PRÉFACE. VII

que je pus enfin reprendre le cours de nies idées géométri(iues et prendre connaissance des livres et des journaux scientifiques dont j'avais été entièrement privé depuis ma sortie de l'École Polytechnique.

La démonstration purement géométrique des propositions et des théories diverses que j'avais précédemment établies en m'appuyant sur le calcul; V analyse des transversales, en prenant pour principal point de départ les ouvrages de Carnot et de Maclaurin; l'étude approfondie du principe de continuité et de la loi des signes de position qui s'y appuie; la théorie des polygones fixes ou mobilesy des polaires réciproques, etc.; un grand nombre d'autres résultats ou conséquences, d'articles de correspondance, Ae philosophie mathématique, de polémique ou de critique relatifs k la Géométrie de V infini ti aux imaginaires, tous d'une date antérieure à la publication du Traité des Propriétés projectiles, mais résumés et accompagnés de Notes, de réflexions et d'explications nouvelles; tel est le contenu de ce second volume des Applications d'Analyse et de Géométrie.

J'ose espérer que la variété, l'importance et la nouveauté des aperçus qui s'y trouvent, en excitant l'intérêt des lecteurs instruits, répondront au bienveillant accueil qui a été fait au premier volume, et que les efforts persévérants par lesquels, depuis tant d'années, j'ai essayé d'éclairer la métaphysique de la Géométrie et d'en bannir les obscurités et les doutes, auront servi à répandre un jour plus grand sur des matières qui, dans ces derniers temps, ont excité la vive curiosité des Professeurs et de tous ceux qui, dans des sens divers, cherchent à ouvrir de nouvelles routes à l'esprit humain.

APPLICATIOINS

<•) r CAHIER. - PROPKIÉTÉS DESCRICTIVES

rore une fois la même construction, on finira par le remplacer,

Fig. 4.

comme dans le cas précédent, par un triangle mobile dont ea sera le côté entièrement libre, etc.

Remarque /. — Quand les deux derniers pôles trouves sont en ligne droite avec E, le côté mobile «e, au lieu de rouler sur une conique, passe évidemment dans toutes ses positions par un point fixe. En effet, soient AE et ED [Jig, 5) les deux der-

niers côtés du polygone en question, AD la dernière diagonale, P" et F*' les deux derniers pôles obtenus situés sur une droite passant par £; o^ae étant le triangle mobile, ae sera le dernier côté libre. Or on sait (t. 1", p. 4^5) que si Ton trace les droites AP*' et DP'' qui se croisent en 0, la droite ae doit passer toujours par ce même point 0 qui, par suite, reste fixe.

Hematytie IL — Au lieu de prendre une position quelconque ahcd(Jig. 3) du quadrilatère mobile pour conslruin» les pôles P et P', on pourra choisir celle 011 b se confond

iivecB, ce qui simplifiera la construclion. On trouvera de cette manière que, pour obtenir P et P', il suffirait de mener par le point B et par les pôles p, />', />", les trois droites B/?, By/, B/>", coupant les cotés respectifs du triangle ADC, en a', a et d', je suppose, et de tracer ensuite les droites aa! et ad' qui, prolongées, couperaient respectivement aussi pp' et p' p" aux deux points P et P' demandés.

Remarque III, — Faisons connaître un autre mode de ré- <luction qui sera mis souvent en usage par la suite.

Soient ABCDE et ahcde {fig. 6) les polygones fixe et mobile, p^ p\ p'\ p"' y . les pcMes de ce dernier; tracez les droites /?// cl p" p" qui passent l'une par le i" et le 2" pôle, l'autre par le 3* et le 4*; prolongez-les jusqu'à leur rencontre en P. Tracez

Fiiî. r>.

I i ' Il

la droite Pc passant par le point ii\e P et h» S*" sommet c du polygone mobile ahcde; prolongez-la jusqu'à sa renconlre en a avec le i" cO»té ab. Dans le mouvement du polygone mobile, les colés du triangle abc tourneront autour des trois pôles/;, p' et P c|ui sonl en ligne droile; donc le sommet a

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8 1" CAllIEU. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

décrira une autre droite passant par l'intersection B des lignes BA et BC directrices des sommets b et c de ce triangle.

Pareillement, si vous prolongez Pc jusqu'à sa rencontre en p avec le 4' côté de du polygone mobile, le point (3, différent de a, se mouvra sur une droite CJ3 passant par le sommet C. Ainsi le pentagone mobile abcde sera remplacé par le quadrilatère mobile aai^ea dont les trois»pôles seront /;, P, y/' et dont les sommets variables a, (3 parcourront les droites fixes Ba et Cj3, les sommets a q\ e décrivant toujours les directrices AE et DE. Cette construction s'appliquera évidemment aux cinq premiers côtés d'un polygone quelconque de n sommets , ainsi remplacé par un polygone de /t — i côtés, lequel pourra être à son tour remplacé par un autre de /i — i côtés, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un dernier quadrilatère avec trois pôles, auxquels la construction s'arrêtera ; car elle exig(» au moins quatre pôles. On sera donc obligé d'avoir recours à la transformation que nous avons d'abord fait connaître pour ramener la question au cas du triangle avec deux pôles.

Cette première transformation est, comme on voit, préférable à la seconde en ce qu'elle ne souffre aucune exception; elle s'applique d'ailleurs au cas où les pôles />, p'y p'\ <^tc., sont tous ou en partie en ligne droite, tandis que l'autre n'a pas le môme avantage.

Bemai'que générale, — Si les pôles sont tous en ligne droite, il est plus simple de se servir du procédé direct que nous allons faire connaître, pour découvrir les deux derniers pôles sans être obligé de recourir à des pôles auxiliaires.

Prenons pour exemple (fig. 7 ) le cas du pentagone et désignons les mêmes points par les mêmes lettres. Prolongez le premier côté mobile «6 jusqu'à sa rencontre en a avec le troisième côté cd; les trois pôles /?, p', p" étant en ligne droite, le sommet a du triangle a hc parcourra une droite fixe a B passant par le sommet B (t. I, p. 4^0) : ainsi voilà déjà le pentagone nhcde remplacé par le quadrilatère a aide y dont les trois pôles p, p" eip'" sont en ligne droite. Pareillement, si vous prolongez le premier côté mobile a a de ce quadrilatère jusqu'à sa rencontre avec le troisième côté de en (3, le sommet p du triangle mobile (3a (/ parcourra une droite invariable (3/i passant jmr le

point de rencontre k des deux directrices fixes «B et CD de ce triangle, puisque (ibid.) les trois pôles/?, p", p"\ autour desquels tournent ses ci)tés, sont en ligne droite (*).

Ainsi le pentagone abcde se trouve remplacé par le triangle» mobile ^aty dont les sommets s'appuient sur les droites fixes

Fig. 7-

AE, ED, (3/r, et dont deux côtés «[3 et e jS tournent autour des pôles p Gi p'"; donc le troisième côté libre ae de ce triangle ou le cinquième du pentagone abcde roule sur une conique;

(*) On peut remaniuer que, quand les côtés du polygone fixe passent par un môme point, les points de rencontre de deux cx3tés quelconques ou de deux diagonales, pu enfin d'un côté et d'une diagonale, décrivent autant do lignes droites Lhuiiier [Klémrnts (Canalysc f^cometrif/iiCy etc.) f»n donne la démonstration pour lo (^s où les pôles sont sur l'un des côtés

lo r CAHIER. - PKOPIUÉÏÉS DESCRli>TlVES

celle-ci se réduirait évidemment à un point dans le cas où la droite qui contient tous les pôles passerait par le dernier sommet E du polygone iixe. Ainsi on pourra reconnaître cette circonstance au premier abord (*).

Il est évident que, quel que soit le nombre des pôles donnés, les conséquences précédentes auront toujours lieu; si donc on fait attention cjue le troisiènxe sommet p du dernier triangle se trouve toujours à la rencontre du premier côté ab et du dernier de du polygone mobile, on pourra en conclure cette proposition générale :

Proposition II. — Théorème.

Si tous les côtés d'un polygone mobile sont assujettis à tourner respectivement autour d'un même nombre de pôles Jixes situés en ligne droite^ et si, en même temps, on contraint tous les sommets, à Vexception d*un seul, à parcourir de^ droites fixes, le dernier sommet resté libre parcourra dans le mouvement général une seule et même ligne droite.

de co polygone; mais sa démonsl ration (lyoir § 53, p. 107) suppose que, les côtés fixes restant quelconques, les diagonales passent néanmoins par des points situés sur la droite des pôles; ce qui n'a lieu que quand les côtés directeurs concourent en un même point (a), *

(Note (lu manuscrit de 181 5.)

(*) Même chose aura lieu quand il arrivera que pX passe par le sommet E du polygone fixe (fig. 7). (Note ancienne, )

{a) Simon Lhuilier, de Genève, esprit étroit au point do vue de la Géométrie dc^escartes etLeibnitz, de Desargues et Pascal, do Monge et de son École, d'un rigorisme lent et épineux à la manière des commentateurs ou interprètes d'Euclide, d'Apollonius et de Pappus, je veux dire des Fermât, des Halley, des Robert Simson, des Playfair, etc.; Lhuilier eut Tinsigne bonheur d'initier hVAnalxso géométrique et algébrique, le sens naturellement droit et mathématique de Sturni, homme modeste jusqu'à la timidité, que j'ai appris à aimer, à estimer depuis 183J, où, encore inconnu, il écrivait dans le RuUetin des Sciences de Férussac, au prix annuel de i5oo francs; mais Lhuilier avait aussi inspiré à notre illustre confrère de forte» préventions contre le principe, la loi de continuité. Ces préventions avaient pour point de départ une objection plus spécieuse que juste, meutionnce dans la Polygonométrie (p. 98 à 100) publiée dès 1789 parle savant professeur de Genève, et qui repose sur un cas d'indétermination relatif à un problème de Géométrie statique, dont les exemples pourraient être variés h volonté, et qui se rattachent k des causes, \ des considérations infinitésimales bien connues. "

DES POLYGONES VARIABLES gUELCONQUES. u

Dans le cas où toutes les directrices rectilignes concourraient en un niême point, la droite parcourue par le sommet libre passerait aussi par ce point.

