Ce que nous venons de dire ici de l'Analyse algébrique

344 IV* CAHIER. - CONSIDÉIUTIONS PHILOSOPHIQUES s'étend évidemment ou peut s'étendre à la Géométrie rationnelle, lorsffu'on ne considère que des relations purement métriques; car, dans ces circonstances aussi bien qu'en Algèbre, les diverses grandeurs sont représentées par des lettres, signes ou caractères abstraits, incapables en eux-mêmes de rappeler la grandeur absolue des objets qu'ils concernent. A la vérité, ces grandeurs se rapportent à une Ggure mise actuellement sous les yeux ; mais on peut toujours faire abstraction, par la pensée, de cette figure, et considérer les relations examinées en elles-mêmes, et indépendamment des objets figurés auxquels elles s'appliquent. Dans celte supposition particulière des propriétés métriques, on peut donc continuer mentalement et d'une manière naturelle l'existence de ceux de ces objets qui cessent d'être constructibles et géométriques, par cela précisément qu'ils sont représentés à l'aide de signes abstraits, et il n'y a interruption, ni dans la conception des relations examinées, ni dans l'expression de ces relations.

52. Pareille chose n'a plus lieu à l'égard des propriétés purement descriptives : là les termes sont l'expression des objets figurés eux-mêmes; ils les rappellent continuellement à l'esprit et à l'imagination, et il n'est pas facile de les abstraire par la pensée, de les détacher de ces objets, et, encore moins, de les combiner entre eux, quand ces objets cessent d'exister d'une manière absolue et géométrique.

L'usage et l'habitude de l'Analyse algébrique pendant deux siècles ont heureusement tranché la difficulté, en introduisant et en consacrant, dans le langage ordinaire de la Géométrie, certaines expressions qui rappellent et caractérisent les êtres de non-existence, et font -même considérer ces êtres fictifs comme des objets réels dans le raisonnement et la conception. C'est ainsi que l'on a déjà reçu en Géométrie les infiniment grands et les infiniment petits y dont l'existence est purement hypothétique; car, lorsqu'on admet, par exemple, que deux droites parallèles se rencontrent à l'infini, on donne Idéalement une existence indéfinie à leur point commun d'intersection, et par là aussi on établit l'idée de la continuité dans le mouvement possible de ce point. D'un autre côté, le mot infini rappelle la non-existence géométrique de l'objet dési-

gné, et indique que Texistence supposée est purement idéale. Il est vrai que ces notions ont encore quoique chose de naturel, et répugnent moins que celles des imaginaires ^ mais cela provient purement de Thabitude, et la preuve en est que certains géomètres, peu accoutumés aux nouvelles méthodes, refusent encore de les admettre, quelque simples et rigoureuses qu'elles puissent d'ailleurs paraître.

53. 11 importe extrêmement, pour l'admission du principe de continuité en Géométrie, d'y recevoir les expressions figurées qui peuvent servir à caractériser les êtres de nonexistence; car l'application de ce principe se bornerait, comme nous l'avons déjà fait observer, aux états réels du système que l'on considère; il existerait des lacunes, des situations particulières, où l'on ne pourrait l'adnïettre môme idéalement, puisque Ton manquerait à la fois d'images dans la conception et de termes dans le discours pour s'exprimer.

D'ailleurs, le but de celte admission est uniquement d'introduire l'idée de la continuité ou permanence indéfinie des lois de la grandeur figurée, continuité qui, pour être souvent fictive, n'en est pas moins propre à caractériser et à faire découvrir les lois véritables et absolues de celte grandeur.

54. C'est évidemment dans les phénomènes de la conjonction réciproque des lignes et des surfaces courbes qu'il faut aller chercher les divers caractères de la non-existence des grandeurs géométriques, et chacun de ces caractères se trouve nécessairement dans le mode par lequel s'est opérée la nonexistence, l'accident qui a précédé et accompagné cette nonexistence. Les expressions figurées naissent, à leur tour, de la nécessité de distinguer ces différents caractères afin de ne pas les confondre; car, de même qu'on a des noms pour exprimer les divers modes d'existence qu'on veut comparer, il faut aussi en avoir pour exprimer ceux de la non-existence, afin de donner à la fois de la justesse et de la précision à la langue du raisonnement géométrique. Enfin, les notions meta* physiques elles-mêmes ont leur source véritable dans la persévérance qu'on a d'appliquer l'idée de la continuité à un étal purement idéal d'un système, et d'y étendre les conceptions

et les lois qui n'appartenaient qu'à Tétat primitif et réel de ce système.

D'après ces idées, on voit comment il faudrait s'y prendre pour parvenir à tracer le tableau fidèle et complet de toutes les notions métaphysiques qui appartiennent à la grandeur figurée; mon intention n'est pas de Tenlreprendre, il faudrait plus de hardiesse et de talent que je n'en possède pour oser livrer un tel travail au jugement de la critique sévère des géomètres: il me suffira d'avoir indiqué à de plus habiles que «fioi la route cerlaine à suivre, et d'y avoir fait les premiers pas. Je me bornerai en conséquence, dans l'impuissance de mieux faire, à présenter, à la place de ce tableau, quelquesunes des généralités dont il se compose, afin d'offrir au moins des exemples qui puissent éclairer les idées qui précèdent, et leur servir d'appui et de complément nécessaire. C'est par ces exemples que je terminerai cet écrit, dont le but spécial était l'examen du principe de continuité considéré dans son origine, dans sa nature et dans les conséquences diverses auxquelles il entraîne par son admission ouverte en Géométrie.

