Pour le but particulier et élémentaire que nous clier

(*) La note ci-après justifiera l'addition au texte, de ces rapprochements si naturels fondés sur d'anciens souvenirs; pour ôtre complets, ils devraient s'élendre au système polaire des appliquées parallèles relatives à Varr des ordonnées dans le système ordinaire, impliquant un second

choDS ici à atteindre, il suffît de remarquer que, dès qu'il

est convenu qu'une relation métrique telle que iix = /r*, ax = ±k ou ses analogues tirées d'équations algébriques relatives à un axe fixe AB [Jig. ici, p. 169), impliquent l'existence de longueurs partant d'un même point, mais opposées de sens et de génération continue, il est bien entendu que la même convention peut être admise, en général, pour un axe mobile suivant une loi quelconque (14), et, en particulier, pour une droite Sor pivotant autour d'un point fixe S, et qui emporterait, dans sa rotation continue et uniforme, l'axe AB des abscisses, passant alors par ce pôle S, distinct ou non de l'origine a des abscisses.

Or, le pivotement du rayon vecteur ^x' pouvant lui-même s'opérer dans un sens rétrograde, il en résulte une double indétermination de signe, qu'on ne peut éviter qu'en fixant, une fois pour toutes, le sens positif do la rotation de Sx'\ de sorte que l'origine a, si on la supposait relativement fixe à l'égard du pôle S, parcourrait une circonférence de cercle, tandis que l'extrémité x de l'abscisse variable axy décrirait ellemême une ligne continue distincte de cette circonférence, et qui, dans l'hypothèse particulière de la relation ci-dessus

{tx = k\ soit x=±k, ou plus généralement dans le cas où le point rt, situé lui-même à une distance variable du pôle, serait assujetti à demeurer sur une courbe ou surface directrice donnée, parcourrait une autre ligne ou surface jouissant de propriétés étroitement liées à celles de la directrice, et dont les plus simples avaient déjà occupé les Anciens (*).

pôle et la droite qui, l'unissant au premier, représente tous les .points à 1 infini de ce dernier système. Pour le cas de trois coordonnées, on aurait trois pôles et un pian polaire à considérer, etc.

(*) Cette classe fort étendue comprend non-seulement la condioïde de Nicomède, la cisaoïdc de Diodes, la spirale de Conon et d'Archimède, mais un grand nombre d'autres lignes à circonvolutions simples ou multiples, dont je me suis occupé avec une sorte de persévérance exclusive, pendant mon séjour en 1808 et 1809 à TÉcole Polytechnique, à propos des recherches sur la projection des courbes de séparation d'ombre et de lumière de la vis, mentionnées aux pages 447 ^ 4^ du tome V de ces applications ; courbes dans lesquelles le pôle fixe des rayons vecteurs el

256 m* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

Mais laissant là ces généralités, revenons à l'objet de -nos précédentes études relatives à la détermination, à priori, des points appartenant à une droite mobile autour d'un pôle fîxe.

90. Les discussions et les exemples qui se rapportent à cette détermination, nous ont naturellement amenés à examiner les problèmes indéterminés de la Géométrie sous le point de vue le plus général possible. Cependant nous étions partis de L'hypothèse, toute particulière, où les objets donnés de la

des appliquées pivotantes est, âelon les circonstances, un point singulier multiple, de rebroussement, isolé ou conjugué, etc., dans lequel diverses branches bouclées et leurs appliquées pivotantes^ réelles ou imaginaires, 86 trouvent confondues avec le pôle. Ces faits, que TAnalyse algébrique des coordonnées laisse difficilement et confusément apercevoir, la Géométrie de l'espace, ou, plus spécialement, la projection des courbes à double courbure et des intersections de surfaces, dont on s'occupait beaucoup dans rÉcole de Monge, en donnait une intuition très-claire, qui ne pouvait d'ailleurs comprendre les points d'inflexion à changement de sens ou de signe de la courbure des lignes, lequel constitue une sorte de rebroussement dans la direction angulaire et Tinclinaison variable des tangentes aux lignes continues.