Après avoir examiné le cas où tous les pôles sont en ligne droite, nous allons nous occuper de celui où, les pôles étant quelconques, toutes les directrices fixes passent par un même point; ce qui nous donne lieu de démonlrer la proposition suivante :

Proposition 111. — Théorème.

Si tous les sommets (Vun polygone mobile abcd... {Jig, 8) sont assujettis à parcourir autant de droites Jixes concourant en un même point A, et si de plus tous les côtés, à V exception d'un seul, doivent tourner constamment autour des pôles fixes pf p'y /?",..., le dernier côté libre ad pivotera aussi dans toutes ses positions sur un même point fixe tt.

Nous prendrons pour exemple le quadrilatère a6crfde,cette fig, 8. Soit tracée la diagonale ac jusqu'au point P de la droite

qui joint les deux pôles p et p\ je dis que cette diagonale passera dans toutes ses positions par le point P. En effet, le triangle mobile abc, dont les sommets parcourent trois droites AB, AC, AD concourant en un même point, ayant deux de ses côtés ab et bc qui tournent autour des pôles respectifs p et p', sera par là même tel, que son troisième côté libre bc tournera aussi autour d'un pôle (\x(', lequel, situé en ligne droite avec les deux autres, se confondra avec P. On démon-

12 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

irera d*unc manière semblable que le triangle suivant acd^ dont deux côtés ac et cd passent par les pôles fixes P et p'\ est tel, que son troisième côté ad passe aussi, dans toutes ses positions, par un dernier pôle fixe 7:, situé à la rencontre de ce même côté avec la droite P/?" qui joint les deux autres pôles fixes.

Bemarques diverses, — On voit que, non-seulement le dernier côté libre ad du polygone tourne autour d'un point {\\{\ mais qu'il en est ainsi encore pour chacune des diagonales qu'on peut mener d'un sommet à un autre.

D'autre part, la démonstration précédente s'élendant à un polygone gauche quelconque assujetti aux mêmes conditions, on en conclut que, pour ce cas encore, le dernier côté libre et les diverses diagonales tourneront autour d'autant de points fixes situés dans l'espace ainsi que les directrices convergentes (*).

Dans le cas particulier où les différents points fixes p, //, /?'',..., considérés comme pôles, seraient situés en ligne drofte, le pôle T. et tous ceux des diagonales seraient aussi situés sur cette même droite.

Enfin, il est visible encore (t. 1, p. i38 et i4o)» que si l'on prolonge le premier côté ab et le dernier cd du polygone mobile jusqu'à leur rencontre on a, ce sommet libre du nouveau polygone parcourt, en vertu du mouvement général, une section conique, qui se réduira à une droite dans le cas où tous les pôles seront eux-mêmes situés en ligne droite (Prop. 11).

Remarque générale.

Les propositions précédentes renferment la solution de ce problème : « Dans un polygone donné, inscrire un autre polygone dont les côtés passent par des points aussi donnés. » La construction s'exécutera par la règle seulement, dans les deux cas suivants. :

1° Quand les points donnés seront situés en ligne droite :

(*) D'après une remarque consignée à la page 5o4 du I" volume (Additions) par M. Mannheim, la position de tous ces points ou polos fixes est indépendante de colle du point de concours A (k^ directrices.

DES rOLY(îONES VARIABLES QUELCONQUES. li

en laissant libre Tun des sommets du polygone cherché, et faisant abstraction du coté correspondant du polygone donné, il arrivera (IVop. II) qu'en déformant ce polygone de toutes les manières possibles dans ces conditions, le sommet libre parcourra une ligne droite qui, par son intersection avec le côté supprimé du polygone ii\e, donnera la position d'un sommet du polygone inscrit, d'où l'on conclura tous les autres;

2? Quand le polygone donné s'évanouit ou que les directrices concourent toutes en un même point, les pôles fixes par où doivent passer les côtés du polygone cherché étant d'ailleurs quelconques, on fera pour un moment abstraction du dernier pôle, et l'on regardera en même temps comme libre, le côté du polygone cherché qui doit passer par ce pôle; alors, en déformant à volonté ce polygone d'après les conditions énoncées, le côté libre pivotera dans toutes ses positions autour d'un point fixe (Prop. III), et la droite qui joindra ce point avec le pôle dont on a fait abstraction donnera la position de l'un des côtés du polygone cherché, au moyen de quoi on trouvera successivement tous les autres côtés.

Corollaire I. — Quand le polygone ahcd..., au lieu de s'appuyer sur autant de droites différentes concourant en un seul point qu'il a lui-même de sommets, s'appuiera seulement sur deux lignes droites quelconques, de façon que ses sommets successifs reposent alternativement sur l'une et sur l'autre de ces droites, la Proposition III, que nous venons de démontrer, pourra encore lui être appliquée: en sorte que, si tous les côtés, excepté un seul, tournent autour de pôles respectifs, le dernier côté pivotera lui-même autour d'un pôle, qui se trouvera en ligne droite avec les autres quand ceux-ci seront également disposés en ligne droite.

Corollaire II, — Dans la même supposition de deux directrices uniques, si on laisse libre un sommet a, tous les côtés étant assujettis à tourner autour de pôles respectifs, ce sommet libre parcourra une section conique, qui se réduira à une simple droite dans le cas où tous les pôles seraient euxmêmes situés en ligne droite.

DES POLYGONES MOBILES INSCRITS OU CIRCONSCRITS A UNE SIMPLE CONIQUE ET A D'AUTRES POLYGONTîS.

Proposition IV. — Lemme.

Si un triangle oLxy [fig> 9 ) est inscrit à une section conique (0), et qu'on le déforme en assujettissant deux de ses côtés OLX et oLy à tourner autour de points Jixes p et p' comme pôles, le dernier côté xy resté libre j roule dans toutes ses positions

sur une auti^ conique tangente à(0) aux points t et V oïl elle est rencontrée par la droite des pôles pp^. En d'autres termes, si le sommet a d'un angle mobile est assujetti à parcourir une section conique (0), tandis que ses côtés pivotent respectivement autour de pôles fixes, la corde xy sous-tendue par l'angle dans la courbe roulera sur une autre conique.

En effet, la figure peut être remplacée par une autre dans laquelle la conique (0) devient un cercle et la ligne droite pp'

Fig. 10.

passe à Tinfini {fig. 10); dans celle nouvelle figure, les côtés de Tangle se meuvent parallèlement à eux-mêmes, et par suite cet angle est constant ; donc aussi la corde sous-lendue

DES POLYGONES VARIABLES QUEU:ONQUES.^ i5

x'y roule sur un cercle concentrique au premier (0); d*oii suit la proposition énoncée.

On voit de plus [Jîg. 9), que, quand le sommet a est situé sur la droite pp\ en t par exemple, la corde xjr se confond avec la tangente en t' à la conique (0); par la même raison elle se confond aussi avec la tangente en t quand a est en /'. En outre, on peut s'assurer que dans cette ^g^. 9, Tenve- Ibppe de xy est renfermée dans la courbe (O); par suite, elle ne saurait loucher les tangentes en / et /' en dehors de (0); donc elle les touche aux points / et t' eux-mêmes, et, par conséquent, elle touche aussi en ces mêmes points la courbe (0), comme nous l'avions énoncé.

Remarque. — Cette conséquence résulte immédiatement de nos Principes (t. P% p. 4^4)» f^^^is j'ai préféré en donner une démonstration directe afin de faire en quelque sorte la vérification de ces Principes par un exemple sensible.

Proposition V. — Lemme.

Imaginez (Jig, 1 1) qu'on mène à la courbe (0) des tangentes aux sommets Xy y\ % du triangle mobile inscrit à cette courbe :

Fig. 1 1 .

on formera un triangle circonscrit \YA, dont les sommets X et Y parcourront respectivement deux droites ayant pour pôles

i6 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

p* eipt lesquelles passeront par le point k où se coupent les tangentes tk et t'k menées aux extrémités de la droite des pôles />, p'. Quant au troisième sommet A qui correspond au côté xy du triangle inscrit, il restera libre et parcourra une nouvelle section conique tangente en / et /' à la proposée.

On se rendra raison de tout cela en se reportant à la Jig. lo, qui est la projection de celle-ci; il est visible, en effet, que, tandis que la corde variable a/ y roule sur une circonférence de cercle concentrique au cercle (0), le point A où se coupent les tangentes menées aux extrémités ar', j' de cette corde, décrit par le même mouvement une troisième circonférence concentrique aux deux premières.

Remarque. —Quand la droite pp' qui passe par. les pôles p et p' ne rencontrera pas la conique (0), ou, ce qui revient au même, quand le point k correspondant sera situé dans l'intérieur de cette courbe, les points de contact t, V qui lui sont communs avec celles considérées ci-dessus n'existeront plus, et par suite ces courbes s'envelopperont les unes les autres sans se toucher. Néanmoins elles se comporteront entre elles comme si elles se touchaient effectivement (t. P% p. 200 à 208); circonstance qui offre une application remarquable de tout ce que nous avons dit en général {ibid., p. 4^5, etc.) sur les relations projectives des figures, et nous présente en même temps l'exemple de deux courbes qui ont une corde commune existant géométriquement sans, pour cela, avoir aucun point commun.

Le point k est ici visiblement le pôle de la droite pp'; c'est aussi le sommet de l'angle des deux directrices kY et k\ de la courbe des points A.

Proposition VI. — Lemme.