55. Considérons, en premier lieu, le système de deux lignes droites situées dans un même plan, et admettons (41) que, dans leur position actuelle, elles se rencontrent en un point réel; si l'on vient à écarter une de ces lignes droites de sa position primitive, en lui imprimant un mouvement progressif et continu, toujours dans le même sens et dans le plan primitif, il arrivera bientôt que le point de leur intersection commune, après s'être écarté de son origine à une distance plus grande que toute distance donnée, finira par cesser tout à fait d'être, circonstance qui aura lieu quand ces deux droites seront devenues parallèles; pour conserver, malgré cela, à ce point un signe dans le discours, qui caractérise en même temps le mode de sa non-existence géométrique, on dit qu'il est à Vinjini sur le plan des deux droites; or, de là dérive aussi cette notion si généralement admise :

<K Le système de deux droites parallèles a son point de con- » cours placé à l'infini ; elles convergent à l'infini. »

Cette notion s'étend également à un faisceau quelconque de

droites parallèles situées ou non dans un même plan; ainsi, <( le faisceau de plusieurs droites parallèles, situées ou non » dans un même plan, a son point de concours placé à » rinfini. ))

Par la même raison on dit, on conçoit que la distance du point de concours à un point quelconque donné dans l'espace est infinie, et cette distance se mesure évidemment sur une autre parallèle.

Ainsi, en vertu du principe de continuité, on applique ou Ton étend aux systèmes de droites parallèles, dont Tintersection n'est qu'idéale, les mêmes notions que celles qu'on a reconnues appartenir aux droites qui concourent en un point réel. Mais ce n'est pas tout : puisque, dans le cas exanïiné de deux droites situées dans un même plan, le point de leur intersection réelle est toujours unique, il faut aussi admettre, pour la continuité, qu'il est encore unicjue quand ces deux droites deviennent parallèles, et de là dérive celte conséquence paradoxale, mais pourtant nécessaire :

« Les deux extrémités d'une droite indéfinie se rejoignent » et se confondent à l'infini. »

56. Substituons aux deux lignes droites précédentes, le système de deux plans quelconq'ues qui se pénètrent d'abord selon une droite réelle; en imaginant, de même, que l'un de ces plans se meuve suivant une loi quelconque, mais continue, de façon qu'il s'écarte sans cesse de sa position primitive, il arrivera un instant où la droite de son intersection avec le plan fixe, aura perdu son existence géométrique, après s'être transportée tout entière à une distance plus grande que toute dislance donnée; les deux plans étant alors devenus parallèles et leurs points d'intersection ayant passé à l'infini, il en résulte que « le système de deux plans parallèles a tous ses » points de concours distribués sur une ligne droite à l'in- )) fini. ))

La même notion s'étend évidemment au système d'un nombre quelconque de plans parallèles.

Deux plans quelconques ne pouvant jamais se pénétrer qu'en une seule droite réelle, il faut bien aussi admettre, pour la continuité, qu'elle demeure encore unique quand les deux

348 IV CAHIER. - œNSlDÉRATlONS PHILOSOPHIQUES

plans deviennent paraUèles; mais, comme chacun de ces plans renferme tous les points qui sont à rinfmi sur rauire, il en faut ncccssairemenl conclure que, de même que les extrémités d'une droite se rejoignent et se confondent à Tinfini, pareillement aussi les extrémités d*un plan indéfini se trouvent distribuées sur une seule et unique ligne droite à TinOni^ mais U y a cette différence ici que cette droite, quoique regardée comme unique, a une situation entièrement arbitraire et indéterminée sur le plan que Ton considère; car, quelle que soit la direction d'une droite donnée sur ce plan, on peut toujours concevoir qu'elle se transporte d'un mouvement continu et parallèlement à eHe*même jusqu'à une distance infmie et sans quitter le plan; or il faudra bien admettre alors qu'elle se canfond avec la précédente ; ainsi

« Tous les points situés à Tinfini sur un plan doivent être » considérés, d'une manière idéale, comme distribués sur » une seule et même ligne droite, dont la direction est d'ail- » leurs entièrement indéterminée. »

57. Maintenant, si l'on considère qu'une surface plane a pour principal caractère d'être toujours coupée par un plan arbitraire suivant une seule et unique ligne droite, située à une distance donnée ou inflnie, H faudra également conclure des notions qui précèdent, et toujours par suite de l'admission du principe de continuité en Géométrie, que

a Tous les points à l'inOni de l'espace doivent être çonsidé- » rés, d'une manière idéale, comme distribués sur une seule ei » unique surface plane située à l'infmi, dont la direction est » d'aHleurs entièrement indéterminée. »

Quelque étranges et paradoxales que paraissent ces dernières notions, comme elles découlent, d'une manière nécessaire, de l'admission du principe de continuité en Géométrie, elles doivent inévitablement se reproduire dans toutes les recherches particulières où l'on invoque ce principe, et influencer par conséquent les résultats et les conséquences qu'on en peut déduire. Nous aurons, par la suite, occasion de justifier ces notions au moyen de considérations tirées de la perspective et par des exemples nombreux déduits d'une manière directe de la simple Géométrie.

SUR LE PRINCIPE DE CONTINUITÉ. 34g

58. Pour passer à des considérations cl à des notions nouvelles, examinons, toujours sous le point de vue qui précède, le système d'une ligne droite et d'une courbe quelconque continue (*), situées l'une et l'autre sur un même plan; supposons encore (4-1) que, dans leur position actuelle, elles se coupent suivant le plus grand nombre possible de points tous réels et distincts : si l'on vient à écarter la ligne droite de sa position primitive par un mouvement progressif et continu, mais d'ailleurs quelconque, il pourra arriver que, si la courbe a des branches illimitées, un certain point d'intersection, après s'être écarté sans cesse des autres, finisse par s'en trouver à une distance plus grande que toute distance donnée; alors ce point aura passé à l'infini et la droite sera devenue parallèle à la branche correspondante de la courbe. Cette circonslance rentrant, pour le fond, dans celle d(^à examinée pour le cas de deux lignes droites, il devient inutile de s'en occuper de nouveau ; faisons-en donc, pour un instant, abstraction, et reprenons l'examen qui nous occupe.

