d'une droite arbitraire, etc.
53. On peut demander comment, dans les circonstances dont il a été parlé, il faudra se conduire pour obtenir les vériiables solutions pu équations du problème, celles qui répondent pleinement à l'énoncé verbal de la question. Or voici, si je ne me trompe, un moyen d'y parvenir sans trop d'hésitation.
On tracera quelque part une figure qui soit dans les conditions générales de cet énoncé, et dans laquelle tout sera' supposé connu et possible. Cette figure servira de type général pour les diverses questions du même genre. On recherchera ensuite les relations descriptives ou métriques qui appartiennent à cette figure, en choisissant de préférence celles qui lient d'une manière immédiate les inconnues aux données de l'énoncé verbal. Enfin on imaginera que, par un mouvement gradué, les objets qui, dans la figure type, correspondent à ceux de cet énoncé, viennent prendre la situation qu'on prétend leur attribuer en particulier sans violation du principe de continuité, et tout en appliquant la règle des sipies do position aux diverses relations considérées, en se rappelant loulcfois ( 38) que, dans lo passage d'une position à
l'autre, les dislances supposées iueoiiiiues ne doivent pas' changer de signe.
Appliquons ceci au problème déjà pris pour exemple.
54. Dans ce problème, il s'agit de « déterminer les points d'intersection • d'une droite indéfinie .vB (^g, 121) tracée sur un plan, avec un cercle
Fig . I i I .
'• dont le centre o est connu, et qui, de plus, doit rencontrer uni» aulr»^ n droite .vA donnée de position aux points a et b de sa dire(*tion. »
Quoique cet énoncé ne fasse nullement mention de la position relative des données, toutefois je conlimierai à supposer (pi'on veuille le résoudre ]K)ur la situation attribuée à \'àfg. 120 on \'i\.
D'après ce qui précède?, on tracera (fig. \'i-i) une circonférence de cercle quelconque près de la Jig. \i.\ dont on s'occupe, puis on lui mènera deux sécantes également arbitraires, telles cpie cd et nh^ se coupant quelque part en v. Supposant ([ue Tune d'ellt»s ah, représente la sé-
«ante donnée à priori, l'autre vd représentera la s«''cante inconnue : du centre o du cercle, ayant abaissé la perpendiculaire ni sur itîlte dernière, elle la partagera eu deux parties égales au |>oint /; ce point sera donr ausii connu, puis<iue o est censé donné ainsi (pie la dircrlion indclinic <le vd. Or, pour la position actuelle vX toute liypothéticfue de lu ligure, on a
w,\d .- sft.sh, sd -' sr '/>/.
Telles sont les équations qui servent de type général à la solution du problème ; en les résolvant par rapport à se et sd qu'on suppose inconnues, on aura séparément
se = — si ifc Si si 4- sa,sb^
sd — si ■±. \ si H- sa . sb .
Ces formules appartiendront à toutes les situations possibles des lignes de la figure, lorsqu'on y aura égard à la loi géométrique des signes.
Supposons, par exemple, qu'on veuille les appliquer aux hypothèses particulières faites sur les données de la Jîg, lai. On remarquera que, dans le passage de cette figure à la suivante^ la distance sa devient seule inverse parmi ces données, relativement à la position qu'elle occupait du côté opposé du point s : cette distance devant donc seule changer de signe puisque .vc, j^/sont des inconnues (53), les formules ci-dessus deviendront, pour le nouveau cas.
jc = — si -±1 S si — sa.sb^
sd = si =fc V.« — sa.sb,
La première de ces formules donne pour se deux valeurs négatives, et apprend que, dans la Jîg, 121, r a aussi une situation contraire à celle qu'on lui avait supposée dans la figure type, c'est-à-dire qu'au lieu d'être à gauche de s, il doit être à droite comme le montre la jfig. 122. Quant à la formule qui donne sd^ elle fournit les distances absolues, toutes deux positives, déjà trouvées au n** 51 ( fig. 120) (*).
55. Tout ceci résulte immédiatement de ce que la figure prise pour type ne diffère que par la situation des parties intégrantes, et non par leur nature propre, de celle que l'on se propose d'obtenir algébriquement d'après renoncé verbal, quelle que soit d'ailleurs la situation relative des objets donnés ou connus à priori ; aussi les formules trouvées sont-elles applicables à tous les cas possibles, dès qu'on a égard à la mutation des signes de position qui s'y rapportent.
Je ne crois pas qu'on puisse éprouver de difficultés relativement à la
(*) Le texte inanus«'Tit ne contient rien de particulier relativement à l'interprétation des valeurs positives, négatives et imaginaires des diverses inconnues, parce que ce genre de questions se trouve approtoiidi d^une manière toute 8|Mt> cialc et contrairement aux opinions de Carnut, dans les articles suivants de cv lir Cahier.
DE POSmON EN GÉOMÉTRIE. 119
manière dont se comportenl les signes des inconnues, selon la position : cela dérive naturellement des règles et des lois précédemment établies d'une manière générale. Mais on peut faire une autre question plus difficile en demandant la raison pour laquelle on obtient simultanément les valeurs de se et sd quoiqu'on ne cherche que se seule. Nous répondrons : la raison en est que les points e et d sont unis entre eux de telle sorte que ce qu'on peut dire de Tun s'applique naturellement à l'autre, qn*en construisant l'un on construit en môme temps l'autre, et que par conséquent se et sd doivent dépendre d'une même équation algébrique. En effet, -le cercle {o), Jig, i9.a, les détermine d'une manière simultanée et inséparable, à moins qu'on ne restreigne le tracé de ce cercle. A la vérité, on pourrait dire que les distances se et sd entrant symétriquement dans les équations de départ, il n'y a pas de raison |)our que le résultat final donne l'une des racines plutôt que l'autre; mais alors aussi on peut demander pourquoi se et sd entrent symétriquement ainsi dans les équations primitives; ce qui revient toujours au même.
56. On conçoit bien maintenant qu'en agissant comme on vient de l'expliquer sur des exemples, on évitera, dans la mise en équation, de confondre la question réelle de l'énoncé verbal avec d'autres questions plus ou moins analogues, mais pourtant distinctes de nature : en effet, par là on aura nécessairement obtenu un système en corrélation réelle et directe avec le système cherché. Cependant il n'est pas toujours nécessaire de tracer une figure à part de celle des données du problème^ pourvu que la position hypothétiquement adoptée pour les objets inconnus fasse réellement partie du système indiqué par l'énoncé verbal.
Après avoir montré d'ailleurs comment on peut renfermer la mise en équation de la question dans les bornes véritables de l'énoncé verbal, il paraîtrait convenable d'indiquer aussi les moyens propres à faire découvrir à priori tous les systèmes de solutions qui peuvent appartenir à un énoncé général, lorsque, de leur nature, ces systèmes sont séparables et ont quelque chose de distinct. Il est difficile de donner une règle générale; cependant on peut remarquer que les équations qui appartiennent à ces divers systèmes de nature séparable, doivent, d'après l'hypothèse, ne différer que par les signes de position qui y entrent; car, autrement, elles ne répondraient pas à un même énoncé, mais à des énoncés différents.