La discussion des courbes planes à point polaire multiple, par Texamcn attentif du mouvemçnt graduel d'un point générateur mobile sur une droite tournant elle-même continûment soit dans un sens, soit dans le sens contraire non moins utile à considérer dans la génération de certaines courbes transcendantes, cette discussion, dis-je, m'avait beaucoup préoccupé dès l'époque de i8o8, et sans aucun doute, je dois à ce genre épineux d'exercices les premières notions un peu nettes , que j'aie acquises sur la loi et le principe de continuité dont je me suis depuis occupé d'une manière toute spéciale dans le Cahier ci-après.

Quant à une longue note que j'avais anciennement écrite sur les coordonnées polaires en usage, je me borne à faire remarquer qu'elle avait principalement pour but de montrer qu'en réduisant, comme l'a fait autrefois M. Cauchy et, avant lui, M. Biot [Géométrie analytique)^ la discussion des équations polaires do l'ellipse et de l'hyperbole, à l'examen des angles do rayons vecteurs compris entre o et 200 degrés, on rompait toute continuité dans la description de ces courbes par le point générateur; ce qui arriverait à fortiori pour les lignes à évolutions multiples dont j'ai [)récédcmment parlé, et à l'égard desquelles on doit non-seulement considérer une rotation de 400 degrés du rayon vecteur, mais encore une inflnilé de rotations pareilles dans le sens positif et négatif.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. aS;

figure seraient constants de grandeur et de position; mais il est évident, quand bien même les constantes en question seraient supposées mobiles, que rien ne serait changé dans les conséquences relatives aux signes de position. En effet, pour un même système, les quantités constantes, quelles que soient les positions qu'elles prennent, ne pouvant devenir ni nulles ni infinies, conservent nécessairement le même signe implicite, ou ne sauraient devenir inverses par elles-mêmes, de sorte que rien n'est changé dans les conséquences dont il s'agit, les variables auxiliaires qui déterminent chacune des positions du système et les variables réellement inconnues qui s'en déduisent pouvant seules devenir inverses et changer de signe et de sens avec le changement de position. Cependant il peut se faire encore que certaines constantes soient inconnues de situation; dans ce cas on pourrait éprouver des difficultés dans l'interprétation des signes des résultats algébriques; c'est ce qui arriverait en particulier si l'une des constantes était la distance comprise entre deux points inconnus et mobiles. Éclaircissons ceci par un dernier exemple.

91. Problème. — On demande [Jig, 137) « le lieu des [H)intâ x ai y « situés deux à deux sur dos droites .sD, passant par un pôle ou point

Fig. 137.

n fixe s de la droite immobile et indéfinie AB, ce couple de points x ai ) "n remplissant d*ailleurs les conditions suivantes

xy = SY — SX = K, sx.sy= 5 A. .vB. »

De ces équations on tire séparément,

vx=-iK±:iv/K'+4^A..vB, w^-K±i/KM^I7Â77B, a a "a a

a58 m« CAHIER. ~ SUR LA LOI DES SIGNES

formules dans lesquelles les signes des radicaux se correspondent respectivement.

Comme sx comporte deux valeurs, Tune positive, Tautre négative, il existe néc^ïssairement deux points .r répondant à un même rayon sD : Tun à droite du point* s comme on Tavait supposé, l'autre à gaucho du même point en x^; les deux distances sx, sx^, étant inégales, chacun des points correspondants décrira une circonférence de cercle particulière autour du pôle ou centre s. Les mêmes choses ont lieu pour le couple des points ^ et j, ; mais ce qu'il y à de remarquable ici, c'est que les cercles qui leur correspondent se confondent respectivement avec ceux des points x et x^ , en sorte que la série de tous les points inconnus et mobiles se trouve distribuée sur deux circonférences de cercle uniques.

92. Remarques et discussions, — On sera peut-être surpris du renversement qui se produit dans la position respective des points x et y\ car îl serait naturel de croire que les deux autres x, et^, dussent, à l'égard de l'origine .s se trouver dans la même condition que les premiers, qui répondent directement à la question telle qu'elle a été posée.