59. Par suite du mouvement imprimé à la ligne droite, il pourra arriver aussi que deux quelconques d'entre les points d'intersection réels se rapprochent continuellement et finissent par se confondre, en cessant par conséquent d'être distincts; leur distance mutuelle se sera alors évanouie et aura perdu toute existence géométrique. Pour lui conserver, malgré cela, une existence au moins idéale, et, par suite, pour rendre les deux points d'intersection correspondants distincts dans la conception, comme ils l'étaient auparavant, on dit et l'on conçoit qu'ils sont à une distance plus petite que toute dis-tance donnée, à une distance infiniment petite; la droite qui les renferme a alors un élément infiniment petit en commun avec la courbe proposée, elle lui est tangente, ou, ce qui re-

(*) Par ligne continue on entend, en général, une courbe dont tous les points sont soumis à un mùme mode de génération, c'est-à-dire à une morne loi, et dont tous les éléments se succèdent sans intervalle fini et sont par conséquent conligus. Du reste, cette courbe peut se composer de la réunion de deux ou do plusieurs branches distinctes, également continues. La même définition s'étend aux surfaces courbes.

[Note de i8i8.)

35o IV CAHIER. - œNSIDÉRATlONS PHILOSOPHIQUES

vient au même, cHe la touche^ toscule, ou a un contact du premier ordre au point considéré.

Pour chaque point individuel et chaque branche distincte de la courbe proposée, il existe évidemment, en général, une tangente unique, dont la position est assignée encore par la loi de continuité.

60. Notre ligne droite étant devenue, dans sa position actuelle, tangente à la ligne courbe correspondante, si Ton vient à supposer qu'elle continue à se mouvoir en s* écartant toujours de sa position primitive, il pourra arriver que les deux points d'intersection que Ton considère en particulier, après s'être rapprochés à une distance infiniment petite, perdent tout à coup et simultanément leur existence géométrique, parce que la droite se sera détachée de la portion de courbe correspondante; alors, pour leur conserver une existence de signe, au moins idéale, dans le discours et dans la conception, on dit que « ces deux points sont devenus à la » fois imaginaires, aussi bien que les distances qui les sépa- » rent de tout point réel donné; » et ainsi s'établit l'idée d'une continuité indéfinie dans la commune intersection des deux lignes.

Le système des deux points examinés pourra rester dans cet état imaginaire pendant un intervalle plus ou moins considérable, et par conséquent pour une série de positions successives de la droite mobile qui les porte, jusqu'à ce qu'enfin elle redevienne tangente à la courbe, puis de nouveau sécante, et ainsi de suite d'une manière périodique. Cependant, H peut arriver que cette droite passe tout entière à l'infini : dans ce cas tous les points de son intersection avec la courbe sont évidemment eux-mêmes à l'infini ; du reste, elle pourra alors être tangente à la courbe, avoir des points imaginaires en commun avec elle, tout comme les sécantes qui sont à des distances données, et cela résulte immédiatement encore de l'admission de la continuité (* ).

(*) Quoique les points à l'infini cessent véritablement d'exister d'une manière géométrique, il est pourtant essentiel de no pas confondre ceux qui d'abord étaient réels avec ceux qui, au contraire, étaient imaginaires. Les premiers se distinguent des autres en ce qu'ils retiennent encore

Si lu sécante, au lieu de passer loul enlière à rinfini, prend une sitiialîon telle, que deux des points réels de son intersection avec la courbe, après s'être rapprochés sans cesse, finissent par se confondre en passant à la fois à Tinflni, elle sera devenue tangente à cette courbe à Tinfini, elle sera ce qu'on appelle une asymptote à cette courbe.

61. Il ne peut arriver évidemment d'autres accidents que ceux reconnus dans ce qui précède, en raison de ce que, par l'hypothèse de la continuité, les points d'une même branche de courbe sont nécessairement contigus ; on peut donc conclure qu'un point d'intersection d'une ligne courbe et d'une droite ne peut perdre son existence individuelle et géométrique que par trois modes entièrement séparés et distincts, mais d'ailleurs susceptibles de se combiner entre eux : ou parce qu'il se rapproche d'un autre point d'intersection d'un mouvement continu, en finissant par se confondre avec lui, ou parce qu'il s'en écarte, au contraire, en demeurant réel à une dislance infinie, ou enfin parce que, après s'être confondu avec le précédent en un seul, il perd, ainsi que lui et pendant un certain intervalle, toute existence géométrique absolue, c'est-à-dire physique et mathématique.

On voit par cette discussion, que, pour établir l'idée de la continuité dans la conjonction de la droite et de la courbe pendant toute la durée du mouvement de cette droite, on est obligé de conserver aux points de leur intersection commune une existence individuelle et purement hypothétique, toutes les fois qu'ils viennent à cesser d'être d'une manière absolue.

Il suit de là que le nombre de ces points d'intersection réels ou fictifs est toujours regardé comme le même dans quelque position qu'occupe la droite qui les porte, ce qui s'étend, comme nous l'avons vu, au cas même où la droite passe tout entière à l'infini. Ce nombre invariable, qui marque aussi le

quelque chose des propriétés qui appartiennent aux points géomélfiques et absolus. Pour ne pas créer un nouveau terme, nous disons que ce sont des points itcIs a rinfini et que les autres, au contraire, sont des points imaginaires à l^ infini. [IS'nlr f/r 1818.)

plus grand nombre possible de points d'inlersecUon réels, est ce qu'on nomme le degré de la courbe (*).

62. Nous pouvons, dès à présent, faire sentir Futilité et la justesse des notions qui précèdent, en présentant quelquesunes des conséquences générales qui en découlent, et en faisant voir leur liaison avec des vérités déjà connues et reçues des géomètres algébristes; parla nous jetterons quelque jour sur ces notions abstraites, et nous ferons voir comment, considérées même dans l'Analyse, elles doivent leur origine à l'admission du principe de continuité.

