ESSAI SUR LES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES SECTIONS CONIQUES

I^Présonlé à rAcadémic des Sciences de rinstitiit le lundi i*""" mai iSio.)

Il n*en esl pas de la méthode puremeni gooméiriquc comme de celle de TAnalyse des coordonnées ; dans celle-ci, toul se ramène immédialemeiu à des principes connus, à des procédés uniformes de calcul , el il ne reste à celui qui l'emploie qu'à en développer les conséquences d'une manière plus ou moins élégante et rapide ; dans l'autre, au contraire, les principes peuvent entièrement manquer, au moins ceux d'où découle d'une manière directe el immédiate l'objet i>arliculier que l'on a en vue, et, pour remplir les lacunes, on se voit souvent obligé, après plusieurs essais, de reprendre les choses d'un peu haut pour se frayer une route plus facile.

(*) Le Mémoire dont ce V* Cahier est la copie textuelle, esl un exlrail abrégé d'une première ébauche ou rédaction du Traité des Propriétés pmjcrtives des figures; rédaction qui contenait non-seulement Texposé des nouveaux principes de projection par des voies essentiellement géométriques, mais encore les applications cpii paraissaient le plus propres à initier le lecteur aux nouvelles doctrines concernant les sécantes ou cordes idéales, les intersections imaginaires des courbes et des surfaces, situées à des dislances données ou infmies, confondues ou non entre elles. Ainsi, par exemple, on y résolvait un grand nombre de questions dans les(iuellos les sections coniques étaient assujetties à passer par des peints, à toucher des droiles imaginaires en nombre pair ou ayant des contacts doubles ou simples, mais de divers ordres, en des points donnés ou inconnus d'autres sections coniques. D'ailleurs, la solution de ces questions pouvait, mèmc^ dans le cas du second degré, s'o|)érer à l'aide de la règle seule ou de méthodes purement linéaires, pour\'u que les syslèmes des lignes ou des points donnés fussent convenablement définis, et qu'on assignât sur leur plan commun, im seul cercle tracé et de centre connu.

Do telles solutions, et les conséquences qui en dérivent dans chaque cas, étaient très-propres à montrer les avantages géométriques de l'adoption

Tel est précisémenl le cas des recherches que nous voulons entreprendre : comme elles se rattachent nécessairement à des notions jusqu'ici étrangères à la simple Géométrie» nous nous voyons entraîné naturellement à exposer d'abord ces notions» pour parvenir ensuite, d'une manière à la fois rapide et sûre, à l'objet particulier et véritable de' ces mêmes recherches ; ainsi, au lieu de procéder de suite à l'examen des principes de projection qui doivent former la base de ce travail, nous nous occuperons d'abord d'exposer les notions générales sur lesquelles ces principes reposent de toute nécessité.

Si cette marche n'a pas l'avantage d'être aussi directe qu'on pourrait le désirer, elle nous fournira, en revanche, l'occasion de présenter, sur les dépendances qui lient entre elles les sections coniques et les lignes droites, un grand nombre de considérations nouvelles qui nous mettront à même de généraliser Je langage et les conceptions de la Géométrie; ce qui n'est pas le but le moins important que nous ayons cherché à atteindre en entreprenant ce travail.

Au reste, loin de nous abandonner à tous les développements dont ces considérations sont susceptibles, nous ferons toujours en sorte de ne jamais perdre de vue l'objet véritable

des nouveaux principes de projection et de celui do continuité, jusqu'ici rarement combattu et encore moins mis en défaut, que je sache. Mais ce genre de questions étant devenu familier aux amateurs de la Géométrie, depuis l'apparition du Traité des Propriétés projectives des figures , et comportant des développements et des détails qui nécessiteraient un ouvrage tout spécial , nous nous voyons à regret contraint d'y renoncer et de renvoyer le lecteur aux résumés rapides, incomplets, que renferme le Mémoire ci-après et le texte môme du Traité dont il s'agit, auquel d'ailleurs ils peuvent servir d'utiles commentaires.

Quant au Rapport fait à l'Académie des Sciences sur le Mémoire que contient ce V* Cahier, le lecteur est prié do recourir à la fin du volume où il se trouve accompagné d'observations critiques indispensables. Qu'il suffise ici de remarquer que cette considération m'a fait un devoir rigoureux de n'apporter aucun changement essentiel à la rédaction, où il m'a été, par conséquent, impossible de mettre à profit aujourd'hui (i863), comme lors de sa présentation à Tlnstitut en 1820, aucun des résultats ou conséquences cncoro inconnues à cette dernière époque et que renferment les précédents Cahiers des t. 1 et 11 de ces Applications (i863).

