AK = «.BK

k l'angle également donné AKB; on a aussi

Âb'^ÂkVm— 2AK.BKCOS/.

De là on tire séparément

V/T-h/i* — 2«cosX' ifcv^i-f-rt* — artCOsX '

formules dont la première, seule, a été considérée par M. Carnot, et permet de comparer directement ses idées aux nôtres.

Ne pouvant expliquer d'une manière conforme à la règle ordinaire des signes la valeur négative de BK, et pensant d'ailleurs être parti d'une mise en équation exacte du problème proposé, ce géomètre en conclut que la valeur négative dont il s'agit est purement insignifiante ; mais je ne veux nullement insister ici sur les objections tirées du double signe du radical qui, selon notre manière de voir (91 à 9i), tient à l'inGnité de rayons BK diamétralement opposés dans le cercle dont la circonférence doit contenir le point K en même temps que la proposée. Je me borne à faire remarquer que cette dernière est incomplètement déGnie par l'angle mobile et constant X-, puisque cet angle introduit dans la solution une donnée étrangère à celles de l'énoncé primitif du problème, tandis que l'autre constante /7, étant censée entièrement indépendante de tout signe de position, amène une confusion inévitable dans Tinlerprétation géométrique des résultats.

Deuxième solution de M. Carnot, — Après avoir rejeté la valeur négative de BK comme insignifiante, et remarqué que le problème proposé a réellement deux solutions distinctes et positives, correspondant à Tangle en K du triangle ABK et à son supplément en K'-sur Tare opposé de la circonférence, ce qui introduit le terme ± arzcbsX-sous le radical de BK, M. Carnot, dis-je, veut ensuite prouver sur le même exemple « qu'encore ù bien qu'un problème soit susceptible de deux solutions algébriques ef- » fectives, il ne s ensuit nullement* que Téquation fmale doive avoir deux » racines, mais qu'on peut trouver séparément chacune d'elles par une » équation du premier degré au moyen d'un choix convenable de l'in- » connue; 9 opinion qui s'accorde d'ailleurs avec une remarque de V Arithmétique universelle de Newton.

En conséquence, l'auteur prend pour nouvelle inconnue le rapport de la perpendiculaire KD, abaissée du point K sur la base donnée AB, au segment AD formé par le pied de cette perpendiculaire sur la même base. Nommant z ce rapport inconnu, les conditions du problème donnent, en continuant à substituer la ^considération de l'angle en K à celle du cercle AKB,

AD AK sin.ABK ^ o / ^

^=î7R' ^ = înr = -^ — ûTiT' ABk = aoo'*— A — BAK. KD BK sm.BAK

Ces équations^ qui appartiennent à la partie supérieure de la circonférence AKB, donnent à leur tour,

rtsin.BAK = sin.ABK = sin(BAK-f-X) = sin.BAK.cosX+cos.BAK.sinX,

ou, en divisant par sinBAK, et observant que cotBAK = 2)

n — cos k

rt = cosXH-2sin/, z =

sinA*

Pour obtenir la solution relative à la partie inférieure du cercle toujours C€nsé donné à priori, M. Carnot observe que, dans cette partie située au-dessous de AB, l'angle AK'B devenant le supplément de l'angle en'K, on doit mettre îioo" — X- à la place de /*, dans la formule ci-dessus, puisque d'ailleurs les raisonnements resteraient les mêmes; il obtient ainsi pour la seconde solution

«H-cosX*

sin/-

d'où il résulte que les véritables solutions du problème sont données par cette formule unique

a it cos /

2= • / sniA

m, Remarque et rappel des principes. — Tout ceci prouve, non-seulement que les transformations algébriques n'ont pas introduit de racines étrangères à celles du problème, mais aussi que ces transformations n'ont point élimine de véritables racines du résultat Hnal des équations.