Soit une ligne courbe, continue quelconque tracée sur une surface plane, d'après l'art. 57, tous les points à l'infini sur cette courbe doivent être regardés idéalement comme distribués sur une ligne droite unique, et, d'après l'article qui précèdCr le nombre de ces points est égal à celui qui marque le degré de la courbe, pourvu que l'on conserve une existence distincte, au moins hypothétique, à ceux de ces points qui sont confondus ou imaginaires. Or, il résulte immédiatement de là que si, d'un point donné sur le plan de la courbe, on conçoit des droites qui passent respectivement par ceux de ces points qui sont à l'infini, ces droites, qui seront parallèles à ses diverses branches et dont la position est assignée par la loi de continuité, se trouveront être en nombre égal à celui qui marque le degré de cette courbe, proposition qui dérive immédiatement aussi des principes reçus dans l'Analyse des coordonnées.

Pareillement, si l'on conçoit une tangente ou asymptote en chacun de, ces points à l'infuii, le nombre de ces asymptotes sera encore égal à celui qui marque le degré de la courbe; mais, de ces asymptotes, les unes seront imaginaires, les autres réelles et géométriques, d'autres enfin placées entièrement à l'infini; les premières correspondront à des branches entièrement fermées ou tout à fait imaginaires, les secondes à des branches hyperboliques, et les troisièmes à des branches ^«raboliques.

(*) Quand ce nombre ot-l infini, la courbe est dite transcendante; elle est simplement géométrique d«ins le cas contraire. [Note r/r i8i8.)

Le nombre de ces dernières sera évidemmenl égal à celui des asymptotes qui sont tout entières à l'infini; or, on doit alors considérer idéalement ces asymptotes comme réunies en une seule (57), avec la droite qui renferme tous les points à Tinfini du plan; donc le nombre des branches paraboliques sera précislément égal à celui des points de contact distincts de la courbe avec cette droite; chacun de ces points devant compter pour deux, leur nombre total sera, au plus, moitié de celui qui marque le degré de la courbe.

D'après ces notions, les courbes du second degré ne peuvent avoir, au plus, que deux asymptotes; ainsi elles ne sauraient offrir que ces trois caractères distincts : deux asymptotes réelles ou deux points distincts et réels à Tinfini, deux asymptotes imaginaires ou deux points imaginaires à Tinfini^ enfin deux asymptotes réunies en une seule à l'infini ou deux points consécutifs à l'infini.

Ce que nous disons ici d'une courbe unique peut s'appliquer aussi au système de plusieurs courbes situées sur un plan : ainsi, par exemple, deux paraboles ordinaires, situées sur un même plan, peuvent être regardées idéalement comme ayant une tangente commune à l'infini.

Ces notions cadrent parfaitement avec celles que l'on peut déduire de l'Analyse des coordonnées; leur avantage est de rapprocher entre elles les diverses affections qui appartiennent aux courbes d'une même famille, et de déterminer, à l'avance, les caractères spécifiques qui les distinguent entre elles.

En terminant, nous ferons remarquer que nous avons fait abstraction, dans l'examen qui précède, de tous les accidents particuliers qui peuvent avoir lieu dans le cours de la courbe, comme il arrive aux points iï inflexion et de rebroussemeni , aux points multiples et conjugués; mais ces points ayant des positions singulières et distinctes, rien n'est changé aux conséquences générales qui précèdent, et une nouvelle discussion serait, sinon inutile, au moins peu nécessaire (*).

(*) Celte discussion serait d'ailleurs facile, car le caractère de chacun des points singuliers peut se déterminer d'une manière tout à fait directe à Taido du principe de continuité. Ainsi, un point conjugué n*cst autre

354 IV* CAIUER. - œNSlDÉRATlONS PHILOSOPHIQUES

63. Si au lieu de considérer, comme dans l'examen qui précède, le système d'une droite et d*une ligne courbe, on considérait le système de deux lignes courbes quelconques continues, situées à la fois sur une même surface plane ou courbe ei se pénétrant d'abord dans le plus grand nombre de points possibles, les circonstances déjà examinées se reproduiraient évidemment de la même manière et dans le même ordre, lorsque Ton viendrait à faire varier Fune des deux courbes de position ou de forme à l'égard de l'autre, par un mouvement progressif et continu, et sans en changer la nature, ni par conséquent le degré et les propriétés. Ainsi, certains points d'intersection, d'abord réels, pourraient passer à l'infini, se confondre en un seul, ou devenir simultanément et deux à deux imaginaires. Mais il peut arriver, en outre, dan» le cas actuel, que la courbe variable, après êlre devenue tangente à la courbe fixe, lui demeure encore tangente pendant un certain intervalle, au lieu de s'en détacher brusquement, comme dans le cas qui précède, et qu'alors un troisième, un quatrième point... d'intersection vienne, par un mouvement progressif et continu, à se rapprocher de ceux confondus au point de contact jusqu'à une distance infiniment petite; les deux courbes acquièrent alors, en ce dernier point, deux, trois,... éléments consécutifs en commun, elles ont un contact ou une osculalion du second, du troisième ordre, et ainsi de suite, pour un nombre quelconque de points réunis en un seul.

l'hose qu'une branche de courbe fermée, qui a acquis des dimensions infiniment petites; un point de rebroussenient , une portion de branche de courbe terminée d'abord par un point multiple ou \a\t la rencontre des deux côtés de la branche, en forme de rwpiul ou de bottvir, et qui a aequis ensuite des dimensions infiniment petites, etc. {a),

(Note de i8i8.)

