AK:BK::AT:KT, AT = ^.KT = «.KT

et comme on a, par les propriétés du cercle,

kt'=at.bt,

il en résulte la nouvelle relation

^ = AT.BT ou AT = ^l^BT,

qui donne évidemment la valeur de AT par une équation «lu premier degré, car on on tire suc<!essivement

AT = «^(AT-AB) et AT= -^AB.

D'ailleurs, ce qui fail que le problème s'est ainsi abaisse, c'est que le point T dépend simultanément des points de contact inconnus K et K', c'est-à-dire qu'il appartient à la fois à ces points. Or, il en arrivera évidemment de même toutes les fois qu'on pourra substituer à certains groupes de points inconnus un seul point ou une seule ligne propre à construire ces groupes; mais fort souvent aussi, pour y parvenir, il faudra connaître à l'avance certaines des propriétés géométriques de la figure dont on recherche la position, ainsi que Newton Ta fail dans son Arithmétique universelle.

114-. Dernier exemple. — Nous allons terminer ces diverses applications (*) par l'examen d'une célèbre question, d'abord résolue pîir Newton dans \ Arithmétique universelle^ et ensuite par MM. Bossul et Carnot, conmie exemple des difficultés qui peuvent s'offrir dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie. On verra, par la discussion de cet exemple, que les difficultés tiennent toujours à la manière restreinte dont

(*) Je supprime ici, pour abréger, l'examen de quelques autres problèmes dont la solution et l'interprélalion douteuses sont exposées dans la Gêomrtriv dv position de Carnot, ou ailleurs.

282 m* CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

on envisage géomélriquemenl la question, soll dans renoncé, soit dans la mise en équation, soit dans IMnierprétalion du résultat final, mais jamais à ce que l'Analyse algébrique aurait, par elle-même, introduit des racines fausses ou étrangères parmi les véritables. Posons la question.

Problème. — « Soit (^g. 147) un triangle rectangle en A dans lequel » on connaît Thypoténuse BC et la somme AB-j- AC-f-ADdes deux pc-

Fig. 147.

» tits côtes et de la perpendiculaire AD : on demande la valeur de cette » perpendiculaire. »

Posant BC = a, la somme donnée = b, le côté AC = « ; la perpendiculaire cherchée AD = x, enûn le côté AB = j : les trois équations de condition du problème seront

x-{-y-\-z = b, r*-f«' = /ï', •^=- ou j-z^nx;

d'où Ton tire par de simples éliminations

x=.a-\-h±:}Jic^-\-'à,ab =/i-f-^dt v/2«(a-hïjï

expression algébrique toujours réelle et qui fournit deux racines nécessairement positives. La première d'entre elles donne pour la perpendiculaire AD une longueur qui surpasse a-f-^, ce qui paraît absurde; mais il ne faut pas en induire que cette racine soit fausse, comme Tavance, sans examen préalable, M. Camot, p. 62 de la Géométrie de position.

En effet, le triangle ABC étant à la fois inconnu de grandeur et de position, les valeurs ci-dessus de x ou AD, bien que satisfaisant pleinement aux équations primitives, ne suffisent aucunement pour le construire, et si Tune de ces valeurs implique une absurdité, c'est seulement par la Géométrie que l'on en est averti, car l'Analyse algébrique n*a point encore prononcé sur la valeur des autres indéterminées propres à construire le triangle ABC. Tout ce qu'il est permis de conclure avec certitude des valeurs obtenues, c'est que le sommet A du triangle ABC ou des triangles qui remplissent les conditions géométriques du problème, sont sur l'une ou l'autre des parallèles à la base BC, déterminées |)ar les hauteurs algébriquement trouvées.

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE. a83

En conséquence, je recherche la valeur des autres inconnues du problème, celle de y par exemple, et je tire des primitives équations

Pour que ces quatre valeurs de y soient réelles, il faut d'abord que a^ soit > 4 •2*', ou qu'on ait

rt > 2a: > 2fl -f- 2^ ifc a V^art(<7 4- ^) ;

or, cela ne saurait avoir lieu, évidemment, ))Our lé signe supérieur du radical. UÂnalyse apprend donc qu*en effet les triangles relatifs à la première des valeurs de .r sont im{)ossibles.

Pour que les deux autres soient réels et constructibles géométriquement, on doit avoir

rt> 2/ï4-2^ — 2v/2û(«-|-^) ou •i^iu{a-k'b)'^n-{-'ib, et, i)ar conséquent.

On arrive à des conséquences analogues par rapport à l'indéterminée z = AC.