D'un autre coté, il est visible aussi que ce ne sont pas les
-no nv CAHIER. - SUR LV LOI DES SIGNES
données d'un problème qui doivent porler des signes différents; car ces données sont les mêmes pour tous les systèmes corrélatifs, à moins qu'elles n'appartiennent à des objets indéterminés de situation. Ces systèmes ne doivent donc différer que par les signes de position attribués aux inconnues; or, s'il existe plusieurs équations distinctes propres à traduire les conditions du problème» il pourra se faire que les unes définissent la situation des parties du système, tandis que les autres seront des relations métriques entièrement étrangères à cette situation, ou au moins pouvant être regardées comme telles : cela arriverait, par exemple, si le rectangle d'une dislance par une autre, devait être égal à un rectangle ou à une aire donnée, etc. Dans ces cas et tous les semblables, les équations qui expriment des conditions étrangères à la situation demeurant invariables, quelle que soit la position qu'on suppose aux distances et objets inconnus, on obtiendra évidemment autant de systèmes différents d'équations qu'il existera de positions distinctes de ces inconnues, susceptibles de faire varier les signes des termes dans les relations métriques qui défmissent la situation.
57. Qu'on demande, par exemple, combien de systèmes difTérenU (l'é(iuations appartiennent à la question suivante, dont la correspondance avec celle ci-dessus est facile à apercevoir.
w Trouver sur une droite indéfinie si {/îg, 1*3) deux points x elr^ tels y^ que leur distance xr soit divisée également au point /, et que le rec-
Fig . I jS .
» langle des distances de ces points à un autre point .v de la droite soit n donné. »
Pour la situation actuellement attribuée aux points .v et y\ les équations du problème sont évidemment, en nommant a^ Taire du rectangle
tlonné.
sx.sy — ft^, i.r --- fr,
si — sjr -f- i.i\ si = S) — iy.
l)e ces trois équations, les deux premières sont étrangères à la situation des points »* et >, et par conséquent invariables dans leur forme: les dernières seules pfMivont varier dans les signes parce qu'elles expriment
DE POSITlOxN KN OROMÉTRIE. ou
des propriétés générales de silualion. Si donc on venait à faire varier la situation supposée aux points x eif, elles pourraient changer de forme; et, comme celles-là demeureraient invariables, la question serait autre. Ainsi le point .r, au lieu d'être à droite, étant supposé en x' à gauche de .V, les dernières équations deviendraient
si — — .Vvt' -f- />', si = sj' — />',
et conduiraient évidemment à des valeurs distinctes pour sx et sj\ par leur combinaison avec les deux premières.
Maintenant, il est aisé de s'assurer que les autres hypothèses que Ton pourrait faire sur la situation des points x et i, ne sauraient fournir d'équations distinctes de celles déjà trouvées ci-dessus. En effet, après les deux suppositions précédentes, il ne reste plus que celles ou sr passe à droite de .f, ce qui donne
ou si -.-. s.r 4- ojT, si = iy' — sy' .
ou si ■— — .v.r'-f- i.r', si -= />^ — sy':
équations qui rentrent dans les premières, parce qu'elles n'en diffèrenl qu'en ce que sx y est changé en sy et réciproquement.
58. M. Carnot (Géométrie de position, p. 53, n" 58) résout un problème qui offre une grande analogie avec le précédenw sous le rapport des difficultés : Tillustre géomètre présente à ce sujet diverses réflexions qui sont loin de s'accorder avec les nôtres. Comme ces réflexions tendent à prouver que l'Analyse algébrique ne donne pas toujours des solutions véritables, et qu'elle peut, de son fait propre, en introduire d'absolument insigniflantes ou même de fausses, je crois devoir discuter ces réflexions avec une certaine étendue, afln de jeter un plus grand jour encore sur ce genre de questions.
Voici le problème dont il s'agit :
« Trouver sur la direction d'une droite nb [Jig, 124), un point .r tel
Fig. \i!\.
» que le rectangle de xn , xb soit égal à une surface donnée, égale à la » moitié du carré fait sur ab. »
En admettant, avec l'auteur, que le point x soit entre a et />, on a
xn. xb --- - nb , fix -4- xb — ab:
Ma ill* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
iVoù Ton tire
xn —^ab ±1 - ab J— i — - «^ ( i ± \P-\ ) .
Ces deux valeurs étant imaginaires, i auteur en conclut que le problème a pu être mal mis en équatiotty parce que ron aurait fait les raisonnements sur une figure qui n'était pas celle que l^on devait considérer. Il établit donc ses nouveaux raisonnements en supposant le point x au delà de ba en .r'; alors les équation^ deviennent
1 — * xn.xb = -ab , x'b — x'a = ab:
d'où Ton tire
xa = -ab±: -\'^ab --ab il ±:]/l).
Ces deux valeurs étant réelles, Tauteur en conclut (p. 55) qu'elles résolvent la question proposée; mais ensuite il ajoute: a On voit que le » signe imaginaire des racines d'une équation n'annonce pas plus que le
» signe négatif l'impossibilité de résoudre le problème proposé On
» ne doit considérer la question telle qu'elle a été résolue que comme n une question partielle, dont les racines négatives et imaginaires indin quent d'autres questions plus ou moins analogues à la première, les- » quelles pourraient être réunies à celles-ci dans un énoncé général » auquel l'équation qu on trouverait alors serait toujours applicable immé- » dîatemcnt et sans aucune modification dans les signes. »
M. Camot justifie son opinion sur l'exemple même qu'il vient de traiter en prenant pour inconnue non plus xa, mais la distance du point x à un point k du prolongement de ba. Ayant tiré de cette nouvelle mise en équation, deux valeurs réelles et positives pour l'inconnue kx, il pense avoir obtenu les deux racines cherchées parce qu'il a donné une extension suffisante aux hypothèses ou conditions du problème. Ces conséquences ne nous paraissent pas exactes.
59. Premièrement, il n'est pas vrai de dire que dans la première hypothèse, celle qui plaçait x entre a et 6, le problème ait été mal mis en équation, et qu'on ait établi le raisonnement sur une figure étrangère à celle qu'il s'agissait de considérer. En effet, l'énoncé général de la question laisse la position du point x entièrement arbitraire, et il n'y a aucune incompatibilité entre les hypothèses et Ténoncé; l'Analyse, en donnant deux racines imaginaires, apprend que les données de la question, incompatibles avec ces hypothèses pour le cas actuel, peuvent ne plus rètrc pour d'autres valeurs des données.