En effets si l'on avait mis le problème en équation dans l'hypothèse où x et j se trouveraient tous les deux à gauche de s y on aurait évidemment obtenu les mêmes racines que ci-dessus. Mais il faut observer que le problème mis en équation dans la nouvelle hypothèse, aurait réellement différé de celui qui a été résolu tout d'abord; la raison en est qu'alors on supposait la constante K essentiellement positive et invariable de sens ou de signe ; or il est aisé d'apercevoir que cette nouvelle hypothèse exige, au contraire, que K ou x^ en change.

Supposons, en premier lieu, que x prenne la position x, (fig, i38) en

Fîg. i38.

passant par j, sx deviendra seule inverse dans la relation primitive SX ^ SX = IL, de sorte qu'on aura

sy+sx^^lL.

Supposons, en second lieu, que y passe par l'origine a-, sy deviendra à son tour inverse, mais x, r restera directe, tant que y n'aura pas dé-

passé x^ , pogition correspondanle à celle qu'a donnée ci-dessus le calcul algébrique. Si, enfin, le point jr passe au delà du point x, en jr, , non* seulement sy sera devenu inverse, mais encore .r, j lui-même, de sorle qu'on aura

La seconde hypothèse revient encore, en effet, à changer le signe de la constante K ou à supposer xjr inverse. C'est donc réellement changer la nature du problème d'abord mis en équation, puisque nous sommes partis de la supposition que les constantes étaient invariables de signe. Mais, à proprement parler, on voit ici que la relation

par la raison que K y est considéré comme constant, est véritablement une équation étrangère à la position, dans le genre de celle que nous avons plusieurs fois déjà eu à examiner.

Pour qu'elle devint une relation à la fois do grandeur et de position, il faudrait admettre que K pût, tout à la fois aussi, y changer de signe et conserver un signe propre; or c'est ce qui est vraiment impossible à priori, puisque, par hypothèse, la position de la distance correspondante est encore inconnue. Pour savoir à quoi répond l'hypothèse de K invariable de grandeur et de signe, on peut imaginer que la longueur constante xr = K glisse vers l'origine sans changer de grandeur et de sens, ^ns devenir inverse, mais aussi sa situation n'aura pas changé à l'égard du repère extérieur D, car l'ordre primitif était D/x, et le nouveau D/,4:, , c'est-à-dire le même. Supposer donc à priori K invariable, c*cst admettre qu'il glisse sans renversement.

93. Conséquences. — L'Analyse algébrique, en apprenant que Tordre des points x, y est renversé, ne donne rien qui ne soit parfaitement exact et conforme aux hypothèses établies sur les équations primitives; elle fournit les solutions qui correspondent véritablement à ces équations et par conséquent au problème tel qu'il a été posé. La difficulté que ce problème présente vient absolument de ce qu'en combinant les données du calcul avec les notions de la Géométrie, on veut regarder comme appartenant à une seule et même question, des solutions ou des points qui appartiennent à plusieurs systèmes distincts et séparables par des conditions en ellesmômes différentes.

D'un autre côté? en s'en tenant aux aperçus purement géométriques, il arrive aussi que Ton restreint le nombre des

a6o ra« CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

solutions possibles du problème, tandis que l'Analyse algébrique apprend qu'il en existe davantage. Il est incontestable d'ailleurs que les solutions fournies par l'Algèbre résolvent toujours le problème tel qu'il a été mis en équation.

. 94. Solutions multiples du même problème. — Pour mieux faire voir encore, sur Texemple qui précède, comment un môme énoncé peut renfermer plusieurs questions distinctes, nous supposerons (fig, iBg) que, au lieu de prendre les points .r et x ^^^ ^^^^ ^ ^^ droite du point s pour

Fîg. 139.

mettre le problème en équation, on les ait choisis arbitrairement Tun à gauche et l'autre à droite de ce point; les équations de condition deviennent alors

sj:-\-sr— K, sx,sy= ^A.^B,

et donnent séparément

jj: = iK±iA'-4AA.5B, .v;-=iKq=iv'K»--4*A.jB.