(n) Plus tard, lorsque je me proposai d'approfondir davantage l'étude des propriétés projectives des courbes et surfaces {jéométriques, je rédigeai un assex long article sur ce sujet, qui devait faire partie de l'introduction à un Traite d'ensemble, pour ainsi dire exclusivement fondé sur Tintuition géométrique et le principe de continuité; mais faute de loisirs indispensables à l'accomplissement d'une pareille çeuvre, je fus contraint dy renoncer, et me bornai à Toccasion, comme on peut le voir dans mon Mémoire souvent cité de i83o, à offrir quelques aperçus ou tentatives épar^es de cette espèce. { Note de 1863^)

SUR LE PRINCIPE DE œNTlNUITÊ. 355

64. Deux courbes qui ont en commun un nombre pair d'éiémenls consécutifs so croisent évidemment en même temps qu'elles s'osculenl, et elles s'enveloppent, au contraire, aux environs du contact, quand le nombre de ces éléments est impair: cela résulte immédiatement de la continuité; or, il est visible que, dans cette dernière circonstance, les deux courbes pourront se déuicher entièrement Tune de l'autre aux environs du contact, en sorte qu'il y aura un nombre pair de points qui deviendront imaginaires, tandis que, au contraire, dans l'autre circonstance, elles ne pourront se détacher d'une manière absolue; l'un des points confondus au point de contact devra évidemment demeurer réel, il y a donc toujours un nombre pair de points qui deviennent imaginaires, soit que ces points perdent leur existence par groupes de deux, quatre, etc., points, soit que ces groupes deviennent imaginaires à la fois ou isolément, dans les diverses régions des deux courbes.

Il n'en est pas ainsi des points réels qui perdent leur existence géométrique en passant à l'infini : ces points peuvent indifféremment être en nombre pair ou impair. Si l'on suppose, par exemple, que le point d'osculation qui précède vienne à s'écarter sans cesse de sa position primitive sur la courbe fixe, par un mouvement progressif et continu, jusqu'à s'en éloigner à une distance infinie, il n'y aura évidemment aucune distinction à faire entre le cas où le nombre des points qu'il représente est pair ou impair.

" Quand deux courbes ont ainsi plusieurs points communs à l'infini, réunis en un seul, elles sont ce qu'on nomme asymptotiques du premier, du second... ordre, selon que ces points sont au nombre de deux, de trois, etc., etc.

Du reste, il est visible que, puisque tous les points à l'infini de l'espace doivent être regardés idéalement comme sur un plan (58), il est impossible que le nombre de ceux de ces points qui appartiennent en commun aux deux courbes, soit plus grand que celui qui marque le degré même de ces lignes courbes.

65. La position d'une courbe qui devient osculalrice ou asymplolique d'une autre n'est pas entièrement arbitraire et

356 IV CAHIER. - œNSIDÉRATIONS PHILOSOPHIQUES

indéterminée; car 11 faut qu'elle reniplisse autant de conditions distinctes qu'il y a de points qui se sont réunis en un seul, et ces conditions sont assignées à l'avance par la loi de continuité; les points d'osculation étant donnés, ces conditions sont, en effet, que la courbe variable passe par un certain nombre de points inOniment près du premier, tous placés sur la courbe, et dont la position est par conséquent déterminée : c'est ainsi que par trois points consécutifs d'une courbe on ne peut faire passer qu'une seule circonférence de cercle, qui par conséquent est osculatrice du second ordre à la courbe proposée, de même que par deux points consécutifs de cette courbe on ne peut également mener qu'une seule ligne droite qui lui soit tangente ou osculatrice du premier ordre. Quant à la détermination effective, à la construction de la courbe osculatrice, elle ne peut s'obtenir qu'au moyen d'une propriété appartenant simultanément au système général des points d'intersection des deux courbes, lorsque ces points sont séparés et distincts, puis étendant ces propriétés h l'état particulier que l'on considère au moyen du principe de continuité.

66. En général, si trois ou un plus, grand nombre de courbes se coupent en plusieurs points communs, tous actuellement réels, leur système jouira dans cet état de certaines propriétés métriques ou descriptives, et ces propriétés seront propres, à leur tour, à exprimer l'état particulier du système, elles seront la définition de ce système; or, il résulte du principe de continuité que ces propriétés demeureront applicables à toutes les figures corrélatives de la première (6), que cette corrélation demeure d'ailleurs réelle ou idéale; il n'y a donc pas de distinction à faire entre le cas où les points d'intersection commune sont réels et ceux où ils sont confondus en un seul, imaginaires ou placés à l'infini, soit en tout, soit seulement en partie; la conception de l'un et de l'autre de ces systèmes demeure la même, sous le point de vue idéal, et pareille chose a lieu évidemment pour les surfaces courbes. Ainsi, par la raison que trois courbes, osculatrices d'un certain ordre, peuvent être regardées comme ayant un certain nombre de points communs réunis en seul, ou sé|>arés les uns des autres par des distances infiniment petites, on est en droit

d'afllrmer que, dès riiistant où deux quelconques de ces courbes soiil osculairices d'un ordre quelconque à la troisième, elles sont nécessairomenl osculalrîces du même ordre entre elles, et jouissent par conséquent, deux à deux, sous ce rapport, des mémos propriétés.

Pareillement, de ce que trois surfaces sphériques, qui s'entrecoupent d'une manière réelle, sont telles, que les trois plans de leur section mutuelle concourent en une môme droite, on est on droit d'affirmer la même chose de trois sphères qui cesseraient de s'entrecouper en tout ou en partie, et cette conséquence du principe de continuité, quoique au premier aspect étrange et paradoxale, suffit pour prouver que les plans de section idéale n'ont pas cessé de subsister et d'être constructibles ; car, si l'on considère deux sphères entièrement isolées, et qu'on les coupe à la fois par une même troisième, les deux plans de section réelle donneront, par leur pénétration, une ligne droite qui, d'après ce (|ui précède, devra appartenir au plan de la section idéale des deux sphères données; et, comme il en serait de même à l'égard d'une nouvelle sphère prise à volonté, le plan de cette section idéale se trouvera entièrement déterminé.