Soit toujours (Jlg* 12) le triangle mobile axr inscrit dans la conique (()) et dont les côtés ax et ay passent par les pôles p et p' y si d'un point quelconque A de cette courbe, on mène deux droites A x, A >• aux extrémités de la corde mobile xy et qu'on prenne les points P et P' où elles coupent pp' pour nouveaux pôles des côtés \x, \y de l'angle A, la corde xy sous-

DES POLYGONES VARIABLES yCELCONyUES. 17

tendue par cet angle dans la courbe roulera surda m^me section conique que la première.

En offel, los deux enveloppes auront la tangente ^>'en rommiin, et de plus, elles touclïeront la courbe (0) aux deux nienuvs

Fig. ij.

points /, /', ce qui ne peut avoir lieu sans qu'elles se confondent. Cela se dénionlre plus facilement encore sur la^g*. 10. 11 est visible en effet que Tangle ex! x' y de celte ligure, peut être remplacé par tout autre angle ayant son sonmiet sur la circonférence (O), par conséquent de même mesure, de sorte qu'en faisant mouvoir ses cotes parallèlement à eux-mêmes, la corde xy correspondante roulera exactement sur la circonférence décrite par celle du premier angle.

Corollaire /. — On peut [fig- i^) se donner le pôle P à volonté sur pp' ; on en conclura le correspondant P' en traçant un triangle arbitraire a:r>^'au moyen des deux premiers pôles/; ei p% joignant ensuite ^P par une droite Vx qui donnera b» point A, enfin traçant par A et 7* la droite \y qui coupera /;// en P' au point demandé.

Corollaire II. — Cette dernière riMnanjuc nous montre cpie si les trois premiers cotés j*jf, ax, v\ d'un (iuadrilalèr(> ra.r \r inscrit à la courbe (O), passent par Irois pôles fixes y/, p ei P situés en ligne droite, le quatrième colé A^- passera aussi dans toutes les positions correspondantes, par un quatrième poir invariable P' de cette ligne droite.

Corollaire III, — De même qu'il y a une infinité de couples dr pnles p et p\ P (M 1^, etc., au moyen desquels on peut n. »

i8 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

obtenir renveloppe des cordes xy, il y a aussi une infinité de systèmes de directrices correspondantes /r Y et /f X {Jig. 1 1 ) qui peuvent déterminer la section conique parcourue par le point A; mais tous ces systèmes ont le point k commun. On pourra se donnera volonté Tune d'elles /fV, pourvu qu'elle passe par le point /r; pour obtenir sa conjuguée /rX', on circonscrira à la courbe (0) un triangle quelconque YAX s'appuyant sur les deux premières /r Y et k\ qui sont données ; le sommet A sera un point de la courbe correspondant à ces directrices. On formera avec les deux mêmes côtés AY, AX adjacents au sommet A, un nouveau triangle AY'X' circonscrit à la conique, et ayant un de ses sommets Y' sur la droite donnée Y'/r, le troisième sommet X' de ce triangle sera un point de la directrice /rX' conjuguée à kW

On peut remarquer qu'à un même pôle P ou à une même directrice /r Y' il en correspond toujours deux autres.

Proposition VIL — Lemme.

La courbe sur laquelle roule la cordé variable xy (Jig> 1 1 el vZ) se réduira à un point quand, dans une de ses positions

pour laquelle le triangle correspondant xycc subsiste, cette corde xy passe par le pôle k conjugué (t. P^, p. 44^) à la droite pp'y qui joint les pii'Ots p et />' des deux côtés ax et ay de V angle a.

En effet, si, dans cette circonstance, Ton met la figure en pro-

jection, de manière que la courbe (0) devienne un cercle el que la droite pp' passe à Tinfini, il est visible [fig^ 10) que le pôle k deviendra le centre 0 de ce cercle; or la droite x'y' passant par hypothèse par ce point, Tangle x' ol' y' correspondant sera droit; donc en faisant mouvoir ses cotés parallèlement à eux-mêmes, le sommet A restant toujours sur le cercle (0), la corde x' y passera constamment par son centre; donc aussi sa correspondante xy^ (fig. i3) pivotera sur le point k, projection de ce centre et pôle conjugué à pp'»

Remarque. — On ne peut pas prendre arbitrairement les deux pôles p et p' sur la droite polaire de k; mais si Ton se donne sur celte droite Tun d'eux, p par exemple, on trouvera tout de suite l'autre p' qui lui correspond, ainsi qu'il suit : tracez arbitrairement xy passant par le pôle k de la polaire donnée pp\ joignez px qui donnera x, tracez enfin ay qui vous donnera le point p' cherche. On obtiendrait ce môme point en joignant /? à j pour obtenir a', et ensuite a' h x; cela paraîtra évident si l'on considère la projection {Jlg, 10). Il n'est pas difficile de s'apercevoir que les points /i et k sont, à l'égard du troisième p\ ce que les pôles p et p' sont à l'égard du premier /f, en sorte que p' est le pôle conjugué de la droite pk; par la même raison, p est le pôle de /»//.

Corollaire. — De celte dernière remarque il suit que <c si >' trois points pris sur le plan d'une conique sont tels, que »' l'un d'eux pris à volonté soit le pôle de la droite qui joint » les deux autres, on pourra inscrire dans la section conique ») une infinité de triangles, dont les côtés passent par les trois » points en question ».

Toutes ces remarques ont leurs analogues quand on considère un triangle A\Y {/ig. 11) circonscrit à une section conique (0) et dont deux sommets XV sont assujettis à parcourir des directrices fixes k\ et k\ : ainsi par exemple, on a la proposition suivante.

Proposition VIII. — Lemihe.

Soit {0),Jtg. i4» une section conique, k\ et k\ deux directrices situées sur son plan et tellement choisies que chacune

10 y CAHIEH. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

d'elles passe par le pôle conjugué à Vautre y le troisième sommet CL d*un triangle oLxy circonscrit à la courbe et dont les deux autres sommets parcourent ces directrices, décrira dans toutes ses positions une ligne droite a t' t, polaire conjtiguée à leur point d'intersection k.

Il est visible, en effet, que dans notre supposition, si Ton détermine la droite tt' polaire du sommet k des deux directrices, le point/? où elle coupera Tune d'elles ArY sera le pôle de l'autre /fX; or, il n'est pas difficile de s'assurer, en cbnsi-

dérant les diverses positions du sommet libre a du triangle xy<x, qu'il coïncidera dans l'une d'elles avec le point p\ donc la section conique, décrite en général par a, devant à la fois contenir ce point et les points de contact t Qi f (Prop. IV et V) en ligne droite avec p et /?', elle se confondra tout entière avec cette droite.

Remarque, — 11 résulte de ce qui précède un paradoxe ass(»z singulier; puisque la courbe parcourue par le point a doit en général toucher la courbe (0) aux deux points / et /', quand ces points existent réellement, il s'ensuivrait que la droite //'

DES POLYGONES VARIABLES QUELCONQUES. ii

décrite par le sommet a dans le cas actuel devrait aussi toucher la courbe en ces points, ce qui semble au premier abord une absurdité; itiais, en y réfléchissant, on verra que la droite //' o\x pp' est en quelque sorte la limite des hyperboles qui, susceptibles d'être décrites par le point a, toucheraient la courbe aux points / et /', de sorte que les deux parties de pp' situées en dehors de cette courbe peuvent être considérées comme appartenant aux deux branches de Tune des hyperboles en question, dont les asymptotes, infmiment voisines Tune de Tautre, se confondraient avec les prolongements de //'. En effet, les points / et /' sont des espèces de limites que le point a ne saurait franchir, puisqu'il ne peut jamais entrer dans la conique; la partie tt' de la droite pp' ne satisfaisant réellement pas à la condition qui définit les sommets a.

La construction des lignes courbes et la géométrie descriptive offrent mille exemples de circonstances semblables. Elles se reproduisent, en général, toutes les fois que la courbe décrite par un point mobile, se trouve abaissée à un degré inférieur par quelque condition particulière.

Proposition IX. — Théorème.

In polygone, ahcd..,f(fig. i5), étant inscrit dans une conique, si on le déforme de toutes les manières possibles en

assujettissant â pivoter autour de pôles respectifs /^ p'

tousses côtés à V exception d'un seul, af qui restera libre y ce

Jt2 r CAHIER. - PUOPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

ileniiev côté mutera sur une section conique tangente en deux points à la proposée.

Considérons d'abord le pentagone abcde formé par les quatre premiers côtés du polygone en question et la diagonale ae qui joint son premier et son cinquième sommet. Par les pôles p et/?' faites passer la droite pp'y joignez pareillement les pôles p*^ et p" par la droite p'^p*^ qui prolongée coupera la première en P'. Par ce point P' et le sommet c, faites passer la droite V'cx qui coupera la courbe en un second point x, tracez enlin ax qui viendra couper pp' en P, vous formerez le quadrilatère mobile abcx, dont les trois premiers côtés passeront par les trois pôles p, p* et P' situés en ligne droite; donc (Prop. VI, Coroll. 11) le quatrième côté ax passera par le quatrième pôle fixe P situé sur la droite pp'. Si vous tracez pareillement xe qui coupera la droite p'^p"' en P", vous formerez le quadrilatère xcde dont les trois premiers côtés passent par les trois pôles P', p" et p"' situés en ligne droite; donc le quatrième côté mobile xe passe aussi dans toutes ses positions par le pôle P" situé sur la droite //'/>'*.

Ainsi le cinquième côté ae du pentagone abcde se confond constamment avec le côté libre du triangle inscrit a:x:e dont les deux autres côtés xa et xe passent par les pôles respectifs P et P" ; donc le polygone abcdef que nous considérons peut être remplacé par axef, qui a deux côtés de moins et dont tous les côtés, excepté le dernier a/ qui leur est commun, tournent autour de pôles respectifs. •

En traitant ce nouveau polygone de n — 2 côtés et de w — 3 pôles comme le précédent, on le remplacera par un autre de /* — 4 côtésL et de n — 5 pôles, et en continuant ainsi on parviendra à remplacer le polygone proposé par un dernier de trois ou quatre côtés avec deux ou trois pôles, selon que le nombre de ses côtés sera impair ou pair.