En général, l'ensemble des racines algébriques se partageant ici en plusieurs groupes ou systèmes distincts qui se correspondent, il est indispensable, pour que l'un des groupes représente une figure constructible, que les valeurs dont il se compose soient toutes réelles, ce qui fournit autant de constructions effectives et géométriques du problème qu'il existe de ces groupes réels.

iiS. Remarque spéciale. — Dans l'exemple qui précède, nous avons bien trouvé deux valeurs réelles pour x; mais, comme l'une d'elles corres- {>ond à une valeur imaginaire de^, elle n'ap()artient pas à un triangle constructible. C'est ce qu'on aperçoit aussi immédiatement par les principes de la Géométrie élémentaire.

En effet, le triangle ABC devant être rectangle en A, le sommet A doit nécessairement aussi se trouver sur la circonférence de cercle décrite sur AB comme diamètre; donc la perpendiculaire AD ou jc abaissée de A sur

ce diamètre doit être inférieure à la moitié de AB ou < -«; mais la pre-

roière valeur obtenue pour x est au contraire plus grande, donc les triangles qui lui correspondent sont impossibles à construire.

Quant à la seconde valeur de x, elle correspondra à un triangle véritable si l'on a

-r/> a-\-b^ \^ia(ft-\nf).

a84 IIP CAHIER. — SUK LA LOI DES SIGNES

condition qui est précisément celle déjà trouvée par l'analyse ci-dessus (*).

Principales conséquences des discussions précédentes.

116. On voit, par ces divers exemples et exercices, que, quand on possède toutes les équations algébriques d'un problème, on n'a plus besoin de recourir à la Géométrie pour découvrir si les solutions correspondantes à Tune des racines inconnues appartiennent ou non à une Tigure constructible; il n'est pas même besoin de recourir aux conditions primitives de l'énoncé, ni aux hypothèses sur lesquelles le raisonnement a été établi; il suffit de considérer le système complet des racines relatives aux autres inconnues du problème proposé, et l'analyse apprendra, tout aussi bien que la Géométrie, quelles sont les conditions qui rendent la figure constructible. Ceci suppose pourtant que le problème mis en équation soit identique à celui de renoncé verbal, car les racines obtenues ne pouvant satisfaire rigoureusement qu'aux équations primitives ou de départ, il est indispensable que ces équations soient une traduction fidèle des conditions géométriques de renoncé verbal.

Dans tous les cas, on aura obtenu les solutions qui appartiennent au problème tel qu'il a été mis en équation, et cela suffit pour justifier les résultats fournis par l'Algèbre; car la mise en équation est une opération indépendante de ses règles ou principes propres; elle appartient aux raisonnements et, aux conceptions purement géométriques.

En particulier, si, en se fondant sur ces conceptions, on

(*) M.Carnot pense que les valeurs de x qui correspondent à un triangle impos- ' siblc proviennent de ce que les transformations algébriques les ont amalgamées avec les racines eflectives du problème; mais, tant qu'on n*aura pas démontré, géométriquement ou non, qu'en eflTet ces racines sont immédiatement séparables des autres, on aura tort de Tattribucr purement h l'Analyse algébrique. La complication est dans la nature même des choses, et il n'y a pas apparence que la Géométrie puisse l'éviter : on peut s'assurer en eflet que le problème tel qu*on l'a posé, est généralement du /|^ degré, c'est-à-dire qu'il ne peut s'obtenir que par l'intersection du cercle ABC avec une courbe d'un degré supérieur au premier.

{Note de 1817.)

choisit, pour définir la figure actuellement inconnue de situation, des propriétés métriques ou descriptives appartenant à la fois à cette figure et à d'autres qui, bien qu'en apparence analogues, en soient réellement distinctes, on ne devra pas être surpris que la résolution algébrique des équations donne des racines qui paraissent étrangères à l'énoncé verbal luimême; la faute en reviendra évidemment aux conceptions géométriques à priori.

C'est encore q de telles conceptions qu'il faut attribuer la disparition de certaines solutions vraies de la question, quand l'énoncé verbal indiquant plusieurs systèmes distincts de figures, on se borne, dans la mise en équation, à ne considérer que l'un de ces systèmes en particulier; car la résolution algébrique ne peut alors évidemment donner que les seules solutions qui se rapportent à ce système.

La première de ces deux circonstances a lieu quand, par méprise ou faute d'un examen préalable suffisamment attentif des termes de l'énoncé, on substitue au système qu'ils indiquent un système non parfaitement identique pour toutes les situations possibles de la figure, c'est-à-dire non assujetti à la même loi géométrique et algébrique des signes de position. L'autre circonstance peut se présenter lorsque l'énoncé verbal ne spécifie pas à l'avance la position que doit avoir le système cherché, et que, dans la mise en équation, on se borne à raisonner sur l'une quelconque de ses positions possibles, mais choisie arbitrairement et sans avoir égard au changement qui peut s'opérer dans les signes des données ou constantes mobiles (65, 77, 90, 109), quand on passe de cette position hypothétique à celle que fait découvrir le résultat des transformations algébriques appliquées aux équations primitives.