Si les relations qui définissent la question algébriquement étaient la traduction fidèle des conditions du problème, tel qu'il a été verbalement énoncé et entendu, elles donneraient strictement les solutions qui conviennent à l'énoncé; mais comme, fort souvent, pour faciliter la mise en équation on change les conditions et la nature des données, il arrive que les équations de départ, ou n'expriment pas toutes les conditions du problème, ou en expriment de superflues; par là nécessairement on doit parvenir à des résultats algébriques qui tantôt donnent des solutions étrangères à renoncé de ce problème, et tantôt en donnent seulement une partie. Or, il en arrive presque toujours ainsi lorsque certaines données, sans être variables de grandeur, le sont néanmoins de signe et de position. Les solutions se séparent alors, non par le fait des transformations algébriques, mais par les hypothèses de la mise en équation, dans laquelle on suppose les constantes complètement invariables de signe. Les mêmes circonstances ne se reproduisent pas :

1° Si Ton a soin de ne rien changer soit aux conditions, soit aux données de renoncé verbal, c'est-à-dire si Ton évite de substituer au système de cet énoncé un autre système qui, bien qu'identique au premier aspect, en diffère néanmoins par quelque côté inaperçu ou sous quelque rapport distinct en réalité et qui ne permette pas aux équations fondameninles de demeurer identiques pour toutes les situations possibles des parties de la figure ;

a® Si, après avoir exprimé strictement les conditions de l'énoncé pour la position actuellement supposée aux lignes inconnues de la figure, on a soin d'attribuer aux constantes mobiles, celles qui représentent les grandeurs variables de position, le double signe ± quand ces grandeurs peuvent devenir inverses pour des situations connues ou inconnues du système, et changer par conséquent de signe implicitement en changeant par cela même l'hypothèse première de la mise en équation;

3"" Si, dans rinlerprétation des résultats, on a soin de ne pas confondre à son tour la figure, le système cherché et obtenu, avec d'autres systèmes d'apparence identique bien que distincts au fond : ce qui exige que cette figure, ce système soit en corrélation directe avec celui qu'on a hypothétiquement pris pour terme de comparaison au point de départ ou lors de la mise en équation ; c'estr-à-<lire si Ton se rappelle que l'un de ces deux systèmes doit résulter de Taulre par un mouvement progressif et continu de ses parties variables, mouvement qui n'est point arbitraire, mais déterminé par la liaison existant entre les divers éléments de la figure.

ii2. Réfutation des objections tirées des résultats précédents. — Pour appliquer ces principes à la question posée en dernier lieu par M. Camot, j'observe qu'en tous les points de la circonférence de cercle ABK {fig, 1 4^), censée donnée à priori, on a effectivement

ang AKB = k constan l,

pourvu qu'on ne confonde pas cet angle avec son supplément quand le point K vient à passer au-dessous de AB en K\ et c'est à quoi l'on arrive quand on suit exactement le mouvement de l'angle dont il s'agit. Car il est bien évident que le point K passant en K', l'angle AKB ou AKG devient AK'G' et non AK'B qui en est le supplément.

D'un autre côté, le triangle ABK' conservera, d'après nos principes (24), la relation fondamentale

ABK'-hBAK^-+-AK'B = îioo« ou ABK'-f-BAK^-^ = o.

Reste donc à s'occuper de la condition dernière et fondamentale de renoncé, exprimée par l'équation

sinABK AK sinBAK^BK""^'

qui est étrangère à la position à cause do la constante a, dont le signe et la grandeur sont supposés invariables, tandis qu'en réalité ce signe ne saurait ici être indépendant do la position.

En effet, lorsque K passe en K' [fig. i45) en traversant B, BK et l'angle opposé BAK deviennent tous deux négatifs en passant par zéro, tandis que AK et son angle opposé ABK sont restés directs, ce qui fait que le rapport

ci-dessus -^ devrait pouvoir changer de signe pour satisfaire au principe de continuité.

Si donc on persiste à regarder a comme un nombre absolu et inva->^ riable de signe, on devra se restreindre au système de solution qui correspond à la partie supérieure AKB du cercle, seule en concordance géométrique avec l'hypothèse. Si, au contraire, on suppose a négatif, on devra limiter la question à la portion de circonférence inférieure à AB.En conséquence, pour obtenir simultanément tous les systèmes ou triangles qui satisfont aux conditions multiples de l'énoncé, il faudra donner à la constante a le double signe =i= dans la relation ci-dessus, qui deviendra

ainsi

sin ABK = ± «sin BAK.

