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iniin avec lo raisoniiomcnl géoméiriqiio ordinaire. Or, il est irès-cerlaiii que la Géoniélric ne parvienl pas mieux que le calcul algébrique à opérer cet isolement, cette séparation; témoin la résolution de tous les problèmes du second degré par la règle et le compas, où les intersections marchent toujours par couples, sauf les cas mêmes où ce calcul parvient 5 les séparer; témoin encore les problèmes de la duplication du cube, de la trisection de Tangle, que les Grecs, pas mieux que les modernes, n'ont pu résoudre qu'à l'aide des courbes dites mécaniques, ou par l'intersection de deux sections coniques, dont l'une au moins diffère de la circonférence du cercle.

Le premier de ces exemples est d'autant plus remarquable, qu'il n'est susceptible que d'une seule et unique solution réelle, les deux autres solutions ou racines étant nécessairement imaginaires, impossibles géométriquement. Cette complication, je le répète, se trouve dans la nature des choses et non dans l'es* sence de l'Analyse algébrique, qui ne saurait agir différemment sans conduire à des contradictions et à des absurdités manifestes. On aurait tort de penser que l'on puisse un jour parvenir à séparer les diverses racines ou inconnues d'un problème géométrique autrement que par la résolution effective de l'équation algébrique dont elles dépendent nécessairement : cette résolution, à cause de l'indétermination absolue du signe implicite ou explicite des expressions radicales, donnera toujours , quoi qu'on fasse, et cela simultanément, toutes les racines de l'équation proposée.

L'idée attribuée primitivement à l'illustre Leibnîtz, et depuis reproduite par d'Alembert { Encyclopédie y ;iv\\Q\Q Situation), d'une Analyse qui donnerait le moyen de faire entrer la situation dans le calcul des problèmes, de sorte que l'on pût séparer par un caractère bien distinctif et par conséquent isoler facilement le système particulier que l'on a dessein de considérer dans l'énoncé de chaque question, cette idée, dis-je, me parait être, pour les raisons qui précèdent, une conception entièrement chimérique et dénuée de fondement , si toutefois on veut entendre par là que l'on parviendrait à séparer, sans changer les inconnues du problème, le système des solutions qui appartiennent à ces inconnues, dans les cas mêmes où ces

solutions seraient considérées en Géométrie comme de leur nature, tout à fait inséparables. Ce serait, en effet, abaisser toutes les équations algébriques à des équations rationnelles du premier degré; chose, comme j'en ai souvent fait la remarque, impossible dès le second degré.

Dans les cas où les solutions d'un problème sont séparables, l'Analyse peut les isoler tout aussi bien que la Géométrie, et, s'il arrive parfois que, dans ce cas même, elle les donne d'une manière simultanée, c'est moins sa propre faute que celle du calculateur, qui a posé la question dans un sens trop général, point assez circonstancié, ou, si l'on veut, de ce que la mise en équation enveloppe à la fois plusieurs questions analogues à celles de l'énoncé ; car les équations primitives doivent en être la traduction rigoureuse et fidèle. Aussi, en examinant attenlivement les diverses solutions obtenues, reconnaîira-t-on que l'Analyse n'a rien donné de trop, et qu'en effet les diverses solutions répondent au problème tel qu'il a été mis en équation. Malgré cela, les racines afférentes à la question étant de leur nature rationnelles et séparables, on pourra toujours parvenir à la seule et unique solution cherchée, non en changeant de données et d'inconnues, ce qui, au fond, revient à changer la nature du problème, mais en posant les équations de départ d'une manière précise et absolue.

Les solutions soi-disant surabondantes ou étrangères qu'on rencontre en traitant les problèmes géométriques par le calcul, ne viennent donc pas de ce qu'elles ont été amalgamées avec les autres par les transformations algébriques, puisqu'elles appaniennent, en toute rigueur, aux divers systèmes que représentent les équations primitives, mais bien de la manière inexacte, vague ou trop générale dont on a mis le problème en équation.

Nous ne disons rien des facteurs introduits par des procédés particuliers d'élimination ; car, non-seulement ces facteurs sont inutiles et insignifiants, mais encore ils ne satisfont nullement aux équations de définition, et peuvent toujours être éviiés en employant un mode convenable d'élimination. On doit donc avoir soin de distinguer ces sortes de facteurs de ceux dont il a été question dans ce qui précède, lesquels font nécessairement partie de 1 équation finale du problème: il n'y

29^ m* CAHIER, - SUR LA LOI DES SIGNES

a que le changement même de la mise en équation qui puisse

les faire disparaUre de ce résultat (*).