Dans ces expressions, le signe supérieur et le signe inférieur se correspondent respectivement.

Comme on le voit, elles diffèrent totalement de celles qui ont été obtenues dans la première hy[)Othèse, en sorte que les points x et j, x, et y\ qu*e1Ies fournissent ont des positions très-distinctes de celles qu*ils avaient alors, les circonférences qui leur correspondent étant aussi différentes.

Du reste, les remarques déjà faites ci-dessus, s'appliquent à cette nouvelle hypothèse. Le problème, dans son énoncé général, a véritablement quatre systèmes distincts de solutions, soit au point d^ vue géométrique, soit au point de vue algébrique. On pourrait réduire ces quatre systèmes à deux seulement, si Ton regardait le signe de la constante K cerome in-

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. ai6i

déterminé; or rien n'est plus naturel, puisque, on effet, la position ou direction correspondante de Taxe mobile xy est elle-même inconnue. Ainsi les deux premiers systèmes de solution seraient représentés par

.çj:=±:iK±:iv^KM^47ÂT7B, 5/ = =f i K ± iyî?T4^ÂT7B ,

cl les deux derniers par

.va: = =t:iK±iv^K'— 4^A.yB, ^^7= dz^K^ii/K»- 4AA.iB;

les signes supérieurs se correspondant respectivement dans chaque groupe de formules : la même remarque est applicable à tous les cas i)Ossibles où les constantes seraient censées mobiles ot entièrement indéterminées de situation, ce qui, pour embrasser algébriquement tous les systèmes de solutions en un seul, exigerait qu'on appliquât le double signe =1= à ces constantes, soit ici à K et au rectangle également donné SA. SB.

Problèmes déterminés où les points inconnus dépendent de la rencontre de lieux géométriques,

95. Règles à suivre en général dans la solution des problèmes. — Pour terminer ce que nous avions à dire de particulier sur les difficultés inhérentes à l'interprélalion, à Tapplication de la règle des signes aux solutions algébriques des diverses questions de la Géométrie, il ne nous reste plus qu'à nous occuper de celles de ces questions où les distances cherchées sont tout à la fois inconnues de grandeur et de direction. Après tout ce que nous venons de dire des problèmes indéterminés, nous n'éprouverons aucune peine à résoudre les difficultés qui pourraient se présenter.

En effet, le but qu'il s'agit d'atteindre dans toute question géométrique est en définitive, la détermination d'un certain point de la figure dont la position est actuellement inconnue, mais dont la dépendance avec les autres objets de cette figure est définie par des relations métriques ou descriptives explicitement énoncées. Or, cette détermination exige que le point cherché se trouve, soit à l'intersection de deux lignes connues ou pouvant être considérées comme telles, quand tous les objets de la figure sont situés dans un môme plan; soit à l'intersection de trois surfaces données ou à la rencontre

ftGi lll' CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

d'une ligne et d'une surface données quand les objets de la

figure sont situés d'une manière quelconque dans l'espace.

C'est donc à la recherche de ces systèmes de lignes ou de surfaces que se réduit finalement toute espèce de problèmes déterminés. Fort souvent, Tune de ces lignes ou surfaces est donnée par les conditions mêmes du problème, comme il arrive, par exemple, quand on demande sur une circonférence de cercle un point qui remplisse une certaine condition; alors, en effet, on n'a plus qu'à s'occuper de la recherche d'une autre ligne qui contienne simultanément ce point. Or cette ligne doit être telle, que chacun de ses points jouisse, en particulier, de la propriété même qui appartient à celui-ci, d'après l'énoncé du problème.

96. Si la propriété dont il s'agit est purement métrique ou algébrique, il pourra se présenter les mêmes difficultés que celles déjà reconnues et étudiées dans ce qui précède, relativement au nombre des systèmes de lignes ou de surfaces qui remplissent réellement les conditions énoncées. Dans ces circonstances, on résoudra toujours les difficultés en ayant soin de distinguer les divers systèmes de solutions et de ne choisir que celui ou ceux qui remplissent strictement les conditions de l'énoncé.