Dans la dernière de ces circonstances où la situation des constanies mobiles est vraiment inconnue, on doit leur attribuer, dans la mise en équation du problème, le double signe db, par suite de l'ignorance où l'on est de celui de ces signes de corrélation qui convient à la position cherchée.

Il peut arriver ainsi que l'on soit conduit à considérer, à priori, comme négatives des constantes ou données représentant des aires, des volumes ou toutes autres grandeurs exprl-

a86 IIP CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

mécs par des fonctions algébriques de certains éléments de la figure, qui, envisagés dans leur état de simplicité linéaire, doivent, en vertu du signe négatif dont il vient d'être parlé, être par là même supposés de véritables imaginaires.

Par suite aussi, comme il n'est nullement d'usage, dans la résolution des problèmes de Géométrie, même par l'Analyse des coordonnées de Descaries, d'avoir égard à ces circonstances et à ces distinctions fondées sur le principe de continuité et la loi des signes de position qui s'y appuie, il arrive souvent qu'on substitue un système de solutions à un autre; qu'on en introduit d'étrangers en laissant échapper les véritables; qu'enfin celte séparabililé des divers systèmes de solutions appartenant à un même énoncé et à une même figure géométrique, conduit à des résultats algébriques sinon en euxmêmes fautifs, du moins incomplets, puisqu'ils ne comprennent pas tous ceux qui peuvent provenir du changement de signes des données mobiles ou constantes indéterminées de position. C'est pour éviter ceci que, dans les équations de condition primitives, on doit attribuer partout le double signe lii à de telles constantes afin d'obtenir le système entier des racines inconnues, algébriques ou géométriques.

117. Quand l'énoncé verbal d'un problème ne renferme que des conditions descriptives ou concernant la direction, l^ concours réciproque et le tracé géométrique des points, des lignes et des surfaces d'une figure donnée, définie de nature et d'espèce, variable ou non de position, mais absolument indépendante de toute considération de mesure comparée, de toute relation métrique, les observations ci-dessus, relatives aux signes de position, cessent d'avoir lieu; et, comme il est impossible alors de confondre les objets donnés, fixes ou mobiles, avec d'autres de position et d'espèce distinctes, il est également impossible que l'énoncé conduise à des solutions multiples décomposables, à moins qu'il ne soit lui-même par^ tageable en plusieurs énoncés distincts, par le changement possible de la disposition des points et des lignes qui dénnissent la nature géométrique du système.

Ainsi, par exemple, si l'on demande d'inscrire à un cercle donné et décrit qn polygone quelconque dont les côtés passent

par des points aussi donnés, il faut que renoncé spécifie^ par une figure décrite ou autrement, Tordre dans lequel on veut que les côtés se succèdent à l'égard de ces points respectifs. Autrement, cet énoncé comprendrait plusieurs- questions et solutions distinctes dont la combinaison mutuelle pourrait exiger un examen séparé et spécial.

Conclusions générales et récapitulatives,

118. Je pense avoir donné dans cet écrit la théorie des variations de signes dans les figures géométriques et avoir levé toutes les difficultés, tous les nuages dont cette théorie paraissait encore enveloppée dans les applications, malgré les écrits de Tillustre Carnot et ceux des estimables savants qui s'en sont occupés après lui. On a dû s'apercevoir que la notion que nous y donnons des expressions négatives en Géométrie ne diffère pas, quant au fond, de celle présentée par M. Carnot. Nous admettons avec lui qu'il n'existe pas de quantités négatives absolues et isolées proprement dites ; celles qu'on appelle ainsi n'étant que des formes purement algébriques qui rappellent à la fois la grandeur métrique d'une quantité et la fonction qu'elle doit remplir dans les calculs; qu'à cet égard il en est ainsi encore des quantités algébriques positives; que cependant ces dernières remplissant dans les calculs où elles entrent, le même rôle que les quantités numériques et absolues, rien n'empêche, à la rigueur, de leur conserver le nom de quantités; qu'enfin les expressions négatives isolées peuvent être considérées comme provenant de la différence de deux quantités absolues dont la plus grande a été retranchée de la plus petite, etc. Mais nous n'en conclurons pas, avec ce géomètre philosophe, que les expressions négatives isolées sont insignifiantes ou absurdes : elles ne sont telles, en effet, que quand on prétend les regarder comme des quantités simples et leur appliquer l'idée abstraite de grandeur; car elles représentent à la fois la grandeur et l'état, la fonction opposée et contraire à celle qu'indiquent les expressions algébriques Isolées, positives ou additives.