Qu'on ne dise pas qu'il est impossible à l'avance de reconnaître si le problème présenié de telle ou telle manière dans la mise en équation, introduira une ou plusieurs solutions étrangères à la question telle qu'elle a été énoncée verbalement : une discussion e?cacte et suffisamment approfondie y fera toujours parvenir d'une manière certaine ; maïs elle suppose, de la part du géomètre, une grande habitude du calcul et du raisonnement géométrique; ce n'est qu'en résolvant beaucoup de questions difficiles et en les traitant d'une manière complète que l'on peut parvenir à acquérir cette précieuse habitude.

C'est peu, en effet, d'être parvenu à mettre un problème en équation, à trouver même la marche à suivre dans les opérations subséquentes, pour prouver par là que l'on sait résoudre ce problème; souvent c'est la plus petite partie de la difficulté qui se trouve vaincue, et, pour avoir ramené la question à quelques-unes des opérations bien connues de l'Algèbre, on n'a nullement résolu la question proposée. Ce n'est d'ailleurs qu'en abordant les discussions de détail avec une entière franchise qu'on parviendra à faire faire des progrès à la science. Une solution plus ou moins élégante ou heureuse n'est en soi que peu de chose, mais il n'en est pas de même de la marche qui y a fait parvenir; car enfin, si la question était tant soit peu difficile ou complexe, si le résultat final n'était pas une conséquence simple des données, si surtout la question semblait se soustraire aux règles générales du calcul ou de l'élimination algébrique, il est certain que rien ne serait plus utile pour l'avancement de la science elle-même que de l'étudier aux diverses phases pour l'appliquer ensuite à tous les cas analogues, et, à force d'essais et de tentatives fructueuses, parvenir peut-être à une théorie générale qui, en agrandissant cette science, en éclairei*ait de plus en plus la partie métaphysique. Ce n'est, en effet, que par des efforts répétés, sou-

(*) Ces réflexions se trouvent en partie reproduites dans un article de 1817, déjà cilé, des anciennes Annales de Mnthvmatiques, {Voir les Extraits du Vr Cahier, n« H.)

DE POSITION EN GÉOMÉTRIE agB

lenus pendant des siècles, c'est en s'élevanl des cas particuliers aux lliéorios f,'énérales, (|ue l'édifice des sciences s'est simplifié, perfectionné, et qu'il peut grandir sans cesse.

Enfin, il est toujours intéressant en soi de rechercher la solution la plus simple, la plus directe et la plus facile; mais cette dernière expression du calcul ou du raisonnement n'eùlelle que l'avania^e de fournir une construction à la fois élégante, rapide et facile à relenir, elle serait infiniment précieuse pour les arts graphi(|ues, dont le plus ou le moins de perfection est étroitement lié à la prospérité publique (*t pariiculière des hommes.

Les réflexions que nous venons d'offrir sur la muUiplicité des solutions données par l'AnaUsc algébrique font voir, en même temps, que, si la mise en é(|uaiion peut introduire des racines étrangères à la quesllon proposée, énoncée en langage ordinaire, parce que celle mise en équation renferme un sens plus étendu que celui de l'énoncé, réciprocjuement il esl possible aussi, sans qu'on puisse reprocher à l'Analvse un défaut de généralité, (|ue l'on parvienne à un résultat final qui ne renferme pas toutes les solutions propres à celte même question telle qu'elle est énoncée ; car les équations primitives peuvent à leur tour ne pas renfermer tout le sens qui est propre à cet énoncé. Mais, ainsi que nous en avons déjà fait la remarque, cette circonstance ne pourra avoir lieu que dans les cas où les solutions géométriques elles-mêmes seront séparables de leur nature, et auront qu(»lque chose de distinct par rapport aux signes et à la position des diverses données. Dès lors aussi il sera possible encore de parvenir simultanément à toutes les solutions du problème à résoudre en généralisant, d'une manière convenable, l'énoncé et les équalions diverses qui définissent les conditions du problème.