Si, au lieu de connaître à priori l'une des lignes ou des surfaces qui renferment le point cherché, on connaissait simplement la relation ou la propriété qui appartient individuellement à chacun de ses points générateurs, il faudrait prendre les mêmes précautions que dans les exemples très-simples qui précèdent. Quand deux lignes sont ainsi définies par les propriétés métriques qui les caractérisent, leurs intersections communes sont nécessairement déterminées aussi de situation ; mais, pour l'être implicitement, elles ne le sont pas toujours d'une manière explicite et propre, par exemple, à faire trouver au besoin tout ce qui leur appartient

Les procédés au moyen desquels on peut ainsi faire ressortir de deux ou plusieurs relations métriques données tout ce qui doit appartenir à leur système, constituent un art très-difficile et qui demande une sagacité toute particulière de la part des géomètl*os. Les transformations algébriques y sont d'une né-

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a63

cessité souvent presque indispensable, mais on ne doit pas s'y abandonner sans réserve, et croire qu'elles puissent toujours se suffire à elles-mêmes; il convient de ne s'en servir que comme d'utiles auxiliaires, non pour diriger, mais pour abréger le raisonnement.

97. Au surplus, dès l'instant où les équations algébriques que l'on a posées définissent véritablement le système examiné, les résultats qui s'en déduisent par des transformations licites conviennent parfaitement aussi à ce système, elles ne disent ni plus ni moins que les équations primitives, et si ces dernières sont circonscrites dans les seules conditions de l'énoncé verbal du problème, les transformées et les résultats le sont aussi et ne donnent rien qui lui soit étranger. Les difficultés qu'on éprouve souvent à reporter ces résultats sur la figure proposée et à les interpréter géométriquement ne proviennent nullement du fait même de l'Analyse algébrique, mais bien de la manière restreinte dont on peut envisager la question au point de vue géométrique, et souvent aussi de la facilité avec laquelle il arrive de confondre le système réellement supposé dans la mise en équation, avec les systèmes plus ou moins analogues, quoique non dérivés d'un même mode de génération continue, ce qui fait qu'on applique à l'un d'eux ce qui n'appartient qu'à l'autre, et inversement.

Cette confusion n'a plus lieu quand on a l'attention de circonscrire la mise en équation dans les véritables limites de l'énoncé, et réciproquement quand il s'agira d'interpréter, de découvrir la signification du résultat final, on devra remonter aux équations primitives dont il émane algébriquement, pour reconnaître à posteriori la figure à laquelle il correspond effectivement, et la distinguer 'de toutes ses analogues, qui en sont séparables et distinctes au point de vue du principe de continuité et de la loi des signes de position.

98. Sur la mise en équation. — Ce qu'il y a de plus difficile dans la solution analytique d'un problème, c'est donc la mise en équation; si cette mise en équation a été bien faite, si le système d'équations obtenu appartient réellement à l'énoncé verbal, et ne dit ni plus ni moins que cet énoncé,

a64 m* CAHIER. - SUR LX LOI DES SIGNES

les résultats seront immédiatement applicables, sans restric^ tion, à la question proposée.

Il faut avoir bien soin, dans tous les cas, de ne pas combiner arbitrairement et inutilement les données ordinaires de la Géométrie avec celles de l'Analyse algébrique, afin de pouvoir prononcer sur l'état véritable de la figure d'après la connaissance des racines obtenues ; surtout il faut être sûr que le système de ces racines est complet à l'égard des parties constitutives de cette figure. £n effet, s'il reste encore quçlque chose d'indéterminé dans le système des constructions, il n'est plus permis de se prononcer sur l'état véritable de ce système, soit géométriquement, soit algébriquement, sans risquer de tomber dans des conséquences en contradiction plus ou moins manifeste avec les idées admises et ce qui se passe effectivement dans la figure dont on s'occupe.

Offrons-en divers exemples très-simples de Géométrie.