Celte construction exigeant qu'il y ait au moins quatre pôles, elle ne pourra pas servir à remplacer le quadrilatère par un simple triangle. La suivante remplira ce but :

Soit abcd [Jig. 16) le quadrilatère dont il s*agil;/^/?' et p" les pôles de ses trois premiers côtes; on tracera la droite /?/>' passant parles deux pôles p et />'; on tracera pareillement la droite P'P" qui a //' pour pôle, laquelle prolongée, rencontrera la

première en P'; on joindra P' el c, ce qui donnera x; enfin on tracera les droites xu et xd tjui couperont pp' en P et P'P"

Fig. if».

polaire de />" en P". Je dis maintenant que, pour toutes les positions possibles du quadrilatère mobile abcd^ ax et xd passeront constamment par les pôles P et P" déterminés comme ou Ta expliqué ci-dessus.

En effet, en considérant le quadrilatère abcx dont trois cotes passent par trois pôles /?, p\ P', situés en ligne droite, on verra encore que le côté libre ax doit passer constamment par le quatrième pôle fixe P situé sur la même droite (Prop. VI, Coroll. I). Puis, considérant le triangle mobile cxd, on démontrera sans peine, à Taide des remarques déjà présentées ci-dessus (Prop. Vil), que le côté libre xdde ce triangle doit passer constamment par le point P"; donc aussi le quadrilatère mobile ahcd peut être remplacé par le triangle axd dont deux côtés ax et xd passent par des pôles fixes el dont le troisième ad, qui est resté libre, se confond avec le quatrième côté du quadrilatère.

Donc enfin, quel que soit le polygones considéré. Ton parviendra toujours, par des constructions successives, à déterminer les deux pôles d'un dernier triangle dont le côté libre prendra successivement toutes les positions du côté libre du polygone primitif, et par conséquent (Prop. IV), ce dernier côté roule sur une section conique qui touche la proposée en deux points, lesquels se trouveront, comme on Ta vu, à Tin-

24 r CAHIER. - puopriétf:s desciuptives

lersection de celle courbe avec la droile qui joinl les deux derniers pôles irouvcs.

Voici un autre théorème qui est la conséquence immédiate de celui que nous venons de démontrer.

Proposition X. — Théorème.

Quand un polygone ABCD ... a (fig* i'}) est en même temps circonscrit à une conique {0) et inscrit dans un polygone MNPQ..., à l'exception d'un de ses sommets a resté libre, si l'on vient à le déformer de toutes les manières possibles d'après ces conditions, le sommet libre a parcourra dans ses diverses positions une même conique touchant la proposée en deux de ses points.

Joignant successivement les points de contact des côtés du polygone mobile par des lignes droites ab, bc, cd, . . . , on formera un polygone inscrit abcd..., mobile comme le premier,, et dont tous les côlés seront assujettis à passer par autant de

Fig. 17.

points fixes qui seront les pôles des côtés correspondants du polygone fixe donné MNP...., excepté un dernier côté ae correspondant au sommet a et restant libre avec lui. Or, nous avons démontré (Prop. IX) que ce polygone pouvait être remplacé par un triangle mobile dont deux côtés passeraient par des points fixes ou pivots faciles à assigner, et dont le côté libre se confondrait avec le dernier côté ae du polygone abcd. . .; donc le sommet a, qui correspond à ce côté, par-

courra une section conique (Prop. V) louchant la courbe (0) en deux points.

Remarque. — Un cas très-remarquable des Propositions précédentes est celui où tous les points/;, p', />",. . ., sont en ligne droite; alors le polygone MNP. . . (Jîg. 17) cesse de subsister, parce que tous ses côtés directeurs concourent en un point unique, lui-même évidemment pôle de la droite /?/;'/?'^.., qui renferme les pivots du polygone inscrit «ôcrfe... Nous allons maintenant nous proposer l'examen de ces circonstances particulières.

Proposition XL — Théorème.

Si tous les côUis d'un polygone ahciL . ,f {Jifç, 18) inscrit à une conique, pivotent sur les pôles respectifs /;, y/, p**,. . ., situés en ligne droite à l'exception du côté af qui reste libre, ce dernier côté passe dans toutes ses positions par un dernier pôle situé sur la droite qui contient les premiers^ quand toutefois ceux-ci sont en nombre impair.

Considérons pour exemple le cas particulier de cinq pôles p^ p'y //', p'", p'" donnés en ligne droite. Soit tracée la diagonale ad (jui forme avec les trois premiers côtés le quadrilatère inscrit abcd, les trois côtés ab, />c, cd passant par des

Fin. •«

pôles />, p' et p" situés en ligne droite, il arrivera que le quatrième côté ad passera aussi dans toutes ses positions par un même pôle P situé sur la droite pp'p'^ ( Prop. VI, Coroll. 11 ). En considérant le quadrilatère suivant adefy on prouvera de même que son côté libre a/ tourne dans toutes ses positions autour d'un pôle P' situé sur la droite pp' p" • • » comme il s'agissait de le démontrer.

Or, il est visible que la môme démonstration s'appliquera à

i6 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

tout polygone d*un nombre de côtés pair avec un nombre impair de pôles; car on pourra toujours le partager en plusieurs quadrilalères par des diagonales partant du point a et qui tourneront dans toutes leurs positions, autour d'autant de points fixes situés sur la droite des pôles; donc la proposition énoncée a lieu dans toute sa généralité.

Corollaire I. — Dans le cas oii le nombre des côtés du polygone inscrit serait impair et où, par conséquent, celui des pôles, toujours en ligne droite, serait pair, le dernier côté ne tournerait plus autour d'un point fixe, mais il décrirait, comme dans le cas général , une section conique touchant la proposée aux deux points / et /', où celle-ci est rencontrée par la droite des pôles /?, p'^ />",. . .

En effet, si Ton considère le dernier, triangle afe formé par le côté libre, le dernier côté fe qui tourne autour d'un pôle ï\\(i p^^ et la dernière diagonale ae de ce polygone, il est évident qu'en retranchant ce triangle du polygone entier, il restera un polygone qui rentrera dans le cas précédent. Donc le dernier côté de ce polygone ou la diagonale ae du proposé tourne dans toutes ses positions autour d'un pôle situé sur la droite />/>'p". . ., d'où l'on conclura que le côté libre rt/ du triangle aef roule sur une conique (Prop. IV) touchant la proposée aux points / et t\

L'on voit par ce que nous venons de dire, qu'on aura toul de suite les deux pôles du triangle mobile aef ^ox\i le côté af engendre la courbe; car l'un de ces pôles /?'^ est donné, et l'autre s'obtiendra en prolongeant la diagonale ae jusqu'à sa rencontre avec la direction pp' p"

Corollaire IL — Il suit encore de ce qui précède, que toutes les diagonales de rang pair d'un polygone inscrit, tournent par l'effet du mouvement général, autour d'autant de pôles situés sur la direction pp' p'\ et que toutes celles d'un rang impair roulent sur des sections coniques qui touchent la proposée aux deux mêmes points t et /' (*).

(*) Nous avons déjà donné une démonstration goométriquo directe et générale de la Proposition précAlonte, ainsi que de celle qui suit, dans le IV' Cahier des anciennes Notes (t. 1, p. 5108). [Manuscrit de 181 4.)

DES POLYGONES VARIABLES gUEIX^ONQUES.

Proposition XII. — Théorème.

Quand tous les sommets d'un polygone mobile ABCDEa (Jig* 19), circonscrit à une conique (0), sont assujettisy sauf un seul OL qui reste libre, à parcourir autant xle droites respec- /iV^s KM, KN, KP,..., concourant toutes en un même point K, le dernier sommet a parcourra lui-même une ligne droite Ka passant par le point de concours K des premières, si toutefois le nombre des côtés de ce polygone est pair, ou que le nombre des directrices KM, KN,. . . est impair.

En effet, formez le polygone \nsi:rïi abcdef ayant pour sommets les points de contact du polygone circonscrit, il ne sera pas diflicile de démontrer que tandis qu'un sommet A du polygone circonscrit parcourra la directrice KM, le côté ab du

Fig. 19.

polygone inscrit qui lui correspond tourn(.»ra autour d'un poinl fixe p; donc tous les cotés du polygone inscrit abcd..., à l'exception du côte af resté libre puisqu'il correspond à a. pivoteront chacun autour d'un point Wxa, et ces points seront évidemment situés sur une même droite, puisque leurs polaires respectives KM, KN,..., se coupent en un seul et même point K; de plus, il est visible que ce dernier poinl sera le

'28 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

pôle conjugué à pp'p" - . . Donc, puisque le nombre des pivots en ligne droite du polygone inscrit est impair, son côté libre ajr(Prop. XI) pivotera dans toutes ses positions sur un même point P, de la droite ^wepp'p" . . ., qui renferme tous les autres, et par suite, le sommet a qui lui correspond parcourra, comme tous les autres sommets du polygone circonscrit, une ligne droite Ka, laquelle passera évidemment par le point K.

Corollaire. — Quand le nombre des côtés du polygone cii^ . conscrit est impair, on prouve, à l'aide de la Proposition précédente (Coroll. I), que le sommet a parcourt une section conique touchant la courbe (0) aux deux points de contact des tangentes menées du point K à cette courbe.

Remarque. — Nous ne nous attacherons pas à démontrer toutes les conséquences particulières des propositions précédentes, qui sont aussi intéressantes que multipliées, à cause de la grande facilité avec laquelle ces conséquences pourraient se déduire des propositions générales auxquelles elles cor- * respondent; nous nous bornerons à faire observer, que ces propositions auraient encore lieu dans le cas où deux ou plusieurs pôles se réuniraient en un seul comme dans celui où une ou plusieurs directrices se confondraient en une seule.