G7. Quand une fois on a reconnu et déterminé les divers caractères et les notions abstraites ou figurées que peut présenter la conjonction des lignes, on s'élève, sans beaucoup de peine, à ce (]ui peut concerner celle des surfaces courbes situées à volonté dans l'espace.

Considérons, en effet, deux surfaces quelconques, mais assujetties dans leur cours à la loi de continuité : elles se pénétreront, en générai, en plusieurs branches de lignes courbes, appartenant à leurs diverses nappes, et que je supposerai actuellement être réelles et distinctes; or, si l'une des deux surfaces vient à varier de forme et de situation dans l'espace à l'égard de l'autre, par un mouvement continu qui n'en change ni la nature, ni les propriétés primitives, il pourra se faire que l'une des branches d'intersection s'étendani sans cesse, finisse bientôt pas passer tout entière à l'infini ; alors les nappes eorrespondantes seront devenues parallèles dans leur cours illimité, elles pourront êire regardées idéalement comme

358 IV CAlllER. - CONSIDÉKATIONS PHILOSOPHIQUES

ayant en commun une section plane à riniini (58), mais dont la situation, bien qu'unique, est arbitraire et indéterminée.

Si Ton suppose/au contraire, que la branche examinée se rétrécisse sans cesse et finisse par se réduire à des dimensions infiniment petites, les deux surfaces auront au point correspondant un élément plan tout entier en commun, et seront tangentes ou osculalrices du premier ordre en ce point.

La surface variable, continuant à se mouvoir dans le m^me sens, finira bientôt pur s'isoler, aux environs du contact, de la surface restée fixe, et alors la branche devenue d'abord infiniment petite cessera tout à coup de subsister d'une manière géométrique ; elle deviendra entièrement imaginaire, et continuera de rester telle pendant un certain intervalle et pour une série de positions successives de la surface variable.

68. On retombe ainsi sur les divers caractères de non-existence que nous avons déjà reconnus appartenir à la mutuelle intersection des lignes, et l'on ne peut évidemment en obtenir d'autres en poursuivant l'examen qui nous occupe; la raison en paraîtra toute simple, si l'on considère que l'une et l'autre des deux surfaces données peuvent, à chaque instant, être regardées comme engendrées séparément par les traces de deux lignes courbes variables situées dans un même plan, mobile de situation dans l'espace. C'est d'après de semblables considérations que l'on dit que Jeux surfaces quelconques sont osculalrices d'un certain ordre en un point donné, lorsque les sections planes, faites par ce point dans ces surfaces, sont elles-mêmes respectivement osculatrices de cet ordi^. Pour le cas du contact du premier ordre, cette notion coïncide évidemment avec celle qui résulte de l'examen qui précède; on peut faire voir la même chose pour les contacts des ordres supérieurs au premier.

Supposons, en effet, que l'une des branches d'intersection communes aux deux surfaces étant devenue infiniment petite et s'étant évanouie au point de leur contact mutuel, une autre branche d'intersection se rapproche de ce point en restant d'une grandeur finie, jusqu'à n'en être éloignée, vers une certaine portion de son cours, qu'à une distance infiniment petite : il est visible que les deux surfaces seront devenues mu-

SUR LE PRINCIPE DE œNTINUlTÉ. 35i>

Uieliemeiit osculalrices du 2*' ordre dans le sens même de la défînition qui précède; car, toute section plane faîte dans les deux surfaces par le point de contact commun donnera nécessairement deux lignes courbes, ayant d'abord deux points communs réunis en un seul au contact, puis un troisième point à une distance inliniment petite des deux autres, résultant de-la pénétration du plan qui renferme les deux courbes «t de la seconde branche dont, par hypothèse, le cours passe à une distance inOniment petite du point de contact que Ton considère.

Si la seconde branche, a«t lieu de passer simplement par le point de contact ou à une distance infiniment petite de ce point, se rétrécissait sans cesse et finissait par avoir des dimensions infiniment petites et par se confondre tout à fait avec la première au point de contact, les sections planes faites par ce point deviendraient évidemment osculatrices du 3** ordre, et il en serait de même des deux surfaces qui les renferment. En faisant intervenir successivement d'autres branches de Tintersection commune des deux surfaces, on s'élèverait sans peine aux contacts dos ordres supérieurs.

69. Nous pourrions ici reproduire, pour les surfaces, les diverses notions que nous avons vues se rapporter aux simples lignes continues, mais cette discussion deviendrait fastidieuse par sa longueur, et il sera très-facile d'y suppléer; nous terminerons en conséquence par faire observer que, si deux branches, au lieu de s'évanouir, demeuraient finies en se rapprochant dans toute l'étendue de leur cours jusqu'à se confondre, ou, si l'on veut, jusqu'à se trouver à une distance infiniment petite, les deux surfaces acquerraient par là un contact du 1" ordre suivant toute une ligne courbe; efles deviendraient osculalrices du ?.•, du 3*... ordre, suivant la même ligne, si une, deux. . . branches venaient, par un mouvement continu, se réunir aux deux premières. Si, dans ces diverses circonstances, les lignes de contact pas.saient tout entières à l'infini, les surfaces correspondantes deviendraient asymptotiques du 1*', du 2*^, du 3* ordre..., elles s'osculeraient suivant toute une section plane qui leur serait commune à l'infini (58).