La grande difficulté, comme on Ta vu, est la mise en équation. C'est ce qui fait que telle question a été répulée, pendant tout un siècle, du qualrième, du huitième degré, qui n'était au fond que du second, parce que les solutions qui lui apparlenaienl élaiont séparables de leur nature ; témoin, entre aulres, la recherche analytique d'une sphère tangente à quatre sphères données, pour laquelle la Géométrie a devancé de longtemps l'Analyse algébrique, mais qui n'a plus offert de dif-

294 Hf' CAHIER. - SUR LA LOI DES SIGNES

ficultc dès Tinslani où on a su la meure en équation d'une manière exacte el suffisamment circonstanciée.

Cet exemple et tant d'autres doivent faire sentir vivement la nécessité qu'il y a de cultiver la Géométrie rationnelle de pair avec l'Analyse algébrique, en les faisant marcher, autant que possible et si je puis m'exprimer ainsi, à la même hauteur; car chacune de ces deux sciences s'accroîtra de tous les progrès qu'on aura pu faire faire à Tautre,

En résumant ce qui précède, on peut conclure que toutes les fois que les équations de départ ou de définition d'un problème auront été bien posées et rigoureusement établies, c'est-à-dire toutes les fois que ces équations ne diront ni plus ni moins que l'énoncé verbal lui-même, on ne devra parvenir et Ton ne parviendra jamais qu'aux solutions uniques et véritables du problème; que si, malgré cela, l'équation finale semble donner des solutions en apparence surabondantes ou inutiles à l'objet particulier qu'on se propose, c'est que ces solutions ne peuvent, de quelque manière qu'on s'y prenne, ^tre séparées de celles qu'on cherche , et qu'alors la Géométrie n'est pas plus capable que l'Analyse d'y parvenir; que les équations finales, à plusieurs racines inséparables, dénotent en conséquence l'impossibilité absolue d'isoler, soit géométriquement, soit ânalytiquement, la question énoncée de celles qui lui sont étroitement conjuguées, tout comme, par exemple, il est impossible de séparer autrement que par la pensée et en renonçant à toute idée de continuité dans le tracé des lignes, les deux points d'intersection d'une droite et d'une circonférence de cercle situées dans un même plan; qu'enfin, s'il se présente des racines imaginaires à la suite d'un calcul, elles n'arrivent là que pour indiquer des solutions qui, sous leur forme algébrique, sont susceptibles de devenir réelles et possibles en changeant, non le sens ni la nature de l'énoncé de la question, mais bien la grandeur absolue des données qui y entrent,

L'Analyse algébrique exige donc, lorsqu'on l'applique à des questions de Géométrie, de la pénétration d'esprit et du jugement, et Ton a tort de croire qu'on puisse l'employer comme un véritable instrument qui doive même redresser, dans tous les cas possibles, les erreurs et les fausses hypothèses que

Ton pourrait commotlre. C'est une arme commode dont tout le monde indislinciement peut se servir; elle donne toujours des résultats bons en eux-mêmes, mais qui, fort souvent, ne seront applicables à ce qu'on cherche et n'auront de signiQcalion véritable, qu'entre les mains de ceux qui savent les lire et les interpréter d'une manière convenable. En un mot, l'Analyse ne doit être appelée que comme auxiliaire du raisonnement ordinaire; elle sert à soulager la mémoire, à symboliser le résultat des premières conceptions géométriques, et à en tirer des conséquences faciles au moyen du mécanisme qui lui est propre; mais elle ne saurait jamais diriger ni suppléer le jugement et la conception : c'est le vrai bâton des aveugles.

Note pendant ^impression.

Comme on peut le voir par l'indication aii bas de la page 197. j'avais rintenlion d'ajouter ici diverses Notes manuscrites d'une date contemporaine à 1817; mais l'étendue qu'a prise à l'impression la matière de ce 111* Cahier, malgré de nombreuses abréviations et suppressions, m'oblige à y renoncer, sinon définitivement, du moins jusqu'à la fin du volume, où, peut-être alors, le tem[)s et l'espace me permettront d'en publier au moins un extrait abrégé. Je regrette d autant plus cet ajournement, que ces Notes venaient ici dans leur ordre de date, et que la publication de la Con^^iyontlance que j'ai entretenue, do 1818 à 18*20, avec MM. Torquem, Servois et Brianchon, pouvait servir à combler la lacum? qui existe entre co III* (Cahier et les suivants, sous le rap|)ort des idées et des intentions.