Soit, par exemple, le quadrilatère ahcd inscrit dans une conique (O)yjig, 20; si l'on fait mouvoir ce quadrilatère en

Fig 20.

assujettissant ses côtés opposés ab et cd à passer constamment par le mémo point (\\opp'\ tandis que le côté hc est astreint à

pivoter autour de p' comme pôle, il en résultera que le quatrième côté ady resté libre, pivotera aussi autour d*un même point placé sur le prolongement de la droite />'/>" : il est visible, en effet, que les pivots des trois côtés ab, bc et cd satisfont à la condition d*être en ligne droite.

Par la même raison, si un quadrilatère abcd, circonscrit a une conique (0), Ji^. 21, est assujetti à avoir ses sommets op-

l'ig. 21.

posés a et 6* sur une droite KM, tandis que le troisième b parcourt une autre droite K'M', le dernier sommet libre d décrira dans toutes ses»positions une troisième ligne droite Rrf passant par le point K, où se coupent les deux premières.

Proposition Xlll. — Problème.

Étant donnés une section conique (()) et n points situés surson plan» inscrire dans cette courbe un polygone dont les côtés passent respectivement par les points donnés, en ne se servant que de la règle quand la courbe est décrite.

On pourrait résoudre ce problème en observant que si l'on fait abstraction, pour un moment, de l'un des points donnés, et qu'on inscrive à volonté dans la courbe un polygone dont tous les côtés, à l'exception d'un dernier, passent par les points donnés, le côté libre (Prop. IX), correspondant au point dont on a fait abstraction, roule dans toutes ses positions sur une conique facile à construire; de sorte que, pour résoudre le problème proposé, il suffira de mener à cette dernière courbe, parle point en question, une tangente de laciuelle on déduira

3o r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

un polygone inscrit dont les côtés passeront évidemment par les points respectifs donnés, et qui sera par conséquent une des solutions du problème proposé. D'ailleurs, de ce que d'un point donné on peut mener en générai deux tangentes à une section conique et qu'on n'en peut mener davantage, il résulte qu'on ne pourra non plus trouver que deux polygones inscrits à la courbe proposée et dont les côtés passent par des points donnés.

La solution précédente, quoique générale et en apparence très-simple, a l'inconvénient d'exiger l'emploi du compas et de constructions assez multipliées; la solution suivante n'a pas les mêmes désavantages.

Soit (0),Jig. 22, la conique donnée; p, p\ /?",. . ., les points par lesquels doivent passer les côtés du polygone cherché. Construisez de proche en proche, en partant du point arbitraire a, les côtés successifs d'un polygone abcd..., passant chacun par

Fig. 22.

un des points donnés; s'il arrivait qu'en traçant le cMéfg passant par le dernier pôle p'', le polygone se fermât de lui-même, c'est-à-dire si le point g se confondait avec le point a d'où l'on est parti, il est visible que le polygone abcd. . ,fg (fig, 22) ainsi construit serait une des solutions du problème qui nous occupe ; mais généralement ce polygone ne se refermera pas de lui-même. Soit donc tracé le dernier côté ag qui ne passe par aucun des points fixes ou donnés, on formera ainsi un premier polygone abcd.,.fg inscrit à la conique proposée ei dont tous les côtés, à l'exception d'un seul ag, passeront par les points />, />', />'^ . . . , arbitrairement donnés. Cela posé, concevons que l'on fasse varier le sommet a de

DES POLYGONES VARIABLES QUELœNQUES. 3i

toutes les manières possibles, le côté libre ag variera aussi (Prop. IX); mais il louchera dans ses positions diverses une même section conique; or, il est visible que si, parmi les positions qu'il peut prendre autour de cette courbe, il en existe pour lesquelles sa longueur ag, comprise dans la conique (0), soit nulle, les polygones abcd..., qui leur correspondent, seront les polygones mêmes demandés. Cette circonstance aura évidemmeni lieu pour les deux points où la conique auxiliaire décrite par ag touche la conique proposée ; la recherche qui nous occupe est donc finalement ramenée à trouver ces deux points.

Nous avons démontré (Prop. IX) qu'il est toujours possible de trouver, par des constructions successives dépendantes de la Géométrie de la règle, les pôles P et P' de deux des côtés d'un triangle inscrit axg, dont le côté libre ag roule sur la même section conique que celle qui serait parcourue par le côté ag, considéré comme appartenant au polygone ri-dessus abc.ga. Or, nous avons démontré (Prop. IV) que cette courbe touche la conique donnée (0) aux deux points / et t\ où cette dernière est rencontrée par la droite PP' qui joint les deux pôles P et P' du triangle mobile axg; chacun de ces points est donc le dernier sommet de l'un des deux polygones cherchés, sommet d'où l'on déduira d'une manière facile et par la règle tous les autres éléments do ces polygones, qui seront ainsi entièrement déterminés.

Remarque, — D'après cela, le problème sera susceptible de deux solutions, d'une seule, ou sera impossible, selon que la droite PP' rencontrera la section conique donnée en deux points, en un seul, ou ne la rencontrera pas du tout.

Si la section conique (0) n'était donnée que par cinq quelconques de ses points, on trouverait encore par la règle seule, les pôles P, P' : les intersections de cette courbe avec la droite PP' s'obtiendraient ensuite comme nous l'avons indiqué aux p. 367 et suiv. du t. P"" de ces Applications ou de toute autre manière. Une fois les points / et /' connus, on achèverait les polygones demandés par des constructions qui n'exigeraient plus que le secours de la règle.

La solution du problème précédent a occupé un grand

nombre de géomètres distingués; mais ils ne sont parvenus à le résoudre que pour le cas du cercle et en faisant usage du compas. On trouve cependant une solution par la règle, du cas particulier de trois points et d'un cercle, dans les Annales de Mathématiques de Ntnies [U I, 1810). M. Servois (*), en en donnant la démonstration, Ta étendue ay cas d'une section conique quiconque et de trofs points arbitraires. Nous ferons connaître plus loin celle qu'on déduit, pour ce cas particulier, de la solution générale exposée ci-dessus: nous en forons autant pour celui où l'on se donnerait quatre points au lieu de trois, parce que la solution relative à ce cas est remarquable par son extrême simplicité.

Proposition XIV. — Problème.

Inscrire (fig. 23) dans une conique décrite (0), un triangb* dont les côtés passent respectivement par trois points donnés p, p'y p"y en ne faisant usage que de la règle.

Tracez arbitrairement les trois premiers côtés ab, hc et cd

Fi(j. 23.

d'un quadrilatère inscrit dans la courbe, passant par les points

(*) On sait que c'est à M. Gergonne et à son camarade d artillerie l'abbé Servois, mon professeur en 180G au lycée de Metz, que l'on doit les dénominations de i)ôlc et de jKiUnrc ap[)liquées à un point et à sa conjuguée harmonique y dénominations que j'ai adoptées dans le texte cidessus, d'après l'exemple qu'ils en ont donné dans les t. I, p. 337, et 11, p. 297 des yinnales cilécs. {Note nnciennc rectifier.)

DES POLYGONES VARIABLES QUELœNQUES. 33

donnés />, p\p"\ tracez également la droite P'P", polaire du point p'^; joignez les deux autres points fixes p^p'i^^T la droite indéfinie pp' qui coupe P'P" en P"; tracez de même F'c, qui rencontre la courbe en un second point x; enfin, lirez ax et dxy qui vous donneront les points P et P' par leurs inlor^ sections avec les droites pp* et P"P'. Cela posé, les points t e% /', où la droite PP' ainsi obtenue viendra rencontrer la courbe, indiqueront l'un et l'autre des sommets des deux triangles cherchés, desquels on déduira par conséquent la position même de chacun de ces triangles.

Cette solution se simplifie beaucoup en remarquant, d'après la Prop. VII, que les points P', P'' et p'' sont tels, que l'un quelconque d'entre eux est le pôle de la droite qui joint les deux autres. Ainsi P' [fiff. 2.4) ^^^ '^ P^^c de la droite //'P" conte-

nant le pôle^inconnu P", et par conséquent toute droite V p' p émanant de ce point P', coupera la courbe en deux points T, T', tels, que les tangentes TA et T'A, qui leur correspondent, se rencontrent en un point A de la droite p*'?". Or ce point est évidemment celui où se coupent les deux droites AB et AC, qui ont respectivement /> et /?' pour pôles; donc, pour trouver P", il suffit de joindre le point A avec/?*', par une droite indéfinie Ap", qui par son intersection avec BC, polaire de y>", donnera le point demandé.

Maintenant, faisons attention que si, au lieu de pp' passant par les pôles p eip\ on eût tracé la droite des pôles/?' et/?" et qu'on lui eût appliqué les constructions indiquées pour />/>', sur \^Jig. 23 ci-dessus, on aurait obtenu, au lieu des points P et P' qui déterminent la droite cherchée //', deux autres que je nommerai ::, r", appartenant à la même droite, en sorte que deux de ces quatre points, P*^ et ;:", je suppose, suffisent pour la déterminer complètement. Mais le pôle if en particulier [fiS' ^4)> s'obtient par une construction tout aussi simple que celle du point P", en joignant par une droite le pôle p opposé à p' p"9 et le point G où se coupent AC et CB polaires de// et/?"; car, si on prolonge cette droite, elle coupera AB, polaire d^ p, au point t:" demandé. On peut donc construire avec la règle seule, la droite 7r"P" qui donnera, par ses intersections en t et t' avec la courbe (0), les sommets de deux triangles inscrits dont les côtés passent par les points p, p\ /?".

Remarque. — Cette solution revient à celle exposée par M. Servois, à l'endroit cité plus haut des Annales de Nîmes; nous avons voulu montrer comment elle peut se déduire de notre solution générale déjà exposée ci-dessus. Au reste, elle se démontrerait à priori par nos Principes de projection.

Proposition XV. — Problème.