36o IV CAHIER. - œNSIDÉRATlONS PHILOSOPHIQUES

70. Dans Tcxamen rapide que nous venons de faire des objets de non-exislence, nous n'avons poinl rencontré les quantités inverses ou négatives; la raison en est toute simple» c'est que ces êtres, qui appartiennent propremertt au calcul algébrique, n'expriment que des modifications réelles arrivées dans l'état du système, tenant à un simple changement d'ordre des grandeurs absolues, ou de disposition des objets qui composent ce système, et non pas à l'impossibilité de construire et de représenter géométriquement ces objets. Car, de ce que, en vertu des changements arrivés dans une figure, un point aura passé de la droite à la gauche d'une ligne ou d'un autre point du système, il n'y a pas là de modification assez essentielle pour qu'on ne puisse étendre la conception des relations purement métriques du premier système à celui qui lui est corrélatif, et les regarder l'un et l'autre comme un seul et même système réel, considéré dans des positions différentes.

Toutefois, si ces modifications n'influent que très-légèrement sur la conception géométrique du système, et qu'il soit inutile d'y avoir égard quant aux relations descriptives, elles n'en sont pas moins très-importantes quant aux relations purement métriques, puisqu'en vertu de ces modifications de telles relations peuvent cesser d'être in)médiatement applicables au nouvel état de la figure; certaines grandeurs qui y entrent devant elles-mêmes changer de signe, et passer d'un état positif à un état négatif.

71. Les notions dont l'examen vient de nous occuper, combinées entre elles, conduisent à un grand nombre de conséquences également abstraites qu'il serait peut-être intéressant de*parcourir et d'énumérer; notre but, comme nous l'avons déjà dit, n'a été que d'en donner une esquisse fort légère, aûn de faire voir, d'une manière générale, comment elles découlent sans peine et naturellement de la seule admission du principe de continuité en Géométrie.

Au reste. In plupart de ces notions ne sont, à proprement parler, que des définitions de mots imprimés aux divers caractères que peut présenter la conjonction des formes géométriques ; elles ne peuvent actuellement servir qu'à rapprocher

SUR LE PRINQPE DE CONTINUITÉ. 36i

entre eux ces différenis caraclcres, et à les présenter à la conception sous un même point de vue, sous une unité d'origine; elles demeureraient éternellement stériles si on ne les appliquait, au mo^en du principe de continuité, à des propriétés déjà connues, à des lignes ou à des surfaces dont la loi métrique ou descriptive, et par conséquent la définition génétique, fussent à l'avance bien connues.

Néanmoins, ces notions peuvent conduire à des vérités générales et nouvelles appartenant à toutes les formes possibles de rétendue, et qui deviennent par là très-propres à comparer ces formes entre elles, et à ramener ainsi Tétude de celles qui sont compliquées à la contemplation de celles qui sont élémentaires et déjà bien connues. Les écrits géométriques de nos jours sont pleins de ces vastes et utiles vérités; j'en citerai un seul exemple, pour montrer comment elles se rattachent toutes aux notions qui viennent de nous occuper :

<f Lorsque deux surfaces ont dans toute retendue d'une h ligne courbe un contact de l'ordre /n, un plan tangent à » cette courbe, et qui coupe les deux surfaces, y produit deux )> sections qui ont un rapprochement de l'ordre 2m-4-i au » point de contact. »

En effet, par le point dont il s'agit et que j'appelle T, concevons un plan quelconque qui coupe de nouveau la courbe de contact aux points T', T",..., il coupera aussi les deux surfaces suivant deux lignes passant par les mêmes points T, T', T",..., et ayant, en chacun d'eux, un contact de l'ordre m, ou m -I- 1 points communs réunis en un seul (70). Cela posé, concevons que le plan, d'une direction d'abord arbitraire tourne autour de T, de manière que le point suivant T' s'en rapproche sans cesse par un mouvement continu, jusqu'à se confondre avec lui en un seul, auquel cas le plan dont il s'agit sera évidemment devenu tangent à la courbe de contact; les deux intersections faites dans les surfaces par ce plan, qui, d'après ce qui précède, ont m -+■ i points communs confondus en un seul, soit en T ou en T', en atiront acquis 2(/w-4-i) en commun au point de contact du plan, et seront par conséquent osculalrices de l'ordre 2(m-|-i) — i en ce point.

Si le point T" venait à se réunir aux deux premiers, c'està-dire si le plan sécant devenait osculateui* de la courbe de

362 IV CAHIER. - œNSIDERATlONS PHILOSOPHIQUES

contact, ses deux intersections avec les surfaces données auraient évidemment 3(/w-|-i) points communs réunis en un seul, elles seraient osculatrices de Tordre 3(/n-f- i) — i.

Enfm, les mêmes raisonnements prouvent que, si au plan on substitue une surface coupante quelconque ayant au point T un rapprochement de Tordre n avec la courbe de contact, elle déterminera, dans les surfaces données, deux lignes d'intersection qui seront osculatrices de Tordre (m -h i)(/i -f- 1) — i

auméme point T (*}.

72. Dans ce qui précède, nous nous sommes efforcé de nous élever à toute la hauteur des notions abstraites qui découlent de Tadmission du principe de continuité en Géométrie; nous avons cherché par là à donner une idée générale et précise de Tinfluence qu'il exerce dans toutes les recherches où on Temploie, et de l'importance qu'il peut un jour acquérir s'il est admis dans la Géométrie rationnelle, sans aucune restriction et dans toute l'étendue des conséquences qui lui sont propres. Dans un travail que nous nous proposons de faire paraître à la suite de cet écrit, et qui était d'abord destiné à en faire partie, nous chercherons à présenter des vérités plus particulièrement utiles; en faisant usage des conséquences du principe qui vient de nous occuper, nous tâcherons, autant que possible, de ne pas ;)bandonner la marche du raisonnement ordinaire; nous éviterons surtout de nous jeter, dès les premiers pas, dans les considérations métaphysiques des imaginaires, auxquelles l'esprit ne saurait s'accoutumer que peu à peu et par une gradation insensible dans les idées. Par là nous ne risquerons pas de devenir inintelligible; nous imiterons la prudence et la circonspection des algébristes, qui n'adoptèrent qu'à la longue, et après bien des tentatives et des succès, les conséquences abstraites du principe de continuité.