En effet, si le rectangle de xa,xb devait être égal, non pas à la sur-
I — ' face -ab , mais à une surface quelconque X*, les équations deviendraient,
DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. aa3
en admettant toujours l'hypothèse que x soit entre a et />,
xa.'xb = X^ jca -hxb = ab, d'où Ton tirerait
ah
xa =: — ^— .,
expressions qui pourront être tour à tour réelles, toutes deiu positives
ou imaginaires, selon que k sera < ou > que - nb. Les racines imagi-
naires trouyées d'abord indiquent donc que le problème, non résoluble pour les données et les hypothèses actuelles, pourrait le devenir en changeant simplement les valeurs absolues de ces données, sans modifier en rien les oônditions et les hypothèses
60. Ces idées s'accordent, comme on voit, avec celles que nous avons données en général des imaginaires (38 et suiv.), en disant qu'elles n'indiquent point des impossibilités absolues, mais bien des impossibilités relatives aux positions et aux grandeurs qu'elles concernent. A la vérité, dans le cas actuel, on pourrait être conduit avec M. Carnet à envisager les choses sous un tout autre point de vue, en regardant les hypothèses ou conditions elles-mêmes comme mal établies, puisque, en changeant ces hypothèses et supposant le point x au delà de ab^ on obtient deux solutions^ réelles du problème; mais il est facile do démontrer que cette opinion sur les racines imaginaires en général est inadmissible.
En effet, si les hypothèses étaient mal établies pour le cas actuel, il n'y aurait aucun motif de croire qu'elles fussent mieux établies pour toute autre valeur attribuée au rectangle xa,xh. Or on a vu ci-dessus que ces hypothèses pouvant très-bien convenir à une infinité de grandeurs supposées à ce rectangle et donnant deux valeurs réelles pour l'inconnue x/7, il ne serait pas plus exact de dire que les rdcines imaginaires obtenues, indiquaient d'autres hypothèses propres à rendre le problème possible, c est-à-dire donnant des solutions géométriques réelles: car on pourrait tout aussi bien admettre que les valeurs réelles trouvées pour le cas de xa.xb = P, indiquent également d'autres solutions du problème et un changement nécessaire dans les hypothèses. En admettant alors que ,r se trouve en x'y au delà de ab^ on obtiendrait
Vt
or ces valeurs sont toujours réelles.
Ce qui fait qu'en changeant les hypothèses on a obtenu des solutions réelles, c'est, comme on vient de le remarquer, que le problème est sus-
224 HP CAHIER. - SUR LA Wi DES SIGNES
ceptiblo en général de ({uatre solutions de œtte espèce, réparables en deux groupes distincts, et que Tun de ces groupes peut être imaginaire tandis que Tautre est nécessairement réel. Quant aux racines négatives obtenues dans les différentes hypothèses, elles redressent véritablement ces hypothèses, mais sous le seul rapport de la position, en apprenant que la distance cherchée est inverse de ce qu'on la supposait d'abord : ce sont toujours des solutions réelles et géométriques du problème tel qu'il a été mis en équation.
61 . Secx)nderaent, il n'est pas exact non plus de dire que, parce que dans la seconde hypothèse on a trouvé deux racines réelles, on ait, par là même, obtenu toutes les solutions du problème ; pour l'affirmer, il faudrait avoir parcouru toutes les hypothèses admissibles. Il ne Test pas davantage de prétendre qu'on puisse réunir les dKers cas dans un seul énoncé général, auquel les équations alors obtenues seraient toujours applicables sans modification dans les signes.
Car, par exemple, en prenant une nouvelle origine X (y?g. iii) en deçà de aby le nombre des hypothèses possibles sur la position du point :r, n est pas changé, et chacune de ces hypothèses donne des équations différentes tout aussi bien que si roriginc' était prise en a. Aussi arhve-t-il que, quand le problème est susceptible de quatre solutions réelles, la nouvelle mise en équation ne donne encore que les solutions partielles du problème.
Concluons de là que les racines négatives indiquent (38 et suiv.) des solutions réelles, en même temps qu'un changement dans les hypothèses sur la situation des inconnues, et que, à l'inverse, les imaginaires indiquent que, pour les grandeurs actuelles des données du problème, les solutions examinées sont véritablement impossibles, quoiqu'elles puissent devenir possibles et constructibles géométriquement en changeant ces grandeurs sans changer les hypothèses. Dans aucun cas, on ne peut affirmer avoir obtenu intégralement les solutions du problème quand ces solutions sont séparables et offrent quelque chose de véritablement distinct.
Ce qui fait encore qu'ici, comme dans les questions examinées plus haut, les changements d'hypothèses relatives à la position de l'inconnue ont pu fournir des solutions nouvelles, c'est que, parmi les équations primitives, il en est qui, étrangères à la situation et aux hypothèses qui la concernent, sont purement relatives à la grandeur constante ou absolue des données, tandis que, d'autre part, il s'en trouve aussi qui
Î)K POSITION EN GÉOMÉTRIE. aiS
ne concernant (|ue la situation mutuelle des parties, sont par conséquent variables dans les signes. Ces dernières relations, sans conditions de grandeurs absolues, expriment véritablement les propriétés générales du système qu'il s'agit d'étudier; les autres sont des conditions de mesure (17) étrangères auxquelles on veut l'assujettir. Pour qu'une relation métrique exprime une propriété géométrique de la figure ou du système considéré, il faut que les grandeurs y puissent changer de signe en même temps que de position; alors le changement d'hypothèse n'influerait plus sur le nombre des solutions effectives, le système examiné devenant distinct de tout autre, et les hypothèses admises ne pouvant influer que sur les signes et les valeurs relatives des inconnues.
62. M. Cainoi reproche encore (p. 58 /à la doctrine ordinaire d'aflîrmer que le calcul doit redresser de lui-même l'erreur f|u'on pourrait avoir commise en exprimant algébriquement les conditions du problème. En cela je pense qu'il a parfaitement raison ; car, s'il arrive, comme dans les précédents exemples, que le problème ait plusieurs solutions séparables et distinctes, il est bien évident que le calcul ne donnera que ce qui concerne l'un quelconque de ces systèmes de solutions sans rien redresser. Cependant, comme dans le même cas on n'aura réellement commis d'erreur qu'en prenant un système pour un autre, on aura vraiment obtenu par le calcul toutes les racines ou solutions qui lui appartieiHient, puisque ces solutions seront insél>arables; de plus, ce calcul fera coiniaîlre si la position supposée à l'objet inconnu est conforme ou non à celle <|ui peut avoir lieu, et en cela encore il nîdressera l'erreur commise. Dans le cas le plus généi^l où les solutions appartenant au problème seront toutes inséparables, le calcul fera connaître évidemment celles qui ont le sens admis par l'hypothèse, ou celles (jui ont un sens contraire, ou enfin celles qui sont susceptibles de devenir impossibles, imaginaires pour certaines conditions ou données relatives à la position, à la grandeur et aux signes.
D'après ces considérations, je n'admettrai pas, avec M. Carnol, que des ligures, dérivées l'une de l'autre par voie de continuité, puissent être géométriquement en corrélation corn- 11. iG
plexe, c'esl-à-dire imaginaire selon ses définitions» qui s'appliquent au cas 011 certaines données constantes et fixes, n'auraient par elles-mêmes aucune existence réelle et géométrique, mais purement algébrique et hypothétique, comme il arrive, par exemple, quand on vient à changer arbitrairement
une constante telle que a* en — a% ou a en a^ — i, etc., et, en général, quand on modifie la nature même des conditions et des équations algébriques fondamentales d'un problème géométrique : toutes celles que je prétends étudier ou examiner ici se rapportent essentiellement à ce que M. Carnot nomme corrélation directe ou inverse, la seule que l'on ait à considérer dans la recherche des Propriétés projectives des figures et dans l'Analyse des transversales.