Inscrire dans une conique donnée (0), Jifç. 25, un quadrilatère dont les côtés passent par les quatre points également donnés /?, p' , p" et p\

Tracez les deux droites /;//, p" p'" que vous prolongerez

Fig. a5.

jusqu'à leur rencontre en P'; tracez également un pentagone

DES POLYGONES VARIABLES QUELœNQlIES. 35

quelconque abcde inscrit dans la courbe, ei dont les quatre premiers côtés passent par les points donnés; joignez le troisième sommet c avec P' par la droite P'c qui, prolongée, coupera la conique en un second point x ; tracez enfin ax et ex qui couperont respectivement pp' et p" p*" en P et P"; la droite PP" coupera la courbe en deux points t ei t^ qui appartiendront respectivemenl aussi aux quadrilatères cherchés; c'est-à-dire qu'ils en seront l'un et l'autre les derniers sommets, d'où l'on déduira par conséquent tous les autres au moyen des pôles ou points donnés p, //, p", p'\

Proposition XVI. — Problème.

Circonscrire à une conique {0),Jig, 26, un polygone ABCD. . . , qui soit en même temps inscrit dans un polygone donné MNPQ..., c'est-à-dire dont les sommets soient sur les côtés respectifs de ce dernier poly^gone ; en ne se sentant que de la règle, quand la conique est décrite.

D'après la Proposition X, si on laissait libre le dernier sommet E du polygone cherché en faisant abstraction pour un instant, du côté MR qui lui correspond dans le polygone donné, et qu'on déformât ce polygone de toutes les manières possibles,

le sommet libre E parcourrait une section conique; donc les points où cette section conique rencontrerait le côté MR, dont on a fait d'abord abstraction, indiqueraient la position des der-

36 r CAHIER. — PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

niers sommets des polygones cherchés. Mais, comme la seclion conique parcourue par E n'est pas décrite, la solution précédente exigerait l'emploi du compas. Pour ne pas y avoir recours on ramènera le problème à celui de la Proposition XIII, ainsi qu'il suit :

On déterminera les pôles />, />',/>"..., des côtés respectifs MN, NP,..., du polygone donné, ce qui s'exécutera par la règle seule; on construira ensuite (Prop. XIII) un des deux polygones abcd... inscrits dans la courbe (0), et dont les côtés passent respectivement par les points p, p', />",..., trouvés ci-dessus; il est visible que si l'on circonscrit enfin à cette conique, un polygone dont les côtés respectifs la touchent aux sommets du précédent abcd..., ce polygone sera en même temps inscrit dans le polygone donné MNPQ. . . .

Remarque. — Si l'on trouvait la solution précédente trop pénible à cause du grand nombre de lignes à tracer, on ferait usage de la suivante, qui n'a pas le même inconvénient, mais qui est aussi moins directe.

Soit circonscrit à la conique donnée (0),^g. 27, un polygone arbitraire EABC... a dont tous les sommets, à l'exception d'un seul a, se trouvent situés sur les côtés du polygone MNP...; il aura ainsi évidemment un sommet de plus que

Fiff. 27. M E

le polygone cherché; mais si, parmi le nombre infini de polygones analogues à EAB ... a, il s'en trouve un ou plusieurs pour lesquels les côtés Ea et Da se confondent en une seule et même droite, ces polygones seront évidemment les polygones demandés. Or on sait (Prop. X) que tous les sommets « sont situés sur une même section conique tangente en deux

points à la proposée (G); donc il existe en effet deux positions du polygone a£AB. . . a, pour lesquelles le point a se trouve sur la courbe (0), ce qui ne peut avoir lieu sans que les côtés Ea et Da se confondent en un seul tangent à la courbe en ce point. On obtiendra donc Tun des côtés du polygone cherché en menant à la conique (0) une tangente comprise entre les côtés MR et RQ, en Tun des points où cette courbe est touchée par celle que parcourt le sommet libre a : c'est donc à la recherche de ces deux points de contact que se réduit le problème proposé. Pour y parvenir, on choisira trois positions arbitraires du sommet a, et la question se trouvera ramenée à la suivante, beaucoup plus simple.

Etant donnés arbitrairement trois points sur te plan d'une section conique décrite, déterminer, par la règle seule, la droite qui contient ceux oà cette courbe serait doublement tangente à une autre conique passant par les points donnés {*).

Nous nous bornerons à indiquer ici la construction, en ellemême extrêmement simple, et dont on trouvera la démonstration dans un autre Cahier ( ** ).

(*) En d'autres termes, « par trois points donnés sur le plan d'une conique décrite, lui mener une autre conique doublement tangente » ; ce qui se réduit proprement à déterminer la position de la sécante indéfmic (le contact, commune aux deux courbes, toujours réelle, mais purement idéale quand le contact est imaginaire. La solution indiquée dans le texte (lérrve évidemment des données et théorèmes exposés p. a68 et suiv. du t. I" de ces yÉpplkations; or iM. Moutard me fait observer que celle solution étant quadruple , elle donne lieu à une incertitude relative au choix de la sécante inconnue de contact, tandis qu'il n'existe en réalité qu'une seule courbe des sommets a et une seule sécante contenant les sommets inconnus des polygones cherchés. Cette observation est parfaitement exacte; mais on doit considérer qu'il s'agit ici de simples tentatives de solutions, d\in acheminement vers les élégantes et faciles constructions linéaires, énoncées dans le t. VIII des Ann(des de Mathématiquesy sous la date d'octobre 1817. [Voir le \l* Cahier à la fin du présent volume.)

(**) Ce Cahier contenait un grand nombre de lemnii's, de théorèmes ou de problèmes suivis de notes détachées, sans lien nécessaire et en majeure partie résumés dans le Traité des Propriétés projertives , dont j'ai l'intention de publier prochainement une nouvelle édition. Ces fragments

38 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Soient a, b deux des trois points donnés ; de chacun de ces points on mènera deux tangenles à la courbe proposée (0), Jlg. 28, ce qui déterminera les points de contact T, ï', 6, 6'; on joindra les deux points 0 et T qui correspondent aux

Fig. 28.

tangentes extérieures Oa et T6, par une droite 9T qui, étant prolongée, ira couper celle ab des points donnés en un autre point tt; ce point sera Tuu de ceux de la corde cherchée. En effectuant une construction semblable pour les points b et c, on obtiendra sur bc un second point t:' appartenant aussi a la corde cherchée ; donc ttt:' sera cette corde. Si Ton avait combiné directement le point a avec c, on aurait obtenu un troisième point tt'', non indiqué, qui se serait trouvé sur la même ligne droite que les deux premiers.

Remarque, — Il n*est pas nécessaire de tracer les tangentes aOy aO\ etc., dont il a été question ci-dessus; il suffira de déterminer les deux points où elles touchent la courbe (0) :^ ces points s'obtiendront facilement en construisant les droites 09' et TT' polaires des points a et b. 11 est visible aussi qu'on aurait encore obtenu le point ::, si au lieu de joindre 0 et T on eût joint 0' et T' qui appartiennent aux tangentes aO' eibV.

ont d'ailleurs servi de base à divers articles imprimés en 181 7 dans le Journal do Gergonne, et que je reproduis textuellement dans le VI' Cabier de ce volume, à cause de leur intérêt historique et de la rareté de la Collection.

Je vais maintenant m'occuper du cas particulier où les points

donnés sont en ligne droite et de celui où tous les côtés du

polygone MNP... concourent en un même point; ce qui

donnera lieu à plusieurs remarques intéressantes.

Proposition XVII. — Problème.

Inscrire dans une conique donnée un polygone dont les côtés passent par des points en nombre quelconque, rangés sur une même ligne droite.

11 y a deux cas à distinguer : celui où le nombre des points donnés est impair, et celui où il est pair.

!•' Cas. — Imaginez (Jig' 29) qu'on inscrive au hasard dans la courbe, un polygone abcd dont tous les côtés, sauf le dernier ad, passent par les points donnés/;, /?', />",. . . supposés en nombre impair; ce polygone ayant ainsi un nombre pair

Fiiî

de côtés; si (Prop. XI) on le déforme arbitrairement, le dernier côté libre passera toujours par un même point P situé sur la direction de pp'. Donc enfin, si l'on mène par P une tangente Pïà la conique, et que Ton construise le polygone correspondant, ce sera un des polygones demandés, puisque le côté libre ad sera réduit à zéro, les points a et d se trouvant réunis en un seul.

On obtiendrait l'autre solution du problème en menant par le point P une seconde tangente PT' à la courbe; mais au lieu de tracer les tangentes elles-mêmes, ce qui est inutile, on déterminera par une construction très-simple la droite TT' qui

4u 1" CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

a P pour pôle el qui conlienl les derniers sommets T el T' des

deux polygones cherchés.

II* Cas. — Quand le nombre des points donnés />,/;',... P situés sur une même ligne droite sera pair, il résulte de la Proposition XI que si le- problème admet une seule solution, il y en aura par là même une infinité ; car en faisant pour un instant abstraction de Tun de ces points et laissant libre le côté correspondant, si Ton déforme le polygone de toutes les manières possibles, le côté libre passera, dans toutes ses positions, par un point de la droite des pôles. Or ce point est nécessairement le même que celui dont on a fait abstraction, puisque le côté libre y passe par liypothèse, au moins dans une de ses positions; donc il ne peut exister. r|ue Tune de ces circonstances : ou le problème est complètement impossible, ou il admet une infînité de solutions.

On s'assurera que Tun ou l'autre de ces deux cas se présente, en inscrivant à volonté dans la conique un polygone dont les côtés respectifs passent par les points donnés : s'il reste ouvert, il n'y aura pas lieu à solution; dans le cas contraire, tous les polygones tracés d'après les mêmes conditions que le premier, se refermeront d'eux-mêmes, et seront par conséquent autant de solutions du problème proposé.

Remarque, — Tout ce que nous venons de dire subsisterait encore dans le cas où deux ou plusieurs des points donnés se confondraient en un seul.

i^ROPOSlTlOM W III. PkOBUÈ)1K.

Citvonscrire à une conique donnée (O), Jig. 3o, un poljrgone dont les sommets soient situés sur des droites aussi données MK, NK, ...» concourant toutes en un même point K.