En la combinant avec les précédentes, on en tire directement

AD .w>iir dz^/ — cos/

irrr- = COt BAK OU 3 = 1—7 )

KD smX'

formule qui fournit les deux solutions vraies de la question proposée dans les hypothèses présentes où il s'agit d'un cercle tout tracé, et non simplement donné par la corde AB et l'angle X-, comme le veut M. Carnet qui, confondant ces deux genres distincts de questions, oublie le cercle décrit sous le même angle, symétriquement par rapport à la base AB du triangle ABK (fig, i45).

La double valeur de z ci-dessus , ainsi que celle donnée par la formule

±a — cosX-

sinA

qui doit lui être associée, diffèrent essentiellement, comme on le voit, de

la formule

azhcosk

sin/-

obtenuepar M. Carnet : celle-ci non- seulement est incomplète au point de vue analytique, c'est-à-dire géométrico-algébrique, mais encore ne peut être d'une exactitude rigoureuse puisque, dans l'un ou l'autre des deux cercles symétriques mentionnés, le rapport de BK à AK, quoique variable entre zéro et l'infini, ne saurait par lui-même changer de signe, tandis que le rapport 2 de AD à KD en change nécessairement avec KD, quand le sommet K du triangle inconnu passe au-dessous du côté AB.

Supposant, en effet, que l'angle X = 100®, ce qui, par là même, suppose sinX = I, cosX- = o, la formule de M. Carnet donne sin^plement z = /i, et assigne une position unique au triangle cherché, ce qui véritablement est inadmissible.

113. Réflexions générales, — Cet exemple , comme lanl d'autres, prouve que les racines sont séparables, non par le

28o m* CAHIER, - SUR LA LOI DES SIGNES

fail même des opérations algébriques, comme le répèle si souvent M. Carnol, mais par la nature géométrique du problème. A la vérité, un choix convenable d'inconnues peut faire abaisser le degré de Téquation finale du problème, en rendant cette équation décomposable en facteurs rationnels répondant à des systèmes de solutions ou de figures qui ont quelque chose de distinct sous le rapport de la corrélation géométrique et des signes de position; mais il nous faut le remarquer encore, ce ne sont pas des transformations purement algébriques qui ont ainsi abaissé le degré de la solution obtenue, mais bien la manière plus restreinte dont on a mis le problème en équation, et grâce surtout à ce que les racines relatives aux nouvelles inconnues sont, de leur nature, séparables tant géométriquement, qu'algébriquement. Fort souvent aussi le nombre de ces nouvelles inconnues, quand chacune d'elles en comporte implicitement d'autres qui lui sont intimement conjuguées, est naturellement inférieur à celui des anciennes inconnues; or une telle circonstance qui ne saurait faire diminuer ou augmenter en principe le nombre des solutions effectives dont est susceptible le problème verbalement proposé, n'en abaisse pas moins le degré de l'équation finale.

Ainsi, dans Texemple qui précède, si au liou de prendre Tangle BAK pour inconnue, on choisissait (fig, i46) le point T où la tangente en K vient rencontrer la direction de la base ou do la corde donnée AB, on trouverait que le problème ainsi mis en équation est essentiellement du

Fig. i/|6.

premier degré ; mais cela n'empêche pas que les triangles inconnus ABK, ABK' ne soient au nombre de deux; car, pour avoir trouvé le point T, Ton n'a pas entièrement résolu la question, et il reste à rechercher les points de contact K et K' qui lui correspondent sur le cercle donné. Afin d'obtenir la solution du problème ainsi présenté, nous obser>'cron8 que les

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a8i

triangles ÂKT et BKT sont semblables comme ayant l*angle en T commun, et les angles BKT et BAK de môme mesure dans le cercle, ce qui donne, en conséquence,