I . . . .. . ^ ab.bc

ax=Vi:no=-ab::bc:bpi d'où R = — -, — ,

d'ailleurs on a aussi, comme on sait,

— a lab .ne -irJ.nb ,bc -{-o.nc .hc — nb — ne — be bp = ZTi

Telles sont les équations directes de la question proposée : Tune et Fautro de ces équations exprime des propriété de situation du système, et Ton voit que le nombre des inconnues est alors en réalité de deux, à savoir : la perpendiculaire bp et le rayon que Ion cherche.

Ici il n'est nullement difficile d'expliquer l'origine de Ta valeur négative du rayon inconnu ^ x ou R , elle provient évidemment de ce que la perpendiculaire bp est susceptible du double signe ±: dans la seconde des équations ci-dessus, quand on y regarde c^tte perpendiculaire elle-même comme une quantité inconnue. Or, admettre ce double signe, c'est par là aussi admettre que l'on considère à la fois et le triangle abc et le triangle ab^e qui lui est égal et symétrique (*).

(*) Les diverses remarques et réflexions qui accompagnaient les exemples' H* et 111^ des n^" 102 et 104, étant d'uue rédaction obscure et par trop laconique, j'ai dû en développer, sinon modifier, la pensée, comme je l'ai fait dans d'autres occasions déjà citées, mais sans rien toucher aux différents modes de solution et d'interprétation qui constituent chaque exercice; ces modes témoignent d'ailleurs que, à l'époque de iSiGou 1817, mes idées n'étaient point entièremeol fixées au sujet do l'interprétation des signes algébriques dans la solution des problèmes déterminés de la Géométrie.

Examen critique de la solution connue de quelques problèmes déterminés de Géométrie élémentaire.

107. Pour terminer le sujet qui nous occupe, nous allons examiner successivement diverses questions présentées par M. Carnot, dans sa Géométrie de position^ comme autant d'exemples propres à combattre les idées ordinairement admises dans l'application de TAlgèbre à la Géométrie, questions dont quelques-unes avaient déjà occupé d'Alembcrt et ont été reproduites dans le Mémoire cité de M. Gaudin.

i08. I"" Problème. — « D'un point s ( fif;. i44) pris en dehors d'un cercio » donné (r), on propose de mener une droite sxy telle, que la portion xy » interceptée dans le cercle soit d'une longueur donnée xf = k\ »

Traçons dans le cercle (r), Jig, i44i une sécante arbitraire sab\ les poinls a et b pourront èlre censés donnés, ainsi que les segments sa^ xb,

et pour déterminer la sécante sxj-, Ton aura par les conditions géométriques du problème,

xy=^sy — SX = /• , sx , sy = sa , sb ;

en combinant entre elles algébriquement ces équations où la constante mobile /- pourrait être afTeclée à l'avance du double signe ±:, afm d'obtenir le système entier des solutions, on en déduit le système particulier des valeurs suivantes :

sx=z A±:-\/A'^-\-Asn.sby sr='^- Adt-\/A^~^Asa,sb,

dans lesquelles les signes supérieurs se correspondent respectivement.

La direction de la droite qui renferme les points x et y étant indéterminée, les racines obtenues expriment, comme on l'a vu (n° 91 et suiv.), que les points inconnus x oiy appartiennent à un .couple de circonférences

concentriques à. V, dont les rencontres avec (r) donneront tout à la fois la position et la grandeur des segments cherchés, ici réellement au nombre de quatre (94), et non de deux , comme le suppose M. Carnot, qui, après avoir obtenu les deux valeurs de .va: opposées de signes par le radical, admet à priori que la valeur négative ne peut répondre qu'à la seconde distance .vr; mais c'est là une erreur évidente, puisque rien n'empêche que cette racine no soit représentée par .vj,, longueur qui, en effet, doit être censée négative (n" 403) à l'égard de la première.

Ceci paraît d'autant plus rationnel que l'Analyse algébrique nous avertit que les deux points x et j, situés sur la même sécante du cercle, ne sont nullement donnés par la même équatiçn.

En effet, si l'on admet que la racine positive sx=z X-f--v^X'-f-4A/i.5A

repréi-ente véritablement s.r pour la position actuellement indiquée sur la Jig. 144» on trouvera que la valeur correspondante de sy est

sr = - X' 4- - V^^' -h âsa,sb ,

c'est-à-dire essentiellement positive comme celle de ^x; ce qui, d'ailleurs, résulte immédiatement de l'équation de condition

.V)'=: SX-+-A'.