En Géométrie comme en Analyse algébrique où l'on consi-

dère des quantités indéterminées ou variables suivant certaines lois continues, les signes -+- et — , qui précèdent une grandeur, peuvent aussi représenter le sens direct ou inverse, progressif ou rétrograde, par rapport à l'origine d'où cette grandeur se mesure. A la suiie et comme résultat d'un calcul algébrique, elles indiquent une concordance ou une opposition de sens d'une grandeur supposée inconnue algébriquement, par rapport au sens qu'on lui avait d'abord attribué dans les formules, équations ou relations quelconques, considérées comme fondamentales au point de départ.

Dans les figures dont tous les éléments sont soumis à la loi de continuité, il existe un constantaccord entre la loi des signes de position et celle qu'indiquent les règles algébriques; leur désaccord dans les résultats, s'il n'est pas purement apparent, provient toujours d'erreurs de calcul ou de raisonnement, de fausses hypothèses ou d'une cause de discontinuité quelconque inhérente aux données ou aux relations métriques primitives et conditionnelles.

Dans toutes les relations géométriques de cette espèce qui ne comptent que deux termes, il ne saurait subsister aucun signe algébrique, conformément aux résultats 4e la logique sévère des Anciens; ces signes se détruisent mutuellement, inévitablement, pour toutes les situations possibles de la figure, comme cela a lieu en particulier dans la théorie des transversales que les géomètres grecs possédaient comme nous, dans ses principaux éléments.

L'antagonisme des signes, dans les relations métriques à deux termes, ne peut subsister qu'au point de vue algébrique des formules de substitution, de corrélation et de transformation, où l'un au moins des termes est supposé inconnu quant aux signes algébriques de position. Cette considération ne saurait, en aucune manière (n°*35 et suiv.), autoriser la représentation soi-disant géométrique et symbolique des imaginaires absolues ou isolées.

Quant aux objections de M. Carnot relatives à la résolution algébrique des problèmes de Géométrie, nous les avons suffisamment réfutées dans les dernières parties de ce 111* Cahier, pour nous dispenser d'insister sur tout ce qui concerne l'interprétation des racines ou solutions algébriques négatives et

DE POSITION EN GflOMÉTRlE. a89

positives dont les dernières sont seules admises par ce savant comme entièrement rigoureuses, quoique au fond, ainsi qu'on Ta vu, elles puissent être tout aussi sujettes à difficulté et à contestation dans certains cas.

A ia rigueur, nous aurions pu nous dispenser d'entrer dans un examen, une réfutation aussi détaillée des idées de M. Carnot à cet égard, puisqu'elles tiennent moins à des erreurs de principes qu'à des différences dans la manière d'envisager les questions. Mais notre grand concitoyen a pu induire en erreur beaucoup de personnes en cherchant à démontrer que l'Analyse algébrique donne tîmtôt plus, tantôt moins que ce qu'on lui demande, qu'elle peut même amalgamer des racines tout à fait insignifiantes ou fausses aux racines véritables des questions, qu'enfin on ne pouvait élre sûr, en aucun cas, d'avoir obtenu une racine effective d'un problème qu'après des vérifications à posteriori épineuses, qui tendent à ébranler la confiance dans la certitude du résultat des connaissances algébriques ou géométriques; c'est pourquoi j'ai cru pouvoir, malgré mon peu d'aulorilé et mon profond respect pour un illustre maître, entreprendre celte longue et pénible réfutation.

Comme on ne reproche que trop souvent à l'Analyse algébrique sa trop grande généralité sous prétexte qu'elle donne plus qu'on ne lui demande, et qu'elle ajoute aux racines que Ton cherche d'autres racines qui, n'appartenant pas à la question, sont inutiles, sinon tout à fait absurdes ou insignifiantes, je crois devoir joindre ici quelques réflexions générales à celles en grand nombre, déjà répandues dans le cours de ce Cahier, relativement à la séparabilité des solutions algébriques des problèmes de Géométrie, séparabilité dont la cause principale, comme on l'a vu encore, tient à l'ambiguïté, à l'incertitude des signes de position des constantes mobiles ou Indéterminées de situation.

D'abord je dis que, tant que l'on n'aura pas prouvé par des exemples que la (iéométrie ordinaire peut, dans les mêmes cas où l'Analyse algébrique donne des systèmes de racines inséparables, séparer et isoler les unes des autres les diverses solutions qui correspondent à ces racines, on aura tort de lui imputer un défaut, si toutefois c'en est un, qu'elle a en coni-