63. Ce qui précède fait voir clairement, ce me semble, que, quand on a obtenu algébriquement deux racines ou valeurs de l'inconnue d'un problème, on peut, en toute sûreté, affirmer que ces racines sont des solutions véritables du problème tel qu'il a été mis en équation, aussi bien que des solutions véritables de l'énoncé verbal de la question, pourvu que la mise en équation en soit la traduction fidèle, et cela même quand ces racines sont négatives, imaginaires, etc. Néanmoins on ne pourra pas dire avoir résolu complètement la question dans le sens général de l'énoncé, si, de sa nature et par do simples mutations de signe ou de position, elle est séparable en plusieurs autres et susceptible de divers systèmes de solutions entièrement distincts.
Ne craignons pas de le répéter : parce que, dans certains cas, l'Analyse algébrique ne saurait donner toutes les solutions d'un problème, il ne faut pas croire que cela tienne à son essence propre, mais bien à la nature même des choses; car on peut prouver par une infinité d'exemples, que, dans les mêmes circonstances, la Géométrie ne saurait, de son coté, renfermer toutes les solutions en une seule.
6i. En particulier, reprenons le problème ci-dessus dans lequel il s'agit de trouver sur une droite ab [fig, 124) un point .r tel, que le reclanglo de xa.xb soit égal à une surface donnée P, 11 est évident, d'après les propriétés connues du cercle, qu'on résoudra aussi la question en décrivant [fig. isi5) sur nb comme diamètro. une demi -circonférence, puis en
DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. gii7
menant à nb^ à une distance XY égale à \ica..vh - / , la parallèle A' B'; car celte ))arallèle viendra rencontrer le cercle en un point v, par exemple, tel qu'en abaissant de ce point l'ordonni^e y.r^ son pied x sera Tune des solutions demandées, puisciue l'on aura
— î ,ra.xb ■-- TY — ti-.
On obtient ainsi deux solutions x et x' du problème; mais cette construction ne saurait en donner plus de deux remplissant les conditions propo-
Tip. iz;').
i va jc'ox h \ H
sées : ce sont les mêmes d'ailleurs que l'on obtiendrait en traçant au lieu de la sécante A'B' sa parallèle symétrique par rapport à nh, et qui répond
à la valeur négative du radical ci-dc^ssus \f.ra..rh.
Pour en obtenir (60) deux autres X et X', il faut substituer au cercle une hyperbole équilatère décrite sur le même diamètre princi[>al nb\ c'est-àdire qu'il faut avoir recours à un expédient tout à fait distinct du premier; cet expédient manquerait évidemment si l'on ignorait que l'hyperl)ole équilatère, en corrélation complexe a\ec \v (rorcle selon la définition de M. Carnot, jouit d'une propriété qui lui est commune avec celte courbe: ainsi on serait porté à croire, d'après un premif»r aperçu, que U? problème n'a d'autres solutions efrecti\es que les doux qui ont d'abord été trouvées. Dans le cas actuel ce serait certainement une erreur, puis(|ue l'énoncée du problème laisse la position du point .r entièrement indéterminée ou arbitraire par rapport à n et b.
On voit aussi par là, ce (ju<» nous avons avancé d'une manière {générale, que les solutions imaginaires n'indiquent pas plus que les solutions réelles s'il existe d'autres solutions du problème. Oir, de ce que la parallèle A'B' ne rencontrerait pas le cercle, on pourrait être l^nté de conclure qu'il n'existe effectivement aucune solution du problème; tout comme on pourrail croire iju'il n'en existe que deux seulement, (piand cette même droite U^ rencontre en deux points ré(»ls.
65. Au surplus, on |)ourrait multiplier beaucoup les exem|)les par lesquels on S4»rait conduit aux mêmes difficultés d'interprétation; dans tous, elles tiennent à la séparabilité des solutions algébriques ou géométriques, provenant de ce iju'il exislo (17) dans Ténoucé du problème des oondi-
228 IIP CAHIER. - SUH LA Wl DES SIGNES
lions indépendantes do la position des points ou des lignes. Nous n'en offrirons plus qu'un seul , remarquable parce qu'il a été approfondi par un savant qui s'est occupé, après M. Carnot, de la règle des signes en Géométrie (Gaudin, i*" partie, p. 28).
« D'un point M (Jîg, 26), dont la position est donnée par rapport aux » droites fixes AG et AS formant un angle connu CAS ou a^ mener, dans
» cet angle, une droite CMS, de manière que le triangle intercepté ACS 9 soit égal à une surface donnée /^ »
Soit abaissée du point M l'ordonnée MR = /ti parallèle à AS, sur AC dont elle retranche l'abscisse AR = /?, on aura, par la similitude des triangles ACS, RCM,
AS : MR = m : : AC : RC = AC - AR = AC - // ;
ce qui donne l'équation de situation
AS(AC — /0 = w.AC.
Or, d'après l'énoncé,
AS.AC.sin/ï = 2/';
donc on a, dans l'hypothèse actuelle de la figure,
AC .//fsino ,» 77;2 2/* .,^ inl-
— — = 2/' ou AC ; — AL H : — = 0,
AC — n m sin a m sm a
ce qui donne pour première solution les valeurs
msina msinfi
en posant l'aire constante et donnée 2/7?/isinâ = Jr^
Mais si, au lieu de supposer fe triangle inconnu dans l'angle SAC. on l'eût imaginé en S'AC dans le supplément n'= 200*' — « de cet angle, on eût obtenu, en raisonnant d'une manière analogue,
///sin^/ ^ 77? sin a
valeurs toujours réelles et très-distinctes des précédentes; l'une positive
répondant à l'angle même SAC, l'autre négative appartenant à son opposé au sommet en A, c'est-à-dire située du côté de AC, contraire à AC
Le problème est donc susceptible de quatre solutions différentes et distinctes, toutes réelles quand on a i^^imnsma ou .v', mais dont les unes sont positives et les autres négatives; circonstance d'autant plus digne do remarque que les auteurs qui se sont occupés de la question, tels que Bezout (Cours de MatliématitjueSy t. II, p. 247), Biot {Géométrie ana- Iftique, 6* édit., p. 66), n'ont pas soupçonné qu'elle pût avoir plus de deux solutions effectives. M. Gaudin (p. '3o du Mémoire précédemment cité) affirme même avoir obtenu les deux uniques solutions de ce problème ; et, comme ses raisonnements pour découvrir la signification de la racine négative que lui donne l'analyse dans le premier c^s, semblent justifier une telle assertion, on pourrait reprocher à ces raisonnements de n'être I)as, au fond, parfaitement rigoureux, ni parfaitement clairs. Nous croyons, en conséquence, devoir faire ici l'application de la règle des signes de position d*après nos principes.