(le nos recherches, ei de ne recueillir sur noire rouie que des vérilés qui s y rallachenl de la manière la plus inlime, ei qui puissenl, par la suiie, nous èlre parliculièremenl uiiles. Ainsi» ayani pour objel spécial l'examen des propriétés projectives des seclions coniques, nous nous bornerons à exposer les considéraiions el les notions qui peuvent apparlenir en propre à ces courbes parliculières, sans chercher à les élendre'aux surfaces du second ordre. On aura lieu de s'apercevoir, d'ailleurs, qu'au moyen des principes posés dans le cours de ce Mémoire, celle extension devient assez facile classez évidente pour que nous puissions laisser à d'autres le soin de la développer, el nous renfermer dans les justes limites du sujet que nous voulons traiter.

Pour exposer la théorie des cordes réelles el idéales, nous admettrons quelques propriétés connues des seclions coniques ; mais nous supposerons expressément que ces propriétés aient été déduites, d'une manière purement géométrique, de la considération du cône oblique à base circulaire, comme l'ont fait les Anciens, el plus particulièrement Apollonius. D'ailleurs, ces propositions recevront naturellement leur démonstration de principes qui seront exposés un peu plus tard, dans la seconde Section, sans rien emprunter de ceux qui forment la base de la prenïière.llnouseùtété facile d'éviter celle inversion apparente en changeant l'ordre des matières, el anticipant sur les applications de la doctrine des projections ; mais cette marche eût fait perdre à l'exposition du sujet principal le degré de simplicité cl d'uniformité dont il peut être susceptible.

Enfin, nous croyons devoir prévenir expressénienl encore, avant d'entrer en maiitire, que les droites, les courbes, les plans, etc., dont il sera lait mention dans ce 1*"" Mémoire, seront supposés indéfiniment prolongés dans l'espace ou dans le plan qui les contient; le discours fera connaître les cas où l'on n'en considérerait qu'une portion terniinée et finie.

§ I*^ — Notions prélimiihaires si:r les cordes ou sécaktes

1. Une ligne droite située dans le plan d'une section conique quelconque, et qui rencontre la courbe en deux points

conslrucUbles d'une manière géométrique, se nomme corde ou sécante réelle de celte section conique. Les deux points d'intersection sont appelés également points d'intersection réels.

Dans le cas où la ligne droite sort tout à fait au dehors de la courbe et cesse de la rencontrer, on dit que ses deux points d'intersection avec elle sont imaginaires.

Dans ces mêmes circonstances, en supposant qu'on persiste à regarder la droite en question comme une sécante de la courbe, nous dirons, pour conserver l'analogie entre les idées et le langage, qu'elle est corde ou sécante idéale de la courbe, et nous la distinguerons ainsi de toute ligne droite entièrement inconstructible dans son cours et dans sa direction indéfinie, laquelle conservera la dénomination déjà reçue de droite imaginaire,

2. Les mêmes définitions peuvent s'étendre au système de deux sections coniques situées sur un même plan, et, en général, au système de deux lignes courbes ou de deux surfaces quelconques; mais nous voulons nous borner ici à ce qui concerne le système particulier d'une ligne droite et d une section conique.

3. Pour concevoir l'objet de ces définitions, il suffit de supposer que la section conique que l'on considère ne soit pas décrite, mais seulement donnée par certaines conditions, et qu'alors on se propose de rechercher les points où elle est rencontrée par la droite réelle, tracée sur son plan ; car on ignore alors si ces points sont ou non constructibles, et il est naturel de persister, dans tous les cas, à regarder cette ligne droite comme une véritable sécante de la courbe, et par conséquent de la traiter comme telle dans le raisonnement géo-* métrique qui sert à faire découvrir les deux points qu'on cherche. Ces définitions, comme on aura lieu de le voir plus tard, servent à agrandir les idées, et tendent à abréger le discours, en caractérisant la non-existence de certaines grandeurs ; elles ne sont ni indifférentes, ni inutiles en ellesmêmes, parce qu'elles permettent d'établir un point de contact entre des figures qui paraissent, au premier aspect, n'avoir aucun rapport, et de découvrir sans peine les relations ot les propriétés qui leur sont communes.

DES SE(mONS CONIQUES. 369

4. Pour poursuivre l*objet de ces premières définitions, soient mn et (C), Jig, i5o, la droite et la section conique que

l*on considère ; appelons M et N les points de leur intersection commune, supposée d'abord réelle ; si Ton conçoit une suite de cordes terminées à la courbe» parallèles entre elles et à la droite mn, tous les milieux de ces cordes seront, comme on le sait, situés sur un diamètre unique AB, dont le conjugué sera lui-même parallèle à la droite mn\ de plus, quelle que soit la position de cette droite à Tégard de la section conique, le diamètre AB sera toujours constructible et viendra toujours la rencontrer en un point 0 réel; nous appellerons, dans tous les cas possibles, ce point unique centre ou milieu de la corde indéfînie mMNn, que cette corde, cette sécante soit d'ailleurs réelle comme en mn, ou idéale comme en m'n',

5. Aux points M et N, supposés d'abord réels, menons à la courbe les tangentes PM, PN : elles iront concourir en un point P du diamètre AB, et l'on aura, pour déterminer ce point, la proportion harmonique