1" Cas. — Quand le nombre des droites données sera impair, on circonscrira à la courbe (0) un polygone quelconque ABC. . . a dont les sommets soient sur les droites données, à l'exception d'un seul x; on joindra le dernier sommet ainsi obtenu au point k par la droite Ka, qui coupera la courbe en deux points Q et ù' indiquant respectivement le |H>int de cou-

tact du dernier côté de chacun des polygones cherchés, d'où Ton déduira tous les autres côtés par des constructions fort

Fij. 3o.

simples, en n'employant que la règle. Cette solution trouve sa démonstration dans la Proposition XII.

II* Cas. — Quand les droites données MK, NK, etc., sont en nombre pair, il arrivera, comme dans le deuxième cas de la Proposition XVII, que le problème proposé, ou sera entièrement impossible, ou qu'il admettra une infinité de solutions, ce qu'on reconnaîtra en circonscrivant à celte même courbe un polygone quelconque dont les sommets se trouvent sur les droites données : si le polygone ainsi formé au hasard remplit les conditions du problème, il y en aura une infinité dlaulres semblables; dans le cas contraire, il n'y en aura aucun.

On voit, par ce qui précède, que les solutions exposées ( Prop. XIII et XVI) deviennent d'une simplicité extrême dans les cas particuliers qui viennent d'èlre examinés; elles n'exigent que l'emploi de la règle et le tracé de la courbe donnée; or il me semble qu'elles seraient dilficilement obtenues d'une manière plus simple ou à l'aide d'un moindre nombre de lignes. 11 en est ainsi encore des solutions générales déjà exposées ci-dessus (Prop. XIII et XVI).

Avant de quitter ce sujet intéressant, nous allons déduire des deux derniers problèmes la proposition suivante, qui parait digne de remarque.

4a I*^ CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Proposition XIX. — Théorème.

Si deux polygones d'un nombre impair de côtés inscrits dans une même section conique, sont tels, que leurs côtés pris deux à deux se coupent respectivement en des points situés en ligne droite y les droites joignant deux à deux les sommets de ces polygones respectivement opposés aux côtés qui concourenty iront toutes passer par un même point, pôle conjugué à la droite oà convergent les côtés homologues.

Considérons en particulier {Jig. 3i) le cas de deux triangles; la démonstration s'appliquera facilement à deux polygones d'un nombre de côtés quelconque.

Supposons donc que Ton connaisse le^trois points/?, p' et/?", et qu'il s'agisse d'inscrire dans la conique (0) un triangle dont les ci)tés passent respectivement par ces trois points; on pourra regarder comme inconnu l'un ou l'autre des trois som-

Fig. 3i.

mets A, B, C de ce triangle; or, d'après la Proposition XVll, chacun de ces sommets est déterminé par l'intersection de la courbe avec une droite, polaire conjuguée de l'un des points de la droite pp'p'^; les sommets de nos deux triangles sont donc deux à deux sur des droites ayant leurs pôles situés sur pp'p"; et partant, d'après la propriété connue des pôles et polaires conjugués, toutes les droites en questioa se coupent en un même point, lui-même pôle de la droite /y?'/?". De cette démonstration découle encore la proposition sui-

vante : a Si deux polygones d'un nombre impair de côtés cir- » conscrits à une même section conique, sont tels, que leurs j> sommets soient deux à deux situés sur des droites concou- »» rant toutes en un même point, les droites qui joindront » deux à deux les points de contact des côtés opposés aux » sommets situés en ligne droite, concourront aussi toutes en >» un seul et même point, confondu avec celui où concourent » les droites qui joignent deux à deux Jes sommets opposés. »

Proposition X\. — Théorème.

Etant donnée une section conique quelconque , si l'on trace à volonté un polygone dont tous les sommets, un seul excepté, soient situés sur la courbe; puis qu'on prenne pour pôles les points de rencontre de chacun des côtés avec une droite fixe ; qu enfin on déforme ce polygone en faisant pivoter chaque côté autour de son pôle et en faisant glisser sur la section conique les sommets qui s'y trouvent : le dernier sommet resté libre, décrira une courbe du deuxième degré.

Si Ton joint par une ligne droite les points où les côtés du dernier angle non inscrit dans la conique rencontrent de nouveau cette courbe, on formera un second polygone qui lui sera entièrement inscrit et dont tous les côtés, à l'exception du dernier resté libre, pivoteront autour des pôles donnés en ligne droite; ce dernier côté (Prop. XI) tournera donc sur un nouveau point fixe de cette droite, ou roulera sur une section conique tangente à la proposée, selon que le nombre des pôles donnés sera impair ou pair. Supposons maintenant que Ton mette la figure en projection, de manière que la courbe devienne un cercle et que la droite des pôles passe à Tinlinî, il arrivera, dans le premier cas, que le côté libre du second polygone, devenu une corde du cercle, se mouvra toujours parallèlement à lui-même, et, dans le second cas, que ce même côté roulera sur un cercle concentrique au premier. La démonstration de la proposition que nous avons en vue se réduira donc à prouver Tune et l'autre de celles qui suivent.

I® Si un triangle mobile est assujetti à avoir ses côtés constamment parallèles à eux-mêmes et deux de ses sommets si-

lues sur la circonférence d'un cercle, le troisième sommet

resté libre décrira une section conique.

2° Si un triangle mobile est assujetti à avoir deux de ses côtés constamment parallèles à eux-mêmes et le troisiènie à toucher un cercle donné, et si, en même temps, les deux sommets situés sur ce dernier côté doivent parcourir une circonférence de cercle concentrique à la première, le troisième sommet resté libre parcourra encore une section conique.

On voit d'abord que la dernière proposition se ramène à la première. En effet, soit abx (Jig, 32) le triangle mobile dont les côtes ax et bx restent parallèles à des droites données, et le dernier ab, tangent à une circonférence de cercle (G), tandis

que les sommets a et 6 sont assujettis à parcourir la circonférence abc concentrique à la première; soit prolongé le côté bx jusqu'à sa nouvelle rencontre en c avec le cercle abc; soit tracée la corde ac : puisque le côté ab est constant, l'angle acb est aussi constant, mais la droite bc reste parallèle à elle-même dans le mouvement du triangle abx\ donc le côté ac du triangle acx reste aussi parallèle à lui-même, et par conséquent le sommet libre x du triangle mobile abx est aussi celui d'un autre triangle acx dont les côtés restent parallèles à eux7

DES POLYGONES VARIABLES QUELœNQUES. 45

mêmes, ei dont deux sommets a ci c glissent sur un cercle donné.

Maintenant, pour démontrer que le sommet x parcourt une section conique, soit tracé le diamètre AB qui divise en deux paKies égales au point i le côté ac dans toutes ses positions parallèles; soit tracée ensuite, pour chaque triangle cox, la droite ix, tous ces triangles acx et ceux qui, tels que cix, leur correspondent seront respectivement semblables; donc les carrés des droites parallèles ix seront entre eux comme les carrés des demi-cordes ai. Or, ai étant perpendiculaire à AB, on a

ai = A I X /B ;

donc le carré de la droite ix sera au rectangle A/x iB dans un rapport constant pour chacun des points x de la courbe, et par conséquent cette dernière est une ellipse ayant AB pour l'un de ses diamètres, et les parallèles ix pour ordonnées obliques.

Remarque, — Il n'est pas difficile de voir que Fellipse décrite par le point x est concentrique au cercle proposé et qu'elle a pour diamètre conjugué à AB une droite menée du centre C parallèlement à ix, et dont on aura la longueur en faisant passer la corde ac par ce même centre ; car la droite correspondante ix sera évidemment la moitié du diamètre cherché. On peut d'ailleurs remarquer que les deux autres points de rencontre de Tellipse et du cercle <i6c sont sur un autre diamètre de cette ellipse.

Corollaire. — En s'appuyant sur ce qui précède et sur la Proposition XI, on peut énoncer plus généralement le théorème dont nous venons de nous occuper, ainsi qu'il suit:

« Si un polygone d'un nombre quelconque de côtés est in7 » scrit dans une section conique, et qu'ayant pris sur la di- M rection de chacun de ses côtés un pôle fixe placé à la reni> contre de ce côté avec une droite donnée, on déforme ce » polygone en l'assujettissant toujours aux mêmes conditions, y* ce qui est possible (Prop. XI), les points d'intersection des »» côtés et des diagonales qui joignent des sommets de rang n pair, décriront chacun en particulier, et en vertu du mouve-

46 r CAHIER. - PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

» ment général, une section conique qui sera différente pour » chaque intersection distincte. »

Remarque, — Dans le cas où les pôles des côtés mobiles ne seraient pas situés en ligne droite, le dernier sommet libre a ne parcourrait plus en général une conique, mais une courbe du quatrième degré (t. I, p. 222). Celte courbe s'abaisse encore

Fig. 33.

au second degré, quand les pôles/? et/?"^ (Jig. 33) des côtés de Tangle 6 a/ correspondant au sommet libre a sont sur la droite qui passe par les deux points où la conique (0) est touchée par celle qu'enveloppe le côté libre aç^.

En effet, nous avons démontré ( Prop. IX) qu'on peut trouver avec la règle seule, les pôles P et P' des côtés ax, gx d'un triangle inscrit agx dont le côté libre, confondu dans toutes ses positions avec le côté ag du polygone inscrit abc. . .g-, roule par conséquent sur la même section conique ; en sorte qu'on peut substituer à ce polygone abc, . g^le triangle agx. Or on formera ainsi un quadrilatère axgaa dont le sommet libre a parcourra la même courbe que celui du polygone général abc. . ./a, c'est-à-dire une section conique (Prop. XX) quand les quatre pôles P, P', p, p'' seront en ligne droite; les pôles p et p" des côtés ba et foc de l'angle étant alors situés sur la droite PP', qui renferme (Prop. IV) les deux points où la conique fO) est touchée par celle sur laquelle roule le côté mobile ag.