66. Nous ferons d'abord observer que les solutions du problème se partageant en deux systèmes bien distincts, il devient nécessaire de s'occuper de chacun d'eux séparément. Mais, comme le premier système nous a fourni deux racines essentiellement positivés pour i•^</^ il paraît inutile de s'en préoccuper; il est visible, en effet, que ces deux racines ap- I»artiennent à l'angle môme CAS donné. Considérons donc séparément l'autre système, celui qui a pour point de départ les équations
AS'(AC'4-/0 = '".AC', AS'.AC sina^îi/';
la première d'entre elles exprime seule une propriété de situation de ce système, car elle a été déduite géométriquement des hypothèses faites sur la figure. Cette équation peut done exprimer, par la variation des signes des distances qui y entrent, toutes les positions imaginables de la droite MS'C autour du point M.
Ainsi, par exemple, quand AS' et AC (Jig, 126) y changeront à la Cois de signes en devenant inverses, les points C et S' passeront évidemment dans l'angle opposé au sommet à celui CAS' que Ton considère par hypothèse, mais si AC change seul de signe dans les deux membres, on retombe algébriquement sur l'équation AS(AC— /ï) = /w.AC aux accents près. D^autre part, à cause de l'équation de condition AS.AC.sin/3r = 2/',* qui doit coexister avec la précédente, il n'y aura d'admissible, parmi toutes les situations de la droite MC, que celles qui s'accordent pour les signes et pour la grandeur avec cette même équation ; mais on voit que l'accord n'aura lieu que pour les valeurs à la fois positives ou à la fois négatives des distances AS', AC; car autrement on tomberait dans une contradiction manifeste résultant de co qa'on suppose ici Taire /' essentiellement
a3o m* CAHIER. - SUR LA LX)I DES SIGNES
invariable de grandeur et de signe. Donc les valeurs qu'on trouvera algébriquement pour ces distances , ne pourront également qu'être toutes les deux positives ou toutes les deux négatives. Or, quand elles sont à la fois positives, l'équation de situation fait connaître que la droite S'C est réellement dans l'angle a' examiné, et, quand elles sont toutes deux négatives, elle apprend que cette droite est alors dans l'angle opposé au sommet par rapport à «', puisque AC et AS' y deviennent à la fois inverses et changent de sens à l'égard de l'origine commune A. Donc aussi la racine négative trouvée pour AC doit être portée du côté de AC, c est-à-dire en sens contraire de ce qu'on le supposait dans la seconde mise en équation.
67. Il est donc vrai de dire que, quand la solution algébrique d'un problème géométrique convenablemenl circonscrit et énoncé, donne à la fois plusieurs racines, les unes positives, les autres négatives, celles qui sont positives résolvent la question dans l'hypothèse même faite sur la position de l'inconnue, puisqu'elles indiquent que cette racine doit être portée dans le sens arbitrairement choisi pour la représenter. Les racines négatives, par là même, indiquent que la grandeur à laquelle elles correspondent doit avoir une situation opposée à celle de l'hypothèse.
Le genre de raisonnement établi sur les exemples qui précèdent peut évidemment s'appliquer à tous les cas d'une nature analogue; car alors il y aura des équations qui e.xprimeront les propriétés géométriques du système auxquelles la règle des signes de position demeure applicable, et d'autres relations qui, étrangères à la situation à cause des constantes absolues qu'elles renferment, restreindront le nombre des variations de signes possibles, et excluront ainsi des solutions algébriques et géométriques, toutes celles qui n'appartiennent pas à la figure, au système examiné en particulier. Or, je le répète, quelles que soient les racines ainsi obtenues, s'il y en a une de négative, elle satisfera, conjointement avec ses conjuguées réelles ou imaginaires, aux équations de situation de ce même système, et appartiendra en conséquence à une position de la figure pour laquelle la distance correspondante sera devenue inverse par rapport à celle qu'on lui supposait en premier lieu.
68. On voit avec quelle facilité les principes établis au commencement de ces recherches conduisent au dénouement de
toutes les difficultés de signes dans l'application de TAlgèbre à la Géométrie, et combien sont peu exactes et rigoureuses les démonstrations qu'on a voulu donner à priori de la règle ordinairement admise. Si, en effet, nous n'avions pas justifié à l'avance que cette règle existe pour les positions corrélatives d'un système soumis à la continuité, sur quelle base aurionsnous pu appuyer nos raisonnements? 11 aurait toujours fallu admettre, tacitement ou non, le principe général qui s'y rapporte; autrement on eût été réduit à démontrer la concordance des résultats pour chacun des exemples considérés en particulier, en reprenant la série entière des raisonnements déjà établis, et en cherchant à obtenir des racines positives à la place des racines négatives, par une extension ou par un changement convenable dans les hypothèses de l'énoncé du problème : par exemple, en prenant pour nouvelle inconnue, non plus la distance trouvée négative, mais une autre distance liée d'une certaine façon à la première, ou encore en changeant l'origine même des distances, etc.
On admet alors, il est vrai, que la racine positive résout immédiatement le problème dans l'hypothèse d'abord établie sur la position des dislances inconnues; or, c'est encore là une hypothèse qui ne pouvait se justifier que par le fait même de la Géométrie, c'est-à-dire en prouvant que les propriétés métriques d'une figure sont immédiatement applicables, sans changement de signe, à toutes ses dérivées qui n'en diffèrent par aucun renversement de position des parties.
69. Pour montrer qu'en eflct ce principe d^apparence si évidente, ne (•eut résulter de connaissances étrangères à la Géométrie, il suffit d'offrir un seul exemple.
Soit ASB {fig, 127) un angle inscrit à la circonférence (C), il s'agit
o do démontrer que tous les angles inscrits (pii, s appuyant sur lu corde AB,
'-â32 IIP GAHRER. - ISUR LA LOI DES SIGNES
sont situés d'un môme côté de cette corde, ont pour mesure la moitié de l'arc AB.
Voici la démonstration ordinaire :
Supposons, comme dans la fifçure ci -dessus, que le centre C du cercle soit compris entre les côtés de l'angle S, menons le diamètre OCS et les rayons CA, CB, on aura
Aco -- 2 ASC . Bco -r 'X m:. .
et par conséquent
AC0-+-BC0-r.2(ASC-t-BS(:) ou A(UJ-='2ASB:
mais, on a ép^alement
ACJ) = arc AOB , donc •> ASB = arc AOB.
Voilà la démonstration établie pour la situation actuelle de l'angle ASB : mais si l'on vient à déplacer cet angle par un mouvement graduel Jusciu'à ce que, Jîg. 128, il ne renferme plus le centre C, la proposition n'est plus une conséquence immédiate des premiers raisonnements, quoi(iue les deux
Fig. ia8.
systèmes soient en corrélation directe; ces raisonnements en ellet cesseront d'être immédiatement applicables, puisque les lignes auxiliaires («S. SA, SB ayant changé de position entre elles et à l'égard de celles que l'on considère, l'angle ASO est devenu inverse de ce qu'il était; ce ne sera donc plus alors la somme, mais la difTérence des angles BSO et ASO qu'il s'ajçira de considérer, et il en sera de môme à l'égard des arc^ correspondants.
