III

CONSÉQUENCES Q01 RÉSULTENT DE l' ADMISSION OUVERTE DU PRINCIPE DE CONTINUITÉ EN GÉOMÉTRIE RATIONNELLE.

41. Nous avons examiné, dans ce qui précède, le principe de continuité dans son origine primitive, dans les raisons et les hypothèses qui le firent adniettre tacitement ou involontairement dans la Géométrie rationnelle et dans l'Analyse algébrique : il nous reste à l'étudier en lui-même et dans les conséquences générales qu'il entraîne par son admission ouverte en Géométrie pure, afin d'en acquérir une notion assez précise

et assez claire pour prévenir toutes les difficultés et les paradoxes auxquels ce principe, mal entendu, peut facilement conduire dans les applications particulières.

Le principe de continuité, considéré dans la Géométrie rationnelle, consistant en ce que (21, 22) les propriétés métriques ou descriptives d'une figure donnée demeurent applicables, sauf les variations de signes et de position des parties, à toutes les figures corrélatives définies d'après Tart. 6, ce principe suppose naturellement que, dans la figure type, celle d'où Ton part et à laquelle on rapporte, au moins tacitement, les autres, les objets et les grandeurs considérés soient tous réels et géométriques; car, par hypothèse, les relations primitives ont été démontrées d'une manière entièrement rigoureuse au moyen du raisonnement explicite ordinaire; l'esprit humain, en effet, ne peut arriver à des vérités certaines et incontestables qu'en procédant du connu à l'inconnu, du réel à ce qui ne Test pas : c'est là sa marche invariable et nécessaire. Si donc une relation, actuellement donnée entre les objets d'une figure géométrique, concerne déjà un étal idéal de cette figure, ou indique des opérations qui ne soient pas absolues, ce ne peut être que parce qu'on en a étendu tacitement la signification à cet état, en invoquant le principe de. continuité, ou parce qu'on a fait usage, pour y parvenir, du raisonnement implicite, qui est tout à la fois le fondement et la conséquence de ce principe; cette relation a nécessairement son origine dans un état antérieur où to'ut était réel et absolu; voilà ce qu'il faut admettre, au moins quand il s'agit de procéder d'une manière certaine à l'examen d'une vérité, d'une notion à établir ou justifier, et c'est ce qu'il ne faudra jamais perdre de vue dans ce qui va suivre.

42. D'après la nature môme des choses, le principe de continuité est immédiatement applicable à tous les états réels et absolus d'un même système qui se transforme par degrés insensibles, et nous avons vu que, dans ce cas en effet, il se présente d'une manière si naturelle, qu'il peut être regardé comme un véritable axiome, et qu'il a été admis comme tel, au moins d'une manière tacite, dans presque toutes les recherches soumises à l'influence du calcul algébrique. Malgré