99. 1^ Exemple. — « abc (^g. 140) est un triangle dont les trois

Fit;. i4o.

» côtés sont donnés : on demande quel est le pied x de la perpondicu- » lairo ex, abaissée de son sommet c sur la base ab. »

Un théorème bien connu de la Géométrie élémentaire donne, entre autres,

, ne — ab — bc

bx= ;

'lab

cette expression étant toujours réelle, on pourrait en conclure, au premier aspect, que Tétat de la figure est aussi toujours réel ; notion contraire aux faits connue de cette Géométrie, qui nous apprennent que, si €iby>ac-\-cb^ le triangle est inconstructible. Par contre, s'il s'agissait de prononcer sur Toxistence géométrique du {toint .r, on serait conduit à affirmer (|ue ce point cesse d'exister quand le triangle ou le sommet c

devient impossible. Mais ces contradictions disparaissent quand on joint à la première relation, celle-ci

bc = ex -\-bx ]

car alors on en déduit la valeur de ex nécessaire pour déterminer entièrement la position du sommet c, et par conséquent la forme du triangle. Aussi apprend-on que, pour le cas de ab'^ae-\-eb, la longueur sinon la position ou direction indéfmie de cette perpendiculaire est imaginaire.

Néanmoins il se présente ici une difficulté, car l'Analyse algébrique donne deux valeurs égales et de signes contraires pour rx, tandis que géométriquement il semble qu'il n'en existe qu'une seule; or cette difficulté disparait à son tour, si l'on observe que, dès l'instant où l'on recherche la valeur algébrique de la perpendiculaire ex inconnue de grandeur et de position, l'Algèbre, par sa nature intime, donne nécessairement, à la fois, et la distance et le signe de position ou de corrélation.

Si, au contraire, on suppose la situation donnée, c'est n'admettre de racines que celles qui sont positives et absolues. Donc si, dans la question précédente, on suppose la hauteur du triangle abe inconnue à la fois do grandeur et de situation, c'est admettre implicitement que ce triangle soit seulement donné par la grandeur de ses côtés et la position de nb, et il parait bien visible qu'à une môme base nb correspondent effectivement deux triangles abe, abc^ dont les sommets e et r, sont placés d'une manière symétrique par rapport à cette base.

100. Remarques, — Pareilles choses arrivent dans les diverses questions où les données ne suffisent pas pour construire géométriquement la position du système, ainsi que dans toutes celles où les relations métriques, les équations ne sont pas en nombre suffisant pour déterminer les différentes parties qu'on regarde comme inconnues. Quand ces inconnues et les données se mesurent toutes sur une droite ïi\(i à partir de points également fixes ou donnés, les mêmes difficultés d'interprétation des résultats algébriques ne sauraient avoir lieu, comme on Ta vu, du moins quant aux signes de position des distances inconnues.

Dans toute autre circonstance, il sera impossible de rien prononcer sur la position des points correspondants, et, je le répèle, ce que l'on pourra seulement affirmer, c'est que les points inconnus se trouvent nécessairement sur certaines lignes algébriquement ou géométriquement définies par les conditions et les solutions du problème.

266 m* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

iOi. IV Exemple. — « Que l'on se donne, en grandeur et en direclion » indéfinie, les deux petits côtés sa et ob d'un triangle sab rectangle en a x> (^g, i4i) et qu'on demande la grandeur et la position do l'hypoté- » nuse .v^. »

On trouve pour résultat algébrique

sa -\-ba ,

expression toujours réelle et qui indique, si d'ailleurs on ne veut pas combiner directement les données de la Géométrie avec celles de l'Analyse des coordonnées ordinaires, que le sommet b^ considéré comme inconnu de position sur la direction indéfmie de la droite sb^ elle-même indéterminée de position autour du point fixe .r, se trouve quelque part

Fig. i4i.

ibf I

ai

sur une circonft'rence de cercle décrite de ce point s comme centre, avec

sa + ba . L'Analyse algébrique indique en même temps que, pour obtenir deux points b' et b\ de cette circonférence appartenant à une direclion quelconque sb' de la droite indéfinie qui les renferroe, il faut porter la valeur du radical à gauche et à droite de l'origine fixe s.