• 70. Si, pour un exemple aussi simple que celui qui précède, on ne peul pas affirmer, sans recourir de nouveau à la figure et au raisonnement gcomélrique, que la propriété demeure applicable à toutes les situations du système quand les parties de ce système conservent la même situation relative les unes à l'égard des autres, comment pourrait-on l'admettre en général et pour uno figure quelcontiue? Le soûl mo\en d'>
DE mSlTlON EN GÉOMÉTRIE. '233
parvenir csl évidemment relui dont nous avons lait usage en établissant d abord la règle des signes pour les figures élémentaires de la Géométrie, puis retendant à toutes les figures possibles.
Ainsi, quand M. Carnot admet qu'une quantité géométrique qui, dans un premier système, était la différence de deux quantités dont la plus petite a été retranchée de la plus grande, devient, dans le système corrélatif, la différence de deux autres dont la plus grande a été, au contraire, retranchée de la plus petite, quand il admet ainsi que cette quantité change de signe dans toutes les équations qui expriment des propriétés du système, il avance précisément ce qu'il fallait prouver, savoir : que les quantités qui changent de sens, changent simultanément de signe dans les relations métriques où elles entrent.
En effet, admettre que celte même quantité, après avoir été la différence directe de certaines distances, en devient la différence inverse, c'est supposer, en réalité, que la distance dont il s'agit a changé de sens à l'égard de l'origine d'où elle se mesure, et rien de plus. Admettre ensuite que cette même longueur change de signe dans les relations examinées, c'est supposer, à priori ou tacitement, que ces relations demeureraient inmiédiatement applicables au système corrélatif, sans changement de signe, si l'on venait à remplacer, dans le système primitif, chaque quantité variable par la différence algébrique des lignes dont elle est la différence géométrique. Or cela implique évidemment que les nouvelles formules demeurent invariables de signes pour tous les cas où les lignes qui composent la différence demeurent directes; proposition qui n'est, comme nous l'avons vu ci-dessus, pas plus admissible en toute rigueur, que la proposition même qu'il s'agit de démontrer.
Mais je reprends l'objet principal des précédentes discussions, dont je me suis un instant écarté et qu'il s'agit d'approfondir et de généraliser davantage.
71. Quand une fois on a trouvé toutes les solutions algébriques d'un problème de Géométrie pour la position actuelle des données, on étend sans peine ces solutions à toutes les situations ])ossibles d(»s mêmes doiuiées, en axant égard à la
a34 111' CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES '
continuilc et à la règle -des signes; car les nouveaux systèmes de solutions peuvent être censés provenir de ceux de la figure type ou primitive, par le déplacement graduel des données, et les équations de conditions étrangères à la situation, demeurent par hypothèse d'une forme explicite invariable, tandis que les relations métriques qui expriment les propriétés géométriques de la ligure varient seules dans les signes des données qu'on supposait d'abord fixes et qui ont ensuite changé de situation entre elles dans le système dérivé, ce qui doit entraîner des changements analogues dans les équations finales du problème.
Ainsi, ayant posé, dans le cas où M et SC [Jig. 126, n° 65) sont situés dans Tangle CAS, les é({uations
AS(AC~/ï) = /«.AC, AS.ACsin«=2/^ ce qui donne
m sm a m sin a^
pour trouver celles qui correspondent au cas (fig. 129) où M passe en M' par exemple, dans Tangle supplémentaire SAC, on imaginera que ce
Fig. 129.
M' / Vu
C K' /A R ce
point M s'y transporte d'un mouvement continu quelconque; le point R passant en R', AR ou // deviendra inverse, mais tout le reste demeurera le même, puisque, par hypothèse, on conserve à SC devenu 5c, une |)osition analogue dans Tangle SAC, afin de ne pas modifier les conditions primitives du système. Changeant donc le signe de /i = AR dans les formules ci-dessus, il viendra
AS(AC-4-«)==w-AC, AS.ACsinrt = 2/=,
/;/sinr< /«smw
Ces dernières racines concernent encore l'angle SAC; or, on doit rc-
marquer qu'elles sont absolument de la même forme que celles qui ont été trouvées (G5 et 66) pour le second système de solution, celui qui appartient au point M, mais à une droite MS'C [Jîg. l'iG) tracée dans le supplément a' de Tangle donné a ; ce ({ui doit être, puisque tout est semblable de part et d'autre, et que d'ailleurs le signe du sinus de l'angle a est égal à celui de son supplément a'.
Si Ton plaçait M' dans l'angle opposé au sommet à l'angle donné CAS, /// et n changeraient à la fois de signe dans les formules, et l'on aurait alors pour la solution du problème :
AC ^ ''±Nr--'^nu„ma ^ -t (/^ ^^r-:^) .
- nisnxa ins\\\a
les deux racines seraient ainsi toutes les deux négatives, ce qui apprend <jue la droite CS ou ^r, au lieu /i'étre dans l'angle même CAS, selon Thypothèse, serait dans son opposé au sommet, etc.
72. On voit, par les précédentes discussions, que les angles de deux droites, opposés au sommet, se comportent absolument comme s*ils formaient un seul et même s^ystème, une seule et même ligne courbe, tandis que leurs suppléments se comportent comme s'ils constituaient un autre système essentiellement distinct du premier. Cette distinction est en effet conforme à la nature des choses ; car, dans le cas des angles opposés, une droite peut, en se mouvant parallèlement à elle-même, engendrer d'une manière continue les cotés et les autres parties de ces angles, par exemple leurs aires triangulaires, etc., ce qui ne saurait avoir lieu à Fégard de deux angles adjacents ou supplémentaires, qui constituent ainsi véritablement (28) des systèmes en corrélation indirecte sinon complexe.
Si, au lieu de procéder à la solution directement, comme nous venons de le faire, on employait l'Analyse des coordonnées de Descartes, on arriverait absolument aux mêmes conséquences; on n'en obtiendrait pas plus, à la fois, les quatre solutions du problème, et l'on ne trouverait, pour chaque hypothèse établie sur la position de la droite cherchée, que deux solutions seulement qui seraient inséparables entre elles. Les mêmes choses arriveraient à plus forte raison, en procédant d'une manière purement géométri(|ue.
7'.^. En etlet, on sait que, dans l'hyperbole rapportée à ses asymptotes
a36 Ill« CAHŒR. - SUR LA LOI DES SIGNES
(fig. i3o), le Iriatigle ACS, formé entre ces asymptoles el une tangente es, est toujours égal en surface au parallélogramme construit sur les demi-axes ou à la puissance de T hyperbole. De là il résulte qu'un point M étant donné quelque part sur le plan de Tangle formé par ces
asymptotes, pour résoudre par la Géométrie la question traitée ci-dessus algébriquement, il faudrait, du point donné M, mener des tangentes à la courl)e; car chacun des triangles interceptés ASC, équivalant à la puissance do rhyperbole, serait égal à l'aire donnée. On trouverait donc ainsi deux t^olutions seulement du problème , comme cela a été avancé. Pour obtenir les deux autres, il faudrait considérer à la place de l'hyperbole construite dans les angles opposés aux sommets CAS, CAS', celle qui appartient à leurs suppléments SAC, S'AC. 11 est visible, en effet, qu'on obtiendrait deux nouvelles solutions très-différentes des premières, quoique répondant au même point M.