Comme il est facile de trouver P el P', on voit qu'il sera aussi très-facile de reconnaître les cas où le sommet a par* court une section conique.

Remarque générale.

On pourrait déduire de tout ce qui précède divers corollaires en particularisant convenablement les données générales : en voici un exemple très-simple.

Nous avons vu entre autres, que si un iriangle variable acoc a ses côtés constamment parallèles et ses sommets a et c sur un cercle, le troisième sommet a. décrit une ellipse qui a AB pour un de ses diamètres conjugués, Taulre étant parallèle aux

Fifç. 3^.

droites ai, a'i'. Soient a et a' deux points de cette ellipse; aac, aa'c' les triangles qui leur répondent : puisque ces triangles ont leurs côtés respectivement parallèles, les trois droites aa\ OLX* et ce' qui joignent deux à deux leurs sommets homologues se coupent en un même point silué sur le diamètre AB prolongé. Quand les deux triangles se rapprochent indéfiniment, les droites ci-dessus deviennent respectivement tangentes au cercle et à l'ellipse; donc un diamètre AB de cette ellipse, la direction cui de son conjugué et l'un ol de ses points étant donnés, on pourra mener facilement une tangente à la courbe en ce point, ainsi qu'il suit :

Tracez sur AB, comme diamètre, une circonférence de cercle ; menez par a une ordonnée a t parallèle au conjugué de AB,

48 r CAHIER. — PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

ce qui vous donnera le point i; élevez l'ordonnée ai perpendiculaire à AB, vous obtiendrez le point a par lequel vous mènerez la tangente aO au cercle, et le point 0 où elle coupera AB prolongée appartiendra à la tangente cherchée, en sorte que Oa sera cette tangente.

DES POLYGONES SIMULTANÉMENT INSCRITS A UNE CONIQUE ET CIRCONSCRITS A UNE OU PLUSIEURS AUTRES SLH UN PLAN.

Avant de parvenir à la démonstration de la Proposition XIX donnée plus haut, nous démontrions le théorème qui fait le sujet de celte proposition, à l'aide du lemme suivant qu'il ne sera pas inutile de rapporter ici. On en sentira facilement l'application à la proposition dont il s'agit.

pRoposiTu»' XXI. — Lfmme.

Soient {Jîf;. 35) les coniques (0) et (o) se touchant en deux points réels ou imaginaires; ahc un triangle inscrit dans la courbe (0), dont un des côtés hc louche {o) et dont l'autre ba passe par un point i\\c. p : quand on déformera ce triangle

Fify. 35.

en l'assujettissant toujours aux mêmes conditions, le côté libre ac roulera dans toutes ses positions sur une troisième conique touchant aussi (0) en deux points.

Deux sections coniques, qui se touchent en deux points, pouvant être regardées en général comme la perspective de

deux cercles concentriques, il suffira de démontrer la proposition pour ce dernier cas.

(0) et (o), fig. 36, étant les deux cercles en question, abc le triangle mobile inscrit dans le cercle (0); soit menée la droite Op qui joint le centre commun avec le pôle p, et par le point b une perpendiculaire bb' à Op coupant (0) en unse-

cond point 6'; soit enfin forme le triangle ab'c. Pendant que le triangle abc se mouvra, l'autre ab'c se mouvra aussi; or, je dis d abord que son côté b'c restera constamment parallèle à lui-même. En effet, l'angle cb'b sera constant, puisqu'il aura toujours pour mesure un arc constant ftBc; mais le côté bb' de cet angle reste parallèle à lui-même, donc il en sera ainsi de l'autre côté b' c de cet angle (* ).

En second lieu, je dis que le côté ab' du triangle mobile ab'c passera toujours par un môme point P situé sur la droite

(*) On remarquera que c'est accidcnlclleraent que sur \'à fig. 36, la corde AB est langente au cercle (o).

If. 4

5o r CAHIER. ~ PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES

Op. En effet, menez aaf parallèlement à 66', tracez ensuite a'fr' et a'6, il est visible qu'à cause de la symétrie a'b' passera par le point p et a*b par P. Or, en considérant le trapèze inscrit aa'bb'y il n'est pas difficile de prouver que quand on fait varier la diagonale ab autour du pôle p, les côtés 66', aaf restant constamment perpendiculaires à Op, les deux autres côtés a6' et a'b de ce trapèze se couperont aussi toujours en un même point P (Prop. II); donc, puisque le triangle inscrit ab'c a deux de ses côtés assujettis à tourner autour de pôles fixes, le côté libre ac(Prop. IV) se mouvra sur une conique doublement tangente au cercle (0).

Remarque, — Soient menées au cercle intérieur (o) les tangentes/?A et/?B qui rencontrent respectivement le cercle (0) en A et D, B et C; soient joints A et C par une ligne droite : il est facile de voir, i° que AC sera la corde de contact de la section conique avec le cercle (0); 2** que cette corde passe par le point P; 3" qu'elle est parallèle à cb\ On peut remarquer aussi que les trois droites AB, //', CI) sont parallèles entre elles, et qu'ainsi elles vont concourir à l'infini sur la corde commune aux deux cercles concentriques (0) et (o) [Principes de projection, t. I); donc, si l'on trace les droites qui leur correspondent dans h Jig. 35, projection centrale de celle-ci, ces droites, qui ne sont plus parallèles, iront se croiser en un môme point /i situé sur la corde de contact TT' commune aux courbes (O) et (o). Ceci démontre très-simplement l'exactitude de la construction employée à la fin de la Prop. XVI; car C et D peuvent être considérés comme deux points donnés sur la conique (O) doublement tangente a la courbe (o) censée décrite. On voit, en outre, que si le point p au lieu d'être intérieure la courbe (0) lui était extérieur, on parviendrait à des conséquences analogues. Enfin, il est à remarquer qu'en raison de la symétrie qui existe dans la^Zg-. 36, ou, plus généralement, à cause de la possibilité de mener du sommet 6 une seconde tangente distincte de bà au cercle ou à la conique (0), il existe nécessairement une autre section conique enveloppe, tangente à (O) en D et B.

Ces dernières remarques permettraient aussi de trouver la corde de contact idéale de deux sections coniques décrites

DES POLYGONES VARIABLES QUELœNQUKS. 5i

quand elles n'ont aucun point commun, et cela en n'employant que la règle seule; la construction servirait en même temps à faire connaître si deux courbes données se touchent réellement, ou imaginairement en conservant néanmoins une sécante commune idéale de double contact.

Proposition XXII. — Théorème.

Si deux coniques (0) et {o),Jig. 87, ont un contact double^ réel ou imaginaire, et qu ayant inscrit dans Vune (G), un polygone abcd...y dont tous les côtés, à rexception d'un seul ad, touchent l'autœ conique (o), on vienne à déformer ce polygone de toutes les manières possibles en r assujettissant aux mêmes conditions, le dernier côté ad, demeuré libre, enveloppera dans toutes ses positions une troisième section conique qui touchera les premières précisément aux deux points où elles se touchent entre elles, c'est-à-dire ayant avec elles même corde de contact réelle ou imaginaire.

En effet, les deux courbes (0) et (o) peuvent être regardées comme les perspectives de deux cercles concentriques : or, il est visible que dans ce cas le dernier côté, perspective de ad, roule sur un troisième cercle concentrique aux deux premiers;

Fig. 37.

donc la proposition énoncée se trouve établie , puisque tout système de cercles concentriques est la perspective d'un système de coniques tangentes aux deux mêmes points.

NoW pendant r impression.

Les événements politiques et militaires du printemps de i8i5 m'ont contraint d'interrompre ici îa rédaction de cette partie du P*" Cahier. Je ne me rappelle pas si, à cette époque, j'étais réellement en mesure de poursuivre, sous une forme synthétique, la démonstration des théorèmes concernant l'inscription et la circonscription simultanée des polygones aux sections coniques décrites sur un plan. Dans le fait, c'est seulement au n** d'octobre 1817 des Annales de Mathématiques de Montpellier que, dans un article de Philosophie mat/iématique^ je me crus en droit d'appeler l'attention du public sur ce problème général et sur divers autres résultats qui font l'objet des Cahiers ci-après, auxquels j'étais dès lors parvenu à l'aide de procédés très-distincts de ceux jusque-là préconisés par M. Gergonne. Néanmoins, dans cet article, textuellement reproduit parmi ceux du VI' Cahier de ce volume, il n'est fait aucune mention explicite des tentatives par lesquelles, durant les loisirs qui, pour moi, ont succédé aux fatales catastrophes de 181 5, je me suis efforcé d'étendre les spéculations relatives à l'inscription ou à la circonscription des polygones aux courbes géométriques en général. Or, en m'occupant de ce dernier objet, je ne tardai pas à me convaincre que la question était d'un tout autre ordre, et c'est pourquoi, dans le paragraphe ci-après, j'ai eu recours tout d'abord à la méthode analytique dont je m'étais déjà servi à Saratoff pour les courbes simples du 2' degré, en essayant de généraliser les recherches faites en 1733 par Braikenridge sur le degré des lignes décrites par « le sommet libre d'un polygone dont les côtés pivotent » autour de pôles Gxcs, tandis que les autre:^ sommets sont assujettis à » demeurer sur des courbes géométriques de degrés donnés dans son » plan. » Mais j'ai bientôt, comme on le verra, abandonné cette route laborieuse et pour moi infertile, aûn d'y substituer des méthodes .purement géométriques fondées sur le principe de continuité, et dont on voit le résumé rapide dans le Chapitre III, Sect. iv, du Traité des Propriétés projectiles des fissures.

SUR LES POLYGONES MOBILES INSCRITS AUX COURBES GÉOMÉTRIQUES PLANEES, DE DEGRÉS QUELCONQUES.

Proposition XXIII. — Théorème.

Soient décrits sur un plan une courbe du degré m et un polygone dont tous les sommets^ un seul excepté, sont assujettis

2 Si.

DES POLYGONES VARIABLES Ql^ELCONQUES.

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