Je conclus de là que l'objection tirée de cet exemple, contre la règle ordinaire des signes pour les distances mesurées sur une même droite, n'est nullement fondée en principe, et qu'il est impossible, par conséquent, d'admettre avec M. Carnot que celte règle soit ici en défaut (*).

(*) Oïl n*a pas rappelé, à propos du problème 108, le mode imparfait de solution proposé par M. Gaudin, aux p. 57 à Gi de son ouvrage, sans doute parce qu'il a été suffisamment combattu dans le n^ 103; mais je ne saurais passer sous silence une remarque qui ne manque pas d'importance à cause de sa généralité, mais n'aurait point été à sa véritable place, peut-être, dans les articles précédents : c'est que le problême dont il s'agit ici, appartient h une classe étendue de questions intéressantes, relatives ù Tinscription d'une longueur donnée ou constante dans une courbe tracée sur un plan ou définie par ses propriétés géométriques, lorsque d'ailleurs la direction indéfinie de cette longueur, véritable corde, doit satisfaire à une autre condition, comme de passer par un point.connu ou d*envcIopi)er une seconde courbe donnée. Cette question, dont la solution algébrique offre des difficultés toutes particulières, peut se résoudre d'une manière purement graphique par le tracé d'une troisième courbe, dont le degré généralement très-élevé (»'oirVI«Cah., art. Il), peut se déterminer à priori, à l'aide du principe de géométrie dt'jà mis en usage aux p. 60 et 1^8 de cet ouvrage, et qui, dans le cas très-élémentaire où la seconde courbe, l'enveloppe lixe des sécantes,

109, Remarques diverses. — C'est, au surplus, le lieu de remarquer de nouveau combien on a tort, en général, de regarder les solutions algébriques des problèmes de ce genre comme la représentation effective des distances a déterminer, et de rappeler que ces racines concernent seulement le c^s où les longueurs inconnues sont rangées sur une droite de position donnée et non variable à volonté autour d'un point tel que s\ car les conditions analytiquement exprimées ci-dessus ne suffisent pas, à elles seules, pour indiquer que les points x et ^* appartiennent à la circonférence du cercle (c).

D'autre part, d'après la forme trouvée pour les racines algébriques du problème qui vient de nous occuper, les distances SX et sy demeureraient réelles quelle que fut la grandeur de ky et Ton serait ainsi facilement tenté d'en conclure que les points correspondants sont toujours possibles; ce qui est

se réduirait à un point, appartient à la classe de celles que nous avons mentionnées dans la note du n^ 88.

Mais, ce que nous devons ici particulièrement faire observer, c^est que ces dernières lignes courbes, à plusieurs branches continues et rentrantes sur ellesmêmes, sont susceptibles de se décomposer, de se séparer dans certains cas, en plusieurs lignes distinctes de degrés inférieurs, comme le problème ci-dessus en offre un exemple d'autant plus remarquable, que si, au cercle dans lequel il s'agit d'inscrire une corde de longueur donnée, on substitue Tangle de deux droites indétinies,ou une section conique quelconque, le môme partage, la môme réduction de degré ne s'opèrent plus.

Knlin, n'est-il pas remarquable, à un autre point de vue, que Thyperbole considérée par Carnot (p. 12a de la Géométrie de position) cotaxtiQ é\Ani en corrélation complexe ou imaginaire par rapport à l'ellipse décrite sur les mômes axes principaux, soit néanmoins susceptible d'un môme modo continu et géométrique de génération ? D'une part, ces courbes peuvent so changer Tune dans l'autre par le déplacement continu d'un plan sécant dans le cône du second degré; de l'autre, elles peuvent résulter des procédés graphiques uniformes indiqués aux p. 48 à Sa du l'*" volume de ces Applications, procédés qui ne supposent rien d'imaginaire ou de complexe dans le sens algébrique attaché h ces mots par Carnot {voit- p. 226, n® 02, de ce Cahier); ce qui arrive aussi dans cette définition analogue, commune à l'ellipse et à l'hyperbole, d'être le lieu des rencontres du rayon prolongé d'un cercle donné, avec la perpendiculaire indéfinie éle vée sur le milieu de la droite qui joint l'extrémité circulante du rayon à un point fixe quelconque situé dans le plan du cercle; la courbe étant une ellipse^ ou une hypeihoUy selon que la distance de ce point fixe, premier /b/^r^ au centre du cercle donné, second foyer» est inférieure ou supérieure au rayon de ce cercle, mais se réduisant à un autre cercle quand cette distance devient nulle ou égale au rayon du premier, etc.