103. Si les côtés sa et ab étaient donnés à priori en grandeur et en direction, le triangle abs serait par là même connu de position dans toutes ses parties, et il no resterait qu'à calculer la grandeur absolue de son hypoténuse , sans égard au double signe du radical ; mais il en est tout autrement au double point de vue géométrique et algorithmique de la génération continue de cette grandeur, qui peut avoir lieu de s vers by ou inversement de b vers s (4 et 5). A fortiori on est-il ainsi dans les conditions de l'énoncé ci-dessus, où l'origine s de l'hypoténuse, la position du côté sa et la direction indéfinie du côté ab sont seules données à priori, mais non le sens ou le signe algorithmique. De plus, comme l'hypoténuse sb est elle-même indéterminée de sens et do direction au-

tour du point Sy la forùiule algébrique ci-dessus indique uniquement les Vayons opposés de l'une quelconque des diamétrales d'un cercle.

Donc aussi les intersections ^ et ^ de la circonférence dont il s*agit avec la direction indéfinie du côté ab^ font connaître les positions uniques du sommet b du triangle cherché.

103. Remarques diverses. — Le nombre des solutions ainsi obtenues est précisément égal à celui des racines algébriques, mais il en serait tout autrement si, par exemple, le sommet b devait se trouver sur une section conique donnée, auquel cas les intersections de la circonférence des points b avec celte section conique pourraient être quadruples; mais

alors mémo Téquation sb = sa +ba exprimerait une condition étrangère au système de cette conique.

D'autre part^ on peut se demander pour le cas actuel où celle môme relation exprime une véritable propriété de situation du triangle rectangle saby si les deux uniques solutions sb et v ^ (Jig. 141) correspondent respect! vement aux signes -H et — du radical algébrique. Or cela ne saurait faire Tobjet d'aucun doute d'après les considérations géométriques exposées au n** 6, 14, 15 (*).

Pour expliquer dans des cas semblables le double signe d une dislance telle que .v^, M. Gaudin (ouvrage déjà cité p. 67) admet que la valeur positive appartenant réellement à la ligne donnée ab, la valeur négative doit correspondre à une droite indéfinie, symétrique à ab, par rapport au point fixe s. Sans insister sur cette manière incomplète d'envisager la question, je ferai seulement remarquer qu'ici, à la vérité, la relation

sb =as +ba étant invariable dans ses signes, quelle que soit la position relative des jcôtés du triangle inconnu, on peut bien admettre que les triangles qui lui sont symétriquement opposés par le sommet s et par la base aby puissent remplir la condition, mais alors aussi ce serait admettre que les racines obtenues appartiennent à un triangle rectangle et à des données ayant une situation différente de celles qu'on leur a primitivement supposées; ce qui me parait être une fausse interprétation du résultat de l'Analyse algébrique dans les hypothèses actuelles, et même dans celles du problème que s'est proposé M. Gaudin (art. 36), qui, au lieu de la droite indéGnie bnp de layî/^. i4ii considère une circonférence de cercle quelconque i)assant par le point donné .v, et no s'occupe nullement dHiilleurs de l'opposition de signes des longueurs sb et s^.

(*) Je supprime ici la longue disciissioii par laquelle je démontrais la vérité de celte assertion, et me borne à renvoyer aux articles de ce Cahier qui démontrent clairement que, dans l'hypôthtise où la rotation du rayon positif i& 8*opèrc de droite à gauche à partir de lu direction sa^ Sfî doit èlre considéré comme négatif ou inverse.

208 IIP CAfflER. — SUR LA LOI DES SIGNES

Du reste, il est incontestable en soi que l'équation algébrique

sb = as *hba ,

invariable dans les signes de position des distances qui y entrent, doit, par cela même> correspondre à une infinité de situations et de questions relatives aux triangles rectangles.