(*) Dri'iN, DcrcloppcnwNts de Géonwtric ^ pages 2'a6 à 'ïi'i. (foir à la page suivante, une heureuse application de ce genre de considérations à la théorie de la courbure des surfaces.)

ADDITION AU IV CAHIER PAR M. MOUTARD (i863).

Nous aurions pu joindra ù la démonstration du n^ 71, page 3Gi, celle do plusieurs autrt^s théorèmes tirés de Touvr^gc de M. Dupin, ou d'anciennes Notes manuscrites; mais cela eiU été d'une failde importance scientifique et aurait inutilement surchargé ce volume; il m'a paru bien plus profitable pour les lecteurs amis de la nouveauté, d'insérer à la suite de ce Cahier, l'extrait d'une lettre beaucoup trop modeste, que M. Moutard a bien voulu m'autoriser à publier, et qui aurait encore çaj;né en intéiêt si l'état avancé de l'impression et de la mise en pages, lui avait permis d'en développer davantage les remarquables conséquences géometriqui's.

« Frappé, dit nolro savant professeur, do la simplicité avec laquelle y> vous démontrez, à l'aide de notions uniquement baséi'S sur la continuité, » le théorème de M. Charles Dupin, relatif à deux surfaces qui ont dans » toute l'étendue d'une ligne courbe un contact d'ordre w, j'ai essayé » d'applicpier les mêmes notions à l'étude du contact d'un ordre quel- » conque de deux surfaces en un point unique, et, en suivant pour ainsi » dire pas à pas votre mode de démonstration (p. 36i), je suis parvenu » aisément à retrouver ^n théorème qui me piiraît digne d'int*'îrél et " (|ue j'avais précédemment rencontré à l'occasion d'autres recherches.

« Considérons deux surfaces qui aient en un point A un contact d'orn dre ///, et concevons qu'un plan sécant mobile se ra{)prcche indéfini- A ment du point A. Parmi les points communs à ce plan et à la ligne n d'intersection des deux surfaces, il y en a m -+- 1 qui viennent à la li- » mite se confondre en A^ puisque les sections des deux surfaces par les >• plans qui contiennent A ont, en général, un contact d'ordre m,

» Ceci étant vrai fiour toutes les directions du plan sécant, on en con- " dut que la ligne d'intrrsection des deux surfaces a, en général, /// + i >■ branches réelles ou imaginaires qui se croisent en A.

•' Imaginons maintenant qu'un plan passant par A tourne autour de ce '' |)oint Jusqu'à ce que Tune do ses intersections avec l'une des /w-f-i »» branches vienne à se confondre avec lui; il ebt olair que l'trdre du n contact des sections quo ce plan détermine dans les deux surfaces se )• trouvera élevé d'une unité, et sera par conséquent ///-i-i. Dans sa » situation fmale, ce plan contient la tangente en A à l'une des brakiches " de la courbe d'intersection, et n'est d'ailleurs soumis à aucune autre n condition.

'> Enfm, faisant tourner de nouveau ce plan autour de cette tangente A jus({u'à ce qu'il devienne osculateur de la branche corrés|)ondante, un

» nouveau point (rinterscction des deux courbes, suivant les({ue11es ce w plan cou|)o les surfaces, viendra se confondre avec A, et l'ordre du » contact encore élevé d'une unité sera devenu /// -4- 1*.

» En résumé, nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

I) Lorsque deux surfaces ont, en un jwint A, un contact rie V ordre ///, » elles se coupent en général suivant une ligne gauche dont m -f- i bran" » ches nf elles ou imaginaires se croisent en A. Un plan (juelconr/ue, con- » tenant Viuic des tangentes menées en A à ces m -\- i branches, cou/w » tes deux surfaces suivant des courbes dont le contact en A est d'un » ordre immédiatement supérieur m-\-i ; enfin , parmi tous les plans » sécants tpâon peut mener par l'une de ces tangentes^ il en existe un, » à savoir le plan osculateur de la branche corresptmdantCy jjour lequel » les sections ont un contact d'un ordre encore plus éle\*é /w-f-a.

» Parmi les nombreux corollaires que Ton peut déduire de ce théorème » général en y joignant quelques autres considérations, je me bornerai à » citer les suivants :

» Si autour d'une tangente quelconque menée à une surfitce en un » point A, on fait tourner un plan^ et que dans cfuiciute de ses positions » on construise la conique qui a en A avec la surface un contact du w 4* ordre, il existera en général deux positions, réelles ou imaginaires, fy du plan sécant, /x)ur lesquelles le contact montera au 5* ortlre. L'enn semble de toutes ces (uniques forme d'ailleurs une surface du ql* ortlre, n en général, simplement osculatrice à la proposée,

» Par chaque point d'une surface continue, il est en génértd jmssible ï. de mener 27 coniques, avant avec la surface, en ce point, un contact w du 6* ordre,

» Dans le cas particulier où la surface donnée est du 3* degré, les po- » sitions singulières du plan sécant mené par une tangente quelconque, » pour lesquelles le contact avec une conique peut monter au 5" ordre, »> sont celles qui contiennent les asymptotes de rindicatrice relative ati » point où la tangente considérée perce de nouveau la surface. On peut » ajouter que le plan tangent en ce dernier point contient la courbe d'in- » tersection de la surface osculatrice formée par toutes ces coniques avec » la polaire du 2* degré du point A par rapport à la surface du 3*^ ordre » donnée.

» Ces derniers énoncés ont besoin de quelques modifications pour » s étendre aux sui^faces algébriques de degré quelconque, mais ce n'est 0 pas le lieu d'insister sur ce point. »