Si Ton recherchait par l'Analyse des coordonnées la courbe enveloppée par les droites SC qui interceptent des triangles équivalents, on ne trouverait non plus qu'une seule hyperbole, et pour trouver l'autre, il faudrait changer l'hypothèse même faite sur la position de SC par rapport à Tangle ou aux droites indéfmies qui en limitent les extrémités. D'ailleurs ces circonstances se présenteraient également si la droite SC devait intercepter des segments AS, AC, dont le rectangle fût constant et donné à priori sans égard au signe de position (p. 26 et suiv.)-
74. Plus généralement, lorsque, parmi les conditions d'un problème géométrique, il entre des relations indépendantes de la situation ou de la loi des signes, on peut, comme nous l'avons avancé (65), être sûr que la question est susceptible do plusieurs systèmes do solutions séparables et distincts, et que TAnalyse, pas mieux que In Géomoirio, ne les donnera d'une
manière simullanée; de morne aussi la Géométrie, pas plus que l'Analyse algébrique, ne parviendrait à les séparer si réellement ils étaient soumis à une même loi continue, comme cela aurait lieu, par exemple, dans chaque système distinct de solutions.
Quand donc il arrive que l'énoncé verbal d'une question spécifie un système en particulier et le sépare par quelque caractère tranché de ses analogues, une traduction algébrique rigoureuse et qui ne pourra appartenir qu'à ce système seul, , fera connaître, tout comme la Géométrie pure, les solutions qui lui sont propres, et rien que ces solutions; caries racines obtenues conviendront, par hypothèse, aux équations de définition et les rendront identiques, si elles appartiennent exclusivement au système examiné. Donc aussi il est inexact de dire, avec M. Carnol, que l'Analyse algébrique amalgame des solutions fausses ou étrangères à celles des questions proposées. Et, quand bien même on arriverait à des résultats imaginaires, ce ne saurait ôtre non plus (58 et 64) un signe qu'elles appartiennent à un système différent.
75. Ainsi, qm», d'un point v [fer, i3i), î| ^j'agisse do mener deux tangentes au cercle (C) : dans le cas où co point sera intérieur au cercle, on trouvera \\o\xv déterminer algébriquement les points de contact / et /' deux racines imaginaires; cela signiliera tout simplement (jue les deux
Fif». \\\\ .
tangentes sont impossibles dans l'hypollièse actuelle. A la vérité, si, sur le diamètre AB passant par s, on décrit une hyperbole équilalère, au point s correspondront deux tangentes réelles et des racines en apparenc(» analogues aux premières; mais celte hyperbole formant une courbe entièrement distincte du cercle, et no pouvant être censée provenir d'une transformation réelle et continue de ce cercle, il n'est ni naturel, ni géométriquement permis de considérer le système des dernières tangentes comme
le corrélalif du premier ou constituant un mémo système dans des positions différentes. En effet, si le point s, au lieu d*ètre pris sur la direction du diamètre commun AB, était pris quelque autre part, en s' par exemple, on obtiendrait à la fois deux tangentes pour le cercle et deux pour l'hyperbole ; ce qui annonce bien que les racines trouvées sont quadruples et séparables par couples, ainsi que les courbes elles-mêmes. Quant aux racines négatives, elles n'indiquent pas des solutions d'un système autre que celui des données elles-mêmes, pourvu qu'on regarde les lignes comme prolongées indéfiniment, ce qui est bien naturel et bien conforme à l'idée qu'il con- , vient d'en prendre d'après la notion de continuité : lorsque la Géométrie ordinaire n'envisage qu'une portion plus ou moins étendue de ces lignes, c'est pour faciliter le raisonnement et réduire à priori le nombre des cas possibles, et non par une nécessité absolue.
En un mot, si. avec M. Carnot, on regarde les racines imaginaires comme indiquant des solutions réelles d'un système analogue mais pourtanldistinrt du proposé, il faut nécessairement aussi admettre que les solutions réelles, quand elles renferment des radicaux, indiquent d'autres solutions encore que celles qu'elles donnent effectivement; notion qui contrarie évidemment toutes les idées reçues.
Nous nous sommes beaucoup étendus sur les exemples qui précèdent, parce que les difficultés qu'ils offrent se reproduisent presque à chaque pas et souvent avec des caractères tout opposés. Nous allons, ci-après, passer à d'autres considérations en continuant de raisonner dans le même esprit d'examen critique, sans trop oublier d'ailleurs qu'il s*agit de la théorie des signes de position appliquée au principe de continuité.
Problèmes dans lesquels les inconnues appartiennent essentiellement à des droites mobiles.
76. Jusqu'ici nous avons, à proprement parler, envisagé les questions géométriques sous le point de vue particulier où les données d'un problème, aux constantes près, étant fixes, les inconnues elles-mêmes se mesurent sur des droites données. Nous allons maintenant nous occuper des questions dans lesquelles les données étant toujours fixes, les dislances inconnues se mesurent sur des droites elles-mêmes indéterminées de situation.
Dans ce cas plus général, le problème est doublement indéterminé, et chaque solution ou racin<* obtenue pour une
posilion arbitraire donnée du svslùmo mobile, peut se reproduire sur une infinité d'autres d'après les eonditions particulières de l'énoncé. Or, pour celte situation déterminée du système mobile, tout ce qui a été dit précédemment, entre autres dans le cas particulier des droites ou axes fixes, quant au nombre des racines ou solutions et aux signes algébriques que ces racines comportent eu égard à la position des points et des distances relatives réelles, imaginaires, etc., tout cela doit s'appliquer nécessairement au cas plus général qui nous occupe. Mais chacune des inconnues répondant à un point du système mobile qui remplit les conditions du problème, quand on fera varier la position de ce système ou de la ligne droite qui renfenne les points inconnus, ces points euxmêmes changeront de place et décriront, chacun en particulier, une certaine ligne nommée le lieu de ce point; l'ensemble de ces lignes représentera évidemment lous les points possibles qui satisfont aux conditions du problème dans son état d'indétermination générale.
Offrons quelques exenjples.
77. « Sur une droite SI) [fi);. i32). assujotlioà passer par le point S de ^ la droite fixe AB, trouver un point .r, tel qu'en le joij^nant à deux points
'> donnés A, B de AB, les triangles SAjt, SBj: qui en résultent soient » semblables entre eux. »
Quelle que soit la situation du point x sur la droite SI), il est visible que ces trian{];les ne sauraient ôlre semblables dans les hypothèses de la ligure, à moins que l'angle S.rA ne soit égal à ranjzleSB.r: mais alors on aurait, en comparant les cotés homologues.