104. ///• Exemple, — Si l'on demande de calculer le rayon R du cercle circonscrit à un triangle abc quelconque (^. 142), dont a, by c

sont les côtés, on trouve, en résolvant algébriquement, une équation bien

connue :

nhr

R = it

v/ar/'^' H-'2r/'c^ H- aZ^'c'— (rt^-f-^* -hf* ) '

formule invariable où les côtés peuvent aussi changer do signe en pre* nant des directions opposées au sens primitivement adopté. Cependant, que signifie le signe négatif fourni par le calcul algébrique?

Nous répondrons qu'adopter le double signe du radical, c'est admettre par là môme implicitement que le rayon est inconnu tout à la fois de grandeur et de situation, car autrement le signe négatif n'aurait plus de sens, géométriquement parlant. Supposons donc que le rayon cherché soit celui ax (Jig, 142) dont l'extrémitô est au sommet connu «, et qu'on demande la position du centre x\ la direction de ax étant entièrement indéterminée par hypothèse, la double valeur trouvée pour R indique le couple de rayons opposés relatifs à l'une quelconque de ces directions, et détermine par conséquent un cercle qui passant par x a le'sommet fixe a pour centre.

Mais cela ne sufQt nullement pour déterminer le point inconnu x do position, et il est nécessaire de recourir à un autre sommet c du triangle abc. supposé fixe comme le premier n, ce qui laisse seulement le troisième sommet b arbitraire de position, et place le centre inconnu x à l'inicrsection commune des cercles décrits de « et c comme centres avec un

rayon égal à la valeur absohio trouvée pour R. Do cetto façon, on obtient deux points .r, x^ symétriques par rapport au côté ftc et remplissant les conditions prescrites; ce qui doit être, puisque Ton n'a point encore fait concourir à la détermination du point x le sommet h du triangle, dont la situation reste entièrement arbitraire en conservant toutes les autres données, et qui peut ainsi occuper la position b^, elle-même symétrique par rapport au côté ac.

105. Remarques et interprétations diverses, — En général, dès l'instant où Ton cherclie analytiqucment dans une figure une distance quelconque inconnue, on en recherche par là même à la fois la grandeur et la position. Alors il est naturel d'obtenir deux ou plusieurs valeurs de signes algébriques distincts, réelles ou imaginaires, quand cette distance correspond à un point d'une certaine ligne assignée ou non de position, puisque dans cette circonstance, la direction en est entièrement indéterminée et arbitraire, la droite prise originairement pour représenter l'inconnue pouvant prendre des routes distinctes et opposées même, pour arrivera sa véritable position. Mais, dans tous les cas, il est exact de regarder l'expression algébrique qui la donne comme indiquant une courbe (ici le cercle), qui renferme le point dont, jusque-là, la position est indéterminée.

Au surplus, toutes les difficultés relatives à l'interprétation des signes algébriques, disparaissent des l'instant où l'on se reporte aux hypothèses sur lesquelles se fondent les données et les équations primitives, ce dont les exercices suivants montrent divers exemples plus ou moins analogues au précédent relatif au cercle circonscrit à un triangle donné : ici, en effet, chaque côté offre une double solution dont la première seule est à conserver, l'autre appartenant à un triangle distinct du proposé par le signe et la position des deux derniers côtés; signe et position dont la valeur algébrique de R ne saurait tenir compte, puisqu'elle correspond à tous les triangles possibles construits avec les mêmes côtés. Voici d'ailleurs une autre manière d'interpréter cette double solution, qui ne se présente pas dans la détermination linéaire et directe du centre du cercle circonscrit, due aux Anciens.

106. Soitr/^c (fig, 143) le triangle dont il s'agit, x\q centre inconnu du cercle circonscrit ; du sommet b soit abaissée la perpendiculaire bp sur

v)o lU' CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

la base ac^ et du centre x soit mené le rayon or et la perpendiculaire xo au c^té ab\ ce côté sera divisé en deux parties égales en o, et, de plus,

Fig. 143.

V nk'^ /

les triangles rectangles aojr et bpc seront semblables, puisque Tangle au centre x a mémo mesure que Tangle en r; on aura donc