SA:S.r::S.r:SB, dmi ^.T ^. SA. SB,
24o WV CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
et, |)ar conséiiucnt, en nommant K' l'aire du rectangle SA. SB,
Sx = dt v/saTsb = ±K,
ce qui apprend : i*^ que la dislance du point x au point fixe S est constante, quelle que soit la direction de la droite SD, et '2" que, pour unt^ même direction de SD, il existe deux points x, situés l'un à droite, l'autre à gauche de l'origine S. En effet, les relations d'où l'on a tiré la valeur de Sx expriment des propriétés géométriques du système et sont par conséquent assujetties à la règle des signes de position, de sorte que la distance affectée du signe —, est réellement inverse de celle que précède le signe 4-, supposé correspondre au point 8U|)érieur D de la droite mobile SD.
Il résulte de là que tous ces points x et leurs opposés x' sont situés sur une circonférence de cercle unique dont S est le centre, et la constante ±: K, un double rayon. Réciproquement, puisque le cercle en question représente le lieu de tous les points x et x\ il donnera par sa rencontre avec une rayonnante quelconque D les deux points x et x\ qui appartiennent à cette droite. On pourra donc regarder l'équation
Sx=±v/SÂTSB=±:K
comme propre à représenter rinlersection d'une circonférence do cercle dont le centre est S et le rayon K avec l'un quelconque de ses diamètres, et il en sera de môme de toute expression de la forme
S./--- ±viï^=±:K.
Si l'on avait cherché le point .r d'une manière purement géométrique, on eftt trouvé, tout aussi bien que par la règle des signes algébriques, les deux solutions dont le problème est susceptible; car le point x est évidemment le point de contact d'un cercle passant par A et B, avec la droite SD donnée de direction, et l'on sait que, par deux points, on peut en eflet tracer deux cercles tangents à une droite donnée.
78. Supposons, pour second exemple, que la droite SD (Jtg. iBa), au lieu de tourner autour d'un point fixe situé sur la direction indéfinie de la droite AB, reste (^g, i33) constamment parallèle à elle-même, et que l'on doive toujours avoir entre Sx et les. segments SA, SB formés sur. la direction fixe de AB, par son point de rencontre variable S avec l'appliquée CD, la relation purement géométrique
S.r = SA .SB ou Sx ^- dz V SA. SB . Cette expression rhaniieant avec la position de S, in(li(|ue. t^vUm ce qui
précède, qu'il existe sur la direction de CD, deux points tels que x et x,, situés à la rencontre de cette droite et du cercle dont le centre cçt S, et
Fie. i33.
qui a pour rayon la valeur absolue de v^SA-SB. Faisant donc mouvoir la droite CD parallèlement à elle- môme, les points x et .r, varieront aussi et décriront, comme on sait, une hyjMîrbole à deux branches, pour toutes les positions situées en deçà ou au delà de AB.
Au surplus, quelle que soit la manière dont la droite CD ou SD change de position dans le plan de AB, en continuant de posséder avec celte droite l'origine commune S, qui, dans certains cas, peut être fixe, la formule
Sx'=SA.SB ou Su: = it v^SÂTsS
n'en sera pas moins l'équation d'une certaine ligne ou d'un système de lignes continues renfermant tous les points qui remplissent les conditions du problème dans son état d'indétermination hypothétique.
79. Dans ce qui précède, les relations primitives, celles d'où l'on déduit les valeurs de S.r, sont censées exprimer des propriétés géométriques du système^ assujetties à la loi des signes pour chacune des positions de la droite mobile CD; s'il en était autrement, il pourrait arriver (jue les solutions et racines ainsi obtenues ne comprissent pas toutes celles du problème envisagé dans son énoncé le plus général, parce que ces solutions seraient séparables en plusieurs groupes ou systèmes ; mais alors, comme on Ta vu (M et suiv.), le lieu cherché serait lui-môme susceptible d'être partagé en lieux distincts, dont le tracé s'obtiendrait pour chaque groupe, ainsi qu'on vient de l'expliquer, et cela bien que leur ensemble appartînt à une équation primitive unique et géométriquement assujettie à la loi do continuité et des signes de position. Or, toute la difficulté, dans chaque cas, est de bien distinguer entre eux les différents groupes de solutions ou de racines, qui semblent parfois s'exclure ou se confondre mutuellement, à moins que l'énoncé verbal de la question n'en limite lui-même II. 16
^i^ lïV (LMIIER. - SUR LA LOI DES SIGNES
retendue, soil explici liment, soit par malentendu ou manque de généralité et d'extension, comme les énoncés purement géométriques en montrent do fréquents exemples.
Supposons notamment que l'énoncé du problème ci-dessus (78)^ soit conçu en ces termes :
« Trouver (^g. i34) la suite des points x l«ls que, en menant de cha- » cun d'eux une parallèle CSD à une droite fixe donnée, puis deux autres
Fig. i34.
» droites jtA, xB à deux points fixes A et B, les triangles SxA, Sj"B, A formés par ces droites et par AB^ soient semblables entre eux. »
D'après cet énoncé et la position particulière attribuée aux lignes de la figure, on a (77) entre ces lignes la proportion
sa:Sj:::Sx:sb ou Sx'=sa.sb;
ce qui donne, sur chacune des parallèles indéfinies CD, deux points x et x, par une construction graphique qu'il est inutile de rappeler à cause de sa simplicité. Mais, comme cette relation exprime à la fois une propriété de situation et une propriété métrique de la figure, elle est, par là même, assujettie à la règle établie dans les n"* 29 et suivants, d'après laquelle les signes de position doivent se détruire réciproquement dans les égalités de cette espèce.
Supposons donc que SD se meuve parallèlement jusqu'à ce qu'elle vienne en S'D' entre A et B, l'abscisse S'A sera devenue inverse ou négative dans l'hypothèse de la figure, et la relation ci-dessus prendra la forme
Sx = — SA.SB, Swr=d:v/-SA.SB,
qui indique qu'il n'existe alors, sur la parallèle correspondante S'D', aucun point (lui remplisse la condition exigée ; et en effet, les deux cercles qui (77), passant par A et B, seraient tangents à l'appliquée parallèle S'D',
deviennent alors inconstructibles. Que si, au contraire, la parallèle SD ou CD se transporte en S'D" ou CD", à droite et au delà de AB, les segments SA, SB, changeant à la fois de sens et de signes, conduiront à des valeurs réelles ou possibles de Sx. Le lieu des points x est donc, dans les hypothèses de \^ fi^- i33, une seule et raéme hyperbole : il eût été une ellipse ^fig. i3a) décrite sur AB comme diamètre conjugué à la direction de la droite CD, si, dans cette figure type ou primitive, on eût supposé CD en CD' entre A et B; l'énoncé de la question exigeant d'ailleurs, chose bien naturelle, que les relations qui s'en déduisent géométriquement expriment des propriétés do situation véritables de la ligure ou des points cherchés, il ne pourra plus y avoir lieu à équivoquer, et la courbe définie par Téquation
